2012.初三数学专题复习 四边形

第十一讲 四边形(一)一、课标下复习指南1．多边形(1)多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．(2)多边形的性质：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°；②任意多边形的外角和等于360°；※③n 边形的对角线的条数等于).3(21 n n2．四边形的分类3．平行四边形(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2)平行四边形的性质：①两组对边分别平行且相等；②两组对角分别相等；③两条对角线互相平分；④平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．(3)平行四边形的判定：①根据平行四边形的定义判定；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．矩形(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．(2)矩形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②四个角都是直角；③两条对角线相等；④矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是过每组对边中点的直线．(3)矩形的判定：①根据矩形的定义判定；②有三个角是直角的四边形是矩形；③两条对角线相等的平行四边形是矩形．5．菱形(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)菱形的性质：①具有平行四边形的所有性质；②四条边都相等；③两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线．(3)菱形的判定：①根据菱形的定义判定②四条边都相等的四边形是菱形③两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．6．正方形(1)正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．(2)正方形的性质具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴．(3)正方形的判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形．二、例题分析例1 已知：如图11－1，BD 为□ABCD 的对角线，O 为BD 的中点，EF ⊥BD 于点O ，与AD ，BC 分别交于点E ，F ．求证：DE ＝DF ．分析 因为BD ⊥EF 于点O ，所以欲证DE ＝DF ，只要证EO ＝FO ；另外对于△DEF ，欲证DE ＝DF ，只要证∠DEF ＝∠DFE ．说明 (1)请总结证法一及证法二的基本思路和方法，想一想，还可以怎么证?(2)如图，在例1的条件下，若连接BE ，则四边形EBFD 是怎样的四边形?(3)如图，在例1的条件下，若BD ＝24cm ，EF ＝10cm ，FC ＝2cm ，试计算□ABCD 的面积．例2 如图11－3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＞CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C ′处，折痕DE 交BC 于点E ，连接C ′E ．(1)求证：四边形CDC ′E 是菱形； (2)若BC ＝CD ＋AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明．分析 证明四边形CDC ′E 是菱形的关键是证明CD ＝CE ．例3已知：如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠EAC＝15°．(1)试比较线段BO与BE的大小，并证明你的结论；(2)若连接OE，求∠BOE．说明(1)在解答第(1)小题时，一定要先写出结论，然后再说明理由，在解答第(2)小题时，一定要注意第(1)、(2)小题之间是否有必然联系；(2)若例4再添加AB＝4 cm这个条件，请想一想，怎样求出E点到对角线AC的距离．例5如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD的中点，AF，DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE(不需要证明)(1)如图11－7，若点E，F不是正方形ABCD的边BC，CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图11－8，若点E，F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．11－7 11－8 图11－9(3)如图11－9，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程．说明“中点四边形”是一个重要的知识点．考生应会证明“任意四边形的中点四边形是平行四边形”；“对角线相等的四边形的中点四边形是菱形”；“对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形”．另外，请掌握解答这类问题时，书写表达如何更加规范．例6如图11－10，正方形ABCD中，M为AB边上一点，E为AB延长线上一点，DM⊥MN于M，MN交∠CBE的平分线于N．求证：DM＝MN．分析证线段相等，可考虑构造三角形全等或集中在一个三角形中，利用“等角对等边”来证．说明(1)将“M在AB上”的条件改为“M在AB的延长线上”，其他条件不变，DM＝MN的结论还成立吗?(2)若将正方形推广到任意正n边形，需将条件相应地做怎样的改变，仍有类似的线段相等的结论成立?三、课标下新题展示例7 如图11－12所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O，以OB，OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1，A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以OB1，O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……，依此类推．(1)求矩形ABCD的面积；(2)求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．例8 在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．(1)如图11－13，当点M在AB边上时，连接BN．①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC＝60°，AM＝4，∠ABN＝α，求点M到AD的距离及tanα的值；(2)如图11－14，若∠ABC＝90°，记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12)．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．四、课标考试达标题(一)选择题1．如图11－16，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )．A．7个B．8个C．9个D．11个2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )．A．AC＝BD，AB CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3．如图11－17，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条4．在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E 处，若AE过BC的中点，则□ABCD面积为( )．A．48 B．612D．210C．7245．如图11－18，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )．A．OE＝OF B．DE＝BF C．∠ADE＝∠CBF D．∠ABE＝∠CDF6．如图11－19，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝6cm，则OE的长为( )．A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm(二)填空题7．若菱形两条对角线长分别为10和24，则它的边长为______，面积______．8．如图11－20，把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝______．11－20 图11－21 图11－229．如图11－21，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，若P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)，且PE ∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是______．10．如图11－22，在平面直角坐标系中，若□ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是______．(三)解答题11．已知：如图11－23，E，F是□ABCD的对角线BD上的两点，BE＝DF，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE，EH，HF，FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．12．已知：如图11－24，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．13．已知：如图11－25，点E、F分别是正方形ABCD的对边AD，BC的中点，将三角尺的直角顶点与E点重合，其一边经过B点，另一边与DC交于G点，现将三角尺沿EF平移，如图11－25所示，能否使所截得的四边形PMCN的面积为正方形ABCD面积的一半?如果可以，求平移的距离EP(若正方形ABCD的边长为a)．。

