初三中考数学四边形解析

全国中考真题解析120考点汇编四边形综合题一、选择题1. （2011重庆江津区，10，4分）如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（ ）①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形；②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4a b +错误！未找到引用源。

④四边形A n B n C n D n 的面积是12n ab +错误！未找到引用源。

．A 、①②B 、②③C 、②③④D 、①②③④考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。

专题：规律型。

分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD 中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A 5B 5C 5D 5 的周长；④根据四边形A n B n C n D n 的面积与四边形ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．2. （2011重庆市，9，4分）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO=BO ；②OE=OF ； ③△EAM ∽△EBN ；④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是A. ①②B. ②③C. ②④D.③④考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析：①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO ，即可求得①错误； ②易证△AOE ≌△COF ，即可求得EO=FO ；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM ∽△EBN ；④易证△EAO ≌△FCO ，而△FCO 和△CNO 不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误．点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了平行四边形对边平行的性质，本题中求证△AOE ≌△COF 是解题的关键．3. （2010重庆，10，4分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) 9题图BA ．1B ．2C ．3D ．4 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．4. （2011山东省潍坊， 11，3分）己知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ．∠BCD=90°，BC=CD=2AD ，E 、F 分别是BC 、CD 边的中点．连接BF 、DF 交于点P ．连接CP 并延长交AB 于点Q ，连揍AF ，则下列结论不正确．．．的是( )． A ．CP 平分∠BCDB ．四边形ABED 为平行四边形C ，CQ 将直角梯形ABCD 分为面积相等的两部分D ．△ABF 为等腰三角形A B C DFEG10题图【考点】直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；几何综合题．【分析】本题可用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确；易证△BCF≌△DCE （SAS），得∠FBC=∠EDC，∴△BPE≌△DPF，∴BP=DP；∴△BPC≌△DPC，∴∠BCP=∠DCP，∴A正确；∵AD=BE且AB∥BE，所以，四边形ABED为平行四边形，B正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确；【点评】本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好．5.（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2cm，DF=4cm，AG=3cm，则AC的长为（）A、9cmB、14cmC、15cmD、18cm考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质。

特殊的平行四边形☞解读考点☞2年中考1．下列命题是假命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D．考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．2．（连云港）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确；故选B．考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．3．（徐州）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选A．考点：菱形的性质．4．（柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=12GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．5．（内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C．D【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．6．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴=3（cm），∴BD=2OB=cm，∴AC：BD=1：3．故选D．考点：菱形的性质．7．（安徽省）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．B．C．5 D．6【答案】C．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．8．（十堰）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 、F 分别在AB ，AD 上，若CE=53，且∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）A ．102B ．53 CD【答案】A ．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．9．（鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．2014 21）（B．2015 21）（C．2015 33）（D．2014 33）（【答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．10．（广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．【答案】【解析】试题分析：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=12BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=12AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=12AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==，∴BD=，∵EH=12BD，EF=12AC，∴EH=EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=cm2．故答案为：．考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．11．（凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．【答案】（3，2-）．的交点，∴点P的坐标为方程组(11y xy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩的解，解方程组得：32xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以点P的坐标为（3，2-），故答案为：（3-，2）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．12．（潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为．【答案】（0.5，．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题．13．（北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE= ．【答案】8．【解析】试题分析：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB ∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8．考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．14．（南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．15．（玉林防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q 分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．【答案】92．【解析】试题分析：如图1所示，作E 关于BC 的对称点E′，点A 关于DC 的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ=12AE′=2；CQ=DC ﹣CQ=3﹣2=1，∵BP ∥AA′，∴△BE′P ∽△AE′A′，∴'''BP BE AA AE =，即164BP =，BP=32，CP=BC ﹣BP=332-=32，S 四边形AEPQ=S 正方形ABCD ﹣S △ADQ ﹣S △PCQ ﹣SBEP=9﹣12AD•DQ ﹣12CQ•CP ﹣12BE•BP=9﹣12×3×2﹣12×1×32﹣12×1×32=92，故答案为：92．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．16．（达州）在直角坐标系中，直线1y x =+与y 轴交于点A ，按如图方式作正方形A1B1C1O 、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线1y x =+上，点C1、C2、C3…在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为1S 、2S 、3S 、…n S ，则n S 的值为（用含n的代数式表示，n为正整数）．【答案】232n-．故答案为：232n-．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．17．（齐齐哈尔）如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．【答案】2014．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（梧州）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2．【解析】考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．19．（恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．（1）求证：AG=CE；（2）求证：AG⊥CE．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．【解析】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG ≌△CBE（SAS），∴AG=CE；（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．20．（武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求EFAK的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．【答案】（1）①32；②3(8)2S x x=-，S的最大值是24；（2）245或24049．试题解析：（1）①∵EF∥BC，∴AK EFAD BC=，∴EF BCAK AD==128=32，即EFAK的值是32；考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．21．（荆州）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=CE．【解析】试题分析：（1）先证出△ABP≌△CBP，得到PA=PC，由PA=PE，得到PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得到∠BAP=∠BCP，进而得到∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．1．（宜宾）如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（14）n﹣1 D．14n【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选B．考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．2．（山东省淄博市）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C．则矩形的一边AB的长度为（）A． 1 BCD． 2【答案】C．考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．3．（山东省聊城市）如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A ．B ．3C ．D【答案】B ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°，即BA ⊥BF ，∵四边形BEDF 是菱形，∴EF ⊥BD ，∠EBO=∠DBF ，∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO ，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，∴BE=cos30BO=︒，∴BF=BE=，∵EF=AE+FC ，AE=CF ，EO=FO∴，故选B ．考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质． 4．（广西来宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A ． 等腰梯形 B ． 矩形 C ． 菱形 D ． 正方形 【答案】B ．考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质． 5．（贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE ⊥AF ，垂足为点M ，BE=3，，则MF 的长是（ ）ABC．1 D．【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．6．（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．【解析】试题分析：∵AE=13AB，∴BE=2AE．由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=12（180°﹣∠AEP）=12（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．∴EF=2BE．故①正确．∵BE=PE，∴EF=2PE．∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE．∴FQ=3EQ．故③错误．由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°．∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°．∴△PBF是等边三角形．故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．7．（宁夏）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【答案】5．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．8．（山东省聊城市）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE 与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．【答案】证明见解析．考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．9．（梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析．【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．试题解析：（1）在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF （SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由是：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．☞考点归纳归纳1：矩形基础知识归纳：1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小为（）A、30°B、60°C、90°D、120°【答案】B．考点：矩形的性质．归纳2：菱形基础知识归纳：1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．【例2】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．（A）△ABD与△ABC的周长相等；（B）△ABD与△ABC的面积相等；（C）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；（D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．【答案】B．考点：菱形的性质．归纳3：正方形基础知识归纳：1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【例3】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E ﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．考点：正方形的性质．☞1年模拟1．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D．【解析】试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、C选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．2．（广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B．考点：矩形的性质．3．（山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积为（）A ．0.7B ．0.9C ．−2 D【答案】C ． 【解析】试题分析：如图，∵∠B=45°，AE ⊥BC ，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE ，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：，由题意得：△ABE ≌△AB1E ，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，，∴，-2，∵四边形ABCD 为菱形，∴∠FCB1=∠B=45°，∠CFB1=∠BAB1=90°，∴∠CB1F=45°，CF=B1F ，∵CF ∥AB ，∴△CFB1∽△BAB1，∴11B C CF AB BB =，解得：，∴△AEB1、△CFB1的面积分别为：112=，21(232⨯=-，∴△AB1E 与四边形AECD 重叠部分的面积=1(32--=．故选C ．考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）． 4．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标系原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（ ）A．（B．，）C．（2，-2）D．，【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．5．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④【答案】D．综上所述，结论正确的是①④．故选D．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．6．（山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】B．考点：正方形的判定．7．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABCD 中，，AD=1，把该矩形绕点A 顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB 的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．4π-．考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．8．（河北省中考模拟二）如图，在矩形ABCD中，AB=3，⊙O与边BC，CD相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为．【答案】【解析】试题分析：过O点作GH⊥BC于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是BC的切点，OE ⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴，BH=2，设OG=OE=x，则-3，-x，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（-3）2+x2=-x）2，解得，∴⊙O的半径为．故答案为：考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．9．（山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为．【答案】1 4．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形．10．（山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是．考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．11．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析．【解析】考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型．12．（北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；（2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AECF的面积．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=CE=12BC．同理，AF=CF=12AD．∴AF=CE．∴四边形AECF是平行四边形．∴平行四边形AECF是菱形．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．13．（山东省日照市中考模拟）如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求sin∠ABC的值；（2）若E为x轴上的点，且S△AOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．【解析】 试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA 、OB 长度，根据勾股定理求得AB 长，那么就能求得sin ∠ABC 的值； （2）易得到点D 的坐标为（6，4），还需求得点E 的坐标，OA 之间的距离是一定的，那么点E 的坐标可能在点O 的左边，也有可能在点O 的右边．根据所给的面积可求得点E 的坐标，把A 、E 代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；（3）根据菱形的性质，分AC 与AF 是邻边并且点F 在射线AB 上与射线BA 上两种情况，以及AC 与AF 分别是对角线的情况分别进行求解计算． 试题解析：（1）解x2-7x+12=0，得x1=4，x2=3．∵OA ＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt △AOB 中，由勾股定理有5=，∴sin ∠ABC=54OA AB =；（3）根据计算的数据，OB=OC=3，∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF=AC=5，所以点F 与B 重合，即F （-3，0）；②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，M 应在直线AD 上，且FC 垂直平分AM ，点F （3，8）；③AC 是对角线时，做AC 垂直平分线L ，AC 解析式为y=-43x+4，直线L 过（32，2），且k 值为34（平面内互相垂直的两条直线k 值乘积为-1），L 解析式为y=34x+78，联立直线L与直线AB 求交点，∴F （4751-，722-）；④AF 是对角线时，过C 做AB 垂线，垂足为N ，根据等积法求出CN=245，勾股定理得出，AN=75，做A 关于N 的对称点即为F ，AF=145，过F 做y 轴垂线，垂足为G ，FG=145×35=4225，∴F （-4225，4425）．综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（4751-，722-），F4（-4225，4425）．考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型． 14．（河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，连接BF 、EF ，恰有BF=EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作EF 的垂线，交EF 于点M ，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．（1）求证：BE=2CF ；（2）试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN 为菱形，证明见解析．（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．15．（广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为CC ，则图中阴影部分的面积为．【答案】342π+．【解析】试题分析：连接CD′和BC′，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°，∵∠C′AB′=30°，∴A 、D′、C 及A 、B 、C′分别共线∴，∴扇形ACC′4π=．∵AC=AC′，AD′=AB ，∴在△OCD′和△OC'B 中，CD BC ACO AC D COD C OB ''=⎧⎪''∠=∠⎨⎪''∠=∠⎩，∴△OCD′≌△OC′B（AAS ），∴OB=OD′，CO=C′O ．∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30°，∴∠COD′=90°．∵CD′=AC --1，OB+C′O=1，∴在Rt △BOC′中，BO2+（1-BO ）2=-1）2，解得BO=12-，32C O '=-，∴考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．。

A ．134,55æöç÷èø【答案】A【分析】过点E 作EH 5OB OA AB ===，求得∵点()1,0A ，()0,2B ∴1,2OA OB ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD Ð=°，AD,Q==PD BC AD\Ð=Ð，DPA DAP在矩形ABCD中，Q ABC BAD,==PC AB CDÐ=Ð=∴DPC CDP Ð=Ð，ACD BAC Ð=Ð，∴APD CDP ACD DPC BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，∵DPC DAP Ð>Ð，∴DPC BAC DAP BAC Ð+Ð>Ð+Ð，∴APD BADÐ>Ð∴ABC APD Ð<Ð；\B 项为真命题，不符合题意；如图，∵PC PD =，∴PCD PDC Ð=Ð，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD P ，90ADC BAD Ð=Ð=°，∴PCD BAC PDC Ð=Ð=Ð，∵90PDC PDA BAC PAD Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PAD PDA Ð=Ð；故选项C 是真命题，不符合题意；如图，当PB PD =时，无法证明APB ACD Ð>Ð，故D 选项是假命题，符合题意．故选：D ．3．如图，菱形OABC 边OA 在x 轴的正半轴上，且点B 的纵坐标为4，点P 从点O 开始向点A 运动，至点A 停止，过P 点与x 轴垂直的直线与菱形另一边交点为M ，记OP x =，OPM V 的面积为S ，且S 与x 的函数关系图象如右图，则cos AOC Ð的值为（ ）A ．35B ．45C ．32【答案】A【分析】根据题意得OD a =，OA b OC ==，CD AE ==中，OD a =，2OC a =+，4CD =，利用勾股定理求得根据题意得OD a =，OA b ==∴2n a =，222n b a =+=+，在Rt OCD △中，OD a =，OC ∴()22242a a +=+，A ．2B ．65【答案】C 【分析】利用勾股定理得出答案．60A Ð=°Q ，四边形ABCD 是菱形，60GDE \Ð=°，30GED \Ð=°，设GD x =，则2DE x =，EGA．两问都正确B．两问都不正确C．第（1）问正确，第（2）问错误D．第（1）问错误，第（2）问正确【答案】A=，再根据中位线的判定，得出EO是V 【分析】根据平行四边形的性质，得出OA OC3,1B．A．()【答案】A【分析】根据题意易得OA=A．甲、乙正确B．甲、丙正确【答案】C【分析】尺规作图，得到AE平分是菱形，利用菱形的性质，勾股定理，含出结论．【点睛】本题考查角平分线，中垂线的作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，含A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移2C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移3V平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形D．在Rt BCD【答案】B【分析】根据平移过程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性质求出平移距离即可．继续平移，当AB与C D¢¢共线时，¢¢是菱形，此时AB B D¢⊥，即四边形AB C D此时的总平移距离为333==，BD AD即再平移23个单位长度后是菱形；¢¢综上可得：平移过程中，四边形AB C D位长度后是菱形，故选B．【点睛】此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定和性质，勾股定理，含利用了特殊四边形的判定和性质．二、填空题Т=．（1）EFD（2）线段AE的长是【答案】135°23Ð+Ð【分析】（1）证明AEF DFE∵菱形ABCD ，60ABC Ð=°，AD ∥∴18060120A BCD Ð=°-°=°=Ð，Ð∵A E AB ¢⊥，120EA C A ¢Ð=Ð=°，∴1209030BGC Ð=°-°=°，又∵60ABC Ð=°，∴603030BCG Ð=°-°=°，【答案】 75 84-【点睛】本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．12．如图，将一副三角板放置在盒子中，动，12cm AC EF ==，则线段【答案】()(623cm AD -££【分析】依题意可知，当点B 度最大，分别求出两个最值即可得解．∵四边形BCHG 是矩形，∴BG CH =，GH BC =，BC ∵BC GH ∥，30ACB Ð=°∵90,CBG DBF DEF Ð=°Ð=Ð同理可得：6cmDH CH ==∴()636cmAD AH DH =-=-即()max 636cmAD =-【答案】 2 74【分析】根据题意可得BE =得到答案；连接CG ，作OM 2BI ED ==，HI GH =，Ð由题意可得2BI ED ==，HI 到BC 的距离，在Rt BGH △和Rt BIH V 中，GH IH BH BH =ìí=î，()Rt Rt HL BGH BIH \V V ≌，【答案】25【分析】当G ，E ，C 三点在同一条直线上时，过点的中点得到12AG DG ==∵点G 是矩形ABCD 的边∴132AG DG AD ===∵90D Ð=°，CD AB =【答案】(16,8)OA的解析式为y=【分析】根据题意求出直线1点1C，2C，3C，4C，的坐标即可．【详解】解：∵点1A坐标为(1,1)，四边形1A BBC，\===(2,1)OB A B BB1,1,【答案】26【分析】证明四边形GCEF 是矩形，4AB BC CD AD ====，ECD Ð1212CEFG S S S +=正方形，设ED BG =()23121138322S S S x x =+-=+-=【详解】解：∵CE CG ⊥，EF ⊥HE点拨1：如图②，延长EH 交AD 于点M ，由题意可知AD EF P ，易证：()AAS AMH FEH V V ≌，可得∵四边形ABCD与四边形CEFG P∴AD EF∴AMH FEHÐ=Ð，MAHÐ又∵点H是AF的中点，即=(1)求证：AG GFAB=，AD=(2)若6【答案】(1)证明见解析(2)5CH=【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例性质(1)若2AD=，1tan2ADMÐ=，求AE(2)若FB NB=．①求ENFÐ的度数；②求证：23DE EC EP=×．【答案】(1)22；∵EN DF ⊥，∴90FEN Ð=°，∵在Rt FEN △中，FB NB =，∴FB EB BN ==，∴12Ð=Ð，设12x Ð=Ð=°，则3122x Ð=Ð+Ð=°，∵四边形ABCD 为正方形∴CD BC =，BCA DCA Ð=Ð，90BCD Ð=°，又AC AC =，∴BCE DCE ≌△△，∴432x Ð=Ð=°，∵90BCD Ð=°，∴1490Ð+Ð=°，即290x x +=，解得：30x =，∴1230Ð=Ð=°，又∵90FEN Ð=°，∴903060ENF Ð=°-°=°；②证明：∵EN DF ⊥，∴90FEN DEG Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 为正方形，∴90BCD Ð=°，45BCA DCA Ð=Ð=°，∴180135ECG DCA Ð=°Ð=°－，18090FCG BCD Ð=°Ð=°－，∵90FEN FCG Ð=Ð=°，∴F 、E 、C 、G 四点在以FG 为直径的圆上，∴545ACB Ð=Ð=°，∴1805135EGP Ð=°-Ð=°，∵CEG GEP Ð=Ð，ECG EGP Ð=Ð，∴ECG EGP ∽△△，过点C 作CN AM ∥交DE 的延长线于点N ，则四边AMNC 是平行四边形（依据利用“等积变形”可得：ADEC AMNCS S =正方形平行四边形将AMNC Y 沿直线MQ 向下平移MA 的长度得到A M N C ¢¢¢¢Y 若点A ¢恰好与点Q 重合，即MA AQ =，则A M N C ¢¢¢¢Y 即为QACC ¢Y 延长CC ¢交QP 于点H ，利用“等积变形”可得：QACC QATHS S ¢=四边形四边形ADEC QATHS S =正方形四边形同理：BCFG BPHTS S =正方形四边形∵ABPQ QATH BPHTS S S =+正方形四边形四边形∴ABPQ ACED BCFGS S S =+正方形正方形正方形即222AB AC BC =+(1)上述证明过程中的依据是___________．(2)根据小明的思路，请你帮助小明证明“若点A ¢恰好与点Q 重合”这一猜想．(3)已知：（如图2）正方形ABCD 的边长为8，E 是边CD 上的一个动点，以CE 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BD ，BF ，点E 在运动的过程中，DBF V 的面积是否发生变化，若变化说出变化的理由，若不变，请直接写出DBF V 的面积．【答案】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)证明见解析(3)DBF V 的面积为32【分析】（1）由DE AC ∥，结合AM CN ∥，可得四边形AMNC 是平行四边形，从而可得推理的依据；（2）证明90AQP QAB MAB Ð=Ð=°=Ð，AB AQ =，90D DAC ACE ACB Ð=Ð=Ð=°=Ð，AD AC =，DAM BAC Ð=Ð，再证明ADM ACB V V ≌，可得AM AB =，从而可得结论；（3）设正方形CEFG 边长为a ，由DBF DEF ABD BGF ABCD CEFG S S S S S S =++--V V V V 正方形正方形可得结论．【详解】（1）解：∵正方形ADEC ，∴DE AC ∥，∵AM CN ∥，∴四边形AMNC 是平行四边形，∴依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）∵正方形ABPQ ，∵90AQP QAB MAB Ð=Ð=°=Ð，AB AQ =，∵正方形ADEC ，∴90D DAC ACE ACB Ð=Ð=Ð=°=Ð，AD AC =，∴DAM MAC MAC BAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴DAM BAC Ð=Ð，∴ADM ACB V V ≌，∴AM AB =，而AB AQ =，∴AM AQ =，。

