给定区间上二次函数的最大小值课件

二次函数在各区间上的最值

一、 知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设，求在上的最大值与最小值。

分析：将配方，得顶点为、对称轴为

当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：

（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。

（2）当时

若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是

若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是

当时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，

如图1所示。函数的最大值为，最小值为。

图1

练习. 已知，求函数的最值。

解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。

解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。

图1

如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。

二次函数在特定区间的最值问题

二次函数2 (0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．

在这个基础上还有当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．以及二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

一般范围类：

分为正向型和逆向型两大类

（一）、正向型

是指已知二次函数和自变量的范围，求其最值。对称轴与自变量的取值范围的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 初中阶段，我们一般情况下只研究前3类。第4类，学有余力的同学不妨去探究。

1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1．当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．

解：作出函数的图象．当1x时，min4y，当2x时，max5y．

例2．当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当1x时，min1y，当2x时，max5y．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

例3．当0x时，求函数(2)yxx的取值范围．

15.二次函数在区间上的最大（小）值

目标：

使学生系统掌握二次函数在区间上的最值的求法，培养学生运用数形结合、分类讨论思想解题能力.

过程：

一、引入

二次函数12)(2xxxf的最小值是多少？如果]3,2[x时，)(xf的最小值又是多少？如果]1,[ttx呢？

这就是今天我们要研究课题“二次函数在区间上的最值”.

二、例题分析

例1 （1）已知函数mxxxf2)(2，]3,2[x的最小值为，求m的值；

（2）已知函数1)(2mxxxf，]3,2[x，求)(xf的最小值)(mg.

说明：由于二次函数图形对称轴的变化导致分类讨论.（动轴定区间）

变式：求)(xf的最大值)(mF.

（3）已知12)(2xxxf，]1,[ttx，求)(xf的最小值)(tg.

例2 已知不等式0|42|2pxx对所有实数x都成立，求实数p的取值范围.

（参变量分离）

变式：求函数||)(2axxxf的最小值.（不讲）

三、小结 四、作业

活页28 双基

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二次函数在给定区间上的最值问题

【学前思考】

二次函数在闭区间上取得最值时的x，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.

【知识要点＆例题精讲】

二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：

CaseⅠ、给定区间确定，对称轴位置也确定

说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.

解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；

（ii）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.

例1、二次函数223yxx在闭区间1,2上的最大值是_______. 例2、函数2()42fxxx在区间0,3上的最大值是_______，最小值是_______.

例3、已知223xx，则函数2()1fxxx的最大值是_______，最小值是______.

CaseⅡ、给定区间确定，对称轴位置变化

说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.