初三中考数学四边形解析

全国中考真题解析120考点汇编四边形综合题一、选择题1. （2011重庆江津区，10，4分）如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ ）①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形；②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4a b +错误！未找到引用源。

④四边形A n B n C n D n 的面积是12n ab +错误！未找到引用源。

．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。

专题：规律型。

分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A 5B 5C 5D 5 的周长；④根据四边形A n B n C n D n 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．2. （2011重庆市，9，4分）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ；④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是A. ①②B. ②③C. ②④D.③④考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析：①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO ，即可求得①错误； ②易证△AOE ≌△COF ，即可求得EO=FO ；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM ∽△EBN ；④易证△EAO ≌△FCO ，而△FCO 和△CNO 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四边形对边平行的性质，本题中求证△AOE ≌△COF 是解题的关键．3. （2010重庆，10，4分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) 9题图BA ．1B ．2C ．3D ．4 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．4. （2011山东省潍坊， 11，3分）己知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ．∠BCD=90°，BC=CD=2AD ，E 、F 分别是BC 、CD 边的中点．连接BF 、DF 交于点P ．连接CP 并延长交AB 于点Q ，连揍AF ，则下列结论不正确．．．的是( )． A ．CP 平分∠BCDB ．四边形ABED 为平行四边形C ，CQ 将直角梯形ABCD 分为面积相等的两部分D ．△ABF 为等腰三角形A B C DFEG10题图【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；几何综合题．【分析】本题可用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确；易证△BCF≌△DCE （SAS），得∠FBC=∠EDC，∴△BPE≌△DPF，∴BP=DP；∴△BPC≌△DPC，∴∠BCP=∠DCP，∴A正确；∵AD=BE且AB∥BE，所以，四边形ABED为平行四边形，B正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确；【点评】本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好．5.（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）A、9cmB、14cmC、15cmD、18cm考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质。

特殊的平行四边形☞解读考点☞2年中考1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C．D【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴=3（cm），∴BD=2OB=cm，∴AC：BD=1：3．故选D．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．B．C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）A ．102B ．53 CD【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．2014 21）（B．2015 21）（C．2015 33）（D．2014 33）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．【答案】【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==，∴BD=，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=cm2．故答案为：．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（3，2-）．的交点，∴点P的坐标为方程组(11y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：32xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（3，2-），故答案为：（3-，2）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（0.5，．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB ∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q 分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】92．【解析】试题分析：如图1所示，作E 关于BC 的对称点E′，点A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC ﹣CQ=3﹣2=1，∵BP ∥AA′，∴△BE′P ∽△AE′A′，∴'''BP BE AA AE =，即164BP =，BP=32，CP=BC ﹣BP=332-=32，S 四边形AEPQ=S 正方形ABCD ﹣S △ADQ ﹣S △PCQ ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ ﹣12CQ•CP ﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．【答案】232n-．故答案为：232n-．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】2014．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG ≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．1．（宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 BCD． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A ．B ．3C ．D【答案】B ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA ⊥BF ，∵四边形BEDF 是菱形，∴EF ⊥BD ，∠EBO=∠DBF ，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=cos30BO=︒，∴BF=BE=，∵EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴，故选B ．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质． 4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A ． 等腰梯形 B ． 矩形 C ． 菱形 D ． 正方形 【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，，则MF 的长是（ ）ABC．1 D．【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E ﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A ．0.7B ．0.9C ．−2 D【答案】C ． 【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE ⊥BC ，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE ，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：，由题意得：△ABE ≌△AB1E ，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，，∴，-2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F ，∵CF ∥AB ，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B C CF AB BB =，解得：，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：112=，21(232⨯=-，∴△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=1(32--=．故选C ．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）． 4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标系原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（ ）A．（B．，）C．（2，-2）D．，【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．4π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE ⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴，BH=2，设OG=OE=x，则-3，-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（-3）2+x2=-x）2，解得，∴⊙O的半径为．故答案为：考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】1 4．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】 试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值； （2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算． 试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt △AOB 中，由勾股定理有5=，∴sin ∠ABC=54OA AB =；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF=AC=5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0）；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y=-43x+4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y=34x+78，联立直线L与直线AB 求交点，∴F （4751-，722-）；④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A 关于N 的对称点即为F ，AF=145，过F 做y 轴垂线，垂足为G ，FG=145×35=4225，∴F （-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC ，则图中阴影部分的面积为．【答案】342π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A 、D′、C 及A 、B 、C′分别共线∴，∴扇形ACC′4π=．∵AC=AC′，AD′=AB ，∴在△OCD′和△OC'B 中，CD BC ACO AC D COD C OB ''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B（AAS ），∴OB=OD′，CO=C′O ．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC --1，OB+C′O=1，∴在Rt △BOC′中，BO2+（1-BO ）2=-1）2，解得BO=12-，32C O '=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