考点14 四边形一、多边形1．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.2．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．四、特殊平行四边形的性质与判定1．矩形的性质与判定（1）矩形的性质：①四个角都是直角；②对角线相等且互相平分；③面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.（如图）（2）矩形的判定：①定义法：有一个角是直角的平行四边形；②有三个角是直角；③对角线相等的平行四边形．2．菱形的性质与判定（1）菱形的性质：①四边相等；②对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；③面积=底×高=对角线乘积的一半．（2）菱形的判定：①定义法：有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形．3．正方形的性质与判定（1）正方形的性质：①四条边都相等，四个角都是直角；②对角线相等且互相垂直平分；③面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．（2）正方形的判定：①定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；②一组邻边相等的矩形；③一个角是直角的菱形；④对角线相等且互相垂直、平分．4．联系①两组对边分别平行；②相邻两边相等；③有一个角是直角；④有一个角是直角；⑤相邻两边相等；⑥有一个角是直角，相邻两边相等；⑦四边相等；⑧有三个角都是直角．5．中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一多边形多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．典例1 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】B典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.故选C．【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是A．17 B．16 C．15 D．16或15或172．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考向二平行四边形的性质与判定1．平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．2．平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．典例3 在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是A．3∶4∶3∶4 B．5∶2∶2∶5C．2∶3∶4∶5 D．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．典例4在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是A．对角线互相平分B．一组对边平行且相等C．两组对边分别平行D．一组对边平行，另一组对边相等【答案】D3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为．A．4，4，8，8 B．5，5，7，7C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，94．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形考向三矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例5 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是A．AB=CD，AC=BD B．OA=OC，OB=ODC．AC⊥BD，AC=BD D．AB∥CD，AD=BC【答案】B【名师点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形．此类题属于中考常考题型．典例6 如图,在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3 cm，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3 cm，故选C．【名师点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．5．能判断四边形是矩形的条件是A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直6．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°考向四菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例7菱形具有而平行四边形不具有的性质是A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组邻边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例8如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】BO=DO(答案不唯一)【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO(答案不唯一）．7．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向五正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例9如图，正方形ABCD中,E是BD上一点,BE=BC,则∠BEC的度数是A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°【答案】C【解析】利用正方形的性质，可知∠CBE=45°，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD=45°，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=12×(180°−45°)=67.5°.故选C．典例10下列命题正确的是A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】A【名师点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的判定，此题难度不大．9．如图，已知正方形ABCD的边长为53，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为A．5B．25C．5 D．1010．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分考向六中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例11如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误；故选D．11．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形12．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD 的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．下面四个图形中，是多边形的是2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是A．7 B．10 C．35 D．703．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加A．180°B．360°C．(n–2)·180°D．n180°4．七边形的外角和等于A．180ºB．360ºC．540ºD．720º5．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，则∠B=A．100°B．120°C．135°D．150°6．如图所示，在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=650，则∠AEB=____________.8．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是________．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10.（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．学科！网10．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线CA平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．1．（2017•铜仁市）一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是A．8 B．9C．10 D．112．（2017•黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是A．22 B．20C．22或20 D．183．（2017•聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是A．AB=AC B．AD=BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABC4．（2017•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为A．5 B．4 C．342D．345．（2017•扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=__________．6．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1–∠2=__________．7．（2017•邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为__________．8．（2017•抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为__________．9．（2017•襄阳）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．10．（2017•安顺）如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？3．【答案】B【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边长为7，较短的一边长为5．故选B．变式拓展4．【答案】A【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A ． 5．【答案】C【解析】A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故错误； B 、等腰梯形的对角线也相等，故错误；C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；D 、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误， 故选C ．7．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B ．8．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 9．【答案】D 【解析】设,CE x =30EBC ∠=︒，2,BE x ∴=根据勾股定理，22353,BC BE CE x =-==5,x ∴=210.BE x ∴==故选D ．11．【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C ． 12．【答案】C【解析】如图，设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ， ∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ， 同理可证EH ∥BD ，∴△EBK ∽△ABM ，△AEN ∽△EBK ，∴EBK ABM S S △△=14，S △AEN =S △EBK ，∴EKMN ABM S S 四边形△=12，同理可得KFPM BCM S S 四边形△=12， QGPM DCM S S 四边形△=12，HQMN DAM S S 四边形△=12，∴EFGH ABCD S S 四边形四边形=12，∵四边形ABCD 的面积记为S 1，中点四边形EFGH 的面积记为S 2，则S 1与S 2的数量关系是S 1=2S 2．故选C ．1．【答案】D【解析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D 是考点冲关多边形．故选D．2．【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n–2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：(3)10722n n-⨯==35，故选C．6．【答案】4【解析】∵在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，∴DF=CF=AE=EB，AB∥CD，∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上ABCD本身，共有4个平行四边形．故答案为4．7．【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°.故答案为：50°．852【解析】∵正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，∴正方形ABCD5BEFG的边长为2，∴CE52，△GCE的面积=12 CE•BG=12×（5–2）×2=5–2．故答案为：5–2．9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2＋BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.10．【解析】（1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，所以EF∥AC，且EF=12AC，同理有GH∥AC，且GH=12AC，∴EF∥GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形．11．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，FAC ECAOA OCAOF COE∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF=CF，∴四边形AECF是菱形；（2）设CF=x，则AF=x，BF=8–x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴BF2+AB2=AF2，∴（8–x）2+42=x2，解得：x=5，即EC=5，∴S菱形AECF=FC•AB=5×4=20．1．【答案】C【解析】180°–144°=36°，360°÷36°=10，则这个多边形的边数是10．故选C．2．【答案】C【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，BC=BE+EC，①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（3+3+4）=20．②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（4+4+3）=22．故选C．4．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，∴OM是△ADC的中位线，∵OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC22AD CD34∴BO=12AC34D．5．【答案】80°【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∵∠B+∠D=200°，∴∠B=∠D=100°，∴∠A=180°–∠B=180°–100°=80°，故答案为：80°．6．【答案】24°直通中考【解析】正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5–2）×180°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6–2）×180°÷6=120°，则∠3+∠1–∠2=（90°–60°）+（120°–108°）–（108°–90°）=24°．故答案为：24°．7．【答案】90°【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，∵EF=DE，∴∠EDF=∠EFD=30°，∴∠FDC=90°，故答案为：90°．8．【答案】3【解析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=3．故答案为3．9．【解析】（1）∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=12BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB=3ODAD，∴AD=3=23．10．【解析】（1）∵E是AC中点，∴EC=12AC．∵DB=12AC，∴DB=E C．又∵DB∥AC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．理由：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴ADBE是矩形．。

初三数学四边形试题答案及解析1.在ABCD中，，AE平分∠BAC，交BC于E. 沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F，连结EF并延长交AD于G，EG将ABCD分为面积相等的两部分. 则 .【答案】4.【解析】根据题意，AE平分∠BAC，交BC于E，沿AE将△ABE折叠，点B的对应点为F，∴点F在对角线AC上，且.∵EG将ABCD分为面积相等的两部分，∴点F为对角线AC的中点.∴（等底同高）.∵，∴.【考点】1.折叠问题；2.平行四边形的性质；3. 折叠对称的性质.2.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+【答案】D.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，BC=AD=6，①如图：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=15，求出AE=，AF=3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=5，AE=代入求出BE=，同理DF=3＞5，即F在DC的延长线上（如上图），∴CE=6-，CF=3+5，即CE+CF=11-，②如图：∵AB=5，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE=，同理DF=3，由①知：CE=6+，CF=5+3，∴CE+CF=11+，故D．考点: 平行四边形的性质．3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD.（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若△ABC是边长为的等边三角形，AC，DE相交于点O，在CE上截取CF=CO，连接OF，求线段FC的长及四边形AOFE的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可.（2）分别求出AE、OH、CE、CF的长，再求出三角形AEC和三角形COF的面积，即可求出答案．试题解析：（1）∵CE∥AD且CE=AD，∴四边形ADCE是平行四边形.∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°.∴四边形ADCE是矩形.（2）∵△ABC是等边三角形，边长为4，∴AC=4，∠DAC=30°.∴∠ACE=30°，AE=2，CE=.∵四边形ADCE为矩形，∴OC=OA=2.∵CF=CO，∴CF=2.如图，过O作OH⊥CE于H，∴OE=OC=1.∴.【考点】1.矩形的判定和性质；2.等边三角形的性质．4.如图，已知矩形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，，．（1）在BC边上求作一点E，使OE=OA；（保留作图痕迹，不写画法）（2）求出点E的坐标．【答案】（1）.作图见解析；（2）（8，6）．【解析】（1）利用EO=AO，以O为圆心AO为半径画弧得出E即可；（2）首先过点E作EF⊥OA，垂足为F，得出B点坐标，进而求出FO的长，即可得出E点坐标．试题解析：（1）如图所示：E点即为所求；（2）过点E作EF⊥OA，垂足为F．∵矩形OABC中OC=6，OA=10，∴B点坐标为（10，6）．∴EF=6．又∵OE=OA，∴OF==8．∴点E的坐标为（8，6）．【考点】1.作图—复杂作图；2.坐标与图形性质；3.勾股定理；4.矩形的性质．5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为 .【答案】.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC.∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线.∴.∴.【考点】1．平行四边形的性质；2.三角形中位线定理.6.已知：如图，正方形ABCD，E，F分别为DC，BC中点．求证：AE=AF．【答案】证明书见解析．【解析】根据正方形的性质，证明△ADE≌△ABF，即可证得AE=AF．．∵四边形ABCD为正方形，∴ AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB．∵ E、F为DC、BC中点，∴ DE=DC，BF=BC．∴ DE=BF．∵在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）．∴ AE=AF．【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质．7.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD，求证：∠B＝∠E.【答案】见解析【解析】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠BCD＝∠CDE，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∴∠B＝∠E.8.如图，矩形纸片ABDC中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕A E上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为__________.【答案】.【解析】先根据题意画出图形，由翻折变换的性质得出F、B′重合，分别延长AE，CD相交于点G，由平行线的性质可得出GB′=AB′=AB=4，再根据相似三角形的判定定理得出△ACG∽△PB′G，求出其相似比，进而可求出答案．试题解析：如图所示，设PF⊥CD，由翻折变换的性质可得BP=B′P，又∵P到边CD的距离与到点B的距离相等，∴B'P⊥CD，∵AB平行于CD，∴∠BAG=∠AGC，∵∠BAG=∠B′AG，AGC=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=4，∵PB′⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ADB′中，AB′=4，AC=3，∴CB′=，在△ACG和△PB′G中．，解得：PB'=考点: 1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.矩形的性质.9.如图所示，在△中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．（1）线段的长是，的度数是；（2）连接，求证：四边形是平行四边形.【答案】（1）6，135°；(2)证明见解析.【解析】（1）旋转后的图形与原图形全等知OA1与OA相等，∠AOB1=∠AOA1+∠A1OB1=90°+45°=135°.(2)根据一组对边平等且相等的四边形是平等四边形可证明四边形是平行四边形. 试题解析：（1）6，135°；（2）∵∠AOA1=∠OA1B1=90°∴OA∥A1B1又OA=AB=A1B1，∴四边形是平行四边形．考点: 1.旋转的性质；2。

