清华现代信号第10章小波变换2PPT课件

小波变换(WT)

一、小波变换的原理

小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波变换继承和发展了Garbor变换的局部化思想它除了窗口大小随频率增高而缩小 以外还存在着离散的正交基等优良的性质小波的原始概念最早是法国的地质学家J.Mrolet 和AGrossman在70年代分析处理地质数据时引进的（1）。

与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。

二、小波变换的定义及方法（2）(3)

(1) 基本思想

小波变换的基本思想是：非均匀地划分时间轴和频率轴，通常对高频成分分析时采用相对短的时间窗，对低频成分分析时采用相对长的时间窗。这样就可以在服从式(1)的Heisenberg不等式前提下，在不同的时频区都能获得比较实用的时间和频率分辨率。 …………….（1）

△ t时间分辨率

△f 频率分辨

(2)定义

小波变换是对一个信号与某个核函数的修正形式乘积的一种积分运算，这个核函数称为小波(小波基)。用作小波基的函数，它必须是可允许的，即满足

…………（2）

其中()h是()ht的傅里叶变换，则()ht叫做允许小波(AdmissibleWavelet)，而式(2) 称为允许条件(AdmissibleCondition)。信号x(t)的连续小波变换定义为

…（3）

这里的a称为尺度因子，其定义如下

第2章 多分辨分析

2.1 多分辨分析-----MRA

2.1.1 多尺度空间

［例2－1］ 右图由(2)t和(21)t的线性组合构成了()t，因此，我们说函数1,()kt，k=0，1生成了()t，或者说1,()kt包含了()t，即1,()kt()t。

［例2－2］尺度函数,()(2)jjkttk， j＝0，1，2，3；k0，1,2，…,21j（这里暂对j和k的范围做了限制）形成了伸缩平移系统，其中j不同，张成了不同的子空间，如图：

3(2)tk，k=0，1，…，7，张成了3V子空间；

2(2)tk，k=0，…，3，张成了2V子空间；

1(2)tk，k=0，1，张成了1V子空间；

(2)tk，k=0, 张成了0V子空间。

由上图可见，3V2V，2V1V，1V0V，即3V2V1V0V。

 0V函数子空间 是当分辨率0j，尺度为0221j时 ，由尺度函数()tk的平移系统张成的函数子空间。0V中的任一函数0()ft均可用()tk的平移系统的线性组合表示 101234t1c0c1c2c3c0f紧支撑（有限个，其余为零KC）000,3()t0t4310,2()t0t2310,1()t120t10,0()t10t10t0,1()t11 0()ft=()kkZctk，kcR

[例2－2] 下图是一个定义在区间[-1，4]上，所有不连续点仅在整数集中的分段常量函数波形。（也可能在整数点处连续，但不连续点一定在整数点处。）满足线性空间定义的两个运算，同时又满足7个公理（例如，标量与分段常数函数相乘，还是分段常数函数。）

而当10123,,,,ccccc均为零时，构成零向量），因此构成向量空间。这个特定的,即由宽度为1＝1/2j＝01/2的5个基向量组成的基底所张成的向量空间，就是一个0V子空间。

第1章Haar小波分析

1.1简介

(近距离---小尺度）

（高分辨率）

(远距离---大尺度)

（低分辨率）

1.2 平均与细节

 设1234{,,,}xxxx是一个信号序列。定义它的平均和细节：

1,0121,012()/2()/2axxdxx找出了1x、2x和1,0a、1,0d的关系。

这里，1,0a是原信号前两个值1x、2x的平均。又叫低频成分，反映前两个值1x、2x的基本特征或粗糙趋势；1,0d反映了1x、2x的差别，即细节信息，又叫高频成分。

1,1341,134()/2()/2axxdxx找出了3x、4x和1,1a、1,1d的关系。

同样，1,1a是原信号后两个值3x、4x的平均，1,1d反映了3x、4x的细节。

我们把1,01,11,01,1{,,,}aadd看作是对1234{,,,}xxxx实施了一次变换的结果。

变换还可以往下进行：

0,01,01,1()/2aaa

=1234(()/2()/2)/2xxxx

=1234()/4xxxx

0,0a是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；0,01,01,1()/2daa。 经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示：

0,00,01,01,1{,,,}addd

该序列叫做原序列的小波变换，0,00,01,01,1,,,addd叫做小波系数。

还可以反过来表示：

111,0211,0xadxad这是用｛1a,1,0d｝来恢复原信号1x、2x；

321,1421,1xadxad用｛2a,1,1d｝来恢复原信号3x、4x。

也就是反变换。

 小波变换过程的塔式算法：

例如，1234{,,,}xxxx＝｛3，1，－2，4｝

最终的小波变换为0,00,01,01,1{,,,}addd=31{,,1,3}22

1.3 尺度函数与小波函数

小波变换算法实现

小波变换是现代信号处理领域中一种重要的分析方法，用于将一个时间域上的信号转换成频率-时间域上的信号。小波变换具有时频局部化的特性，可以更好地描述信号的瞬时特征。下面将介绍小波变换的基本原理和算法实现。

一、小波变换的基本原理

小波变换本质上是将一个信号分解成不同频率和时间的成分。它利用小波函数作为基函数，通过对信号的卷积和迭代分解，将信号分解为近似系数和细节系数。近似系数表示信号在不同尺度上的低频成分，而细节系数表示信号在不同尺度上的高频成分。

通过迭代分解和重构，可以得到一系列尺度不同的近似系数和细节系数。这些系数可以用于信号的压缩、去噪、边缘检测等各种信号处理任务，具有很强的应用价值。

二、小波变换的实现步骤

小波变换的实现分为分解和重构两个步骤。下面将详细介绍每个步骤的算法实现。

1.分解

（1）选择小波基函数：需要选择一种合适的小波基函数作为分解的基础。常见的小波基函数有Haar、Daubechies、Symlets等。

（2）信号补零：为了使信号长度满足小波变换的要求，需要对信号进行补零操作，通常在信号末尾添加0。 （3）小波滤波器：通过卷积操作将信号分解为低频和高频的部分。低频部分即近似系数，高频部分即细节系数。

（4）采样：将滤波后的信号进行降采样，得到下一层的近似系数和细节系数。

（5）重复分解：将降采样后的近似系数和细节系数作为输入，重复进行上述分解操作，得到更高阶的近似系数和细节系数。

2.重构

（1）插值：将近似系数和细节系数进行上采样，补齐0，得到重构所需的长度。

（2）小波滤波器：将插值后的系数与小波滤波器进行卷积操作，得到重构后的信号。

（3）重复重构：将重构信号作为输入，重复进行上述重构操作，得到原始信号的近似恢复。

三、小波变换的优缺点

小波变换有以下几个优点：

（1）时频局部化：小波函数具有时频局部化的特性，能更好地描述信号的瞬时特征。

（2）多分辨率分析：小波变换能够将信号在不同尺度上进行分解，分析信号的低频和高频成分。