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2021年考研数学高数考点解析
高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。
依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。
接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。
一、函数、极限、连续
高等数学在考研中，也被称为微积分学。微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。
在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。
考纲内容：
1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;
2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;
3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;
第 2 页 共 11 页 4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;
5、数列极限与函数极限的定义及其性质;
6、函数的左极限和右极限;
7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;
8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;
9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;
10、函数连续的概念，函数间断点的类型;
11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;
根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。
二、一元函数微分学
一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。
多元微积分学
摘要：
1.多元微积分学的基本概念
2.多元函数的极限与连续
3.偏导数
4.全微分
5.多元函数的泰勒公式
6.隐函数定理与微分中值定理
7.多元函数的极值与最值问题
8.多元函数的曲线拟合与参数估计
9.多元微积分学的应用
正文：
一、多元微积分学的基本概念
多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如 x, y, z 等。多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续
在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。 三、偏导数
偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分
全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式
多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理
隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题
多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
大一高数下册知识点汇总
在大一高等数学下学期的学习中，我们将继续学习和探索更深入的数学知识。下面是对本学期知识点的汇总和总结。
一、向量代数
1. 向量的基本概念和表示法：向量的定义，零向量，单位向量，向量的数量表示法。
2. 向量的加法和减法：向量之间的加法和减法运算，平行四边形法则，共线向量和共面向量。
3. 数乘和数量积：向量与实数的数乘运算，向量的数量积的定义和性质，向量的模长和方向余弦。
4. 向量的叉乘和向量积：向量的叉乘定义和性质，向量积的模长和方向。
二、空间解析几何
1. 空间直线及其方程：空间直线的定义，向量方程和参数方程的转换，直线的方向向量和点向式方程。
2. 平面及其方程：平面的定义，平面的一般方程，点法式方程和一般法式方程。
3. 空间曲线及其方程：空间曲线的定义，参数方程，齐次方程和标准方程。
4. 空间曲面及其方程：二次曲面的方程和图像，球面和圆锥曲线的方程。
三、多元函数及其极限
1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义，自变量和因变量的关系，函数的定义域和值域。
2. 多元函数的极限：二重极限和多重极限的概念，函数极限的性质与判定方法。
3. 偏导数：多元函数的偏导数定义，偏导数的计算方法，高阶偏导数，混合偏导数。
4. 微分：多元函数的微分及其几何意义，微分的计算方法。
四、多元函数的微分学
1. 隐函数及其求导：隐函数的概念和性质，隐函数求导的方法。
2. 方向导数与梯度：方向导数的定义和计算，梯度的概念和性质。
3. 多元函数极值与条件极值：多元函数的极值判定，约束条件下的极值求解。
五、多元函数的积分学
1. 重积分：二重积分的概念和性质，二重积分的计算，极坐标下的二重积分。
2. 三重积分：三重积分的概念和性质，三重积分的计算，柱面坐标和球面坐标下的三重积分。
3. 曲线与曲面积分：曲线积分的概念和计算，曲面积分的概念和计算。
六、无穷级数
同济版高数下册期末复习题
同济版高等数学下册涵盖了多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等内容。以下是一份期末复习题，供同学们参考：
一、多元函数微分学
1. 定义题：解释什么是偏导数，并给出偏导数的几何意义。
2. 计算题：给定函数 \( f(x, y) = x^2y + y^3 - 2xy \)，求 \( f
\) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
3. 证明题：证明如果函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (a, b) \) 处连续且可微，那么 \( f \) 在该点的偏导数存在。
4. 应用题：利用偏导数求函数 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1)
\) 处的切平面方程。
二、重积分
1. 计算题：计算区域 \( D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq
y \leq x\} \) 上的二重积分 \( \iint_D xy \, dx \, dy \)。
2. 变换题：将二重积分 \( \iint_D e^{x+y} \, dx \, dy \) 转换为极坐标形式并计算，其中 \( D \) 是单位圆盘。
3. 应用题：求由曲线 \( y = x^2 \)，直线 \( y = 1 \) 以及 \( x
\) 轴所围成的区域的面积。
三、曲线积分与曲面积分
1. 计算题：计算曲线积分 \( \oint_C (x^2 + y^2) ds \)，其中 \( C \) 是圆 \( x^2 + y^2 = 1 \)。
2. 变换题：将曲面积分 \( \iint_S (x + y + z) dS \) 转换为球坐标形式，其中 \( S \) 是球面 \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)。
3. 应用题：求由抛物面 \( z = x^2 + y^2 \)，平面 \( z = 1 \)