中考数学平行四边形知识归纳总结及解析一、解答题1．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．2．如图1，ABC ∆是以ACB ∠为直角的直角三角形，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABFG ，BCED ，连结AD ，CF ，AD 与CF 交于点M ，AB 与CF 交于点N ．（1）求证：ABD FBC ∆≅∆；（2）如图2，在图1基础上连接AF 和FD ，若6AD =，求四边形ACDF 的面积．3．综合与探究如图1,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ,解答下列问题:（1）研究发现:如果AB AC =,90BAC ∠=︒①如图2,当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）,线段CF 、BD 之间的数量关系为______,位置关系为_______．②如图3,当点D 在线段BC 的延长线上时,①中的结论是否仍成立并说明理由． （2）拓展发现:如果AB AC ≠,点D 在线段BC 上,点F 在ABC ∆的外部,则当ACB =∠_______时,CF BD ⊥．4．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，AB 6=，求AH 的长度； （2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MNCF ，分别交AB ，CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：①CEN DEG ∆∆≌；②ENG ∆是等边三角形．5．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．6．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．(1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．7．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）8．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ︒∠=，则PC．（直接写出结果）9．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E，F分别在AB，BC上．（1）若n＝1，AF⊥DE．①如图1，求证：AE＝BF；②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG ＝AG；（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则CFBF的值是_____________（结果用含n的式子表示）．10．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．（1）求证：AG AE=（2）过点F作FP AE⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，．求证：NH=FM【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2326+【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=3x ，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=624-，推出BN=624+，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．理由：连接CG ．∵四边形ABCD 是正方形，∴A 、C 关于对角线BD 对称，∵点G 在BD 上，∴GA=GC ，∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC 是矩形，∴CF=GE ，在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，∴AG 2=GF 2+GE 2．（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，∴AM=BM=2x ，MN=3x ，在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，∴1=x 2+（2x+3x ）2，解得x=624-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=326+．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．2．（1）详见解析；（2）18【分析】（1）根据正方形的性质得出BC=BD ，AB=BF ，∠CBD=∠ABF=90°，求出∠ABD=∠CBF ，根据全等三角形的判定得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠BFC ，AD=FC=6，求出AD ⊥CF ，根据三角形的面积求出即可．【详解】解：（1）四边形ABFG 、BCED 是正方形，AB FB ∴=，CB DB =，90ABF CBD ∠=∠=︒，ABF ABC CBD ABC ∴∠+∠=∠+∠，即ABD CBF ∠=∠在ABD ∆和FBC ∆中，AB FB ABD CBF DB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBC SAS ∴∆≅∆；图1 图2（2）ABD FBC ∆≅∆，BAD BFC ∴∠=∠，6AD FC ==，180AMF BAD CNA ∴∠=︒-∠-∠ 180()BFC BNF =︒-∠+∠1809090=︒-︒=︒AD CF ∴⊥-ACD ACF DFM ACM ACDF S S S S S ∆∆∆∆∴=++四边形11112222AD CM CF AM DM FM AM CM =⋅+⋅+⋅-⋅ 1133(6)(6)1822CM AM AM CM AM CM =++---⋅= 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能求出△ABD ≌△FBC 是解此题的关键．3．（1）①=CF BD ，CF BD ⊥；②当点D 在BC 的延长线上时①中结论仍成立，详见解析；（2）45︒【分析】（1）①结论:CF 与BD 位置关系是垂直、数量关系是相等; 只要证明△BAD ≌△CAF,即可解决问题；②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．证明方法类似;（2）过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,理由（1）中的结论即可解决问题．【详解】解:（1）①相等（或=CF BD ）,互相重直（或CF BD ⊥）理由如下:∵AB=AC,∠BAC=90︒,∴∠ABC=∠ACB=45︒,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD=∠CAF,在△BAD 和△CAF 中,BA CA BAD CAF DA FA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ , ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）,∴BD=CF,∠ABD=∠ACF=45︒,∵∠ACB=45︒,∴∠FCB=90︒,∴CF ⊥BD,CF=BD,故答案为CF ⊥BD,CF=BD ．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．理由:由正方形ADEF 得 AD=AF,∠DAF=90︒．∵∠BAC=90︒,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB ≌△FAC （SAS ）,∴CF=BD,∠ACF=∠ABD,∵∠BAC=90︒,AB=AC,∴∠ABC=45︒,∴∠ACF=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒．即 CF ⊥BD ．（2）结论:当∠ACB=45︒时,CF ⊥BD ．理由:过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G,∴AC=AG,由（1）可知:△GAD ≌△CAF,∴∠ACF=∠AGD=45︒,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90︒,即CF ⊥BD ．故答案为45︒．【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．4．（1）3AH 2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．【详解】（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.∵AH BD ⊥，∴1302DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.∴AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.∴ENG ∆是等边三角形.【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．【详解】解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形∴∠CAB =∠ABD = 45°，BDABBC =2BC =2AC∴AC ∥BD又∵G 为BD 的中点，∴BD =2DG ，∴AC =DG ，AC ∥DG∴四边形ACGD 为平行四边形；（2）BE =CD ，理由如下∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，∴∠EAB =∠CAD ，在△DAC 与△BAE 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAC ≌△BAE ，∴BE =CD ；（3） ∵△DAC ≌△BAE∴∠AEB=∠ACD又∵∠EAC=90°∴∠EFC=∠DFB=90°∴ △DBF 是直角三角形∵BC，∴BD根据勾股定理得CD， ∴11••22CD BF BC BD = ∴12=12•∴BF∴EF =BE -BF =CD -BF【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．6．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析【分析】（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．【详解】(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴ADE FEM ∠=∠;(2) ;DE EF =理由如下:如图，取AD 的中点N ，连接NE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB = ，∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22AN DN AD AE EB AB ====， ∴,DN BE AN AE == 又∵90A ∠=︒∴45ANE ∠=︒∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．∴DNE EBF ∠=∠在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =(3) DE EF =.理由如下:如图，在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，∵四边形ABCD 是正方形， DN EB =，∴AN AE =，∴AEN △为等腰直角三角形，∵45ANE ∠=︒∴18045135DNE ∠=︒-︒=︒，∵BF 平分CBM ∠， AN AE =，∴9045135EBF ∠=︒+︒=︒，∴DNE EBF ∠=∠，在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF ．7．【发现与证明．．】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC 2或2. 【分析】【发现与证明．．】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB ，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB ′，证出∠EAC=∠ACB ′，得出AE=CE ；得出DE=B ′E ，证出∠CB ′D=∠B ′DA=12（180°-∠B ′ED ），由∠AEC=∠B ′ED ，得出∠ACB ′=∠CB ′D ，即可得出B ′D ∥AC ；【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB ′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC ；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．【详解】【发现与证明．．】:∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC,AD ∥BC ，∴∠EAC=∠ACB ，∵△ABC ≌△AB ′C ，∴∠ACB=∠ACB ′,BC=B ′C ，∴∠EAC=∠ACB′，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；∴DE=B′E，∴∠CB′D=∠B′DA=12(180°−∠B′ED)，∵∠AEC=∠B′ED，∴∠ACB′=∠CB′D，∴B′D∥AC；【应用与探究】:分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=22 BC=；②如图2所示：AC=BC=2；综上所述：AC2或2.【点睛】本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明．．】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明．．】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA和AB’共线和BC和B’C两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.8．（1）见解析；（2）222MN BN DM=+，理由见解析；（3）32【分析】（1）由直角三角形的性质得AO=MO=12BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角形，得CE=CP=2PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=PE=6，即可得出PC 的长．【详解】解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，90ABC BAD ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，ME BD ⊥，90BME ∴∠=︒， O 是BE 的中点，12AO MO BE BO EO ∴====， ABO BAO ∴∠=∠，OBM OMB ∠=∠，22290AOM AOE MOE ABO MBO ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）222MN BN DM =+，理由如下：在AD 上方作AF AN ⊥，使AF AN =，连接DF 、MF ，如图2所示：则90NAF ∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAD NAF ∠=∠=︒，BAN DAF ∴∠=∠，45NAM ∠=︒，45FAM NAM ∴∠=︒=∠，在ABN ∆和ADF ∆中，AB AD BAN DAF AN AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABN ADF SAS ∴∆≅∆，BN DF ∴=，45DAF ABN ∠=∠=︒，90FDM ADB ADF ∴∠=∠+∠=︒，45NAM ∠=︒，45FAM NAM ∴∠=︒=∠，在NAM ∆和FAM ∆中，AN AF NAM FAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()NAM FAM SAS ∴∆≅∆，MN MF ∴=，在Rt FDM ∆中，222FM DM FD =+，即222MN BN DM =+；（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，如图3所示： 则PCQ ECQ ∆≅∆，135ECQ PCQ ∠=∠=︒，9EQ PQ ==，36090PCE PCQ ECQ ∴∠=︒-∠-∠=︒，BCE DCP ∴∠=∠，PCE ∆是等腰直角三角形，2CE CP ∴==， 在BCE ∆和DCP ∆中，BC DC BCE DCP CE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE DCP SAS ∴∆≅∆，45CBE CDB CBD ∴∠=∠=∠=︒，90EBQ ∴∠=︒，90PBE ∴∠=︒，2PB =，9PQ =，7BQ PQ PB ∴=-=，22229742BE EQ BQ ∴=--=22222(42)6PE PB BE ∴++，232PC ∴==； 故答案为：32【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．9．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）241n -．【分析】（1）①先根据1n =可得AD AB =，再根据矩形的性质可得90DAE ABF ∠=∠=︒，然后根据直角三角形的性质、垂直的定义可得DEA AFB ∠=∠，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；②如图（见解析），先根据（1）的结论可得AE BF =，再根据等腰三角形的三线合一可得HAF DAF ∠=∠，然后根据矩形的性质、平行线的性质可得AFG DAF ∠=∠，从而可得HAF AFG ∠=∠，最后根据等腰三角形的定义可得AG GF =，由此即可得证； （2）如图（见解析），先根据线段中点的定义可得AE BE =，再根据角平分线的性质可得,AE EM DM AD nAB ===，从而可得BE EM =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得BF MF =，设BF MF x ==，最后在Rt CDF 中，利用勾股定理求出x 的值，从而可得BF 、CF 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）①当1n =时，AD AB =四边形ABCD 是矩形90DAE ABF ∴∠=∠=︒90BAF AFB ∴∠+∠=︒AF DE ⊥90BAF DEA ∴∠+∠=︒DEA AFB ∴∠=∠在ADE 和BAF △中，90DAE ABF DEA AFB AD BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAF AAS ∴≅AE BF ∴=；②如图，过点A 作AF DH ⊥，交BC 于点F由（1）可知，AE BF =,AH AD AF DH =⊥HAF DAF ∴∠=∠（等腰三角形的三线合一）四边形ABCD 是矩形//AD BC ∴AFG DAF ∴∠=∠HAF AFG ∴∠=∠AG GF ∴=又GF BF BG AE BG =+=+AE BG AG ∴+=；（2）如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，连接EF四边形ABCD 是矩形,,90AD BC nAB AB CD A B C ∴===∠=∠=∠=︒点E 是AB 的中点12AE BE AB ∴== ,,ADE EDF EA AD EM DF ∠=∠⊥⊥,AE EM DM AD nAB ∴===BE EM ∴=在Rt BEF △和Rt MEF 中，BE ME EF EF =⎧⎨=⎩()Rt BEF Rt MEF HL ∴≅∴=BF MF设BF MF x ==，则CF BC BF nAB x =-=-，DF DM MF nAB x =+=+ 在Rt CDF 中，222+=CD CF DF ，即222()()AB nAB x nAB x +-=+ 解得14x AB n= 14BF AB n ∴=，214144n CF nAB AB AB n n-=-=则22 4144114nABCF nnBF ABn-==-故答案为：241n-．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质证得BG=DE，利用SAS 可证明ABG≌ADE，再利用全等的性质即可得到结论；（2）过M作MK⊥BC于K，延长EF交AB于T，根据ASA可证明MHK△≌AED，得到AE=MH，再利用AAS证明TNF△≌DAE△，得到NF=AE，从而证得MH=NF，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，∴AB=AD=BC=CD，CG=CE，∠ABG=∠ADE=90°，∴BC－GC=CD－EC，即BG=DE，∴ABG≌ADE，∴AG=AE；（2）过M作MK⊥BC于K，则四边形MKCD为矩形，∴∠MKH=∠ADE=90°，MK=CD，∠AMK=90°，∴MK=AD，∠AMP+∠HMK=90°，又∵FP AE⊥，∴∠EAD+∠AMP=90°，∴∠HMK=∠EAD，∴MHK△≌AED，∴MH=AE，延长EF交AB于T，则四边形TBGF为矩形，∴FT=BG ，∠FTN=∠ADE=90°，∵ABG ≌ADE ，∴DE=BG ，∴FT=DE ，∵FP ⊥AE ，∠DAB=90°，∴∠N+∠NAP=∠DAE+∠NAP=90°，∴∠N=∠DAE ，∴TNF △≌DAE △，∴FN=AE ，∴FN=MH ，∴FN －FH=MH －FH ，∴NH=FM ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质、判定定理是解题的关键．。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立．理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．（2）存在，理由：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，∴AM ABCD DM=，设AM=x，则x aa b x =-，整理得：x2﹣bx+a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，（3）不成立．理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2﹣bx+a2=0，∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＜0，∴方程没有实数根，∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积3．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．5．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P ==OB OD86为点D的对应点，再将纸片还原。

专题19 平行四边形专题知识回顾1．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2．平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。

3．平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4．平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah专题典型题考法及解析【例题1】（2019▪广西池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【答案】B．【解析】利用三角形中位线定理得到DE AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE A C．A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．【例题2】（2018湖北黄石）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【答案】看解析。