中考数学总复习知识点总结四边形四边形是指具有四条边的几何图形，在数学中有着重要的地位。

下面是中考数学总复习知识点总结四边形的内容。

一、基本定义和性质1.四边形的定义：具有四个顶点、四条边和四个内角的几何图形称为四边形。

2.四边形的分类：a.顶点关系分类：凸四边形和凹四边形；b.边长关系分类：等边四边形、等腰四边形和普通四边形；c.内角关系分类：矩形、正方形、平行四边形、菱形、梯形等。

3.四边形的性质：a.任意一条对角线将四边形分成两个三角形；b.对角线互相平分；c.相对边平行；d.相对角和为180度。

二、特殊四边形1.平行四边形：a.定义：对边平行的四边形；b.性质：i.对边相等；ii. 相邻内角互补；iii. 对角相等。

c.定理：1）如果一条对角线把平行四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线是平行四边形的对称轴；2）如果一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形。

2.矩形：a.定义：对边平行且四个内角都是直角的四边形；b.性质：i.两对对边相等；ii. 对角线相等；iii. 相邻内角互补；iv. 对角线互相平分。

3.菱形：a.定义：四个边都相等的平行四边形；b.性质：i.相邻内角互补；ii. 对角线互相垂直；iii. 对角线平分相应的内角。

4.正方形：a.定义：对边相等且四个内角都是直角的矩形；b.性质：i.两对对边相等；ii. 对角线相等；iii. 对角线互相垂直；iv. 对角线平分相应的内角。

5.等腰梯形：a.定义：有两对对边平行且有两条边相等的梯形；b.性质：i.上底和下底平分相应的内、外角；ii. 对角线等分梯形的积。

三、四边形的面积和周长1.面积：a.矩形的面积等于长度乘以宽度；b.平行四边形的面积等于底边长乘以高；c.三角形的面积等于底边长乘以高的一半；d.梯形的面积等于上底和下底的平均值乘以高；e.菱形的面积等于对角线的乘积的一半；f.正方形的面积等于一条边长的平方。