A ．134,55æöç÷èø【答案】A【分析】过点E 作EH 5OB OA AB ===，求得∵点()1,0A ，()0,2B ∴1,2OA OB ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD Ð=°，AD,Q==PD BC AD\Ð=Ð，DPA DAP在矩形ABCD中，Q ABC BAD,==PC AB CDÐ=Ð=∴DPC CDP Ð=Ð，ACD BAC Ð=Ð，∴APD CDP ACD DPC BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，∵DPC DAP Ð>Ð，∴DPC BAC DAP BAC Ð+Ð>Ð+Ð，∴APD BADÐ>Ð∴ABC APD Ð<Ð；\B 项为真命题，不符合题意；如图，∵PC PD =，∴PCD PDC Ð=Ð，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD P ，90ADC BAD Ð=Ð=°，∴PCD BAC PDC Ð=Ð=Ð，∵90PDC PDA BAC PAD Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PAD PDA Ð=Ð；故选项C 是真命题，不符合题意；如图，当PB PD =时，无法证明APB ACD Ð>Ð，故D 选项是假命题，符合题意．故选：D ．3．如图，菱形OABC 边OA 在x 轴的正半轴上，且点B 的纵坐标为4，点P 从点O 开始向点A 运动，至点A 停止，过P 点与x 轴垂直的直线与菱形另一边交点为M ，记OP x =，OPM V 的面积为S ，且S 与x 的函数关系图象如右图，则cos AOC Ð的值为（ ）A ．35B ．45C ．32【答案】A【分析】根据题意得OD a =，OA b OC ==，CD AE ==中，OD a =，2OC a =+，4CD =，利用勾股定理求得根据题意得OD a =，OA b ==∴2n a =，222n b a =+=+，在Rt OCD △中，OD a =，OC ∴()22242a a +=+，A ．2B ．65【答案】C 【分析】利用勾股定理得出答案．60A Ð=°Q ，四边形ABCD 是菱形，60GDE \Ð=°，30GED \Ð=°，设GD x =，则2DE x =，EGA．两问都正确B．两问都不正确C．第（1）问正确，第（2）问错误D．第（1）问错误，第（2）问正确【答案】A=，再根据中位线的判定，得出EO是V 【分析】根据平行四边形的性质，得出OA OC3,1B．A．()【答案】A【分析】根据题意易得OA=A．甲、乙正确B．甲、丙正确【答案】C【分析】尺规作图，得到AE平分是菱形，利用菱形的性质，勾股定理，含出结论．【点睛】本题考查角平分线，中垂线的作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，含A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移2C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移3V平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形D．在Rt BCD【答案】B【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可．继续平移，当AB与C D¢¢共线时，¢¢是菱形，此时AB B D¢⊥，即四边形AB C D此时的总平移距离为333==，BD AD即再平移23个单位长度后是菱形；¢¢综上可得：平移过程中，四边形AB C D位长度后是菱形，故选B．【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含利用了特殊四边形的判定和性质．二、填空题Т=．（1）EFD（2）线段AE的长是【答案】135°23Ð+Ð【分析】（1）证明AEF DFE∵菱形ABCD ，60ABC Ð=°，AD ∥∴18060120A BCD Ð=°-°=°=Ð，Ð∵A E AB ¢⊥，120EA C A ¢Ð=Ð=°，∴1209030BGC Ð=°-°=°，又∵60ABC Ð=°，∴603030BCG Ð=°-°=°，【答案】 75 84-【点睛】本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．12．如图，将一副三角板放置在盒子中，动，12cm AC EF ==，则线段【答案】()(623cm AD -££【分析】依题意可知，当点B 度最大，分别求出两个最值即可得解．∵四边形BCHG 是矩形，∴BG CH =，GH BC =，BC ∵BC GH ∥，30ACB Ð=°∵90,CBG DBF DEF Ð=°Ð=Ð同理可得：6cmDH CH ==∴()636cmAD AH DH =-=-即()max 636cmAD =-【答案】 2 74【分析】根据题意可得BE =得到答案；连接CG ，作OM 2BI ED ==，HI GH =，Ð由题意可得2BI ED ==，HI 到BC 的距离，在Rt BGH △和Rt BIH V 中，GH IH BH BH =ìí=î，()Rt Rt HL BGH BIH \V V ≌，【答案】25【分析】当G ，E ，C 三点在同一条直线上时，过点的中点得到12AG DG ==∵点G 是矩形ABCD 的边∴132AG DG AD ===∵90D Ð=°，CD AB =【答案】(16,8)OA的解析式为y=【分析】根据题意求出直线1点1C，2C，3C，4C，的坐标即可．【详解】解：∵点1A坐标为(1,1)，四边形1A BBC，\===(2,1)OB A B BB1,1,【答案】26【分析】证明四边形GCEF 是矩形，4AB BC CD AD ====，ECD Ð1212CEFG S S S +=正方形，设ED BG =()23121138322S S S x x =+-=+-=【详解】解：∵CE CG ⊥，EF ⊥HE点拨1：如图②，延长EH 交AD 于点M ，由题意可知AD EF P ，易证：()AAS AMH FEH V V ≌，可得∵四边形ABCD与四边形CEFG P∴AD EF∴AMH FEHÐ=Ð，MAHÐ又∵点H是AF的中点，即=(1)求证：AG GFAB=，AD=(2)若6【答案】(1)证明见解析(2)5CH=【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例性质(1)若2AD=，1tan2ADMÐ=，求AE(2)若FB NB=．①求ENFÐ的度数；②求证：23DE EC EP=×．【答案】(1)22；∵EN DF ⊥，∴90FEN Ð=°，∵在Rt FEN △中，FB NB =，∴FB EB BN ==，∴12Ð=Ð，设12x Ð=Ð=°，则3122x Ð=Ð+Ð=°，∵四边形ABCD 为正方形∴CD BC =，BCA DCA Ð=Ð，90BCD Ð=°，又AC AC =，∴BCE DCE ≌△△，∴432x Ð=Ð=°，∵90BCD Ð=°，∴1490Ð+Ð=°，即290x x +=，解得：30x =，∴1230Ð=Ð=°，又∵90FEN Ð=°，∴903060ENF Ð=°-°=°；②证明：∵EN DF ⊥，∴90FEN DEG Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 为正方形，∴90BCD Ð=°，45BCA DCA Ð=Ð=°，∴180135ECG DCA Ð=°Ð=°－，18090FCG BCD Ð=°Ð=°－，∵90FEN FCG Ð=Ð=°，∴F 、E 、C 、G 四点在以FG 为直径的圆上，∴545ACB Ð=Ð=°，∴1805135EGP Ð=°-Ð=°，∵CEG GEP Ð=Ð，ECG EGP Ð=Ð，∴ECG EGP ∽△△，过点C 作CN AM ∥交DE 的延长线于点N ，则四边AMNC 是平行四边形（依据利用“等积变形”可得：ADEC AMNCS S =正方形平行四边形将AMNC Y 沿直线MQ 向下平移MA 的长度得到A M N C ¢¢¢¢Y 若点A ¢恰好与点Q 重合，即MA AQ =，则A M N C ¢¢¢¢Y 即为QACC ¢Y 延长CC ¢交QP 于点H ，利用“等积变形”可得：QACC QATHS S ¢=四边形四边形ADEC QATHS S =正方形四边形同理：BCFG BPHTS S =正方形四边形∵ABPQ QATH BPHTS S S =+正方形四边形四边形∴ABPQ ACED BCFGS S S =+正方形正方形正方形即222AB AC BC =+(1)上述证明过程中的依据是___________．(2)根据小明的思路，请你帮助小明证明“若点A ¢恰好与点Q 重合”这一猜想．(3)已知：（如图2）正方形ABCD 的边长为8，E 是边CD 上的一个动点，以CE 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BD ，BF ，点E 在运动的过程中，DBF V 的面积是否发生变化，若变化说出变化的理由，若不变，请直接写出DBF V 的面积．【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)证明见解析(3)DBF V 的面积为32【分析】（1）由DE AC ∥，结合AM CN ∥，可得四边形AMNC 是平行四边形，从而可得推理的依据；（2）证明90AQP QAB MAB Ð=Ð=°=Ð，AB AQ =，90D DAC ACE ACB Ð=Ð=Ð=°=Ð，AD AC =，DAM BAC Ð=Ð，再证明ADM ACB V V ≌，可得AM AB =，从而可得结论；（3）设正方形CEFG 边长为a ，由DBF DEF ABD BGF ABCD CEFG S S S S S S =++--V V V V 正方形正方形可得结论．【详解】（1）解：∵正方形ADEC ，∴DE AC ∥，∵AM CN ∥，∴四边形AMNC 是平行四边形，∴依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）∵正方形ABPQ ，∵90AQP QAB MAB Ð=Ð=°=Ð，AB AQ =，∵正方形ADEC ，∴90D DAC ACE ACB Ð=Ð=Ð=°=Ð，AD AC =，∴DAM MAC MAC BAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴DAM BAC Ð=Ð，∴ADM ACB V V ≌，∴AM AB =，而AB AQ =，∴AM AQ =，。

考点14 四边形一、多边形1．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.2．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．四、特殊平行四边形的性质与判定1．矩形的性质与判定（1）矩形的性质：①四个角都是直角；②对角线相等且互相平分；③面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.（如图）（2）矩形的判定：①定义法：有一个角是直角的平行四边形；②有三个角是直角；③对角线相等的平行四边形．2．菱形的性质与判定（1）菱形的性质：①四边相等；②对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；③面积=底×高=对角线乘积的一半．（2）菱形的判定：①定义法：有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形．3．正方形的性质与判定（1）正方形的性质：①四条边都相等，四个角都是直角；②对角线相等且互相垂直平分；③面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．（2）正方形的判定：①定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；②一组邻边相等的矩形；③一个角是直角的菱形；④对角线相等且互相垂直、平分．4．联系①两组对边分别平行；②相邻两边相等；③有一个角是直角；④有一个角是直角；⑤相邻两边相等；⑥有一个角是直角，相邻两边相等；⑦四边相等；⑧有三个角都是直角．5．中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一多边形多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．典例1 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】B典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.故选C．【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是A．17 B．16 C．15 D．16或15或172．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考向二平行四边形的性质与判定1．平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．2．平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．典例3 在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是A．3∶4∶3∶4 B．5∶2∶2∶5C．2∶3∶4∶5 D．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．典例4在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是A．对角线互相平分B．一组对边平行且相等C．两组对边分别平行D．一组对边平行，另一组对边相等【答案】D3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为．A．4，4，8，8 B．5，5，7，7C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，94．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形考向三矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例5 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是A．AB=CD，AC=BD B．OA=OC，OB=ODC．AC⊥BD，AC=BD D．AB∥CD，AD=BC【答案】B【名师点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形．此类题属于中考常考题型．典例6 如图,在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3 cm，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3 cm，故选C．【名师点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．5．能判断四边形是矩形的条件是A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直6．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°考向四菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例7菱形具有而平行四边形不具有的性质是A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组邻边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例8如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】BO=DO(答案不唯一)【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO(答案不唯一）．7．