知识必备08四边形方法1：中点四边形模型一．选择题（共2小题）1．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若四边形EFGH 为菱形，则对角线AC 、BD 应满足条件是()A ．AC BDB ．AC BD C ．AC BD 且AC BD D ．不确定【分析】满足的条件应为：AC BD ，把AC BD 作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG 平行且等于AC 的一半，EF 平行且等于AC 的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG 和EF 平行且相等，所以EFGH 为平行四边形，又EH 等于BD 的一半且AC BD ，所以得到所证四边形的邻边EH 与HG 相等，所以四边形EFGH 为菱形．【解答】解：满足的条件应为：AC BD ．理由如下：E ∵，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，在ADC 中，HG 为ADC 的中位线，所以//HG AC 且12HG AC ；同理//EF AC 且EF AC ，同理可得12EH BD ，则//HG EF 且HG EF ，四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD ，所以EF EH ，四边形EFGH 为菱形．故选：B ．【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．2．（2023•晋中模拟）如图，顺次连接正六边形纸板ABCDEF 各边中点得到一个新的正六边形．若将一个飞镖随机投掷到正六边形纸板ABCDEF 上，则飞镖落在阴影区域的概率为()A ．14B ．12C ．34D ．32【分析】通过题目可以容易的得出阴影部分是一个正六边形，要想计算飞镖落在阴影区域的概率，只要计算阴影部分的面积占总面积的比例即可．【解答】解：∵六边形A B C D E F ∽六边形ABCDEF ，120B ∵，A B A B，A ∵是AB 的中点，2AB A B ，2A B AB ， 34A B C D E F ABCDEF S S六边形六边形，故选：C ．【点评】本题主要考查了概率的应用，运用几何面积的比来表示概率．二．填空题（共1小题）3．（2023•东莞市校级模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，10AB ，6BC ．E 是边CD 的中点，F 是平行四边形ABCD 内一点，且90CFD ．连接AF 并延长，交BC 于点G ．若//EF AD ，AFD FCG ，则AF 的长为【分析】根据题意构造出包含AF 的图形，通过推断证明该图形的特征，利用四边形及三角形的相关性质进行计算得出答案．【解答】解：如图所示，延长EF 交AB 于点H ．ABCD ∵ 中，10AB ，6BC ，E 是CD 的中点（已知），11522DE DC AB ，6AD BC ；//DC AB 即//DE AH ，//AD BC ．（平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等）．//EF AD ∵即//EH AD ，四边形AHED 是平行四边形（平行四边形的判定）；//EH CB （平行的传递性），5AH DE ，6HE AD ．90CFD ∵，且E 是CD 的中点，152EF CD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），651HF HE FE ．//EH CB ∵，FCG CFE ．AFD FCG ∵（已知），AFD CFE ．90CFD CFE EFD ∵，90AFE AFD DFE ，18090AFH AFE ，即AFH 是一个直角三角形．222AF HF AH ，即22215AF ，AF ．故答案为【点评】本题考查了几何构图的能力，平行四边形的性质，三角形勾股定理的运用．三．解答题（共1小题）4．（2023•乐清市模拟）如图，O 是ABCD 的对角线的交点，E ，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当90DEF ，6AB ，4BC 时，求四边形DEFG 的周长．【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行证明．（2）分析四边形的四条边，先通过已知数据利用图形的相关性质算出EF 的值，然后通过构造DE 延长线段所在的三角形间接求出DE ，从而算出周长．【解答】（1）证明：E ∵，F ，G 分别是OA ，OB ，CD 的中点，OAB 中，//EF AB 且12EF AB （三角形中位线定理）；12DG DC ．∵四边形ABCD 是平行四边形，//DC AB ，DC AB （平行四边形的对边平行相等），1122DG DC AB EF ，////DG AB EF ， 四边形DEFG 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）解：如图所示，90DEF 时，延长DE 交AB 于点H ．AC ∵、BD 分别是平行四边形ABCD 的对角线，4BC ，12DO OB DB （平行四边形对角线相互平分），4AD （平行四边形对边相等）．∵点E 、F 分别是OA 、AB 的中点，6AB ，OAB 中，//EF AB 且132EF AB （三角形中位线定理）；∵点F 是OB 的中点，1124OF OB DB ，113244DF DO OF DB DB DB， 34DF DB ．90DEF ∵即DE EF ，//EF AB ，DH AB 即90DHB DHA ，EFD HBD ，DEF DHB ∽（两个直角三角形中，有一个锐角对应相等，这两个直角三角形相似），34EF DE DF HB DH DB ，即334DE HB DH ，4HB ，34DE DH，642AH AB HB ，直角DHA 中，22224223DH AD AH ，333323442DE DH ， 四边形DEFG 的周长332()2(3)6332EF DE．答：四边形DEFG 的周长是633 ．【点评】本题考查了几何构图能力、平行四边形的相关性质、三角形相似、勾股定理．方法2：正方形中的十字架模型一．选择题（共5小题）1．（2023•宜城市模拟）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD 中，BD 为对角线，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，分别交BD ，EF 于O ，P 两点，M ，N 分别为BO ，DO 的中点，连接MP ，NF ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB 是菱形；③四边形EFNB 的面积占正方形ABCD 面积的58．正确的有()A ．①③B ．①②C ．只有①D ．②③【分析】首先根据正方形的性质可判定ABD ，CBD 、OAB ，OAD 均为等腰直角三角形，再判定EF 是BCD 的中位线，FN 为OCD 的中位线，MP 为OBC 的中位线，据此可判定DFN 、OMP 均为直角三角形，据此可对说法①进行判定；根据三角形的中位线得12MP BC ，12EP OB ，由BC OB 可得MP EP ，据此可对说法②进行判定；设ON a ，则4BD a ，NF a ，2EF a ，3BN a ，然后分别求出正方形的面积和四边形EFNB 的面积即可对说法③进行判定．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AO BD ，OA OB OD ，AB AD BC CD ，90BAD BCD ，ABD ，CBD 、OAB ，OAD 均为等腰直角三角形，∵点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF 是BCD 的中位线，CEF 为等腰直角三角形，//EF BD ，AO EF ，连接PC ，则点A ，O ，P ，C 在同一条直线上，∵点N 为OD 的中点，点F 为CD 的中点，FN 为OCD 的中位线，//FN OC ，90ONF ，又45BDC ，DFN 为等腰直角三角形，∵点F 为CD 的中点，//FP OD ，点P 为OC 的中点，又∵点M 为OB 的中点，MP 为OBC 的中位线，//MP BC ，12MP BC ，45OMP OBC ，OMP 为等腰直角三角形，综上所述：说法①正确；//MP BC ∵，12MP BC ，//EP OB ，12EP OB ， 四边形MPEB 是平行四边形，又BC OB ，MP EP ，四边形MPEB 不是菱形，故说法②不正确；设ON a ，则4BD a ，NF a ， 122EF BD a ，3BN a 21822S BD a正方形，//EF BD ∵，四边形EFNB 为梯形，21522EFNB S EF BN FN a 四边形， 说法③不正确．综上所述：说法正确的只是①．故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，梯形的判定，正方形的面积、梯形的面积等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决文题的关键．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，点E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的边AD 、BC 、AB 上的点，连接DG ，EF ，GF ．且EF DG ，2DE AG ，ADG 的度数为 ，则EFG 的度数为()A ．B ．2C ．45D ．45【分析】点F 作FH AD 于点H ，则四边形CDHF 为矩形，易通过HL 证明Rt FHE Rt DAG ，得到EH AG ，HFE ADG ，根据2DE AG 可得EH DH AG CF ，于是得到BG BF ，则BFG 为等腰直角三角形，45BFG ，由90BFG EFG HFE 即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB BC CD AD ，90A B C ADC ，如图，过点F 作FH AD 于点H ，则四边形CDHF 为矩形，FH CD ，DH CF ，90FHE ，FH AD ，在Rt FHE 和Rt DAG 中，FH AD EF DG，Rt FHE Rt DAG(HL) ，EH AG ，HFE ADG ，DE AG ∵，2DE EH ，即点D 为DE 中点，EH DH AG CF ，AB AG BC CF ，即BG BF ，BFG 为等腰直角三角形，45BFG ，90904545EFG BFG HFE ．故选：C ．【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2023•天山区校级二模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B ，C 两点），将ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是()①线段AM 长度的最小值为5；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当ABP ADN 时，4BP ；④当P 为BC 中点时，AE 是线段NP 的垂直平分线．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【分析】①设BP x ，则4PC x ，首先证CMP 和BPA 相似得1(4)4MC x x，再过点M 作MG AB 于点G ，由勾股定理得AM ，据此得当AG 为最小时，AM 为最小，然后求出AG 的最小值即可得到AM 的最小值，进而可对结论①进行判断；②设四边形AMCB 的面积为S ，则1()2S MC AB BC ，然后将1(4)4MC x x ，4AB BC 代入构造二次函数即可求出S 的最大值，进而可对结论②进行判断；③先证ABP AEP AEN ADN ，从而得22.5PAB PAE NAE NAD ，然后在AB 上取一点K ，使AK PK ，则PKB 为等腰直角三角形，则BP BK x ，继而可得出PK ，最后由4AB AK BK 可求出x 的值，进而可对结论③进行判断；④设NE y ，由③可知ADN AEN ，从而得DN EN y ，则4CN y ，2PN y ，然后利用勾股定理求出x 的值，进而可对结论④进行判断．【解答】解：①∵四边形ABCD 为正方形，边长为4，90B C ，4AB BC CD AD ，设BP x ，则4PC x ，由折叠知：APB APE ，MPC MPN ，∵点C 、P 、B 三点在通一条直线上，90MPN APE ，即：90APM ，90CPM APB ，又90APB PAB ∵，CPM PAB ，又90C B ∵，CMP BPA ∽，MC PC PB AB ， 44MC x x ， 1(4)4MC x x，过点M 作MG AB 于点G ，则四边形BCMG 为矩形，4MG BC ，1(4)4GB MC x x ，在Rt AMG 中，由勾股定理得：AM ，当AG 为最小时，AM 为最小，AG AB BG AB MC ∵， 2114(4)(2)344AG x x x ， 当2x 时，AG 为最小，最小值为3，即当3AG 时，AM 为最小，此时5AM ，故结论①正确；②设四边形AMCB 的面积为S ，则1()2S MC AB BC ，由①可知：1(4)4MC x x ，4AB BC ， 211[1/4(4)4]4(2)1042S x x x ， 当2x 时，S 为最大，最大值为10， 四边形AMCB 的面积最大值为10．故结论②正确；③由翻折的性质可知：ABP AEP ，AB AE AD ，90AEN D ，在Rt AEN 和Rt ADN 中，AE AD ，AN AN ，Rt AEN Rt ADN(HL) ，又ABP ADN ∵，ABP AEP AEN ADN ，22.5PAB PAE NAE NAD ，在AB 上取一点K ，使AK PK ，22.5KPA KAP ，45PKB KPA KAP ，PKB 为等腰直角三角形，BP BK x ，由勾股定理得：22PK PB BK ，AK PK ，4AB AK BK ，4x ，解得：4x ，4BP ，故结论③正确；④∵点P 为BC 的中点，2BP PC PE ，设NE y ，由③可知：ADN AEN ，DN EN y ，4CN CD DN y ，2PN PE NE y ，在Rt PCN 中，由勾股定理得：222CP CN PN ，即：2222(4)(2)x x ，解得：43x，即：43NE ，PE NE ，AE 不是线段NP 的垂直平分线，故结论④不正确．综上所述：正确的结论是①②③．故选：A ．【点评】此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，二次函数的最值等知识，解答此题的关键是构建二次函数解决最值问题，难点是正确的添加辅助线，构造矩形、等腰直角三角形．4．（2023•浙江模拟）如图，正方形ABCD 中，AE DF ，AF 与BE 相交于点H ，点O 为BD 中点，连结OH ，若DG OG ，则OH BH 的值为()A ．23B ．817C ．715D 10【分析】先根据题意得到三角形全等，再根据全等三角形的性质得到线段相等，作辅助线构造直角三角形，设DF k ，然后根据勾股定理表示出OH 、BH 的长度即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，AD AB ，90ADC DAB ，又DF AE ∵，()DAF ABE SAS ，BE AF ，EBA EAH ，90EAH HAB ∵，90EBA HAB ，90AHB ，∵点O 为BD 中点，DG OG ， 13DG GB ，//AB CD ∵，DFG BAG ∽， 13DF DG AG GB ，设DF k ，则3AB k ，AE k ，在Rt AEB 中，10EB k ， 10k AH AE AB ，解得10AH ，在Rt AHB 中，根据勾股定理223(3)()1010BH k k ，过点O 作OP AB 于点P ，过H 作HN AB 于点N ，过O 作OM NH 交NH 的延长线于点M ，如图：则四边形OMNP 为矩形，OM NP ，1322OP MN AD k，在Rt AHB中，3k HN AH BH ，910HN k ，3932105MH k k k ，又EBA AHN ∵，HNA EAB ，HNA BAE ∽， 13BN EA HN AB ，310AN k ，3362105NP OM k k k ，根据勾股定理可得5OH，59OH BH ，故选：A ．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质和勾股定理，关键是作辅助线，用参数表示出OH 、BH 的长度．5．（2023•双峰县三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 的中点，连接AE ，DF 交于点O ，将ABE 沿AE 翻折，得到AGE ，延长EG 交AD 的延长线于点H ，连接CG ．有以下结论：①AE DF ；②AH EH ；③//CG AE ；④:4AOF BEOF S S 四边形．其中正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】①根据正方形的性质可得AD AB BC ，90DAB B ，从而可证DAF ABE ，进而可得BAE ADF ，然后可得90BAE AFD ，即可解答；②根据正方形的性质可得//AD BC ，从而可得DAC AEB ，再利用折叠可得AEB AEG ，进而可得DAE AEG ，即可解答；③由折叠得：1(180)2AEB AEG GEC ，GE GC ，从而可得1(180)2EGC ECG GEC ，进而可得AEB GCE ，即可解答；④在Rt ABE 中，利用勾股定理求出AE ，然后证明AOF ABE ∽，利用相似三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，AD AB BC ，90DAB B ，90ADF AFD ，∵点E ，F 分别是边BC ，AB 的中点，12AF AB ，12BE EC BC ，AF BE ，()DAF ABE SAS ，BAE ADF ，90BAE AFD ，180()90AOF BAE AFD ，AE DF ，故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，//AD BC ，DAE AEB ，由折叠得：AEB AEG ，DAE AEG ，AH EH ，故②正确；由折叠得：1(180)2AEB AEG GEC，GE BE ，GE EC ，1(180)2EGC ECG GEC ，AEB GCE ，//AE CG ，故③正确；90B ∵，4AB ，2BE，AE ，90B AOF ∵，FAO BAE ，AOF ABE ∽，221()5AOF ABE S AF S AE ，:4AOF BEOF S S 四边形，故④正确；所以，以上结论，正确的有4故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．二．填空题（共3小题）6．（2023•金东区二模）如图，点G 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连结CG ，过点C 作CE CG ，交AD 的延长线于点E ，过点E 作EF CE ，过点G 作GF CG ，EF 和GF 交于点F ，延长CD 交EF 于点H ，连结GH ，以HD 和DA 为边作矩形ADHI ．记CEH 的面积为1S ，GHF 的面积为2S ，矩形ADHI 的面积为3S ，若4AB ，1233S S S ，则CE【分析】先证四边形GCEF 为矩形，再证ECD 和GBC 全等，从而得CE CG ，进而可判定矩形GCEF 为正方形，然后设CE x ，HD a ，则4CH a ，据此可求出 21224GHC GCEF S S S S x a 正方形，34S a ，根据已知条件1233S S S 得22(4)43x a a ，整理得26110x a ，再证CDE 和CEH 相似得2416x a ，据此可求出a 的值，进而可求得CE 的长．【解答】解：CE CG ∵，EF CE ，GF CG ，四边形GCEF 为矩形，∵四边形ABCD 为正方形，90BCD ADC B ，4CD BC ，90BCG DCG ，CE CG ∵，90ECD DCG ，ECD BCG ，90ADC ∵，90CDE B ，在ECD 和GBC 中，904CDE B CD BC ECD BCG，()ECD GBC ASA ，CE CG ，矩形GCEF 为正方形，设CE x ，HD a ，4CH CD HD a ，1242GHC GCEF S S CH BC a 正方形，12GHC GCEF S S S S ∵正方形，2122(4)S S x a ，又34S HD BC a ∵，21232(4)43S S S x a a ，整理得：26110x a ，90CDE CEH ∵，DCE ECH ，CDE CEH ∽，CE CD CH CE，即：2CE CD CH ，24(4)x a ，将24(4)x a 代入26110x a 之中得： 2.5a ，24164 2.51626x a ，CE x ．．【点评】此题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的全等及性质，相似三角形的判定和性质，三角形、矩形、正方形的面积，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，难点是设置适当的辅助未知数，利用面积公式和相似三角形的性质找出相关线段之间的关系．7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的一点，且CE DF ，AF 、DE 相交于点O ，BO BA ，则OC 的值为5．【分析】过点B 作BH OA 于点H ，过O 作OG CD 于点G ，先证ADF DCE 得DAF CDE ，进而得90AOD ，再证BAH ADO 得AH DO ，进而得AH OH DO ，2AO DO ，据此可求出5DO ，5AO，然后证ADF AOD ∽得112DF AD ，据此可求出AF ，5OF ，再利用三角形的面积公式求出25OG ，继而可求出45DG ，65CG ，进而可得OC 的长．【解答】解：过点B 作BH OA 于点H ，过O 作OG CD 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，AD DC BA ，90ADC DCA BAD ，在ADF 和DCE 中，90AD DC ADF DCE DF CE，()ADF DCE SAS ，DAF CDE ，90CDE ADO ADC ∵，90DAF ADO ，90AOD ，BO BA ∵，BH AO ，AH OH ，90BHA ，90ABH BAH ，又90BAH DAO BAD ∵，ABH DAO ，又90BHA AOD ，在BAH 和ADO 中，90ABH DAO BHA AOD BA AD，()BAH ADO AAS ，AH DO ，AH OH DO2AO AH OH DO ，在Rt AOD 中，由勾股定理得：222AO DO AD ，即：222(2)4DO DO ，5DO，5AO ，90ADF AOD ∵，FAD DAO ，ADF AOD ∽， 12DF DO AD AO ；112DF AD ，在Rt ADF 中，4AD ，2DF ，由勾股定理得：AF ，55OF AF AO ，90AOD ∵，OG CD ，由三角形的面积公式得：1122ODF S DF OG OD OF ，即：11222OG 45OG ，在Rt DOG 中，5DO ，45OG ，由勾股定理得：85DG ，812455CG CD DG ，在Rt OCG 中，45OG ，125CG ，由勾股定理得：OC．故答案为：5．【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等，相似三角形的对应边成比例．8．（2023•雁塔区校级三模）如图，在正方形ABCD 中，6AB ，E 是边BC 的中点，F 是正方形ABCD 内一动点，且3EF ，连接EF ，DE ，DF ，过点D 作DN DF ，DM DE ，且DN DF ，DM DE ，连接CN ，MN ，CM ，则线段CN 长度的最小值为3 ．【分析】首先证明NDM 和FDE 全等，从而得出DM DE ，3MN EF ，过点M 作MP CD 于点P ，再证DMP 和EDC 全等，从而6MP CD ，3DP CE ，然后利用勾股定理求出CM ，最后根据“两点之间线段最短”得出CN MN CM ，据此即可求出CN 的最小值．【解答】解：DN DF ∵，DM DE ，90EDM FDN ，即：90EDN NDM FDE EDN ，NDM FDE ，在NDM 和FDE 中，DN DF NDM FDE DM DE，()NDM FDE SAS ，DM DE ，3MN EF ，∵四边形ABCD 为正方形，6AB ，6CD BC ，90DCE ，∵点E 为BC 的中点，3CE BE ，过点M 作MP CD 于点P，则90MPD DCE ，90DMP CDM ，DM DE ∵，90CDM CDE ，DMP CDE ，在DMP 和EDC ，90DMP CDE MPD DCE DM DE，()DMP EDC AAS ，6MP CD ，3DP CE ，633CP CD DP ，在Rt CPM 中，3CP ，6MP ，由勾股定理得：CM ，由线段的性质得：CN MN CM ，即：3CN3CN ，CN 的最小值为3 ．故答案为：3 ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段的性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是根据“两点之间线段最短”构造不等式CN MN CM ，从而求出CN 的最小值．三．解答题（共3小题）9．（2023•南关区四模）【问题提出】如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边BC ，AB ，CD 上，GF AE ．请判断AE 与GF 的数量关系，并说明理由．【类比探究】如图②，在矩形ABCD 中，34BC AB ，将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连结AE 交GF 于点O ．则GF 与AE 之间的数量关系为43AE GF ．【拓展应用】在（2）的条件下，若4sin 5EFB ，GF ，则CE 的长为．【分析】【问题提出】AE GF ，过F 作FM DC ，然后证明ABE FGM 即可；【类比探究】过F 作FM DC ，证明ABE FMG ∽即可解答；【拓展应用】由4sin 5EFB 可设4BE x ，5EF x ，则5AF x ，3BF x ，由（2）可得43AE FG ，从而可得AE ，在Rt ABE 中根据勾股定理即可求出BE 的长，BC ，从而求出CE ．【解答】解：【问题提出】AE GF ，理由如下：过F 作FM DC ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，90ABE FMG ，AB BC FM ，//DC AB ，MGF AFG ，GF AE ∵．EAF GFM ，()ABE FGH ASA ，AE GF ；【类比探究】43AE GF ，理由如下：过F 作FM DC ，如图：GF AE ∵，EAF GFM ，90ABE FMG ∵，ABE FMG ∽， AE AB GF FM，∵34BC AB ，BC FM ， 43AE AB AB GF FM BC ，故答案为：43AE GF ．【拓展应用】∵4sin 5EFB，45BE BF ，由折叠性质可知AF EF ，设4BE x ，5EF x ，则5AF x ，3BF x ，8AB x ，由（2）可知43AE GF ，∵GF ，AE 在Rt ABE 中，222(4)(8)x x ，解得1x 或1 （舍去），4BE ，8AB ，∵34BC AB ，6BC ，642CE BC BE ．故答案为：2．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．10．（2023•遵义模拟）【问题探究】如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且AE DF ，求证：AE DF ．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD 中，3AB ，4BC ，点E 在边AD 上，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，且BE MN ，求BE MN的值．【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD 中，AB m ，BC n ，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，当EFC 与MNC 的度数之间满足什么数量关系时，有?EF m MN n 试写出其数量关系，并说明理由．【分析】【问题探究】利用ASA 证明ADE DCF ，得AE DF ；【知识迁移】过点N 作NO AB 于点O ，利用ABE ONM ∽，得AB BE ON MN ，即可得出答案；【拓展应用】作//AG EF ，交BC 于G ，//NH BC ，交AB 于H ，说明ABG NHM ∽，得AG AB m MN HM n，且四边形AEFG 、HNCB 是平行四边形，进而解决问题．【解答】【问题探究】证明：∵四边形ABCD 是正方形，AD DC ，90ADC BCD ，90AED DAE ，AE DF ∵，90AED CDF ，DAE CDF ，在ADE 与DCF 中，ADC BCD AD DC DAE CDF，()ADE DCF ASA ，AE DF ；【知识迁移】解：如图，过点N 作NO AB 于点O，90BMN MNO ，BE MN ∵，90BMN MBE ，MNO MBE ，BMN AEB ，在ABE 与MNO 中，MNO MBE ，BMN AEB ，ABE ONM ∽， AB BE ON MN，ON BC ∵， 34BE MN ；【拓展应用】解：当EFC MNC 时，EF m MN n ，作//AG EF ，交BC 于G ，//NH BC ，交AB 于H ，则EFC AGC ，180MNC BMN ，MHN ABC ，180AGB AGC ∵，AGB NMH ，ABG NHM ∽， AG AB m MN HM n，//HN BC ∵，//AB CD ，//AG EF ，//AD BC ，∵四边形AEFG 、HNCB 是平行四边形，AG EF ，MN BC ，当EFC MNC 时，EF m MN n．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形中的十字架模型是解题的关键．11．（2023•嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形ABCD 中，点F 、G 分别在边BC 、CD 上，且AF BG 于点P ，求证AF BG ；【知识迁移】如图2，矩形ABCD 中，AB m ，BC n ，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，且EG FH 于点P ．求EG HF的值；【拓展应用】如图3，在四边形ABCD 中，90ABC ，120BDC ，DB DC ，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且CE DF 于点P ．请直接写出CE DF 的值．【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA 证明ABF BCG ，得AF BG ；（2）作EM DC 于点M ，作HN BC 于点N ，证明Rt EMG Rt HNF ∽，得EG EM BC HF HN AB，可得答案；（3）过点D 作DH BC 于点H ，交CE 于点M ，首先说明CBE DHF ∽，得CE BC DF DH ，再利用BDC 是等腰三角形，得出CH ，进而解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，90ABC C ，AB BC ，290ABP ，AF BG ∵，190ABP ，12 ，在ABF 和BCG 中，12AB BC ABC C，()ABF BCG ASA ，AF BG ；（2）解：作EM DC 于点M ，作HN BC 于点N，则////EM AD BC ，////HN AB DC ，EM HN ，EM AD BC ，HN AB DC ，又EG HF ∵，GEM FHN ，Rt EMG Rt HNF ∽， EG EM BC HF HN AB，即EG n FH m ；（3）解：过点D 作DH BC 于点H ，交CE 于点M，则90DHF ABC ，90CMH BCE ，CE DF ∵，90PDM PMD ，PMD CMH ∵，BCE PDM ，CBE DHF ∽， CE BC DF DH，BD CD ∵，120BDC ，30DCH ，2BC CH ，在Rt CHD 中，90CHD ，tan 30DH CHCH ，BC ，CE DF DH．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．方法3一．解答题（共3小题）1．（2023•宁阳县二模）在四边形ABCD 中，180B D ，对角线AC 平分BAD ．（1）如图1，若120DAB ，且90B ，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系为AD AB AC ；（2）如图2，若将（1）中的条件“90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）如图3，若90DAB ，若3AD ，7AB ，求线段AC 的长和四边形ABCD 的面积．【分析】（1）先证Rt DAC Rt BAC 得出AD AB ，再求DCA 的度数，得出12AD AC ，进而求出AD AB AC ；（2）先画辅助线：以C 为顶点，AC 为一边作60ACE ，ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，作出辅助线后证明ACE 为等边三角形，根据四边形内角和为360 和，180B D 求出60DCB ，进而证明CAD CEB ，得出AD BE ，最后得出AD AB AC ；（3）先证ACE 为等腰直角三角形，再证明ADC EBC 得出AD BE ，进而求出AC 求四边形ABCD 的面积可以转化为求ACE 的面积．【解答】解：（1）180B D ∵，90B ，90D B ，∵对角线AC 平分BAD ，DAC BAC ，AC AC ∵，Rt DAC Rt BAC(AAS) ，AD AB ，120DAB ∵， 1602DAC DAB ，30DCA ， 12AD AC ， 12AD AB AC，AD AB AC ．故答案为：AD AB AC ．（2）（1）中结论成立，理由如下：，以C 为顶点，AC 为一边作60ACE ，ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，由（1）可得：60CAB ，60BAC ∵，60AEC ，CAB BAC AEC ，ACE 为等边三角形，AC AE CE，CBE ABC，∵，180D ABC180，D CBE，120DAB，D ABC∵，180360ABC D DAC DCB，DCB60，DCB ACE，DCB ACB ACE ACBDCA BCB，CAD CEB AAS，()，AD BE∵，AC AE AB BE．AC AD AB（3）过点C作CE AC交AB延长线于点E，，，90∵对角线AC平分BAD，BAD，CAE DAC45∵，CE AC，ACE90，E ACE CAE18045，，E DACE CAE，AC CE180，∵，180ABC CBEABC D，D CBE，ADC EBC AAS()，AD BE，AE AB BE AB ADAB ，∵，7AD310AE ，在Rt ACE 中：222AC CE AE ，AC CE1252ACE S ，ADC EBC ∵，ADC EBC S S ，25ADC ACB EBC ACB ACE ABCD S S S S S S 四边形．【点评】本题主要考查了四边形的知识、全等三角形的知识、勾股定理的知识、等腰直角三角形的知识，有一定的难度．2．（2023•雨花区校级二模）在O 中，弦CD 平分圆周角ACB ，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若1tan 3CAB ，且B 是CE 的中点，O 的直径是，求DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP 于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【分析】（1）利用垂径定理即可证得结论；（2）构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD ∵平分ACB ，ACD BCD ，AD BD ，AOD BOD ，OA OB ∵，OD AB ，//AB DE ∵，OD DE ，DE 是O 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC 于点F ，2BOC BAC ，OB OC ∵，OF BC ，12COF COB CAB ，1tan tan 3CF COF CAB OF ，设CF x ，3OF x ，O ∵ ，OC ，222OC OF CF ∵，222()(3)2x x ，解得：12x ，12CF ，32OF ，1BC ，B ∵是CE 的中点，1BE BC ，32EF ，222OE OF EF ∵，2223318((224OE ，222OD DE OE ∵，DE （3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP ，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A ∵，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB ，AP PQ ∵，Q QAP ，1902Q ACB ，DE ∵是O 的切线，OD DE ，//DE AB ∵，OD AB ，K 是AB 的中点，DH BH ∵，90BHD ，90BKD ∵，B ，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB ，BOD ACB ∵，OB OD ，1902ODB ACB ，ODB Q ，BHK Q ，//AQ HK ， 12BH BK BQ AB ，BQ BP QP ∵，QP AP ，BQ BP AP ， 12BH BP AP ．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP ，连接DM ，BD ，DP ，AD ，∵弦CD 平分圆周角ACB ，AD BD ，∵ PDPD ，PAD PBD MBD ，()APD BMD SAS ，DP DM ，AP BM ，DH BP ∵，DH 为PDM 的中线，HP HM ，2BP BM PM BM HM ，BH BM HM ∵， 122BH BM HM AP BP BM BM HM ．解法三：如图：连接DA ，DB ，DP ，CD ，将APD 沿PD 翻折得到△A PD ，180APD ACD ∵，AD BD ，BPD ACD ，180BPD APD ，由翻折得APD △A PD ，A PD APD ，AD A D ，180A PD BPD ，A ，P ，B 三点共线，∵ BD AD ，AD BD ，A D BD ，又DH A B ∵，12A H HB A B ，12AP PH AP PB ， 比值不变，恒为12．【点评】本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题．3．（2023•肥城市校级模拟）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A ，B ，C 在O 上，ABC 的平分线交O 于点D ，连接AD ，CD ．求证：四边形ABCD 是等补四边形；探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD 中，AB AD ，连接AC ，AC 是否平分BCD ？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD 中，AB AD ，其外角EAD 的平分线交CD 的延长线于点F ，10CD ，5AF ，求DF 的长．【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知180A C ，180ABC ADC ，再证AD CD ，即可根据等补四边形的定义得出结论；（2）过点A 分别作AE BC 于点E ，AF 垂直CD 的延长线于点F ，证ABE ADF ，得到AE AF ，根据角平分线的判定可得出结论；（3）连接AC ，先证EAD BCD ，推出FCA FAD ，再证ACF DAF ∽，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF 的长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD 为圆内接四边形，180A C ，180ABC ADC ，BD ∵平分ABC ，ABD CBD ，AD CD ，AD CD ，四边形ABCD 是等补四边形；（2）AC 平分BCD ，理由如下：如图2，过点A 分别作AE BC 于点E ，AF 垂直CD 的延长线于点F ，则90AEB AFD ，∵四边形ABCD 是等补四边形，180B ADC ，又180ADC ADF ，B ADF ，AB AD ∵，()ABE ADF AAS ，AE AF ，AC 是BCF 的平分线，即AC 平分BCD ；（3）如图3，连接AC ，∵四边形ABCD 是等补四边形，180BAD BCD ，又180BAD EAD ，EAD BCD ，AF ∵平分EAD ，12FAD EAD ，由（2）知，AC 平分BCD ，12FCA BCD ，FCA FAD ，又AFC DFA ，ACF DAF ∽， AF CF DF AF，即5105DF DF ，5DF ．【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．一．多边形内角与外角（共2小题）1．（2023•济宁）一个多边形的内角和是540 ，则这个多边形是五边形．【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．【解答】解：设此多边形的边数为n，则(2)180540n ，解得：5n ，即此多边形为五边形，故答案为：五．【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60 ，那么这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：多边形的边数是：360606，这个多边形的边数是6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是360 是解题关键．二．平面镶嵌（密铺）（共1小题）3．（2023•淮安）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到ABC，．则tan ACB的值是3【分析】以BH，HG，GD为边，作正六边形BHGDFE，，连接BD，DE，AD，由正六边形性质可得C，B，E共线，A，D，E共线；而906030DEB，，即有90DBE DBH，60BDE EDG BDG。