2.周长：a.四边形的周长等于四条边的长度之和；b.正方形的周长等于边长的四倍。

中考数学总复习知识点总结四边形本文将围绕中考数学总复习知识点总结四边形展开，主要包括四边形的性质、特殊四边形、四边形的周长和面积等方面的内容。

希望可以帮助中考学生对这一知识点进行系统性的复习，提高复习效果。

四边形的性质：1.四边形是由四条线段围成的图形，共有四个顶点和四条边。

2.顺序连接四个顶点得到四边形的周界。

3.四边形的内角和为360度。

4.一个四边形的对角线是连接两个非相邻顶点的线段。

5.对角线分割四边形成为两个三角形。

6.对角线相交于一点且互相平分。

特殊四边形：1.矩形：四个顶点都是直角，对角线长度相等。

2.正方形：四个顶点都是直角，对边相等。

3.平行四边形：对边平行。

4.菱形：四个顶点都相等，对边平行。

5.梯形：有两条平行边。

6.等腰梯形：有两条平行边，两个非平行边长度相等。

4.三角形：只有三个顶点。

四边形的周长和面积：1.周长：计算四边形周长的方法是将四条边的长度相加。

如果已知四边形的其中一方向边的长度，可以根据其性质计算其他边的长度再相加。

2.面积：计算四边形面积的方法因四边形的类型不同而不同。

矩形的面积可以通过长度和宽度的乘积得到。

正方形的面积可以直接通过边长的平方得到。

平行四边形的面积可以通过底边的长度和高的长度的乘积得到。

菱形的面积可以通过对角线的长度乘积的一半得到。

梯形的面积可以通过上底和下底的和乘以高再除以2得到。

等腰梯形的面积可以通过上底和下底的和乘以高再除以2得到。

三角形的面积可以通过底边的长度和高的长度的乘积再除以2得到。

为了更好地掌握四边形的知识点，建议中考学生进行以下练习：1.根据已知的四边形性质，判断下列说法是否正确：(1)一个四边形的对角线是连接两个相邻顶点的线段。

(2)一个四边形的内角和为180度。

(3)对角线相交于一点且互相垂直。

(4)矩形是一种特殊的梯形。

(5)等腰梯形的面积可以通过上底和下底的差再乘以高得到。

2.计算下列四边形的周长和面积：(1) 长方形，长为6cm，宽为4cm。

初三数学专题复习----四边形知识要点：1. 平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上。

矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，对角线相等，菱形的特殊性体现在邻边相等，对角线互相垂直。

正方形的特殊性体现在有一个角是直角且邻边相等，对角线相等且垂直。

所以它们既有平行四边形的性质，又有各自的特殊性质。

2. 对角线是解决问题的常用线段，连对角线后，平行四边形就分割成三角形，因此解决平行四边形相关问题既用到全等三角形，特殊三角形性质，又要善于在平行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质，为解题服务。

3. 梯形：常利用添加辅助线转化为平行四边形和三角形来求解，其中位线平行于上、下底且等于上、下底之和的一半。

例题分析：1. 已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形AECF是平行四边形.分析与解答：分清平行四边形的性质，定理与判定定理，关键是要明确题设条件和结论两部分，利用平行四边形的性质与“SAS”公理不难证两个三角形全等，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形AECF是平行四边形。

(1)∵□ABCD∴AD=BC，AB=CD，∠D=∠B∵E、F分别是AB、CD中点∴DF=BE ∴△AFD≌△CEB(SAS)(2)∵□ABCD中AB CD由(1)知DF=BE∴CF AE∴四边形AECF是平行四边形.2. 如图：正方形ABCD中，△PBC，△QCD是两个等边三角形，PB交QD于M，PB交CQ于E，CP交DQ于F，求证：PM=QM.分析与解答：由正多边形的各边都相等，各角都相等，易证△CBE≌△CDF得QE=PF，进而证△EQM≌△FPM，从而有PM=QM，也可以利用等腰三角形的判定，证明∠PQM=∠QPM，从而有PM=QM证法(一)：∵正方形ABCD∴BC=CD，∠BCD=90°∵正△PBC，正△QCD∴∠P=∠Q=∠PBC=∠PCB=∠QCD=∠QDC=60°∴CP=CB=CD=CQ∴∠BCQ=∠DCP=30°∴△CBE≌△CDF(ASA)∴CE=CF，∠CEB=∠CFD∴QE=PF，∠QEM=∠PFM∵∠QME=∠PMF∴△QME≌△PMF(AAS)，∴QM=PM.证法(二)：连结PQ∵正方形ABCD∴CB=CD∵正△PCB，正△QCD∴∠CPB=∠CQD=60°CP=CB=CD=CQ∴∠CPQ=∠CQP∴∠QPM=∠PQM ∴QM=PM.3. 如图：□ABCD中，AB⊥AC，AB=1，，对角线AC、BD交于点O，直线AC 绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F。