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向五正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例9如图，正方形ABCD中,E是BD上一点,BE=BC,则∠BEC的度数是A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°【答案】C【解析】利用正方形的性质，可知∠CBE=45°，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD=45°，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=12×(180°−45°)=67.5°.故选C．典例10下列命题正确的是A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】A【名师点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的判定，此题难度不大．9．如图，已知正方形ABCD的边长为53，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为A．5B．25C．5 D．1010．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分考向六中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例11如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误；故选D．11．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形12．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD 的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．下面四个图形中，是多边形的是2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是A．7 B．10 C．35 D．703．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加A．180°B．360°C．(n–2)·180°D．n180°4．七边形的外角和等于A．180ºB．360ºC．540ºD．720º5．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，则∠B=A．100°B．120°C．135°D．150°6．如图所示，在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=650，则∠AEB=____________.8．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是________．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10.（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．学科！网10．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线CA平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．1．（2017•铜仁市）一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是A．8 B．9C．10 D．112．（2017•黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是A．22 B．20C．22或20 D．183．（2017•聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是A．AB=AC B．AD=BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABC4．（2017•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为A．5 B．4 C．342D．345．（2017•扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=__________．6．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1–∠2=__________．7．（2017•邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为__________．8．（2017•抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为__________．9．（2017•襄阳）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．10．（2017•安顺）如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？3．【答案】B【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边长为7，较短的一边长为5．故选B．变式拓展4．【答案】A【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A ． 5．【答案】C【解析】A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故错误； B 、等腰梯形的对角线也相等，故错误；C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；D 、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误， 故选C ．7．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B ．8．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 9．【答案】D 【解析】设,CE x =30EBC ∠=︒，2,BE x ∴=根据勾股定理，22353,BC BE CE x =-==5,x ∴=210.BE x ∴==故选D ．11．【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C ． 12．【答案】C【解析】如图，设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ， ∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ， 同理可证EH ∥BD ，∴△EBK ∽△ABM ，△AEN ∽△EBK ，∴EBK ABM S S △△=14，S △AEN =S △EBK ，∴EKMN ABM S S 四边形△=12，同理可得KFPM BCM S S 四边形△=12， QGPM DCM S S 四边形△=12，HQMN DAM S S 四边形△=12，∴EFGH ABCD S S 四边形四边形=12，∵四边形ABCD 的面积记为S 1，中点四边形EFGH 的面积记为S 2，则S 1与S 2的数量关系是S 1=2S 2．故选C ．1．【答案】D【解析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D 是考点冲关多边形．故选D．2．【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n–2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：(3)10722n n-⨯==35，故选C．6．【答案】4【解析】∵在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，∴DF=CF=AE=EB，AB∥CD，∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上ABCD本身，共有4个平行四边形．故答案为4．7．【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°.故答案为：50°．852【解析】∵正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，∴正方形ABCD5BEFG的边长为2，∴CE52，△GCE的面积=12 CE•BG=12×（5–2）×2=5–2．故答案为：5–2．9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2＋BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.10．【解析】（1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，所以EF∥AC，且EF=12AC，同理有GH∥AC，且GH=12AC，∴EF∥GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形．11．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，FAC ECAOA OCAOF COE∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF=CF，∴四边形AECF是菱形；（2）设CF=x，则AF=x，BF=8–x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴BF2+AB2=AF2，∴（8–x）2+42=x2，解得：x=5，即EC=5，∴S菱形AECF=FC•AB=5×4=20．1．【答案】C【解析】180°–144°=36°，360°÷36°=10，则这个多边形的边数是10．故选C．2．【答案】C【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，BC=BE+EC，①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（3+3+4）=20．②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（4+4+3）=22．故选C．4．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，∴OM是△ADC的中位线，∵OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC22AD CD34∴BO=12AC34D．5．【答案】80°【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∵∠B+∠D=200°，∴∠B=∠D=100°，∴∠A=180°–∠B=180°–100°=80°，故答案为：80°．6．【答案】24°直通中考【解析】正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5–2）×180°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6–2）×180°÷6=120°，则∠3+∠1–∠2=（90°–60°）+（120°–108°）–（108°–90°）=24°．故答案为：24°．7．【答案】90°【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，∵EF=DE，∴∠EDF=∠EFD=30°，∴∠FDC=90°，故答案为：90°．8．【答案】3【解析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=3．故答案为3．9．【解析】（1）∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=12BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB=3ODAD，∴AD=3=23．10．【解析】（1）∵E是AC中点，∴EC=12AC．∵DB=12AC，∴DB=E C．又∵DB∥AC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．理由：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴ADBE是矩形．。

初三数学四边形试题答案及解析1.在ABCD中，，AE平分∠BAC，交BC于E. 沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F，连结EF并延长交AD于G，EG将ABCD分为面积相等的两部分. 则 .【答案】4.【解析】根据题意，AE平分∠BAC，交BC于E，沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F，∴点F在对角线AC上，且.∵EG将ABCD分为面积相等的两部分，∴点F为对角线AC的中点.∴（等底同高）.∵，∴.【考点】1.折叠问题；2.平行四边形的性质；3. 折叠对称的性质.2.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+【答案】D.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，BC=AD=6，①如图：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=15，求出AE=，AF=3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=5，AE=代入求出BE=，同理DF=3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），∴CE=6-，CF=3+5，即CE+CF=11-，②如图：∵AB=5，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE=，同理DF=3，由①知：CE=6+，CF=5+3，∴CE+CF=11+，故D．考点: 平行四边形的性质．3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD.（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可.（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．试题解析：（1）∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形.∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∴四边形ADCE是矩形.（2）∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°.∴∠ACE=30°，AE=2，CE=.∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2.∵CF=CO，∴CF=2.如图，过O作OH⊥CE于H，∴OE=OC=1.∴.【考点】1.矩形的判定和性质；2.等边三角形的性质．4.如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，，．（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）（2）求出点E的坐标．【答案】（1）.作图见解析；（2）（8，6）．【解析】（1）利用EO=AO，以O为圆心AO为半径画弧得出E即可；（2）首先过点E作EF⊥OA，垂足为F，得出B点坐标，进而求出FO的长，即可得出E点坐标．试题解析：（1）如图所示：E点即为所求；（2）过点E作EF⊥OA，垂足为F．∵矩形OABC中OC=6，OA=10，∴B点坐标为（10，6）．∴EF=6．又∵OE=OA，∴OF==8．∴点E的坐标为（8，6）．【考点】1.作图—复杂作图；2.坐标与图形性质；3.勾股定理；4.矩形的性质．5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为 .【答案】.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC.∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线.∴.∴.【考点】1．平行四边形的性质；2.三角形中位线定理.6.已知：如图，正方形ABCD，E，F分别为DC，BC中点．求证：AE=AF．【答案】证明书见解析．【解析】根据正方形的性质，证明△ADE≌△ABF，即可证得AE=AF．．∵四边形ABCD为正方形，∴ AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB．∵ E、F为DC、BC中点，∴ DE=DC，BF=BC．∴ DE=BF．∵在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）．∴ AE=AF．【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质．7.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD，求证：∠B＝∠E.【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠BCD＝∠CDE，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∴∠B＝∠E.8.如图，矩形纸片ABDC中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕A E上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为__________.【答案】.【解析】先根据题意画出图形，由翻折变换的性质得出F、B′重合，分别延长AE，CD相交于点G，由平行线的性质可得出GB′=AB′=AB=4，再根据相似三角形的判定定理得出△ACG∽△PB′G，求出其相似比，进而可求出答案．试题解析：如图所示，设PF⊥CD，由翻折变换的性质可得BP=B′P，又∵P到边CD的距离与到点B的距离相等，∴B'P⊥CD，∵AB平行于CD，∴∠BAG=∠AGC，∵∠BAG=∠B′AG，AGC=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=4，∵PB′⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ADB′中，AB′=4，AC=3，∴CB′=，在△ACG和△PB′G中．，解得：PB'=考点: 1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.矩形的性质.9.如图所示，在△中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．（1）线段的长是，的度数是；（2）连接，求证：四边形是平行四边形.【答案】（1）6，135°；(2)证明见解析.【解析】（1）旋转后的图形与原图形全等知OA1与OA相等，∠AOB1=∠AOA1+∠A1OB1=90°+45°=135°.(2)根据一组对边平等且相等的四边形是平等四边形可证明四边形是平行四边形. 试题解析：（1）6，135°；（2）∵∠AOA1=∠OA1B1=90°∴OA∥A1B1又OA=AB=A1B1，∴四边形是平行四边形．考点: 1.旋转的性质；2。

中考数学平行四边形知识归纳总结及解析一、解答题1．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．2．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．3．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．4．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MNCF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．5．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．6．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．(1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．7．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）8．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ︒∠=，则PC．（直接写出结果）9．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E，F分别在AB，BC上．（1）若n＝1，AF⊥DE．①如图1，求证：AE＝BF；②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG ＝AG；（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则CFBF的值是_____________（结果用含n的式子表示）．10．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．（1）求证：AG AE=（2）过点F作FP AE⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，．求证：NH=FM【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2326+【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=3x ，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=624-，推出BN=624+，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上，∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC 是矩形，∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，∴AG 2=GF 2+GE 2．（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x ，MN=3x ，在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=624-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=326+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．2．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF ∠=∠在ABD ∆和FBC ∆中，AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC ∆≅∆，BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．3．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．【详解】解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒,∴∠ABC=∠ACB=45︒,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,∵∠ACB=45︒,∴∠FCB=90︒,∴CF ⊥BD,CF=BD,故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．理由:由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒．∵∠BAC=90︒,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB ≌△FAC （SAS ）,∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,∵∠BAC=90︒,AB=AC,∴∠ABC=45︒,∴∠ACF=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF ⊥BD ．（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF ⊥BD ．理由:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,∴AC=AG,由（1）可知:△GAD ≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,即CF ⊥BD ．故答案为45︒．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．4．（1）3AH 2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．【详解】（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.∵AH BD ⊥，∴1302DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.∴AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.∴ENG ∆是等边三角形.【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BDABBC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD = ∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．6．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析【分析】（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．【详解】(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴ADE FEM ∠=∠;(2) ;DE EF =理由如下:如图，取AD 的中点N ，连接NE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB = ，∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22AN DN AD AE EB AB ====， ∴,DN BE AN AE == 又∵90A ∠=︒∴45ANE ∠=︒∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．∴DNE EBF ∠=∠在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =(3) DE EF =.理由如下:如图，在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，∵四边形ABCD 是正方形， DN EB =，∴AN AE =，∴AEN △为等腰直角三角形，∵45ANE ∠=︒∴18045135DNE ∠=︒-︒=︒，∵BF 平分CBM ∠， AN AE =，∴9045135EBF ∠=︒+︒=︒，∴DNE EBF ∠=∠，在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF ．7．【发现与证明．．】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC 2或2. 【分析】【发现与证明．．】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB ，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB ′，证出∠EAC=∠ACB ′，得出AE=CE ；得出DE=B ′E ，证出∠CB ′D=∠B ′DA=12（180°-∠B ′ED ），由∠AEC=∠B ′ED ，得出∠ACB ′=∠CB ′D ，即可得出B ′D ∥AC ；【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB ′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC ；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．【详解】【发现与证明．．】:∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC,AD ∥BC ，∴∠EAC=∠ACB ，∵△ABC ≌△AB ′C ，∴∠ACB=∠ACB ′,BC=B ′C ，∴∠EAC=∠ACB′，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；∴DE=B′E，∴∠CB′D=∠B′DA=12(180°−∠B′ED)，∵∠AEC=∠B′ED，∴∠ACB′=∠CB′D，∴B′D∥AC；【应用与探究】:分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=22 BC=；②如图2所示：AC=BC=2；综上所述：AC2或2.