中考数学“特殊四边形的存在性问题”题型解析由抛物线上的点构成特殊四边形的问题，需要根据特殊四边形的性质与判定去确定点的坐标，然后求解 . 具体而言，解该类题时，我们要根据题目中的条件，科学地进行分类，然后画出图形，再根据这个四边形的性质或判定求出这点的坐标，若这一点是根据特殊四边形的特性得到的坐标，我们还应将这一点代入到抛物线的解析式中去验证是否是抛物线上的点 .本节主要来讨论下特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形的存在性问题 .类型一：平行四边形问题【例题1】如图，抛物线y = 1/2 x^2 + bx + c 经过点A（-1,0）和点B（3,0），同时交y 轴于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，且以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，求满足条件的点P 的坐标 .【分析】（1）根据抛物线经过A , B 两点即可求得b , c 的值，可解题；（2）以A , B , Q , P 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 横坐标为4 或- 4，将x = 4 或- 4 代入抛物线解析式即可求得y 的值，即可解题 .【解析】（1）把A（-1,0），B（3,0）代入y = 1/2 x^2 + bx + c 中，∴抛物线的解析式是y = 1/2 x^2 - x - 3/2 .（2）①当AB 为边时，只要PQ∥AB 且PQ = AB = 4 即可 .又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4 或- 4 ，这时符合条件的点P 有两个，分别记为P1 , P2，把x = 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 5/2 ,把x = - 4 代入y = 1/2 x^2 - x - 3/2 ,得y = 21/2 ,此时P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2）；②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 .又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时符合条件的P 只有一个记为P3 ,而且当x = 2 时，y = - 3/2 ,此时P3（2，- 3/2），综上，满足条件的P 为P1（4 , 5/2），P2（- 4 , 21/2），P3（2，-3/2）.类型二：菱形问题【例题2】如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y = -x + b 与坐标轴交于C，D 两点，直线AB 与坐标轴交于A , B 两点，线段OA , OC 的长是方程x^2 - 3x + 2 = 0 的两个根（OA > OC）.（1）求点A , C 的坐标；（2）直线AB 与直线CD 交于点E，若点E 是线段AB 的中点，反比例函数y = k/x （k ≠0 ）的图象的一个分支经过点E，求k 的值；（3）在（2）的条件下，点M 在直线CD 上，坐标平面内是否存在点N，使以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由 .【分析】（1）利用分解因式法解一元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0 即可得出OA , OC 的值，再根据点所在的位置即可得出A , C 的坐标；（2）根据点C 的坐标利用待定系数法即可求出直线CD 的解析式，根据点A , B 的横坐标结合点E 为线段AB 的中点即可得出点E 的横坐标，将其代入直线CD 的解析式中即可求出点E 的坐标，再利用待定系数法即可求出k 的值；（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）, 分别以BE 为边、BE 为对角线来考虑 .根据菱形的性质找出关于m 的方程，解方程即可得出点M 的坐标，再结合点B , E 的坐标即可得出点N 的坐标 .【解析】（1）x^2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）= 0 ,∴x1 = 1 , x2 = 2 ,∵OA > OC ,∴OA = 2 , OC = 1 ,∴A（-2,0），C（1,0）；（2）将C（1,0）代入y = - x + b 中，得0 = - 1 + b , 解得b = 1 ,∴直线CD 的解析式为y = - x + 1 .∵点E 为线段AB 的中点，A（-2,0），B 的横坐标为0 ，∴点E 的横坐标为- 1 .∵点E 为直线CD 上一点，∴E（-1,2）.将点E（-1,2）代入y = k/x （k ≠0 ）中，得2 = k / -1 , 解得k = -2 ;（3）假设存在，设点M 的坐标为（m , - m + 1）,以点B , E , M , N 为顶点的四边形是菱形分两种情况（如上图所示）类型三：矩形问题【例题3】【解题策略】这三道例题分别呈现了运动变化过程中的平行四边形、菱形、矩形的存在性问题，三道例题的思路都是要依据特殊四边形的性质构图并建立方程求点的坐标 .特别地，由于菱形任意三个顶点组成的三角形都是等腰三角形，因此可将菱形问题转化为等腰三角形的存在性问题；而矩形问题则可转化为直角三角形的问题，要注意体会相关知识之间的联系 .。

