2010年考研数学(一)真题及参考答案

第 1 页 共 12 页 2010考研数学（一）真题及参考答案

一、选择题

（1）、极限2lim()()xxxxaxb（ C）

A、1 B、e C、abe D、bae

【详解】

2222ln1()()()()()()()()limlimlim()()limlimxxxxxxaxbxaxbxxxabxababxabxxxaxbxaxbxxabxeexaxbeee

（2）、设函数(,)zzxy，由方程(,)0yzFxx确定，其中F为可微函数，且20F，则zzxyuy（ B）

A、x B、z C、x Dz

【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0xxyyzzFuFvdxFuFvdyFuFvdz，

所以有，1212xxzzFuFvzxFuFv，1212yyzzFuFvzyFuFv，

其中，2xyux，1yux，0zu，2xzvx，0yv，1zvx，代入即可。

（3）、设,mn是正整数，则反常积分210ln(1)mnxdxx的收敛性( D )

(A)仅与m的取值有关 (B)仅与n有关

(C)与,mn都有关 (D)都无关

【详解】：显然0,1xx是两个瑕点，有

22211121002ln(1)ln(1)ln(1)mmmnnnxxxdxdxdxxxx

对于2120ln(1)mnxdxx的瑕点0x，当0x时212ln(1)ln(1)mmnnxxxx等价于221(1)mmnx，而21120mnxdx收敛（因,mn是正整数211mn），故2120ln(1)mnxdxx收敛；对于2112ln(1)mnxdxx

第 2 页 共 12 页 的瑕点1x，当1(1,1)(0)2x时12122ln(1)2ln(1)2(1)mnmnmnxxxx，而2112(1)mxdx显然收敛，故2112ln(1)mnxdxx收敛。所以选择D.

（4）、2211lim()()nnnijnninj( D )

A、12001(1)(1)xdxdyxy B、1001(1)(1)xdxdyxy

C、11001(1)(1)dxdyxy D、112001(1)(1)dxdyxy

【详解】：

22211111111limlim()()(1)(1())nnnnxnijijnijninjnnnn112001(1)(1)dxdyxy

（5）设A为mn型矩阵，B为nm型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ A）

A、秩r(A)=m, 秩r(B)=m B、秩r(A)=m, 秩r(B)=n

C、秩r(A)=n, 秩r(B)=m D、秩r(A)=n, 秩r(B)=n

【详解】

mR(B)m,R(A)mR(B)m,R(A))(,R(A))),(),(min()()(而即又mBRmBRARmABRmABREAB

(6) 设A为4阶实对称矩阵，且20AA，若A的秩为3，则A相似于 （D）

A．1110 B. 1110

C. 1110 D. 1110

【详解】设A的特征值为r，因为20AA为所以20

即100)1(或

第 3 页 共 12 页 又3R(A) ，A必可相似对角化，且对角阵的秩也是3.

111~10A是三重特征根所以正确答案为（D） (7) 设随机变量X的分布函数001()01211xxfxxex ，则 {x=1}= （C） A．0 Ｂ.12 C. 112e D. 11e

【详解】1111{1}(1)(10)122PxFFee.所以选C

(8) 设1()fx为标准正态分布的概率密度，2()fx为[1,3]上的均匀分布的概率密度，若12()0()(0,0)()0afxxfxabbfxx为概率密度，则,ab应满足：（A ）

A、234ab B、324ab C、1ab D、2ab

【详解】由概率密度的性质()1fxdx，有

03120()()113124234afxdxbfxdxabab

所以选A。

二、填空题

（9）、设20,ln(1),ttxeyudu求202dydx0

【详解】

第 4 页 共 12 页 22222222222(ln(1))1ln1ln112ln111ttttttttytdydxxtedyddyddydtdxdxdxdtdxdxtetxttetetteeet

故2020dydx

（10）、20cosxxd4

【详解】20cos4xxdx

令,xt原式为

220000002cos2sin|2sin4sin4cos|cos4ttdtttttdtttdttttdt

（11）、已知曲线L的方程为1,[1,1],yxx起点是(1,0),终点是(1,0),则曲线积分2Lxydxxdy0

【详解】令

1:101xtLtyt 2:011xtLtyt

1222201221022303110112232230LLLxydxxdyxydxxdyxydxxdytttdttttdttttt

（12）、设22{(,,)1},xyzxyz则的形心坐标z23

【详解】

第 5 页 共 12 页

2221100211002332rrzdxdydzdrdrzdzzdxdydzdrdrdz

（13）设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),TTT若由形成的向量空间维数是2，则6

【详解】由题意知向量组321,,线性相关，而其中两个向量线性无关，所以2,,(321）R，即

60660000031021120310310211201011122112324121322rrrrrrrr

（14）设随机变量X概率分布为{},0,1,2,!CpXkkK，则2EX2

【详解】由概率密度的性质0{}1kPXk，有

101!kCCek

即1{},0,1,2,!ePXkkk为参数为1的泊松分布，则有

221,1()2EXDXEXDXEX

三、解答题

（15）（本题满分10分）

求微分方程322xyyyxe的通解

【详解】齐次方程320yyy的特征方程为2320由此得122,1.对应齐次方程的通解为212xxyCeCe

设非齐次方程的特解为xyAxBxe 代入原方程得1,2AB从而所求解为

2212(2)xxxyCeCexxe

（16）（本题满分10分）

求函数2221()()xtfxxtedt的单调区间与极值

第 6 页 共 12 页 【 详解】由21()20xtfxxedt，可得，0x，1

判断在区间，1,0，(1,)，()0fx，函数单增

在区间，,1，(0,1)，()0fx，函数单减。

极小值：110ff 极大值为2(0)1fe

单增区间1,0,1,

单减区间,1,0,1

（17）（本题满分10分）

（Ⅰ）比较10ln[ln(1)]nttdt与10ln,1,2,nttdtn的大小，说明理由

（Ⅱ）设10ln[ln(1)](1,2,)nnMttdtn，求极限limnnM

【详解】

令ln1fttt

当01t时，1101ftt

故当01t时00ftf

当01t时0ln11tt

从而ln1(1,2,)nnttn 又由ln0t

得1100lnln(1)ln(1,2,)nnttdtttdtn

1100111002lnln11ln1111nnnnttdtttdttttdtnnn

10limln0nnttdt 0nM

由夹逼定理得10limlnln(1)0nnttdt

（18）（本题满分10分）

第 7 页 共 12 页 求幂级数121(1)21nnnxn的收敛域及和函数

【详解】

因为2221221limlim21nnnnnnxnuxuxn，所以当21x即11x时，原幂级数绝对收敛；当1x时，级数为11(1)21nnn，显然收敛，故原幂级数的收敛域为[1,1]。

因为1122111(1)(1)2121nnnnnnxxxnn

设1211(1)(),1,121nnnxfxxn

则211211(1)1nnnfxxx

因为00f，所以00arctanxfxftdtfx