【点睛】本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明．．】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明．．】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA和AB’共线和BC和B’C两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.8．（1）见解析；（2）222MN BN DM=+，理由见解析；（3）32【分析】（1）由直角三角形的性质得AO=MO=12BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角形，得CE=CP=2PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=PE=6，即可得出PC 的长．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，ME BD ⊥，90BME ∴∠=︒， O 是BE 的中点，12AO MO BE BO EO ∴====， ABO BAO ∴∠=∠，OBM OMB ∠=∠，22290AOM AOE MOE ABO MBO ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）222MN BN DM =+，理由如下：在AD 上方作AF AN ⊥，使AF AN =，连接DF 、MF ，如图2所示：则90NAF ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAD NAF ∠=∠=︒，BAN DAF ∴∠=∠，45NAM ∠=︒，45FAM NAM ∴∠=︒=∠，在ABN ∆和ADF ∆中，AB AD BAN DAF AN AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABN ADF SAS ∴∆≅∆，BN DF ∴=，45DAF ABN ∠=∠=︒，90FDM ADB ADF ∴∠=∠+∠=︒，45NAM ∠=︒，45FAM NAM ∴∠=︒=∠，在NAM ∆和FAM ∆中，AN AF NAM FAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()NAM FAM SAS ∴∆≅∆，MN MF ∴=，在Rt FDM ∆中，222FM DM FD =+，即222MN BN DM =+；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，如图3所示： 则PCQ ECQ ∆≅∆，135ECQ PCQ ∠=∠=︒，9EQ PQ ==，36090PCE PCQ ECQ ∴∠=︒-∠-∠=︒，BCE DCP ∴∠=∠，PCE ∆是等腰直角三角形，2CE CP ∴==， 在BCE ∆和DCP ∆中，BC DC BCE DCP CE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE DCP SAS ∴∆≅∆，45CBE CDB CBD ∴∠=∠=∠=︒，90EBQ ∴∠=︒，90PBE ∴∠=︒，2PB =，9PQ =，7BQ PQ PB ∴=-=，22229742BE EQ BQ ∴=--=22222(42)6PE PB BE ∴++，232PC ∴==； 故答案为：32【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．9．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）241n -．【分析】（1）①先根据1n =可得AD AB =，再根据矩形的性质可得90DAE ABF ∠=∠=︒，然后根据直角三角形的性质、垂直的定义可得DEA AFB ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；②如图（见解析），先根据（1）的结论可得AE BF =，再根据等腰三角形的三线合一可得HAF DAF ∠=∠，然后根据矩形的性质、平行线的性质可得AFG DAF ∠=∠，从而可得HAF AFG ∠=∠，最后根据等腰三角形的定义可得AG GF =，由此即可得证； （2）如图（见解析），先根据线段中点的定义可得AE BE =，再根据角平分线的性质可得,AE EM DM AD nAB ===，从而可得BE EM =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得BF MF =，设BF MF x ==，最后在Rt CDF 中，利用勾股定理求出x 的值，从而可得BF 、CF 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）①当1n =时，AD AB =四边形ABCD 是矩形90DAE ABF ∴∠=∠=︒90BAF AFB ∴∠+∠=︒AF DE ⊥90BAF DEA ∴∠+∠=︒DEA AFB ∴∠=∠在ADE 和BAF △中，90DAE ABF DEA AFB AD BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAF AAS ∴≅AE BF ∴=；②如图，过点A 作AF DH ⊥，交BC 于点F由（1）可知，AE BF =,AH AD AF DH =⊥HAF DAF ∴∠=∠（等腰三角形的三线合一）四边形ABCD 是矩形//AD BC ∴AFG DAF ∴∠=∠HAF AFG ∴∠=∠AG GF ∴=又GF BF BG AE BG =+=+AE BG AG ∴+=；（2）如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，连接EF四边形ABCD 是矩形,,90AD BC nAB AB CD A B C ∴===∠=∠=∠=︒点E 是AB 的中点12AE BE AB ∴== ,,ADE EDF EA AD EM DF ∠=∠⊥⊥,AE EM DM AD nAB ∴===BE EM ∴=在Rt BEF △和Rt MEF 中，BE ME EF EF =⎧⎨=⎩()Rt BEF Rt MEF HL ∴≅∴=BF MF设BF MF x ==，则CF BC BF nAB x =-=-，DF DM MF nAB x =+=+ 在Rt CDF 中，222+=CD CF DF ，即222()()AB nAB x nAB x +-=+ 解得14x AB n= 14BF AB n ∴=，214144n CF nAB AB AB n n-=-=则22 4144114nABCF nnBF ABn-==-故答案为：241n-．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质证得BG=DE，利用SAS 可证明ABG≌ADE，再利用全等的性质即可得到结论；（2）过M作MK⊥BC于K，延长EF交AB于T，根据ASA可证明MHK△≌AED，得到AE=MH，再利用AAS证明TNF△≌DAE△，得到NF=AE，从而证得MH=NF，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，∴AB=AD=BC=CD，CG=CE，∠ABG=∠ADE=90°，∴BC－GC=CD－EC，即BG=DE，∴ABG≌ADE，∴AG=AE；（2）过M作MK⊥BC于K，则四边形MKCD为矩形，∴∠MKH=∠ADE=90°，MK=CD，∠AMK=90°，∴MK=AD，∠AMP+∠HMK=90°，又∵FP AE⊥，∴∠EAD+∠AMP=90°，∴∠HMK=∠EAD，∴MHK△≌AED，∴MH=AE，延长EF交AB于T，则四边形TBGF为矩形，∴FT=BG ，∠FTN=∠ADE=90°，∵ABG ≌ADE ，∴DE=BG ，∴FT=DE ，∵FP ⊥AE ，∠DAB=90°，∴∠N+∠NAP=∠DAE+∠NAP=90°，∴∠N=∠DAE ，∴TNF △≌DAE △，∴FN=AE ，∴FN=MH ，∴FN －FH=MH －FH ，∴NH=FM ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质、判定定理是解题的关键．。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立．理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．（2）存在，理由：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，∴AM ABCD DM=，设AM=x，则x aa b x =-，整理得：x2﹣bx+a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，（3）不成立．理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2﹣bx+a2=0，∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＜0，∴方程没有实数根，∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积3．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．5．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P ==OB OD86为点D的对应点，再将纸片还原。

专题19 平行四边形专题知识回顾1．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2．平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。

3．平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4．平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah专题典型题考法及解析【例题1】（2019▪广西池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【答案】B．【解析】利用三角形中位线定理得到DE AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE A C．A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．【例题2】（2018湖北黄石）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【答案】看解析。

知识必备08四边形方法1：中点四边形模型一．选择题（共2小题）1．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若四边形EFGH 为菱形，则对角线AC 、BD 应满足条件是()A ．AC BDB ．AC BD C ．AC BD 且AC BD D ．不确定【分析】满足的条件应为：AC BD ，把AC BD 作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG 平行且等于AC 的一半，EF 平行且等于AC 的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG 和EF 平行且相等，所以EFGH 为平行四边形，又EH 等于BD 的一半且AC BD ，所以得到所证四边形的邻边EH 与HG 相等，所以四边形EFGH 为菱形．【解答】解：满足的条件应为：AC BD ．理由如下：E ∵，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，在ADC 中，HG 为ADC 的中位线，所以//HG AC 且12HG AC ；同理//EF AC 且EF AC ，同理可得12EH BD ，则//HG EF 且HG EF ，四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD ，所以EF EH ，四边形EFGH 为菱形．故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．2．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF 各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF 上，则飞镖落在阴影区域的概率为()A ．14B ．12C ．34D ．32【分析】通过题目可以容易的得出阴影部分是一个正六边形，要想计算飞镖落在阴影区域的概率，只要计算阴影部分的面积占总面积的比例即可．【解答】解：∵六边形A B C D E F ∽六边形ABCDEF ，120B ∵，A B A B，A ∵是AB 的中点，2AB A B ，2A B AB ， 34A B C D E F ABCDEF S S六边形六边形，故选：C ．【点评】本题主要考查了概率的应用，运用几何面积的比来表示概率．二．填空题（共1小题）3．（2023•东莞市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，10AB ，6BC ．E 是边CD 的中点，F 是平行四边形ABCD 内一点，且90CFD ．连接AF 并延长，交BC 于点G ．若//EF AD ，AFD FCG ，则AF 的长为【分析】根据题意构造出包含AF 的图形，通过推断证明该图形的特征，利用四边形及三角形的相关性质进行计算得出答案．【解答】解：如图所示，延长EF 交AB 于点H ．ABCD ∵ 中，10AB ，6BC ，E 是CD 的中点（已知），11522DE DC AB ，6AD BC ；//DC AB 即//DE AH ，//AD BC ．（平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等）．//EF AD ∵即//EH AD ，四边形AHED 是平行四边形（平行四边形的判定）；//EH CB （平行的传递性），5AH DE ，6HE AD ．90CFD ∵，且E 是CD 的中点，152EF CD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），651HF HE FE ．//EH CB ∵，FCG CFE ．AFD FCG ∵（已知），AFD CFE ．90CFD CFE EFD ∵，90AFE AFD DFE ，18090AFH AFE ，即AFH 是一个直角三角形．222AF HF AH ，即22215AF ，AF ．故答案为【点评】本题考查了几何构图的能力，平行四边形的性质，三角形勾股定理的运用．三．解答题（共1小题）4．