例题精讲【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝3．解：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图所示，∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，∴∠AFD+∠ADF＝90°，∴∠FAD＝90°，∴AD2+AF2＝DF2，∴AD2+CD2＝BD2，∴BD2＝（2）2+52＝45，∵BD＞0，∴BD＝3，故答案为：3．变式训练【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC＝60°，∠ACB＝15°，BD＝2，则菱形ACEF的面积为12．解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG，，∵四边形ACEF是菱形，∴AE⊥CF，∴∠ADC＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°，∵∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°，∴∠BGD＝30°+60°＝90°，∴△BGD是等腰直角三角形，∴BG＝DG＝，∴AC＝2，∴AD＝2，∴，∴菱形ACEF的面积为：3＝＝故答案为：12．【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD2﹣CB2＝5．【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对补四边形”．（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠A+∠C＝180°，∴3x+x＝180，∴x＝45°．∴∠B＝2x＝90°．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°，∴∠D＝90°．故答案为：90；②连接AC，如图，∵∠B＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴∠B+∠D＝180°．∴∠D＝90°．∴AD2+CD2＝AC2．∴AB2+BC2＝AD2+CD2，∴CD2﹣CB2＝AB2﹣AD2，∵AB＝3，AD＝2，∴CD2﹣CB2＝32﹣22＝5．故答案为：5；（2）证明：在DC上截取DE＝DA，连接BE，如图，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠EDB．在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠DEB，AB＝BE，∵AB＝CB，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠C．∵∠DEB+∠BEC＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°，∴∠A+∠C＝180°，∴四边形ABCD是“对补四边形”．【例2】．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或．解：∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′＝CC′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝2，B′C′＝BC＝1，A′C′＝AC＝，①如图1，当CC′＝BC时，BB′＝CC′＝BC＝1；②如图1，当AC′＝AB＝2时，∵∠ABC＝90°，BB′是∠ABC的角平分线，∴∠B′BA＝45°，延长C′B′交AB于H，∵A′B′∥AB，∠A′B′C′＝90°，∴∠AHC′＝∠A′B′C′＝90°，∴∠BHB′＝90°，设BH＝B′H＝x，∴BB′＝x，AH＝2﹣x，C′H＝1+x，∵AC′2＝AH2+C′H2，∴22＝（2﹣x）2+（1+x）2，整理方程为：2x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣8＝﹣4＜0，∴此方程无实数根，故这种情况不存在；③如图2，当AC′＝C′C时，则AC′＝BB′，延长C′B′交AB于H，∵A′B′∥AB，∠A′B′C′＝90°，∴∠AHC′＝∠A′B′C′＝90°，∴∠BHB′＝90°，设BH＝B′H＝x，∴BB′＝AC′＝x，AH＝2﹣x，C′H＝1+x，∵AC′2＝AH2+C′H2，∴（x）2＝（2﹣x）2+（1+x）2，解得：x＝，∴BB′＝，综上所述，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或，故答案为：1或．变式训练【变2-1】．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于2；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长a n＝．（n为正整数）解：（1）四边形CDEF是正方形，∴EF＝FC，EF∥FC，∴△BFE∽△BCA，∴＝，∴＝，∴a1＝2，故答案是：2；（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，∴IH＝ID，IH∥AD，∴△EIH∽△EDA，∴＝，∴＝，∴a2＝，如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝，第4的个正方形的边长为：＝，…第n个内接正方形的边长a n＝，故答案为：＝．【变2-2】．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF是（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四边形BEDF是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，设BE＝x，则AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的长是8；②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，∵∠ADC＝90°，∴点C与点G关于AD对称，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，∵四边形ABCD∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴＝＝＝，即＝，∴GH＝，CH＝，∴BH＝BC+CH＝10+＝，∴BG＝＝＝2，∴△BCM周长的最小值为2+10．1．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：①2x2+x+1＝0不是（填“是”或“不是”）；②3x2+5x+4＝0是（填“是”或“不是”）（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．（1）解：2x2+x+1＝0不是“勾系一元二次方程”，理由：∵c＝，∴c＝，∵a＝2，b＝1，∴a2+b2≠c2，∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，且c为斜边的长，∴2x2+x+1＝0不是“勾系一元二次方程”，3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”，理由：∵c＝5，∴c＝5，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，∴3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”，故答案为：不是，是；（2）证明：∵ax2+cx+b＝0是“勾系一元二次方程“，∴a、b、c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，∴c2＝a2+b2，∵Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根．（3）解：∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，∴a﹣c+b＝0，∴a+b＝c，∵四边形ACDE的周长是12，∴2（a+b）+c＝12，∴2c+c＝12，∴c＝2，∴a+b＝×2＝4，∴（a+b）2＝16，∴a2+2ab+b2＝16，∵a2+b2＝c2＝（2）2＝8，∴2ab+8＝16，∴ab＝4，＝ab＝×4＝2．∴S△ABC∴△ABC面积是2．2．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．（1）解：正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）（2）解：答案如图所示．M（3，4）或M′（4，3）．（3）证明：连接EC，∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，∵∠CBE＝60°，∴EC＝BC＝BE，∠BCE＝60°，∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°，∴DC2+EC2＝DE2，∴DC2+BC2＝AC2．即四边形ABCD是勾股四边形．3．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上；（3）如图3，已知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB＝15，AD＝6，BC ＝3，∠ADC＝135°，求CD的长度．（1）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）解：如图所示（答案不唯一），（3）解：如图3，延长AD，CB交于点H，∵四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，∴∠A+∠B＝90°，∵∠ADC＝135°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD＝45°，∴CH＝DH，∵AB2＝AH2+BH2，∴225＝（6+DH）2+（3+DH）2，∴DH＝6（负值舍去），∴CD＝6．4．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．【性质初探】如图1，已知，▱ABCD，∠B＝80°，点E是边AD上一点，连结CE，四边形ABCE恰为等腰梯形．求∠BCE的度数；【性质再探】如图2，已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF，BF ＝CE，连结BE、CF．求证：BE＝CF；【拓展应用】如图3，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝2，∠ABC＝45°，过点O作AC的垂线交BC的延长线于点G，连结DG．若∠CDG＝90°，求BC的长．【性质初探】解：过点A作AG⊥BC交于G，过点E作EH⊥BC交于H，∵▱ABCD，∴AE∥BC，∴AG＝EH，∵四边形ABCE恰为等腰梯形，∵AB＝EC，∴Rt△ABG≌Rt△ECG（HL），∴∠B＝∠ECH，∵∠B＝80°，∴∠BCE＝80°；【性质再探】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵四边形BCEF是等腰梯形，∴BF＝CE，由（1）可知，∠FBC＝∠ECB，∴△BFC≌△CEB（SAS），∴BE＝CF；【拓展应用】解：连接AC，过G点作GM⊥AD交延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，∵GO⊥AC，∴AC＝CG，∵AB∥CD，∠ABC＝45°，∴∠DCG＝45°，∴∠CDG＝90°，∴CD＝DG，∴BA＝DG＝2，∵∠CDG＝90°，∴CG＝2，∴AG＝2，∵∠ADC＝∠DCG＝45°，∴∠CDM＝135°，∴∠GDM＝45°，∴GM＝DM＝，在Rt△AGM中，（2）2＝（AD+）2+（）2，∴AD＝﹣，∴BC＝﹣．5．给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”．（1）如图1，格点四边形ABCD是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；（3）如图3，四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，E，F分别是AB，CD 的中点，连接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的长．（1）解：由图形可知∠E＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴它的“邻余线”是AB；（2）证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（3）解：如图，连接DE并延长到G，使EG＝DE，连接BG，CG，在△AED和△BEG中，，∴△AED≌△BEG（SAS），∴∠A＝∠ABG，BG＝AD＝4，∵四边形ABCD是“邻余四边形”，AB为“邻余线”，∴∠A+∠ABC＝90°，∴∠ABG+∠ABC＝∠GBC＝90°，在Rt△GBC中，GC＝，∵EG＝DE，AE＝BE，∴EF＝＝．6．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC 为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点D，请你在图1中找出满足条件的点D，保留画图痕迹（找出2个即可）（2）①如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DCB＝135°，对角线AC平分∠DAB．请问AC是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若AC＝，求AD•AB的值．（3）如图3，在（2）的条件下，若∠D＝∠ACB＝90°时，将△ADC以A为位似中心，位似比为：缩小得到△AEF，连接CE、BF，在△AEF绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AF时，请你直接写出BF的长．解：（1）如图1所示，AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴或，∴或，∴CD＝2.5或CD＝10，同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，如图中，D1，D2，D3，D4即为所求；（2）①是，理由：∵∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝45°，∴∠D+∠DCA＝180°﹣∠DAC＝135°，又∵∠DCB＝135°＝∠DCA+∠ACB，∴∠D＝∠ACB，∴△DAC∽△CAB，∴AC是四边形ABCD的“相似对角线”；②∵△DAC∽△CAB，∴，∴AD•AB＝AC2，∵AC＝，∴AD•AB＝10；（3）①由（2）可知△ADC为等腰直角三角形，AC＝，∴AD＝CD＝，∵△AEF∽△ADC，且相似比为：，∴AE＝EF＝，AF＝2，如图，延长CE交AF于点H，由题意可得：EH⊥AF于H，∴AH＝AF＝1，∴CH＝，∴CE＝CH﹣EH＝3﹣1＝2，∵∠CAD＝∠EAF＝45°，∴∠CAE＝∠BAF，，∵，∴△EAC∽△FAB，∴即，∴FB＝；②如图，设AF与EC交于点G，∵AF⊥CE，∴△AGE为等腰直角三角形，∵EA＝，∴AG＝EG＝1，在Rt△AGC中，CG＝，∴EC＝4，同理可证△EAC∽△FAB，∴即，∴FB＝4，综上，FB＝2或FB＝4．7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA＝PD，PC＝PB，∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝∠PBC，即∠PAD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理得：42+（3+x ）2＝（4+x ）2，解得：x ＝4.5，过点D ′作D ′F ⊥CE 于F ，∴D ′F ∥AC ，∴△ED ′F ∽△EAC ，∴＝，即＝，解得：D ′F ＝，∴S △ACE ＝AC ×EC ＝×4×（3+4.5）＝15；S △BED ′＝BE ×D ′F ＝×4.5×＝，则S 四边形ACBD ′＝S △ACE ﹣S △BED ′＝15﹣＝10；（ii ）当∠D ′BC ＝∠ACB ＝90°时，过点D ′作D ′E ⊥AC 于点E ，如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD ′是矩形，∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得：AE ＝＝，∴S △AED ′＝AE ×ED ′＝××3＝，S 矩形ECBD ′＝CE ×CB ＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S 四边形ACBD ′＝S △AED ′+S 矩形ECBD ′＝+12﹣3＝12﹣．8．定义：长宽比为：1（n 为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．可以证明四边形BCEF为矩形．（Ⅰ）在图①中，的值为；（Ⅱ）已知四边形BCEF为矩形，仿照上述操作，得到四边形BCMN，如图②，可以证明四边形BCMN为矩形，则n的值是3．（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝＝，由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形，∴∠A＝∠BFE，∴EF∥AD，∴＝，即：＝，∴BF＝，∴BC：BF＝1：＝：1，∴四边形BCEF为矩形；（2）解：（Ⅰ）在Rt△BFG中，由勾股定理得：FG＝＝＝＝，∴＝＝；（Ⅱ）∵BC＝1，EC＝BF＝，∴BE＝＝＝＝，由折叠可得BP＝BC＝1，∠FNM＝∠BNM＝90°，∠EMN＝∠CMN＝90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F＝∠FEC＝∠C＝∠FBC＝90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM＝∠F＝90°，∴MN∥EF，∴＝，即BP•BF＝BE•BN，∴1×＝BN，∴BN＝，∴BC：BN＝1：＝：1，∴四边形BCMN是的矩形，∴n＝3．故答案为：；3．9．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．（1）定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝55度．（2）变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．（3）深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．（4）迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．（1）解：∵四边形ABCD为等邻角四边形，∠A＝130°，∠B＝120°，∴∠C＝∠D，∴∠D＝55°，故答案为：55；（2）①证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠ABD，∴四边形ABDE为等邻角四边形；②解：△BDC是等边三角形，理由如下：∵∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∠DBC＝180°﹣2∠C，∵∠A+∠E+∠ABD+∠BDE＝360°，∴∠A+∠E＝360°﹣2∠ABD，∵∠A+∠C+∠E＝300°，∴300°﹣∠C＝360°﹣2（180°﹣2∠C），∴∠C＝60°，又∵BD＝BC，∴△BDC是等边三角形；（3）解：PM+PN＝CE，理由如下：如图，延长BA，CD交于点H，连接HP，∵∠B＝∠BCD，∴HB＝HC，＝S△BPH+S△CPH，∵S△BCH∴×BH×CE＝×BH×PM+×CH×PN，∴CE＝PM+PN；（4）解：如图，延长AD，BC交于点H，过点B作BG⊥AH于G，∵ED⊥AD，EC⊥CB，M、N分别为AE、BE的中点，∴AM＝DM＝ME，EN＝NB＝CN，∵AB2＝BG2+AG2，BD2＝BG2+DG2，∴52﹣（3+DG）2＝37﹣DG2，∴DG＝1，∴BG＝＝6，由（3）可得DE+EC＝BG＝6，∴△DEM与△CEN的周长之和＝ME+DM+DE+EC+EN+CN＝AE+BE+BG＝AB+BG＝（6+2）dm．10．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“筝形”也是“垂美四边形”．概念理解：（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，AB＝6，CD＝8，求AD的长．性质探究：（2）如图3，已知四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．问题解决：（3）如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG与正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．解：（1）∵等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，∴AD＝BC，AC⊥BD，∴AB2＝OB2+OA2，CD2＝OC2+OD2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，∴AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2，∴垂美四边形两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系是AB2+CD2＝BC2+AD2；∵AB＝6，CD＝8，∴2AD2＝62+82，∴AD＝5；（2）由（1）证明可得：垂美四边形两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系是AB2+CD2＝BC2+AD2；（3）连接BE，CG，CE，∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE，∠BAC+∠CAG＝∠GAB，∴∠CAE＝∠GAB，∵AC＝AG，AB＝AE，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴△ABG可视为△AEC绕点A逆时针旋转90°后得到的，由旋转的性质知：BG⊥CE，∴四边形BCGE为垂美四边形，∴由（2）知：CG2+BE2＝BC2+EG2，又∵AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，CG＝3，BE＝5，∴（3）2+（5）2＝42+GE2，∴GE＝2，又∵△OGE为直角三角形，OH为其斜边上的中线，∴OH＝，11．定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．特例感知：（1）如图1，四边形ABCD是“垂美四边形，如果，OB＝2，∠OBC＝60°，则AD2+BC2＝，AB2+CD2＝．猜想论证（2）如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．拓展应用：（3）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，∠BAC＝60°，求GE长．（4）如图3，∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，∠BOC＝120°，OA＝OD，，连接AC，BC，BD，请直接写出BC的长．解：（1）∵OA＝OD＝OB，OB＝2，∴OA＝OD＝，∵四边形ABCD是“垂美四边形”，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∵∠OBC＝60°，∴∠BCO＝30°，∴BC＝4，OC＝2，∴AD2+BC2＝OA2+OD2+BC2＝（）2×2+42＝，AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝，故答案为：，；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：∵四边形ABCD是“垂美四边形”，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2；（3）连接CG，BE，设BG与AC的交点为O，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AE＝AB，∠GAC＝∠EAB，∴∠GAB＝∠CAE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠GAB＝∠ACE，∵∠AOG＝∠BOC，∴BG⊥CE，∴四边形BCGE是“垂美四边形”，由（2）知，BC2+GE2＝CG2+BE2，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，∴∠CBA＝30°，∴AB＝2AC＝8，BC＝4，∴CG＝4，BE＝8，∴（4）2+GE2＝（4）2+（8）2，解得EG＝4；（4）如图，连接AD，设AC与BD的交点为H，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠ABO＝∠CDO＝30°，OC＝，∴∠BOD＝∠AOC，BO＝OA，DO＝OC＝3，AB＝2AO，CD＝2CO＝2，∵OA＝OD＝3，∴AB＝6，∵∠BOC＝120°，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝DO＝3，∵＝，∠BOD＝∠AOC，∴△BOD∽△AOC，∴∠DBO＝∠CAO，∵∠ABD+∠DBO+∠BAO＝90°，∴∠ABD+∠BAO+∠CAO＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是“垂美四边形”，由（2）可知：AB2+CD2＝AD2+BC2，∴36+12＝9+BC2，∴BC＝．12．点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：点A与点D或点A与点C，它们的“限斜系数”为2或；（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；（3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M（0，m）．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的纵坐标m的取值范围．解：（1）由定义可知x1≠x2，y1≠y2，∴B、C、D三点不能是“限斜点”，A、B不能是“限斜点”，对于点A（1，0）和点C（2，﹣2），|﹣2﹣0|＝2|2﹣1|，∴A与C是“限斜点”，“限斜系数”为2；对于点A（1，0）和点D（2，），|﹣0|＝|2﹣1|，∴A与D是“限斜点”，“限斜系数”为；故答案为：点A与点D或点A与点C；2或；（2）设E（x，y），∵点E，A是一对“限斜点”，“限斜系数”为1，∴|y|＝|x﹣1|，∵点E，B一对“限斜点”，“限斜系数”为1，∴|y|＝|x﹣2|，∴|x﹣1|＝|x﹣2|，解得x＝，∴y＝±，∴E（，）或（，﹣）；（3）∵C（2，﹣2），∴点C在直线y＝﹣x上，当T点在直线y＝﹣x上时，k（T，C）＝1，∵所有点T都满足k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝﹣x的上方，∵M（0，m），FG＝2，∴F（﹣1，m﹣1），当F点在直线y＝﹣x上时，m﹣1＝1，解得m＝2，∴m≥2时，对任意的T都有k（T，C）≥1；过点C作直线y＝﹣x的垂线，则垂线解析式为y＝x﹣4，当T点在直线y＝x﹣4上时，k（T，C）＝1，∵所有点T都满足k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝x﹣4的下方，∵M（0，m），FG＝2，∴E（﹣1，m+1），当E点在直线y＝x﹣4上时，﹣1﹣4＝m+1，解得m＝﹣6，∴m≤﹣6时，对任意的T都有k（T，C）≥1；综上所述：m≥2或m≤﹣6时，对任意的T都有k（T，C）≥1．13．定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是D．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD 的两条结论：①AC＝BD；②AC⊥BD．问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG，连结BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，故选：D；性质探究：①AC＝BD，②AC⊥BD；理由如下：如图1，∵四边形ABCD是“中方四边形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴∠FEH＝90°，EF＝EH，EH∥BD，EH＝BD，EF∥AC，EF＝AC，∴AC⊥BD，AC＝BD，故答案为：AC⊥BD，AC＝BD；问题解决：如图2，取四边形BCGE各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，∴MN∥BG，MN＝BG，RL∥BG，RL＝BG，RN∥CE，RN＝CE，ML∥CE，ML ＝CE，∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥ML∥CE，RN＝ML，∴四边形MNRL是平行四边形，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°，又∵∠BAC＝∠BAC，∴∠EAB+∠BAC＝∠GAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG，又∵RL＝BG，RN＝CE，∴RL＝RN，∴▱MNRL是菱形，∵∠EAB＝90°，∴∠AEP+∠APE＝90°．又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK，∴∠ABG+∠BPK＝90°，∴∠BKP＝90°，又∵MN∥BG，ML∥CE，∴∠LMN＝90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：（1）MN＝AC，理由如下：如图3，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，∴四边形ENFM是正方形，∴FM＝FN，∠MFN＝90°，∴MN＝＝＝FM，∵M，F分别是AB，BC的中点，∴FM＝AC，∴MN＝AC；（2）如图4，分别作AD、BC的中点E、F并顺次连接EN、NF、FM、ME，连接BD交AC于O，连接OM、ON，当点O在MN上（即M、O、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长，＝2MN，∴2（OM+ON）最小由性质探究②知：AC⊥BD，又∵M，N分别是AB，CD的中点，∴AB＝2OM，CD＝2ON，∴2（OM+ON）＝AB+CD，＝2MN，∴（AB+CD）最小由拓展应用（1）知：MN＝AC；又∵AC＝2，∴MN＝，＝2．∴（AB+CD）最小14．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M、N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点F在CE上运动（点F可以与C，E重合），连接OF，DF．①线段OF的最小值为，最大值为；线段DF的取值范围是DF≤2．②在点O，D中，点O与线段CE满足限距关系．（2）如图2，正方形ABMN的边长为2，直线PQ分别与x轴，y轴交于点Q，P，且与x轴正方向的夹角始终是30°，若线段PQ与正方形ABMN满足限距关系，求点P的纵坐标a（a＞0）的取值范围；（3）如图3，正方形ABMN的顶点均在坐标轴上，A（0，b）（b＞0），G，H是正方形边上两点，分别以G，H为中心作边长为1的正方形，与正方形ABMN的四边分别平行．若对于任意的点G，H，以G，H为中心的正方形都满足限距关系，直接写出b的取值范围．解：（1）①如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），∴OC＝1，OD＝1，OE＝，∴CE＝2，当OF⊥CE时，OC•OE＝EC•OF，∴OF＝，此时OF的值最小；当F点与E点重合时，OF的值最大，最大值为，当DF⊥CE时，DF的值最小，∴DC•OE＝EC•DF，∴DF＝，当点F与点C或点E重合时，DF有最大值，∴DE＝CD＝2，∴FD的最大值为2，∴≤DF≤2，故答案为：，，≤DF≤2；②线段CE上存在点M、N，满足OM最小值为，ON最大值为，则OM＝2ON，∴点O与线段CE满足限距关系；∵≤DF≤2，∴线段CE上不存在两点与点满足限距关系；故答案为：O；（2）∵P（0，a），∠PQO＝30°，∴OP＝a，PQ＝2a，∴OQ＝a，∵正方形的边长为2，∴OA＝OB＝2，当a＝2时，a＝，此时点Q与点B重合，①如图2，当0＜a＜时，线段PQ在正方形内部，此时PQ与正方形无公共点，过点Q作QE⊥AB交于E，过点Q作QF⊥QE交AN于点F，∴QE＝，∴QE＝1﹣a，∴正方形上到线段PQ的最短距离为1﹣a，∵NF＝，∴NF＝1+a，∴正方形上到线段PQ的最大距离为1+a，∵线段PQ与正方形满足限距关系，∴1+a≥2（1﹣a），解得a≥，∴≤a＜；②如图3，当≤a≤时，线段PQ与正方形有公共点，线段PQ与正方形满足限距关系；③如图4，当a＞时，线段PQ在正方形的外部，与正方形无公共点，过点A作AC⊥PQ交于C，过点M作MD⊥PQ交于D，∵∠OPQ＝60°，∴∠PAC＝30°，∠PMD＝30°，∴CP＝AP，PD＝PM，∴正方形到线段PQ的最小距离为AC＝＝（a﹣），正方形到线段PQ的最大距离为MP＝a+，∵线段PQ与正方形满足限距关系，∴a+≥2×（a﹣），解得a≤2+，∴＜a≤2+；综上所述：≤a≤2+；（3）如图5，当中心H、G分别与B、N重合时，∵A（0，b），∴OA＝OB＝ON＝b，∵小正方形的边长为1，∴CD＝PQ＝，∴两个正方形的距离的最小值为BN﹣BD﹣PN＝2b﹣，最大距离为BN+BC+NQ＝2b+，∵两个正方形满足限距关系，∴2b+≥2（2b﹣），解得b≤，∴0＜b≤．15．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD＝＝．由折叠性质可知BG＝BC＝1，∠AFE＝∠BFE＝90°，则四边形BCEF为矩形．∴∠A＝∠BFE．∴EF∥AD．∴＝，即＝．∴BF＝．∴BC：BF＝1：＝：1．∴四边形BCEF为矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH相等的线段是GH、DG，tan∠HBC的值是﹣1；（2）已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证：四边形BCMN是矩形；（3）将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是6．解：（1）由折叠可得：DG＝HG，GH＝CH，∴DG＝GH＝CH．设HC＝x，则DG＝GH＝x．∵∠DGH＝90°，∴DH＝x，∴DC＝DH+CH＝x+x＝1，解得x＝．∴tan∠HBC＝＝＝．故答案为：GH、DG，；（2）∵BC＝1，EC＝BF＝，∴BE＝＝．由折叠可得BP＝BC＝1，∠FNM＝∠BNM＝90°，∠EMN＝∠CMN＝90°．∵四边形BCEF是矩形，∴∠F＝∠FEC＝∠C＝∠FBC＝90°，∴四边形BCMN是矩形，∠BNM＝∠F＝90°，∴MN∥EF，∴＝，即BP•BF＝BE•BN，∴1×＝BN，∴BN＝，∴BC：BN＝1：＝：1，∴四边形BCMN是的矩形；（3）同理可得：将矩形沿用（21次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，故答案为6．16．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G 处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝2．证明：（1）设正方形ABEF的边长为a，∵AE是正方形ABEF的对角线，∴∠DAG＝45°，由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，则四边形ABCD为矩形，∴△ADG是等腰直角三角形．∴AD＝DG＝，∴AB：AD＝a：＝：1．∴四边形ABCD为矩形；（2）①解：如图b，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q．∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，∴四边形BQOP是矩形．∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．∴，．∵O为AC中点，∴OP＝BC，OQ＝AB．∵∠MON＝90°，∴∠QON＝∠POM．∴Rt△QON∽Rt△POM．∴＝．∴tan∠OMN＝．②解：如图c，作M关于直线BC对称的点P，连接DP交BC于点N，连接MN．则△DMN的周长最小，∵DC∥AP，∴，设AM＝AD＝a，则AB＝CD＝a．∴BP＝BM＝AB﹣AM＝（﹣1）a．∴＝＝2+，③如备用图，∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，∴BC＝AD＝2，∵BR⊥CM，∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，∴CI＝BC＝1，∴DR最小＝﹣1＝2故答案为：217．定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝120°；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为；②求△ABC的面积．（1）解：∵四边形ABCD是半对角四边形，∴∠B＝∠D，∠C＝∠A．∴∠D＝2∠B，∠A＝2∠C．∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，故答案为：120；（2）证明：连接OC，如图，在△BDE和△BOE中，，∴△BDE≌△BOE（SSS）．∴∠BDF＝∠BOE．∵∠ACB＝∠BOE，∴∠ACB＝∠BDF．设∠EAF＝α，则∠AED＝3α．∵∠AED＝∠EAF+∠AFE，∴∠AFE＝∠AED﹣∠EAF＝2α，∴∠DFC＝180°﹣∠AFD＝180°﹣2α．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠EAF＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠EAF﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠AOC＝∠DFC．∵∠ABC＝∠AOC，∴∠ABC＝∠DFC，∴四边形BCFD是半对角四边形；（3）解：①连接OC，如图，四边形BCFD是半对角四边形，且∠ABC＝∠DFC，∠ACB＝∠BDF，由（1）的方法可求得：∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．设⊙O的半径为r，则BD＝BO＝r，BH＝r﹣2，在Rt△BDH中，∵BD2＝BH2+DH2，。

垂美四边形模型垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。

垂美四边形的性质：①S 垂美四边形ABCD =12AC •BD ②AB 2+DC 2=AD 2+BC 2证明：1)S 垂美四边形ABCD =S △ABC +S △ADC=12AC •BP +12AC •DP =12AC •(BP +DP )=12AC •BD 结论：垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。

