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反比例函数与面积问题
秦振
反比例函数内容丰富、涉及的数学知识较多，是函数的重要内容之一。下面讨论几个反比例函数与图象的面积问题，供同学们学习时参考。
一. 求函数解析式
例1. 如图1，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3。求这个反函数的解析式。
图1
分析：利用反比例函数xky的特点及矩形PEOF的面积为3，求k的值。
解：设反比例函数为xky，
所以kxy。
因为3y|x|SPEOF矩形，图象在第二象限，
所以3k。
即反函数解析式为x3y。
二. 求面积
例2. 图2中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和。
图2 快乐学习，尽在中小学教育网
分析：利用反比例函数和圆的对称性求解。
解：由点A的坐标可知，圆的半径是1，又由反比例函数的对称性知，两个阴影的面积和应为一个圆的面积，因此图中两个阴影面积的和为。
三. 特殊点组成图形的面积
例3. 如图3，反比例函数x8y与一次函数2xy的图象相交于A、B两点。
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求AOB的面积。
图3
分析：将AOB的面积转化为AOD与BOD面积和求解。
解：（1）解方程组2xy,x8y
得;2y,4x11
4y,2x22
所以A、B两点的坐标为A（-2，4），B（4，-2）
（2）因为2xy与y轴交点D的坐标是（0，2），
所以22221SAOD，
44221SBOD
所以642SAOB
四. 探讨面积的变化
例4. 如图4，xy和)0m(mxy的图象与)0k(xky的图象分别交于第一象限内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B，D，若直角三角形AOB与直角 快乐学习，尽在中小学教育网
反比例函数与面积
知识点一、反比例系数k的几何意义
解题技巧：
在一个反比例函数上任取一点，向x、y轴分别作垂线，分别交于x轴和y轴，则围成的三角形面积为1||2k，围成的长方形面积为||k
例1、如图，过反比例函数2(0)yxx图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E
（1）△AOC与△BOD的面积分别记为S1、S2 ，则S1=______，S2=______
（2）△AOE与梯形ECDB的面积分别为S3、S4，则S3与S4的关系是_________
例2、P是反比例函数kyx的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A、6yx
B、6yx
C、3yx
D、3yx
1、如图所示，A、C是函数4yx的图象上的任意两点，过A点作AB⊥x轴于点B，过C点作CD⊥y轴于点D，记△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则（ ）
A、S1>S2
B、S1
C、S1=S2
D、无法确定
2、如图点A是函数4yx图象上任意一点，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，则四边形OBAC的面积为（ ）
A、2
B、4
C、8
D、无法确定
3、如图，P是反比例函数的图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，得阴影部分的面积为6，则这个函数的解析式是______________
4、双曲线10yx与6yx在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A、1
B、2
C、3
D、4
知识点二、反比例与一次函数求面积
解题技巧：
1、先确定图形顶点坐标
2、直接套公式计算面积
3、若不能直接套公式，可以用割补的思想解决问题
例1、如图，已知直线4yx与反比例函数12yx的图象相交，求△CAD的面积
反比例函数面积问题专题
反比例函数面积问题是数学中的一个重要问题，也是中学数学中常见的题型之一、这种问题涉及到两个变量的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比例关系。在解决这类问题时，需要通过分析问题的条件和利用数学公式，找出两个变量之间的关系，并求解出所要求的面积。
首先，让我们来梳理一下反比例函数的基本概念。反比例函数也被称为倒数函数或者比例函数的倒数。当两个变量的乘积为常数时，我们就可以称它们之间存在反比例关系。即当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。反比例函数可以用以下的公式来表示：
y=k/x
其中，y和x分别代表两个变量的值，k为常数，表示两个变量的乘积。通过这个公式，我们可以求出y与x的关系，也可以表示成x与y的关系。反比例函数在数学学科中有着广泛的应用，并且有很多技巧可以帮助我们解决相关的问题。
接下来，让我们来讨论解决反比例函数面积问题的思路。对于这类问题，我们通常需要求解一个围成面积的最大或者最小值。我们可以按照以下的步骤来解决这类问题：
1.确定问题的条件：首先，我们需要明确给定的条件，包括一些已知的数值和问题的限定条件。
2.建立模型并画图：根据给定条件，我们可以建立一个函数模型来描述两个变量的关系，同时我们还可以画出一个图形，以便更好地理解问题。 3.确定所要求的值：根据问题的要求，我们需要确定所要求的面积，是最大的还是最小的。
4.利用数学方法求解：根据问题的要求和模型函数，我们可以通过求导、解方程等数学方法，求得所要求的面积的最大或最小值。
最后，让我们来看几个实际的例子，以更好地理解反比例函数面积问题。
例子1：一个矩形的长和宽成反比例关系，如果矩形的周长为60，求矩形的最大面积。
解决思路：首先根据周长的公式可以得到l + w = 30，然后利用面积公式S = lw，将w表示成l的函数，即w = 30 - l。将这个表达式代入面积公式中，得到S = l(30 - l) = 30l - l^2、这是一个二次函数，即S = -l^2 + 30l。我们需要求解这个函数的最大值，通过求导，令导数等于0，可以求得临界点为l = 15、然后再将这个临界点代入原函数，得到最大面积为S = 15^2 = 225
26.1.2 反比例函数的图象和性质(1)
学习目标：
1.进一步作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2.体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3.探索并掌握反比例函数的性质,体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。
学习过程:
一、 自主合作学习
阅读课本，完成以下问题.
思考1.什么叫做反比例函数？
如果两个变量x、y之间的关系可以表示成xky（k为常数且0k）的形式
那么y是x的反比例函数。反比例函数的自变量x不能为零。
2.试猜想反比例函数的图象是什么样的？自己尝试作反比例函数xy6，xy4xy6，xy4的图象。
二、展示学习
【例2】画出反比例函数xy6与xy6的图象。
讨论 观察 画出的图象，思考xy6与xy6的图象有什么共同的特征？它们之间有什么关系？
在下面的平面直角坐标系中，如下图画出反比例函数xy3与xy3的图象，
观察 函数xy6和xy6以及xy3和xy3的图象
思考： （1）你能发现它们的共同特征以及不同点吗？
（2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化如何变化？
归纳：
例3：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9
（1）写出y与x之间的函数解析式
（2）自变量的取值范围。
分析：要确定一个反比例函数xky的解析式，只需求出比例系数k。如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。
三、反馈学习
1．请指出下面的图象中，如下图哪一个是反比例函数的图象 （ ）
2．如右下图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象 （ ）
A xy5 B 32xy C xy4 D xy3