（2023•乐清市模拟）如图，O 是ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当90DEF ，6AB ，4BC 时，求四边形DEFG 的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行证明．（2）分析四边形的四条边，先通过已知数据利用图形的相关性质算出EF 的值，然后通过构造DE 延长线段所在的三角形间接求出DE ，从而算出周长．【解答】（1）证明：E ∵，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，OAB 中，//EF AB 且12EF AB （三角形中位线定理）；12DG DC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，//DC AB ，DC AB （平行四边形的对边平行相等），1122DG DC AB EF ，////DG AB EF ， 四边形DEFG 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）解：如图所示，90DEF 时，延长DE 交AB 于点H ．AC ∵、BD 分别是平行四边形ABCD 的对角线，4BC ，12DO OB DB （平行四边形对角线相互平分），4AD （平行四边形对边相等）．∵点E 、F 分别是OA 、AB 的中点，6AB ，OAB 中，//EF AB 且132EF AB （三角形中位线定理）；∵点F 是OB 的中点，1124OF OB DB ，113244DF DO OF DB DB DB， 34DF DB ．90DEF ∵即DE EF ，//EF AB ，DH AB 即90DHB DHA ，EFD HBD ，DEF DHB ∽（两个直角三角形中，有一个锐角对应相等，这两个直角三角形相似），34EF DE DF HB DH DB ，即334DE HB DH ，4HB ，34DE DH，642AH AB HB ，直角DHA 中，22224223DH AD AH ，333323442DE DH ， 四边形DEFG 的周长332()2(3)6332EF DE．答：四边形DEFG 的周长是633 ．【点评】本题考查了几何构图能力、平行四边形的相关性质、三角形相似、勾股定理．方法2：正方形中的十字架模型一．选择题（共5小题）1．（2023•宜城市模拟）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD 中，BD 为对角线，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，分别交BD ，EF 于O ，P 两点，M ，N 分别为BO ，DO 的中点，连接MP ，NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB 是菱形；③四边形EFNB 的面积占正方形ABCD 面积的58．正确的有()A ．①③B ．①②C ．只有①D ．②③【分析】首先根据正方形的性质可判定ABD ，CBD 、OAB ，OAD 均为等腰直角三角形，再判定EF 是BCD 的中位线，FN 为OCD 的中位线，MP 为OBC 的中位线，据此可判定DFN 、OMP 均为直角三角形，据此可对说法①进行判定；根据三角形的中位线得12MP BC ，12EP OB ，由BC OB 可得MP EP ，据此可对说法②进行判定；设ON a ，则4BD a ，NF a ，2EF a ，3BN a ，然后分别求出正方形的面积和四边形EFNB 的面积即可对说法③进行判定．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AO BD ，OA OB OD ，AB AD BC CD ，90BAD BCD ，ABD ，CBD 、OAB ，OAD 均为等腰直角三角形，∵点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF 是BCD 的中位线，CEF 为等腰直角三角形，//EF BD ，AO EF ，连接PC ，则点A ，O ，P ，C 在同一条直线上，∵点N 为OD 的中点，点F 为CD 的中点，FN 为OCD 的中位线，//FN OC ，90ONF ，又45BDC ，DFN 为等腰直角三角形，∵点F 为CD 的中点，//FP OD ，点P 为OC 的中点，又∵点M 为OB 的中点，MP 为OBC 的中位线，//MP BC ，12MP BC ，45OMP OBC ，OMP 为等腰直角三角形，综上所述：说法①正确；//MP BC ∵，12MP BC ，//EP OB ，12EP OB ， 四边形MPEB 是平行四边形，又BC OB ，MP EP ，四边形MPEB 不是菱形，故说法②不正确；设ON a ，则4BD a ，NF a ， 122EF BD a ，3BN a 21822S BD a正方形，//EF BD ∵，四边形EFNB 为梯形，21522EFNB S EF BN FN a 四边形， 说法③不正确．综上所述：说法正确的只是①．故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，梯形的判定，正方形的面积、梯形的面积等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决文题的关键．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，点E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的边AD 、BC 、AB 上的点，连接DG ，EF ，GF ．且EF DG ，2DE AG ，ADG 的度数为 ，则EFG 的度数为()A ．B ．2C ．45D ．45【分析】点F 作FH AD 于点H ，则四边形CDHF 为矩形，易通过HL 证明Rt FHE Rt DAG ，得到EH AG ，HFE ADG ，根据2DE AG 可得EH DH AG CF ，于是得到BG BF ，则BFG 为等腰直角三角形，45BFG ，由90BFG EFG HFE 即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB BC CD AD ，90A B C ADC ，如图，过点F 作FH AD 于点H ，则四边形CDHF 为矩形，FH CD ，DH CF ，90FHE ，FH AD ，在Rt FHE 和Rt DAG 中，FH AD EF DG，Rt FHE Rt DAG(HL) ，EH AG ，HFE ADG ，DE AG ∵，2DE EH ，即点D 为DE 中点，EH DH AG CF ，AB AG BC CF ，即BG BF ，BFG 为等腰直角三角形，45BFG ，90904545EFG BFG HFE ．故选：C ．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2023•天山区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B ，C 两点），将ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是()①线段AM 长度的最小值为5；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当ABP ADN 时，4BP ；④当P 为BC 中点时，AE 是线段NP 的垂直平分线．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【分析】①设BP x ，则4PC x ，首先证CMP 和BPA 相似得1(4)4MC x x，再过点M 作MG AB 于点G ，由勾股定理得AM ，据此得当AG 为最小时，AM 为最小，然后求出AG 的最小值即可得到AM 的最小值，进而可对结论①进行判断；②设四边形AMCB 的面积为S ，则1()2S MC AB BC ，然后将1(4)4MC x x ，4AB BC 代入构造二次函数即可求出S 的最大值，进而可对结论②进行判断；③先证ABP AEP AEN ADN ，从而得22.5PAB PAE NAE NAD ，然后在AB 上取一点K ，使AK PK ，则PKB 为等腰直角三角形，则BP BK x ，继而可得出PK ，最后由4AB AK BK 可求出x 的值，进而可对结论③进行判断；④设NE y ，由③可知ADN AEN ，从而得DN EN y ，则4CN y ，2PN y ，然后利用勾股定理求出x 的值，进而可对结论④进行判断．【解答】解：①∵四边形ABCD 为正方形，边长为4，90B C ，4AB BC CD AD ，设BP x ，则4PC x ，由折叠知：APB APE ，MPC MPN ，∵点C 、P 、B 三点在通一条直线上，90MPN APE ，即：90APM ，90CPM APB ，又90APB PAB ∵，CPM PAB ，又90C B ∵，CMP BPA ∽，MC PC PB AB ， 44MC x x ， 1(4)4MC x x，过点M 作MG AB 于点G ，则四边形BCMG 为矩形，4MG BC ，1(4)4GB MC x x ，在Rt AMG 中，由勾股定理得：AM ，当AG 为最小时，AM 为最小，AG AB BG AB MC ∵， 2114(4)(2)344AG x x x ， 当2x 时，AG 为最小，最小值为3，即当3AG 时，AM 为最小，此时5AM ，故结论①正确；②设四边形AMCB 的面积为S ，则1()2S MC AB BC ，由①可知：1(4)4MC x x ，4AB BC ， 211[1/4(4)4]4(2)1042S x x x ， 当2x 时，S 为最大，最大值为10， 四边形AMCB 的面积最大值为10．故结论②正确；③由翻折的性质可知：ABP AEP ，AB AE AD ，90AEN D ，在Rt AEN 和Rt ADN 中，AE AD ，AN AN ，Rt AEN Rt ADN(HL) ，又ABP ADN ∵，ABP AEP AEN ADN ，22.5PAB PAE NAE NAD ，在AB 上取一点K ，使AK PK ，22.5KPA KAP ，45PKB KPA KAP ，PKB 为等腰直角三角形，BP BK x ，由勾股定理得：22PK PB BK ，AK PK ，4AB AK BK ，4x ，解得：4x ，4BP ，故结论③正确；④∵点P 为BC 的中点，2BP PC PE ，设NE y ，由③可知：ADN AEN ，DN EN y ，4CN CD DN y ，2PN PE NE y ，在Rt PCN 中，由勾股定理得：222CP CN PN ，即：2222(4)(2)x x ，解得：43x，即：43NE ，PE NE ，AE 不是线段NP 的垂直平分线，故结论④不正确．综上所述：正确的结论是①②③．故选：A ．【点评】此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，二次函数的最值等知识，解答此题的关键是构建二次函数解决最值问题，难点是正确的添加辅助线，构造矩形、等腰直角三角形．4．（2023•浙江模拟）如图，正方形ABCD 中，AE DF ，AF 与BE 相交于点H ，点O 为BD 中点，连结OH ，若DG OG ，则OH BH 的值为()A ．23B ．817C ．715D 10【分析】先根据题意得到三角形全等，再根据全等三角形的性质得到线段相等，作辅助线构造直角三角形，设DF k ，然后根据勾股定理表示出OH 、BH 的长度即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，AD AB ，90ADC DAB ，又DF AE ∵，()DAF ABE SAS ，BE AF ，EBA EAH ，90EAH HAB ∵，90EBA HAB ，90AHB ，∵点O 为BD 中点，DG OG ， 13DG GB ，//AB CD ∵，DFG BAG ∽， 13DF DG AG GB ，设DF k ，则3AB k ，AE k ，在Rt AEB 中，10EB k ， 10k AH AE AB ，解得10AH ，在Rt AHB 中，根据勾股定理223(3)()1010BH k k ，过点O 作OP AB 于点P ，过H 作HN AB 于点N ，过O 作OM NH 交NH 的延长线于点M ，如图：则四边形OMNP 为矩形，OM NP ，1322OP MN AD k，在Rt AHB中，3k HN AH BH ，910HN k ，3932105MH k k k ，又EBA AHN ∵，HNA EAB ，HNA BAE ∽， 13BN EA HN AB ，310AN k ，3362105NP OM k k k ，根据勾股定理可得5OH，59OH BH ，故选：A ．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，关键是作辅助线，用参数表示出OH 、BH 的长度．5．（2023•双峰县三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 的中点，连接AE ，DF 交于点O ，将ABE 沿AE 翻折，得到AGE ，延长EG 交AD 的延长线于点H ，连接CG ．有以下结论：①AE DF ；②AH EH ；③//CG AE ；④:4AOF BEOF S S 四边形．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】①根据正方形的性质可得AD AB BC ，90DAB B ，从而可证DAF ABE ，进而可得BAE ADF ，然后可得90BAE AFD ，即可解答；②根据正方形的性质可得//AD BC ，从而可得DAC AEB ，再利用折叠可得AEB AEG ，进而可得DAE AEG ，即可解答；③由折叠得：1(180)2AEB AEG GEC ，GE GC ，从而可得1(180)2EGC ECG GEC ，进而可得AEB GCE ，即可解答；④在Rt ABE 中，利用勾股定理求出AE ，然后证明AOF ABE ∽，利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，AD AB BC ，90DAB B ，90ADF AFD ，∵点E ，F 分别是边BC ，AB 的中点，12AF AB ，12BE EC BC ，AF BE ，()DAF ABE SAS ，BAE ADF ，90BAE AFD ，180()90AOF BAE AFD ，AE DF ，故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，//AD BC ，DAE AEB ，由折叠得：AEB AEG ，DAE AEG ，AH EH ，故②正确；由折叠得：1(180)2AEB AEG GEC，GE BE ，GE EC ，1(180)2EGC ECG GEC ，AEB GCE ，//AE CG ，故③正确；90B ∵，4AB ，2BE，AE ，90B AOF ∵，FAO BAE ，AOF ABE ∽，221()5AOF ABE S AF S AE ，:4AOF BEOF S S 四边形，故④正确；所以，以上结论，正确的有4故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．二．填空题（共3小题）6．