2)∵AB 2=AP 2+BP 2CD 2=PD 2+PC 2∴AB 2+CD 2=AP 2+BP 2+PD 2+PC 2∵AD 2=AP 2+DP 2BC 2=BP 2+PC 2∴AD 2+BC 2=AP 2+BP 2+PD 2+PC 2∴AB 2+DC 2=AD 2+BC 2【变形一】如图，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上有一点，连接AP 、BP ，则DP 、BP 、AP 、CP 之间的关系：DP 2+BP 2=AP 2+PC 2证明：∵DP 2+BP 2=DP 2+BC 2+PC 2PC 2+AP 2=PC 2+DP 2+AD 2而AD =BC∴DP 2+BP 2=AP 2+PC 2【变形二】如图，在矩形ABCD 中，P 为矩形内部任意一点，连接AP 、BP ，CP ，DP则AP 、BP ，CP ，DP 之间的关系：AP 2+PC 2=DP 2+BP 2证明(思路)：方法一：过点P 分别作PE ⊥AB 、PF ⊥BC 、PG ⊥CD 、PH ⊥AD 垂足分别为点E 、点F 、点G 、点H由已知条件可得HF ⊥EG ∴HG 2+EF 2=EH 2+FG 2(证明过程略)而AP =EH 、BP =EF 、CP =FG 、DP =GH∴AP 2+PC 2=DP 2+BP 2方法二：将△APD 平移至如图所示位置，点A 与点B 重合，点D 与点C 重合由平移的性质可得DP =CM ，AP =BM ，DP ∥CM ，∴四边形DPMC 为平行四边形∴CD ∥PM 则∠1=∠2 而∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90° 则∠CEP =90°∴BC ⊥PM∴BM 2+PC 2=CM 2+BP 2(证明过程略)∴AP 2+PC 2=DP 2+BP 2【培优过关练】1.(2023秋·河北石家庄·八年级统考期末)如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，若AD=2，AB=4，BC=5则CD的长为( )A.2.5B.3C.4D.13【答案】D【分析】在Rt△AOD中，AD2-OA2=OD2，在Rt△BOC中，BC2-OB2=OC2，再根据CD2=OD2+OC2即可得出答案．【详解】解：在Rt△AOD中，AD2-OA2=OD2，在Rt△BOC中，BC2-OB2=OC2，∴CD2=OD2+OC2=AD2-OA2+2BC2-OB2=AD2+2BC2-OB2+OA2=4+25-16=13，∴CD=13，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．2.(2022秋·四川绵阳·九年级统考期中)如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD的最大面积是()A.64B.32C.16D.以上都不对【答案】B【分析】设AC=x，将四边形的面积转化为二次函数，求最值即可．【详解】解：∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=1BD⋅AC；2设AC =x ，∵AC +BD =16，∴BD =16-x ，∴四边形ABCD 的面积=12x 16-x =-12x -8 2+32，当x =8时，四边形的面积最大：32，∴四边形ABCD 的最大面积是：32；故选B ．【点睛】本题考查二次函数和几何的综合应用．根据题意，正确的列出二次函数的解析式，是解题的关键．3.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC 、BD 是方程x 2-16x +60=0的两个解，则四边形ABCD 的面积是()A.60B.30C.16D.32【答案】B 【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理快速求解即可．【详解】由题意可知四边形ABCD 的面积S =12AC ×BD ∵AC 、BD 是方程x 2-16x +60=0的两个解，∴AC ×BD =x 1∙x 2=601=60，四边形ABCD 的面积S =12×60=30，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线的成绩计算面积是解题关键．4.(2022秋·河南信阳·九年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC +BD =16，则四边形ABCD 的面积最大值是()A.16B.32C.36D.64【答案】B 【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．【详解】解：设AC =x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD =16-x ，则：S =12AC ⋅BD =12x (16-x )=-12(x -8)2+32当x =8时，S 最大为：32﹔故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键．5.(2023春·八年级课时练习)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，点E 为对角线BD 上任意一点，连接AE 、CE ．若AB =5，BC =3，则AE 2-CE 2等于()A.7B.9C.16D.25【答案】C 【分析】连接AC ，与BD 交于点O ，根据题意可得AC ⊥BD ，在在Rt △AOE 与Rt △COE 中，利用勾股定理可得AE 2-CE 2=AO 2-CO 2，在在Rt △AOB 与Rt △COB 中，继续利用勾股定理可得AO 2-CO 2=AB 2-BC 2，求解即可得．【详解】解：如图所示：连接AC ，与BD 交于点O ，∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，∴AC ⊥BD ，在Rt △AOE 中，AE 2=AO 2+OE 2，在Rt △COE 中，CE 2=CO 2+OE 2，∴AE 2-CE 2=AO 2-CO 2，在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB2，在Rt△COB中，CO2=BC2-OB2，∴AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16，∴AE2-CE2=16，故选：C．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键．6.(2019·浙江杭州·模拟预测)如图，点E是矩形ABCD内任意一点，连接AE,BE,CE,DE，则下列结论正确的是()A.AE+DE=BE+CEB.AE+CE=BE+DEC.AE2+CE2=BE2+DE2D.AE2+DE2=BE2+CE2【答案】C【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得：AE2+CE2=BE2+DE2．【详解】如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD∵AE2=AM2+ME2，DE2=MD2+ME2，BE2=EF2+BF2，CE2=EF2+CF2∴AE2+CE2=BE2+DE2故：选C．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．7.(2022秋·上海·九年级校考期中)如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直于点O，CD=BD=5，BC=2，∠BAC=∠BDC，那么AB=．8.(2022·山东枣庄·统考模拟预测)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则AB2+CD2=．【答案】34【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2= 34．【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．9.(2020·山东日照·校考三模)如果，在Rt△ACB中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂真的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA=23②C，O两点距离的最大值为4：③四边形AOBC的面积为23+4；④斜边AB的中点D运动路径的长度是π2．其中正确结论的序号是【答案】①②##②①【分析】①先根据含30°角的直角三角形性质分别求出AB和AC，由轴对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC=23；②根据OC≤OE+CE=4，当OC经过AB的中点E时，OC最大，推出C、O两点距离的最大值为4；③如图2，根据四边形AOBC的面积等于△ABC面积与△ABO面积的和，其中△ABC的面积为23，△ABO的面积为12OA⋅OB，且OA、OB的取值都是大于等于0小于等于4，由勾股定理得到OB=16-OA2，推出OA⋅OB=-OA2-82+64，推出0≤OA⋅OB≤8，得到0≤S△ABO≤4，得到23≤S AOBC≤23+4；④如图3，半径为2，圆心角为90°的扇形的圆弧是点D的运动路径，根据弧长公式计算得到π．【详解】解：在Rt△ACB，BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC=23，若C、O两点关于AB对称，如图1，则AB是OC的垂直平分线，∴OA=AC=23，∴①正确；②如图1，取AB的中点E，连接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=12AB=2，∵OC≤OE+CE=4，∴当OC经过点E时，OC最大，C、O两点间的距离最大值为4；∴②正确；③如图2，S AOBC=S△ABC+S△ABO，其中S△ABC=12AC⋅BC=23，S△ABO=12OA⋅OB，且0≤OA≤4，0≤OB≤4，∵OA2+OB2=AB2=16，∴OB=16-OA2，∴OA⋅OB=OA16-OA2=-OA4+16OA2=-OA2-82+64，∴0≤OA⋅OB≤8，∴0≤S △ABO ≤4，∴23≤S AOBC ≤23+4；∴③不正确；④如图3，斜边AB 的中点D 运动路径是：以点O 为圆心，以2为半径的圆周的14，其弧长为：90π×2180=π．∴④不正确．综上所述，本题正确的有：①②．故答案为：①②．【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形，轴对称，三角形面积，二次函数，圆弧等，解决问题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的边角性质，轴对称性质，三角形面积公式，二次函数性质，圆弧长公式．10.(2020秋·全国·九年级专题练习)学习新知：如图1、图2，P 是矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP 2+CP 2=BP 2+DP 2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC 中，CA =4，CB =6，D 是△ABC 内一点，且CD =2，∠ADB =90°，则AB 的最小值为．【答案】43-2【分析】以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DE ，根据题意可得CD 2+CE 2=CA 2+CB 2，即可求出CE 的长度，当C 、D 、E 三点共线时，AB 的值最小，且为CE 与CD 长度之差，故AB 最小值可求．【详解】解：以AD 、BD 为边作矩形ADBE ，连接CE 、DE ，如图所示：则AB =DE ，由题意得：CD 2+CE 2=CA 2+CB 2，即22+CE 2=42+62，解得：CE =43，当C 、D 、E 三点共线时，DE 最小，∴AB 的最小值=DE 的最小值=CE -CD =43-2，故答案为：43-2．【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已给的新知推断CD 、CE 、CA 、CB 之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值．11.(2022秋·天津·九年级天津市第五十五中学校考期末)如图，四边形ABCD 两条对角线AC 、BD 互相垂直，且AC +BD =10．设AC =x ，0<x <5(1)用含x 的式子表示：S 四边形ABCD =；(2)当ABCD 四边形的面积为8cm 2时，求AC 、BD 的长；【答案】(1)5x -12x 2(2)AC =2cm ，BD =8cm【分析】(1)根据S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12BD ⋅AC 进行求解即可；(2)根据(1)所求，代入S 四边形ABCD =8进行求解即可．【详解】(1)解：如图所示，设AC 、BD 交于点O ，∵AC +BD =10，AC =x ，∴BD =10-x ，∵四边形ABCD 两条对角线AC 、BD 互相垂直，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD=12BD ⋅OA +12BD ⋅OC =12BD ⋅AC =12x 10-x =5x -12x 2，故答案为；5x -12x 2；(2)解：由题意得5x -12x 2=8，∴x 2-10x +16=0，解得x =2或x =8(舍去)∴AC =2cm ，BD =10-x =8cm ．【点睛】本题主要考查了三角形面积，一元二次方程的应用，正确列出四边形的面积关系式是解题的关键．12.(2022秋·江西抚州·九年级南城县第二中学校考阶段练习)(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是；(只填序号)(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD 的两对角线交于点O ，试探究AB ，CD ，BC ，AD 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =8，AB =10，求GE 长．【答案】(1)③④(2)四边形ABCD 是垂美四边形；理由见解析(3)AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；理由见解析(4)273【分析】(1)根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可；(2)根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可；(3)根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答案；(4)证明△GAB ≌△CAE ，进而得出CE ⊥BG ，根据(3)的结论计算即可．【详解】(1)解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形，∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，故答案为：③④；(2)解：四边形ABCD 是垂美四边形，理由如下：如图2，∵AB =AD ，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，∵CB =CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，∴AC ⊥BD ，即四边形ABCD 是垂美四边形；(3)解：AD 2+BC 2=AB 2+CD 2，证明如下：如图①，∵AC ⊥BD ，∴∠AOD =∠AOB =∠BOC =∠COD =90°，由勾股定理得，AD 2+BC 2=AO 2+DO 2+BO 2+CO 2，AB 2+CD 2=AO 2+BO 2+CO 2+DO 2，∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；(4)解：如图3，连接BE 、CG ，设AB 与CE 交于点M ，∵∠CAG =∠BAE =90°，∴∠CAG +∠BAC =∠BAE +∠BAC ，即∠GAB =∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG =AC∠GAB =∠GAE AB =AE，∴△GAB ≌△CAE (SAS )，∴∠ABG =∠AEC ，∵∠AEC +∠AME =90°，∴∠ABG +∠BMC =90°，即CE ⊥BG ，∴四边形CGEB 是垂美四边形，∴CG 2+BE 2=CB 2+GE 2，∵AB =10，AC =8，∴BC 2=AB 2-AC 2=36，CG 2=AC 2+AG 2=128，BE 2=AB 2+AE 2=200，∴GE 2=128+200-36=292，则GE =273．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．13.(2022秋·九年级单元测试)如图，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形．(2)若四边形ABCD 的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)连接AC ，根据三角形中位线定理证明HG =EF ，HG ∥EF ，根据平行四边形的判定定理可得结论；(2)先由三角形的中位线定理和矩形的判定定理推知四边形EFGH 是矩形，进而求出HG ⋅HE 即可解答．(1)证明：连接AC ．∵点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴HG =12AC ，HG ∥AC ，EF =12AC ，EF ∥AC ，∴HG =EF ，HG ∥EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)连接BD ，AC ．由(1)得：HG =12AC ，HG ∥AC ，同理可得：HE =12BD ，HE ∥BD ，∵AC ⊥BD ，∴HE ⊥HG ，又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形，∵AC⋅BD=48，∴HG⋅HE=12AC⋅12BD=12，∴矩形EFGH的面积为12．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、中点四边形、三角形中位线定理，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．14.(2022秋·九年级课时练习)小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是．(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两条对角线AC、BD之间的数量关系：．(3)问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BG、CE交于点N，CE交AB于点M，连结GE．①求证：四边形BCGE为垂美四边形；②已知AC=4，AB=5，则四边形BCGE的面积为．【答案】(1)菱形和正方形(2)12AC∙BD(3)①证明见解析；②652【分析】(1)由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；(2)四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ADC的面积=12AC∙BO+12AC∙DO=12AC∙BD；(3)①连接CG、BE，证出∠GAB=∠CAE，由SAS证明∆GAB≌△CAE，得出BG=CE，∠ABG=∠AEC，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出∠BNM=90°，得出BG⊥CE即可；②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算即可．【详解】(1)(1)∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，∴菱形和正方形一定是垂美四边形；故答案为：菱形、正方形；(2)如图1所示：∵四边形ABCD 的面积=△ABC 的面积+△ADC 的面积=12AC ∙BO +12AC ∙DO =12AC ∙BD ；故答案为：12AC ∙BD ；(3)证明：连接CG 、BE ，如图2所示:∵四边形ACFG 和四边形ABDE 是正方形，∴∠F =∠CAG =∠BAE =90°，FG =AG =AC =CF ，AB =AE ，∴∠CAG +∠BAC =∠BAE +∠BAC ，即∠GAB =∠CAE ，在∆GAB 和△CAE 中，AG =AC∠GAB =∠CAEAB =AE∆GAB ≌∆CAE (SAS )，∴BG =CE ，∠ABG =∠AEC ，又∵∠AEC +∠AME =90°∠AME =∠BMN ，∴∠ABG 十∠BMN =90°∴∠BNM =90°∴BG ⊥CE ，∴四边形BCGE 为垂美四边形；∵FG =CF =AC =4，∠ACB =90°，AB =5，∴BC =AB 2-AC 2=3，∴BF =BC +CF =7，在Tt △BFG 中，BG =BF 2+FG 2=72+42=65，∴CE =BG =65，∴四边形BCGE 为垂美四边形，∴四边形BCGE 的面积=12BG ·CE =652，故答案为：652【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题关15.(2021秋·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习)认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB=OD，AB=AD，判断：四边形ABCD垂美四边形(填“是”或“否”)；(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．①若OA=1，OB=5，OC=7，OD=2，则AB2+CD2=；AD2+BC2=．②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB=90°，AC⊥AG且AC=AG=4，AB⊥AE且AE=AB=5，连结CE、BG、GE，则GE=．【答案】(1)是(2)①79，79；②AB2+CD2=AD2+BC2，理由见解析(3)73【分析】(1)连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可；(3)证△GAB≌△CAE(SAS)，得∠ABG=∠AEC，再证四边形CGEB是垂直四边形，然后由垂直四边形的性质，勾股定理，结合(2)的结论计算即可．(1)解：结论：四边形ABCD是垂美四边形．理由：如图，连接AC和BD，∵AD=AB，∴A在BD的垂直平分线上，∵CD=CB，∴C在BD的垂直平分线上，∴AC垂直平分BD，∴四边形ABCD为垂美四边形；故答案为：是；①解：∵AC⊥BD，∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2=1+25+49+4=79，AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2=1+25+49+4=79，故答案为：79，79；②结论：AB2+CD2=AD2+BC2．理由：∵AC⊥BD，∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，∴AB2+CD2=AD2+BC2；(3)如图，设AC与BG的交点为N，AB与CE的交点为M，∵∠CAG=∠BAE=90°，AG=AC，AB=AE，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，∴△GAB≌△CAE(SAS)，∴∠ABG=∠AEC，∵∠BAE=90°，∴∠AEC+∠AME=90°，∵∠AME=∠BMN，∴∠ABG+∠BMN=90°，∴∠BNM=90°，∴CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，∵∠ACB=90°，∴BC=AB2-AC2=52-42=3，由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，∴AC2+AG2+AB2+AE2=CB2+GE2，∴16+16+25+25=9+GE2，∴GE=73，故答案为：73．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．16.(2022春·江西上饶·八年级统考期末)定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果OA=OD=13OB，OB=2，∠OBC= 60°，则AD2+BC2=，AB2+CD2=．(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．(3)拓展应用：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，∠BAC=60°，求GE长．【答案】(1)1529，1529(2)AB2+CD2=AD2+BC2，证明见解析(3)EG=47【分析】(1)利用含30°角的直角三角形的性质得BC=4，OC=23，再利用勾股定理即可得出答案；(2)由“垂美四边形”得∠AOD=∠BOC=90°，再根据勾股定理得AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2 =AD2+BC2；(3)连接CG，BE，首先利用SAS证明ΔGAB≅ΔCAE，得∠GAB=∠ACE，说明BG⊥CE，从而得出BC2+GE2=CG2+BE2，进而解决问题．【详解】(1)解：∵OA=OD=13OB，OB=2，∴OA=OD=23，∵四边形ABCD是“垂美四边形”，∴∠AOD=∠BOC=90°，∵∠OBC=60°，∴∠BCO=30°，∴BC=4，OC=23，∴AD 2+BC 2=OA 2+OD 2+BC 2=23 2×2+42=1529，AB 2+CD 2=OA 2+OB 2+OD 2+OC 2=AD 2+BC 2=1529，故答案为：1529，1529；(2)结论：AB 2+CD 2=AD 2+BC 2，证明：∵AC ⊥BD 于点O ，∴∠AOD =90°，∴AD 2=OA 2+OD 2.同理可得AB 2=OA 2+OB 2，BC 2=OB 2+OC2，CD 2=OC 2+OD 2∴AB 2+CD 2=AD 2+BC 2(3)解：如图：连接CG 、BE ，∵∠GAC =∠BAE =90°，∴∠GAC +∠CAB =∠BAE +∠CAB ，∴∠GAB =∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG =AC∠GAB =∠CAE AB =AE，∴△GAB ≌△CAE ，∴∠AGB =∠ACE ，∵∠AGB +∠AMG =90°，∠AMG =∠BMC ，∴∠ACE +∠CMB =90°，∴BG ⊥CE ，∴四边形GCBE 为垂美四边形，由(2)中结论可知EG 2+BC 2=CG 2+BE 2，∵AC =4，∠BAC =60°，∴∠ABC=30°，∴AB=8，BC=43，∴CG2=2AC2=32，BE2=2AB2=128，∴EG2+48=32+128，∴EG2=112，根据线段为正数可知EG=47【点睛】本题是一道新定义题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，正方形的性质等知识，利用(2)中结论是解决问题(3)的关键．17.(2022春·广东韶关·八年级统考期末)新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)尺规作图：以已知线段EG为对角线作一个垂美四边形EFGH，使其对角线交于点O；(不写作法，保留作图痕迹)(2)已知四边形ABCD是垂美四边形，且AC=36,BD=42，则它的面积为；(3)如图，四边形ABCD是垂美四边形，AB=c,BC=d,CD=a,DA=b，探究a、b、c、d的数量关系；(4)如图，已知D、E分别是△ABC中边BC、AC的中点，AD⊥BE,AC=3,BC=4，请运用上题的结论，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)123(3)a2+c2=b2+d2(4)AB=5【分析】(1)分别以点E、点G为圆心画弧，交于EG上方于点F，交EG下方于点G，连接EF、EH、GF、GH，四边形EFGH即为所求；(2)将四边形ABCD分为上下两个三角形，分别求出两个三角形的面积再相加即可；(3)将四边形ABCD分为四个小的直角三角形，再根据勾股定理分别用OA、OB、OC、OD表示出a2、b2、c2、d2即可知道a、b、c、d之间的数量关系；(4)连接DE，根据题意可得四边形AEDB是垂美四边形，结合(3)的结论即可求出AB长度．【详解】(1)解：如图1：(2)解：如图2，Rt△ACD中，SΔACD=12AC×DE，Rt△ABC中，SΔABC=12AC×BE，S四边形ABCD=SΔACD+SΔACB=12AC×DE+12AC×BE=12×AC×BD=12×36×42=123．(3)∵AC⊥BD，∴Rt△ABO中，c2=OA2+OB2；Rt△CDO中，a2=OC2+OD2，Rt△BCO中，d2=OB2+OC2，Rt△ADO中，b2=OA2+OD2，∴a 2+c 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2，b 2+d 2=OA 2+OB 2+OC 2+OD 2；∴a 2+c 2=b 2+d 2；(4)解：连接DE ，如图3，∵D 、E 分别是△ABC 中边BC 、AC 的中点，∴BD =12BC =2,AE =12AC =32,DE =12AB ；∵AD ⊥BE ，∴四边形ABDE 是垂美四边形；∴AB 2+DE 2=BD 2+AE 2；即AB 2+12AB 2=22+32 2，得AB =5．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理，读懂题目的新定义，巧妙地运用等量代换得出结论是解题的关键．18.(2022秋·江西吉安·九年级统考期末)定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．(1)特例感知：如图1，四边形ABCD 是“垂美四边形”，如果OA =OD =13OB ，OB =2，∠OBC =60°，则AD 2+BC 2=，AB 2+CD 2=．(2)猜想论证如图1，如果四边形ABCD 是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB ，CD 与BC ，AD 之间的数量关系并给予证明．(3)拓展应用：如图2，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知AC =4，∠BAC =60°，求GE 长．(4)如图3，∠AOB =∠COD =90°，∠ABO =∠CDO =30°，∠BOC =120°，OA =OD ，OC =3，连接AC ，BC ，BD ，请直接写出BC 的长．【答案】(1)1529，1529(2)AD 2+BC 2=AB 2+CD 2，证明见解析(3)47(4)39【分析】(1)根据勾股定理及含30度角的直角三角形求出BC 和OC 的值，再根据勾股定理即可得出答案；(2)根据勾股定理及含30度角的直角三角形分别用含OA 的式子表示出BC 和OC 的值，再根据勾股定理即可得证；(3)连接CG 、BE ，先利用SAS 证明△GAB ≅△CAE ，再利用角的关系得出四边形GCBE 为垂美四边形，最后根据(2)的结论即可得出答案；(4)连接AD ，先求证△BOD ∼△AOC ，再利用角的关系得出四边形ABCD 为垂美四边形，最后根据(2)的结论即可得出答案；【详解】(1)∵OB =2，∴OA =OD =13OB =23，∵∠OBC =60°,AC ⊥BD ，∴∠BCO =30°，∴BC =2OB =4，∴OC =42-22=23，∴AD 2+BC 2=OA 2+OD 2+BC 2=89+16=1529，AB 2+CD 2=OA 2+OB 2+OD 2+OC 2=1529，故答案为：1529，1529；(2)证明：∵OA =OD =13OB ，∴OB =3OA ，∵∠OBC =60°,AC ⊥BD ，∴∠BCD =30°，∴BC =2OB =6OA ，∴OC =33OA ，∴AD 2+BC 2=OA 2+OD 2+6OA 2=38OA 2，AB 2+CD 2=OA 2+OB 2+OD 2+OC 2=OA 2+3OA 2+OA 2+27OA 2=38OA 2，∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2．(3)解：如图：连接CG、BE，∵∠GAC=∠BAE=90°，∴∠GAC+∠CAB=∠BAE+∠CAB，∴∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG=AC∠GAB=∠CAE AB=AE，∴△GAB≅△CAE，∴∠AGB=∠ACE，∵∠AGB+∠AMG=90°，∠AMG=∠BMC，∴∠ACE+∠CMB=90°，∴BG⊥CE，∴四边形GCBE为垂美四边形，由(2)中结论可知EG2+BC2=CG2+BE2，∵AC=4，∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=8，BC=43，∴CG2=2AC2=32，BE2=2AB2=128，∴EG2+48=32+128，∴EG2=112，根据线段为正数可知EG=47．(4)解：如图：连接AD，∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=120°，∴∠AOD=60°，∵OA=OD，∴△OAD为等边三角形，∴OA=OD=AD，∵∠ABO=∠CDO=30°,OC=3，∴在Rt△COD中，tan∠CDO=33=OC OD，在Rt△AOB中，tan∠ABO=33=OAOB，∴OD=OA=AD=3，∴OB=33，∴AB2=32+332=36,CD2=OC2+OD2=32+32=12，∵∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，∴∠AOC=∠BOD，∵OC OA =33,ODOB=333=33，∴OC OA =OD OB，∴△BOD∼△AOC，∴∠DBO=∠CAO，∵∠DBO+∠BPO=90°,∠BPO=∠APD，∴∠AQB=90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD为垂美四边形，由(2)中结论可知AD2+BC2=AB2+CD2，即32+BC2=36+12，∴BC2=39，根据线段为正数可知BC=39．【点睛】本题是一道新定义题，涉及到相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形、等边三角形的判定及性质、正方形的性质，是一道综合性强的题，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键．19.(2021春·湖北武汉·八年级统考期中)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．(1)性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2=AD2+BC2；(2)解决问题：已知AB=52．BC=42，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如图2，当∠ACB=90°，连接DE，求DE的长；②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH=26，则S△ABC=．【答案】(1)见解析；(2)①146；②7 2【分析】(1)根据AC⊥BD可以得到∠AOB=∠COD=90°即可得到AB2=AO2+OB2，CD2=DO2 +OC2即AB2+CD2=AO2+OB2+DO2+OC2同理可以得到AD2+BC2=AO2+OB2+DO2+OC2即可得到答案;(2)连DC、AE相交于点F，先证明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE从而证得AE⊥CD再利用勾股定理和(1)中的结论求解即可得到答案；(3)连DC、AE相交于点F，作CP⊥BD交DB延长线于点P，BP2+CP2=BC2=(42)2=32，DP2 +PC2=DC2=(46)2=96，(DP2+PC2)-(BP2+CP2)=96-32=64，DP2-BP2=64从而求出BP=7 102，再证明AB∥PC则S△ABC=12AB×BP.【详解】解：(1)证明：∵AC⊥BD∴∠AOB=90°在Rt△AOB中AB2=AO2+OB2∴∠COD=90°在Rt△COD中CD2=DO2+OC2∴AB2+CD2=AO2+OB2+DO2+OC2同理AD2+BC2=AO2+OB2+DO2+OC2∴AB2+CD2=AD2+BC2(2)①解：连DC、AE相交于点F∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形∴BE=BCAB=BD∠CBE=∠ABD=90°∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∴△ABE≌△DBC∴∠CDB=∠BAE∵∠ABD=90°∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∴∠AFD=90°∴AE⊥CD∵AB=52，BC=42∠ACB=90°∴AC=AB2-BC2=32∵AB=52，BD=52∠ABD=90°∴AD =AB 2+BD 2=10∵BC =42，BE =42∠CBE =90°∴CE =BC 2+BE 2=8由(1)中结论AD 2+EC 2=AC 2+DE 2∴(10)2+(8)2=(32)2+DE 2∴DE =146②连DC 、AE 相交于点F∵点G 、H 分别是AD 、AC 中点，GH =26∴DC =2GH =46作CP ⊥BD 交DB 延长线于点PBP 2+CP 2=BC 2=(42)2=32DP 2+PC 2=DC 2=(46)2=96∴(DP 2+PC 2)-(BP 2+CP 2)=96-32=64∴DP 2-BP 2=64∴(BD +BP )2-BP 2=64∴(52+BP )2-BP 2=64∴BP =7102∵∠PBA =90°，∠P =90°，∴∠PBA +∠P =90°+90°=180°∴AB ∥PC则S △ABC =12AB ×BP =12×52×7102=72【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20.(2021·贵州贵阳·统考一模)如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．(1)性质探究：如图1．已知四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，垂足为O ，求证：AB 2+CD 2=AD 2+BC 2．(2)解决问题：已知AB =5，BC =4，分别以△ABC 的边BC 和AB 向外作等腰Rt △BCQ 和等腰Rt △ABP ．①如图2，当∠ACB =90°，连接PQ ，求PQ ；②如图3，当∠ACB ≠90°，点M 、N 分别是AC 、AP 中点连接MN ．若MN =23，则S △ABC =．【答案】(1)详见解析；(2)①73，②7 4【分析】(1)利用勾股定理即可得出结论；(2)①根据SAS可证明△PBC≌△ABQ，得∠BPC=∠BAQ，得∠PDA=90°，可求出PQ的长；②连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ，则AQ=PC且AQ⊥PC，由MN=23，可知AQ=PC=43．延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出．【详解】解：(1)证明：如图中，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，∴AB2+CD2=AD2+BC2；(2)①如图，连接PC、AQ交于点D，∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，∴PB=AB，CB=BQ，∠ABP=∠CBQ=90°，∴∠PBC=∠ABQ，∴△PBC≌△ABQ(SAS)，∴∠BPC=∠BAQ，又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP=90°，即∠BAQ+∠CPA+∠BAP=90°，∴∠PDA=90°，∴PC⊥AQ，利用(1)中的结论：AP2+CQ2=AC2+PQ2即(52)2+(42)2=32+PQ2；∴PQ=73．②如图，连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ(SAS)，AQ=PC且AQ⊥PC，∵M 、N 分别是AC 、AP 中点，∴MN =12PC ，∵MN =23，∴AQ =PC =43．延长QB 作AE ⊥QE ，则有AE 2+BE 2=25，AE 2+QE 2=48，∵EQ =4+BE ，∴(4+BE )2-BE 2=23，解得BE =78，∴S △ABC =12×BC ×BE =12×4×78=74．故答案为：74．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．。

