函数实际问题综合题
一、一次函数+二次函数应用问题
例题（2020·湖北随州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间.部分药店趁机将口罩涨价.经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
第x天 1 2 3 4 5
销售价格p（元/只） 2 3 4 5 6
销量q（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后.统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只.该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计.该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为2280200qxx（630x.且x为整数）.已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式.
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式.并判断第几天的利润最大.
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿.对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款.若罚款金额不低于2000元.则m的取值范围为______．
【答案】（1）1px.15x≤≤且x为整数.565qx.15x≤≤且x为整数.（2）22135655,152240100,630xxxxWxxxx且为整数且为整数.第5天时利润最大.（3）85m．
【解析】
【分析】
（1）根据表格数据.p是x的一次函数.q是x的一次函数.分别求出解析式即可.
（2）根据题意.求出利润w与x的关系式.再结合二次函数的性质.即可求出利润的最大值．
（3）先求出前5天多赚的利润.然后列出不等式.即可求出m的取值范围．
【详解】
（1）观察表格发现p是x的一次函数.q是x的一次函数.
设p=k1x+b1. 将x=1.p=2.x=2.p=3分别代入得：1111232kbkb.
导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题
在函数的综合问题中，常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性
质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的
取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思
想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查．
六大经典超越函数的图象函
数f(x)＝xexf(x)＝ex
xf(x)＝x
ex
图
象
函
数f(x)＝xlnxf(x)＝lnx
xf(x)＝x
lnx
图
象
考点一x与lnx的组合函数问题
(1)熟悉函数f(x)＝h(x)lnx(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0))的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特
殊函数的图象“有形可寻”．
2(2)熟悉函数f(x)＝lnx
h(x)(h(x)＝ax2＋bx＋c(a，b不能同时为0)，h(x)≠0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两
个特殊函数的图象“有形可寻”．
【例题选讲】
[例1]设函数f(x)＝xlnx－ax2
2＋a－x(a∈R)．
(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，k∈N，g(x)＝2－2x－x2，且当x＞2时不等式k(x－2)＋g(x)＜f(x)恒成立，试求k的最大值．
分析(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成
立问题转化为函数的最值问题进行求解．
解析(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1－ax－1＝lnx－ax，
令f′(x)＝0，可得a＝lnx
x，
令h(x)＝lnx
x(x＞0)，则由题可知直线y＝a与函数h(x)的图象有两个不同的交点，
h′(x)＝1－lnx
x2，令h′(x)＝0，得x＝e，可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
h(x)max＝h(e)＝1
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数常见的几类综合题型
一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题
1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；
2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求
$MN$ 的最大值；
3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点
$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线
$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；
2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
① 若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\triangle
POC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；
② 设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题
3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；
2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求
试卷第1页，共8页 2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）
1．如图，二次函数25yaxbx的图象经过点(1,8)，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点(1,0)A，M为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求MCB△的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点N，使得BCN△为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线212yxbxc（b、c为常数）经过4,0A和0,4B两点，其顶点为C．
(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
(2)若点M是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM的面积为S，试求S的最大值；
(3)若抛物线222ymxmxm与线段AB有两个交点，直接写出m的取值范围．
3．如图，抛物线22(0)yaxaxca与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为(1,0),3OCOA． 试卷第2页，共8页
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC下方的抛物线上是否存在一点P，使得PBC的面积等于ABC面积的三分之二？若存在，求出此时OP的长；若不存在，请说明理由．
(3)将直线AC绕着点C旋转45得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐标．
4．如图1，抛物线24yaxbxa经过10A，，04C，两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线和直线BC的解析式；
(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC上的任意一点，过点M作MNEF∥交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
5．如图，抛物线24yaxbx与x轴交于点2,0A，4,0B，与y轴交于点C，顶点为D． 试卷第3页，共8页 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