（2023•金东区二模）如图，点G 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连结CG ，过点C 作CE CG ，交AD 的延长线于点E ，过点E 作EF CE ，过点G 作GF CG ，EF 和GF 交于点F ，延长CD 交EF 于点H ，连结GH ，以HD 和DA 为边作矩形ADHI ．记CEH 的面积为1S ，GHF 的面积为2S ，矩形ADHI 的面积为3S ，若4AB ，1233S S S ，则CE【分析】先证四边形GCEF 为矩形，再证ECD 和GBC 全等，从而得CE CG ，进而可判定矩形GCEF 为正方形，然后设CE x ，HD a ，则4CH a ，据此可求出 21224GHC GCEF S S S S x a 正方形，34S a ，根据已知条件1233S S S 得22(4)43x a a ，整理得26110x a ，再证CDE 和CEH 相似得2416x a ，据此可求出a 的值，进而可求得CE 的长．【解答】解：CE CG ∵，EF CE ，GF CG ，四边形GCEF 为矩形，∵四边形ABCD 为正方形，90BCD ADC B ，4CD BC ，90BCG DCG ，CE CG ∵，90ECD DCG ，ECD BCG ，90ADC ∵，90CDE B ，在ECD 和GBC 中，904CDE B CD BC ECD BCG，()ECD GBC ASA ，CE CG ，矩形GCEF 为正方形，设CE x ，HD a ，4CH CD HD a ，1242GHC GCEF S S CH BC a 正方形，12GHC GCEF S S S S ∵正方形，2122(4)S S x a ，又34S HD BC a ∵，21232(4)43S S S x a a ，整理得：26110x a ，90CDE CEH ∵，DCE ECH ，CDE CEH ∽，CE CD CH CE，即：2CE CD CH ，24(4)x a ，将24(4)x a 代入26110x a 之中得： 2.5a ，24164 2.51626x a ，CE x ．．【点评】此题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的全等及性质，相似三角形的判定和性质，三角形、矩形、正方形的面积，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，难点是设置适当的辅助未知数，利用面积公式和相似三角形的性质找出相关线段之间的关系．7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的一点，且CE DF ，AF 、DE 相交于点O ，BO BA ，则OC 的值为5．【分析】过点B 作BH OA 于点H ，过O 作OG CD 于点G ，先证ADF DCE 得DAF CDE ，进而得90AOD ，再证BAH ADO 得AH DO ，进而得AH OH DO ，2AO DO ，据此可求出5DO ，5AO，然后证ADF AOD ∽得112DF AD ，据此可求出AF ，5OF ，再利用三角形的面积公式求出25OG ，继而可求出45DG ，65CG ，进而可得OC 的长．【解答】解：过点B 作BH OA 于点H ，过O 作OG CD 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，AD DC BA ，90ADC DCA BAD ，在ADF 和DCE 中，90AD DC ADF DCE DF CE，()ADF DCE SAS ，DAF CDE ，90CDE ADO ADC ∵，90DAF ADO ，90AOD ，BO BA ∵，BH AO ，AH OH ，90BHA ，90ABH BAH ，又90BAH DAO BAD ∵，ABH DAO ，又90BHA AOD ，在BAH 和ADO 中，90ABH DAO BHA AOD BA AD，()BAH ADO AAS ，AH DO ，AH OH DO2AO AH OH DO ，在Rt AOD 中，由勾股定理得：222AO DO AD ，即：222(2)4DO DO ，5DO，5AO ，90ADF AOD ∵，FAD DAO ，ADF AOD ∽， 12DF DO AD AO ；112DF AD ，在Rt ADF 中，4AD ，2DF ，由勾股定理得：AF ，55OF AF AO ，90AOD ∵，OG CD ，由三角形的面积公式得：1122ODF S DF OG OD OF ，即：11222OG 45OG ，在Rt DOG 中，5DO ，45OG ，由勾股定理得：85DG ，812455CG CD DG ，在Rt OCG 中，45OG ，125CG ，由勾股定理得：OC．故答案为：5．【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等，相似三角形的对应边成比例．8．（2023•雁塔区校级三模）如图，在正方形ABCD 中，6AB ，E 是边BC 的中点，F 是正方形ABCD 内一动点，且3EF ，连接EF ，DE ，DF ，过点D 作DN DF ，DM DE ，且DN DF ，DM DE ，连接CN ，MN ，CM ，则线段CN 长度的最小值为3 ．【分析】首先证明NDM 和FDE 全等，从而得出DM DE ，3MN EF ，过点M 作MP CD 于点P ，再证DMP 和EDC 全等，从而6MP CD ，3DP CE ，然后利用勾股定理求出CM ，最后根据“两点之间线段最短”得出CN MN CM ，据此即可求出CN 的最小值．【解答】解：DN DF ∵，DM DE ，90EDM FDN ，即：90EDN NDM FDE EDN ，NDM FDE ，在NDM 和FDE 中，DN DF NDM FDE DM DE，()NDM FDE SAS ，DM DE ，3MN EF ，∵四边形ABCD 为正方形，6AB ，6CD BC ，90DCE ，∵点E 为BC 的中点，3CE BE ，过点M 作MP CD 于点P，则90MPD DCE ，90DMP CDM ，DM DE ∵，90CDM CDE ，DMP CDE ，在DMP 和EDC ，90DMP CDE MPD DCE DM DE，()DMP EDC AAS ，6MP CD ，3DP CE ，633CP CD DP ，在Rt CPM 中，3CP ，6MP ，由勾股定理得：CM ，由线段的性质得：CN MN CM ，即：3CN3CN ，CN 的最小值为3 ．故答案为：3 ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是根据“两点之间线段最短”构造不等式CN MN CM ，从而求出CN 的最小值．三．解答题（共3小题）9．（2023•南关区四模）【问题提出】如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边BC ，AB ，CD 上，GF AE ．请判断AE 与GF 的数量关系，并说明理由．【类比探究】如图②，在矩形ABCD 中，34BC AB ，将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连结AE 交GF 于点O ．则GF 与AE 之间的数量关系为43AE GF ．【拓展应用】在（2）的条件下，若4sin 5EFB ，GF ，则CE 的长为．【分析】【问题提出】AE GF ，过F 作FM DC ，然后证明ABE FGM 即可；【类比探究】过F 作FM DC ，证明ABE FMG ∽即可解答；【拓展应用】由4sin 5EFB 可设4BE x ，5EF x ，则5AF x ，3BF x ，由（2）可得43AE FG ，从而可得AE ，在Rt ABE 中根据勾股定理即可求出BE 的长，BC ，从而求出CE ．【解答】解：【问题提出】AE GF ，理由如下：过F 作FM DC ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，90ABE FMG ，AB BC FM ，//DC AB ，MGF AFG ，GF AE ∵．EAF GFM ，()ABE FGH ASA ，AE GF ；【类比探究】43AE GF ，理由如下：过F 作FM DC ，如图：GF AE ∵，EAF GFM ，90ABE FMG ∵，ABE FMG ∽， AE AB GF FM，∵34BC AB ，BC FM ， 43AE AB AB GF FM BC ，故答案为：43AE GF ．【拓展应用】∵4sin 5EFB，45BE BF ，由折叠性质可知AF EF ，设4BE x ，5EF x ，则5AF x ，3BF x ，8AB x ，由（2）可知43AE GF ，∵GF ，AE 在Rt ABE 中，222(4)(8)x x ，解得1x 或1 （舍去），4BE ，8AB ，∵34BC AB ，6BC ，642CE BC BE ．故答案为：2．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．10．（2023•遵义模拟）【问题探究】如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且AE DF ，求证：AE DF ．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD 中，3AB ，4BC ，点E 在边AD 上，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，且BE MN ，求BE MN的值．【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD 中，AB m ，BC n ，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，当EFC 与MNC 的度数之间满足什么数量关系时，有?EF m MN n 试写出其数量关系，并说明理由．【分析】【问题探究】利用ASA 证明ADE DCF ，得AE DF ；【知识迁移】过点N 作NO AB 于点O ，利用ABE ONM ∽，得AB BE ON MN ，即可得出答案；【拓展应用】作//AG EF ，交BC 于G ，//NH BC ，交AB 于H ，说明ABG NHM ∽，得AG AB m MN HM n，且四边形AEFG 、HNCB 是平行四边形，进而解决问题．【解答】【问题探究】证明：∵四边形ABCD 是正方形，AD DC ，90ADC BCD ，90AED DAE ，AE DF ∵，90AED CDF ，DAE CDF ，在ADE 与DCF 中，ADC BCD AD DC DAE CDF，()ADE DCF ASA ，AE DF ；【知识迁移】解：如图，过点N 作NO AB 于点O，90BMN MNO ，BE MN ∵，90BMN MBE ，MNO MBE ，BMN AEB ，在ABE 与MNO 中，MNO MBE ，BMN AEB ，ABE ONM ∽， AB BE ON MN，ON BC ∵， 34BE MN ；【拓展应用】解：当EFC MNC 时，EF m MN n ，作//AG EF ，交BC 于G ，//NH BC ，交AB 于H ，则EFC AGC ，180MNC BMN ，MHN ABC ，180AGB AGC ∵，AGB NMH ，ABG NHM ∽， AG AB m MN HM n，//HN BC ∵，//AB CD ，//AG EF ，//AD BC ，∵四边形AEFG 、HNCB 是平行四边形，AG EF ，MN BC ，当EFC MNC 时，EF m MN n．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．11．（2023•嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形ABCD 中，点F 、G 分别在边BC 、CD 上，且AF BG 于点P ，求证AF BG ；【知识迁移】如图2，矩形ABCD 中，AB m ，BC n ，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，且EG FH 于点P ．求EG HF的值；【拓展应用】如图3，在四边形ABCD 中，90ABC ，120BDC ，DB DC ，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且CE DF 于点P ．请直接写出CE DF 的值．【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA 证明ABF BCG ，得AF BG ；（2）作EM DC 于点M ，作HN BC 于点N ，证明Rt EMG Rt HNF ∽，得EG EM BC HF HN AB，可得答案；（3）过点D 作DH BC 于点H ，交CE 于点M ，首先说明CBE DHF ∽，得CE BC DF DH ，再利用BDC 是等腰三角形，得出CH ，进而解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，90ABC C ，AB BC ，290ABP ，AF BG ∵，190ABP ，12 ，在ABF 和BCG 中，12AB BC ABC C，()ABF BCG ASA ，AF BG ；（2）解：作EM DC 于点M ，作HN BC 于点N，则////EM AD BC ，////HN AB DC ，EM HN ，EM AD BC ，HN AB DC ，又EG HF ∵，GEM FHN ，Rt EMG Rt HNF ∽， EG EM BC HF HN AB，即EG n FH m ；（3）解：过点D 作DH BC 于点H ，交CE 于点M，则90DHF ABC ，90CMH BCE ，CE DF ∵，90PDM PMD ，PMD CMH ∵，BCE PDM ，CBE DHF ∽， CE BC DF DH，BD CD ∵，120BDC ，30DCH ，2BC CH ，在Rt CHD 中，90CHD ，tan 30DH CHCH ，BC ，CE DF DH．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．方法3一．解答题（共3小题）1．（2023•宁阳县二模）在四边形ABCD 中，180B D ，对角线AC 平分BAD ．（1）如图1，若120DAB ，且90B ，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系为AD AB AC ；（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）如图3，若90DAB ，若3AD ，7AB ，求线段AC 的长和四边形ABCD 的面积．【分析】（1）先证Rt DAC Rt BAC 得出AD AB ，再求DCA 的度数，得出12AD AC ，进而求出AD AB AC ；（2）先画辅助线：以C 为顶点，AC 为一边作60ACE ，ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，作出辅助线后证明ACE 为等边三角形，根据四边形内角和为360 和，180B D 求出60DCB ，进而证明CAD CEB ，得出AD BE ，最后得出AD AB AC ；（3）先证ACE 为等腰直角三角形，再证明ADC EBC 得出AD BE ，进而求出AC 求四边形ABCD 的面积可以转化为求ACE 的面积．【解答】解：（1）180B D ∵，90B ，90D B ，∵对角线AC 平分BAD ，DAC BAC ，AC AC ∵，Rt DAC Rt BAC(AAS) ，AD AB ，120DAB ∵， 1602DAC DAB ，30DCA ， 12AD AC ， 12AD AB AC，AD AB AC ．故答案为：AD AB AC ．（2）（1）中结论成立，理由如下：，以C 为顶点，AC 为一边作60ACE ，ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，由（1）可得：60CAB ，60BAC ∵，60AEC ，CAB BAC AEC ，ACE 为等边三角形，AC AE CE，CBE ABC，∵，180D ABC180，D CBE，120DAB，D ABC∵，180360ABC D DAC DCB，DCB60，DCB ACE，DCB ACB ACE ACBDCA BCB，CAD CEB AAS，()，AD BE∵，AC AE AB BE．AC AD AB（3）过点C作CE AC交AB延长线于点E，，，90∵对角线AC平分BAD，BAD，CAE DAC45∵，CE AC，ACE90，E ACE CAE18045，，E DACE CAE，AC CE180，∵，180ABC CBEABC D，D CBE，ADC EBC AAS()，AD BE，AE AB BE AB ADAB ，∵，7AD310AE ，在Rt ACE 中：222AC CE AE ，AC CE1252ACE S ，ADC EBC ∵，ADC EBC S S ，25ADC ACB EBC ACB ACE ABCD S S S S S S 四边形．【点评】本题主要考查了四边形的知识、全等三角形的知识、勾股定理的知识、等腰直角三角形的知识，有一定的难度．2．（2023•雨花区校级二模）在O 中，弦CD 平分圆周角ACB ，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若1tan 3CAB ，且B 是CE 的中点，O 的直径是，求DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP 于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【分析】（1）利用垂径定理即可证得结论；（2）构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD ∵平分ACB ，ACD BCD ，AD BD ，AOD BOD ，OA OB ∵，OD AB ，//AB DE ∵，OD DE ，DE 是O 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC 于点F ，2BOC BAC ，OB OC ∵，OF BC ，12COF COB CAB ，1tan tan 3CF COF CAB OF ，设CF x ，3OF x ，O ∵ ，OC ，222OC OF CF ∵，222()(3)2x x ，解得：12x ，12CF ，32OF ，1BC ，B ∵是CE 的中点，1BE BC ，32EF ，222OE OF EF ∵，2223318((224OE ，222OD DE OE ∵，DE （3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP ，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A ∵，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB ，AP PQ ∵，Q QAP ，1902Q ACB ，DE ∵是O 的切线，OD DE ，//DE AB ∵，OD AB ，K 是AB 的中点，DH BH ∵，90BHD ，90BKD ∵，B ，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB ，BOD ACB ∵，OB OD ，1902ODB ACB ，ODB Q ，BHK Q ，//AQ HK ， 12BH BK BQ AB ，BQ BP QP ∵，QP AP ，BQ BP AP ， 12BH BP AP ．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP ，连接DM ，BD ，DP ，AD ，∵弦CD 平分圆周角ACB ，AD BD ，∵ PDPD ，PAD PBD MBD ，()APD BMD SAS ，DP DM ，AP BM ，DH BP ∵，DH 为PDM 的中线，HP HM ，2BP BM PM BM HM ，BH BM HM ∵， 122BH BM HM AP BP BM BM HM ．解法三：如图：连接DA ，DB ，DP ，CD ，将APD 沿PD 翻折得到△A PD ，180APD ACD ∵，AD BD ，BPD ACD ，180BPD APD ，由翻折得APD △A PD ，A PD APD ，AD A D ，180A PD BPD ，A ，P ，B 三点共线，∵ BD AD ，AD BD ，A D BD ，又DH A B ∵，12A H HB A B ，12AP PH AP PB ， 比值不变，恒为12．【点评】本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题．3．（2023•肥城市校级模拟）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A ，B ，C 在O 上，ABC 的平分线交O 于点D ，连接AD ，CD ．求证：四边形ABCD 是等补四边形；探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD 中，AB AD ，连接AC ，AC 是否平分BCD ？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD ，其外角EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ，10CD ，5AF ，求DF 的长．【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知180A C ，180ABC ADC ，再证AD CD ，即可根据等补四边形的定义得出结论；（2）过点A 分别作AE BC 于点E ，AF 垂直CD 的延长线于点F ，证ABE ADF ，得到AE AF ，根据角平分线的判定可得出结论；（3）连接AC ，先证EAD BCD ，推出FCA FAD ，再证ACF DAF ∽，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF 的长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为圆内接四边形，180A C ，180ABC ADC ，BD ∵平分ABC ，ABD CBD ，AD CD ，AD CD ，四边形ABCD 是等补四边形；（2）AC 平分BCD ，理由如下：如图2，过点A 分别作AE BC 于点E ，AF 垂直CD 的延长线于点F ，则90AEB AFD ，∵四边形ABCD 是等补四边形，180B ADC ，又180ADC ADF ，B ADF ，AB AD ∵，()ABE ADF AAS ，AE AF ，AC 是BCF 的平分线，即AC 平分BCD ；（3）如图3，连接AC ，∵四边形ABCD 是等补四边形，180BAD BCD ，又180BAD EAD ，EAD BCD ，AF ∵平分EAD ，12FAD EAD ，由（2）知，AC 平分BCD ，12FCA BCD ，FCA FAD ，又AFC DFA ，ACF DAF ∽， AF CF DF AF，即5105DF DF ，5DF ．【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．一．多边形内角与外角（共2小题）1．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540 ，则这个多边形是五边形．【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．【解答】解：设此多边形的边数为n，则(2)180540n ，解得：5n ，即此多边形为五边形，故答案为：五．【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60 ，那么这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：多边形的边数是：360606，这个多边形的边数是6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360 是解题关键．二．平面镶嵌（密铺）（共1小题）3．（2023•淮安）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到ABC，．则tan ACB的值是3【分析】以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，由正六边形性质可得C，B，E共线，A，D，E共线；而906030DEB，，即有90DBE DBH，60BDE EDG BDG。

中考数学“特殊四边形的存在性问题”题型解析由抛物线上的点构成特殊四边形的问题，需要根据特殊四边形的性质与判定去确定点的坐标，然后求解 . 具体而言，解该类题时，我们要根据题目中的条件，科学地进行分类，然后画出图形，再根据这个四边形的性质或判定求出这点的坐标，若这一点是根据特殊四边形的特性得到的坐标，我们还应将这一点代入到抛物线的解析式中去验证是否是抛物线上的点 .本节主要来讨论下特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形的存在性问题 .类型一：平行四边形问题【例题1】如图，抛物线y = 1/2 x^2 + bx + c 经过点A（-1,0）和点B（3,0），同时交y 轴于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，且以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P 的坐标 .【分析】（1）根据抛物线经过A , B 两点即可求得b , c 的值，可解题；（2）以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 横坐标为4 或- 4，将x = 4 或- 4 代入抛物线解析式即可求得y 的值，即可解题 .【解析】（1）把A（-1,0），B（3,0）代入y = 1/2 x^2 + bx + c 中，∴抛物线的解析式是y = 1/2 x^2 - x - 3/2 .（2）①当AB 为边时，只要PQ∥AB 且PQ = AB = 4 即可 .又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4 或- 4 ，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P1 , P2，把x = 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 5/2 ,把x = - 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 21/2 ,此时P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2）；②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 .又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P3 ,而且当x = 2 时，y = - 3/2 ,此时P3（2，- 3/2），综上，满足条件的P 为P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2），P3（2，-3/2）.类型二：菱形问题【例题2】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y = -x + b 与坐标轴交于C，D 两点，直线AB 与坐标轴交于A , B 两点，线段OA , OC 的长是方程x^2 - 3x + 2 = 0 的两个根（OA > OC）.（1）求点A , C 的坐标；（2）直线AB 与直线CD 交于点E，若点E 是线段AB 的中点，反比例函数y = k/x （k ≠0 ）的图象的一个分支经过点E，求k 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线CD 上，坐标平面内是否存在点N，使以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0 即可得出OA , OC 的值，再根据点所在的位置即可得出A , C 的坐标；（2）根据点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线CD 的解析式，根据点A , B 的横坐标结合点E 为线段AB 的中点即可得出点E 的横坐标，将其代入直线CD 的解析式中即可求出点E 的坐标，再利用待定系数法即可求出k 的值；（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）, 分别以BE 为边、BE 为对角线来考虑 .根据菱形的性质找出关于m 的方程，解方程即可得出点M 的坐标，再结合点B , E 的坐标即可得出点N 的坐标 .【解析】（1）x^2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）= 0 ,∴x1 = 1 , x2 = 2 ,∵OA > OC ,∴OA = 2 , OC = 1 ,∴A（-2,0），C（1,0）；（2）将C（1,0）代入y = - x + b 中，得0 = - 1 + b , 解得b = 1 ,∴直线CD 的解析式为y = - x + 1 .∵点E 为线段AB 的中点，A（-2,0），B 的横坐标为0 ，∴点E 的横坐标为- 1 .∵点E 为直线CD 上一点，∴E（-1,2）.将点E（-1,2）代入y = k/x （k ≠0 ）中，得2 = k / -1 , 解得k = -2 ;（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）,以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形分两种情况（如上图所示）类型三：矩形问题【例题3】【解题策略】这三道例题分别呈现了运动变化过程中的平行四边形、菱形、矩形的存在性问题，三道例题的思路都是要依据特殊四边形的性质构图并建立方程求点的坐标 .特别地，由于菱形任意三个顶点组成的三角形都是等腰三角形，因此可将菱形问题转化为等腰三角形的存在性问题；而矩形问题则可转化为直角三角形的问题，要注意体会相关知识之间的联系 .。