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。

2021年全国各省市中考真题汇总：四边形压轴1．（2021•枣庄）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．2．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．3．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s 的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．4．（2021•贺州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若AD＝4，求△BED的面积．5．（2021•福建）如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G．（1）求证：DE∥A′F；（2）求∠GA′B的大小；6．（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为．7．（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．（2）当时，求的值；（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．8．（2021•安顺）（1）阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；（2）问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；（3）拓展探究如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．已知∠1＝∠2＝∠3＝α，当角α（0°＜α＜90°）变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．9．（2021•齐齐哈尔）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）∠EAF＝°，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：BM2+DN2＝MN2．10．（2021•广西）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y＝，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l 分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．11．（2021•玉林）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．（1）求证：四边形DEBF是菱形：（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．12．（2021•海南）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE．（1）求证：△DCE≌△DAF；（2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF 于点G，连接HB，HC．①求证：HD＝HB；②若DK•HC＝，求HE的长．13．（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，①当m＝时，求线段CF的长；②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．14．（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．15．（2021•盐城）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．16．（2021•广西）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF．∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF．又S△ABC＝BC•AE，S△DBC＝BC•DF．∴S△ABC＝S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．17．（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，OA＝AB，且线段OA的长是方程x2﹣4x﹣5＝0的根，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，tan∠BAE ＝，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以MD为边作正方形MDCF，点C在线段OA上，设正方形MDCF与△AOB重叠部分的面积为S，点M的运动时间为t（t＞0）秒．（1）求点B的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当点F落在线段OB上时，坐标平面内是否存在一点P，使以M、A、O、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2021•衢州）【推理】如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．（1）求证：△BCE≌△CDG．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，CE＝9，求线段DE的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若＝k，＝，求的值（用含k的代数式表示）．19．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．20．（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE 的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：BC＝CF；（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．21．（2021•十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．22．（2021•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，BE＝BC，EF⊥CD，垂足为F．将四边形CBEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到四边形CB'E'F′，B′E′所在的直线分别交直线BC于点G，交直线AD于点P，交CD于点K．E′F′所在的直线分别交直线BC于点H，交直线AD于点Q，连接B′F′交CD于点O．（1）如图1，求证：四边形BEFC是正方形；（2）如图2，当点Q和点D重合时．①求证：GC＝DC；②若OK＝1，CO＝2，求线段GP的长；（3）如图3，若BM∥F′B′交GP于点M，tan∠G＝，求的值．23．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．24．（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC 上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．25．（2021•岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．（1）如图1，若α＝90°，则线段ED与BD的数量关系是，＝；（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE．①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；②求证：＝；（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C作CF∥DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出的值（用含m的式子表示）．26．（2021•菏泽）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．（1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；（2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；（3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．27．（2021•新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF．求证：（1）△ABE≌△DCF；（2）四边形AEFD是平行四边形．28．（2021•株洲）如图所示，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2．（1）求证：四边形BFED是平行四边形；（2）若tan∠ABD＝，求线段BG的长度．29．（2021•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（﹣，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤t≤时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案1．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：如图2，连接AC、BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．2．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．3．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PE⊥CD于点E，同（1）可得EQ＝AD＝1．∴DQ＝DE+EQ＝AP+EQ＝x+1，当x+1＝3时x＝2，∴y＝DQ•AD＝×（x+1）＝x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝x2﹣2x+2，∴y＝S△PDQ﹣S△CQF＝x+﹣（x2﹣2x+2）＝﹣x2x﹣（2＜x≤3）．综上所述，y＝．4．（1）证明：∵∠C＝90°，∴EC⊥DC，∵EF⊥BD，EF＝EC，∴DE是∠BDC的平分线，∴∠EDB＝∠EDC，∵∠ADB＝∠BDC，∴∠ADB＝∠EDB，∵∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠EDB，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，∴DE＝BE＝AD＝4，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，∴∠EDC＝30°，∴CD＝DE•cos30°＝4×＝2，∴S△BED＝BE•CD＝×4×2＝4．5．证明：（1）如图，设AG与DE的交点为O，连接GF，∵点A关于DE的对称点为A′，∴AO＝A'O，AA'⊥DE，∵E，F为边AB上的两个三等分点，∴AE＝EF＝BF，∴DE∥A'F；（2）∵AA'⊥DE，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，∴∠ADE+∠DEA＝90°＝∠DEA+∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，在△ADE和△BAG中，，∴△ADE≌△BAG（ASA），∴AE＝BG，∴BF＝BG，∴∠GFB＝∠FGB＝45°，∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，∴点F，点B，点G，点A'四点共圆，∴∠GA'B＝∠GFB＝45°；（3）设AE＝EF＝BF＝BG＝a，∴AD＝BC＝3a，FG＝a，∴CG＝2a，在Rt△ADE中，DE＝＝＝a＝AG，∵sin∠EAO＝sin∠ADE，∴，∴，∴OE＝a，∴AO＝＝＝a＝A'O，∴A'G＝，∵AO＝A'O，AE＝EF，∴A'F＝a＝a，∵∠FA'G＝∠FBG＝90°，∴∠A'FB+∠A'GB＝180°，∵∠A'GC+∠A'GB＝180°，∴∠A'FB＝∠A'GC，又∵＝＝，∴△A'FB∽△A'GC，∴，∴A′C＝2A′B．6．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．7．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DCB＝90°，∵∠ECH＝90°，∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECH﹣∠BCE，即∠DCE＝∠BCH，在△CDE和△CBH中，，∴△CDE≌△CBH（SAS）；（2）解：由（1）得：△ACDE≌△CBH，∴∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDB＝∠DBC＝45°，∴∠CDE＝∠CBH＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDH＝135°﹣45°＝90°，∵BH：DH＝1：5，∴设BH＝a，则DH＝5a，∴DE＝BH＝a，在Rt△HDE中，EH＝＝＝a，过C作CM⊥EH于M，过D作DN⊥FH于N，如图1所示：则DN∥CM，∵△DEH的面积＝DN×EH＝DE×DH，∴DN×a＝×a×5a，解得：DN＝a，∵CE＝CH，∠ECH＝90°，∴CM＝EH＝a，∵DN∥CM，∴△FDN∽△FCM，∴＝＝＝；（3）解：过点E作PE∥DH交CF于P，过点E作EQ⊥CF于Q，如图2所示：∵PE∥DH，∴∠BHG＝∠PEF，∠FPE＝∠FDH＝135°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠HBG＝∠FDH＝135°，∴∠HBG＝∠EPF＝135°，∵∠CDE＝135°，∴∠EDQ＝45°，∠EPQ＝45°，∴△PED为等腰直角三角形，∴DE＝PE，由（1）得：△CDE≌△CBH，∴DE＝BH，∴DE＝BH＝PE＝3，在△BHG和△PEF中，，∴△BHG≌△PEF（ASA），∴HG＝EF＝4，∵△PED是等腰直角三角形，∴PD＝DE＝3，∵EQ⊥PD，∴QE＝PD＝，在Rt△FEQ中，sin∠CFE＝＝＝．8．解：（1）a2+b2＝c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：∵如图①是由直角边长分别为a，b的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（b﹣a）的小正方形拼成的一个边长为c的大正方形，∴4△ADE的面积+正方形EFGH的面积＝正方形ABCD是面积，即4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2；（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，设EF＝a，FD＝b，∴a+b＝12①，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，∵E'F'﹣KF'＝E'K，∴a﹣b＝5②，由①②得：，解得：a＝，∴EF＝；（3）c+b＝n，理由如下：如图③所示：设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，∴＝，＝，即＝，＝，∴e2＝cn，f2＝bn，在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e2+f2＝n2，∴cn+bn＝n2，∴c+b＝n．9．（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF＝（∠BAC+∠DAC）＝45°，∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，∴PQ＝BP+DQ．故答案为：PQ＝BP+DQ．（3）解：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝AB，∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴＝＝，故答案为：．（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2．10．解：（1）设EF＝m．∵BC＝14，BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8，∵AD＝8，∴AD＝DC＝8，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AC＝AD＝8，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，∴∠AHE＝∠FGC＝90°，∵∠DAC＝∠C＝45°，∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，∴AH＝EH＝x，CG＝FG＝x，∴3m＝8，∴m＝，∴EF＝．（2）∵DE＝DF＝x，DA＝DC＝8，∴AE＝CF＝8﹣x，∴EH＝AE＝（8﹣x），EF＝DE＝x，∴y＝＝＝，∴y＝（0＜x＜8）．（3）如图③中，由（2）可知点P在y＝上，当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P（，），当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小，此时OM＝ON＝2，∴△MON的面积的最小值＝×2×2＝6．11．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△BOE和△DOF中，，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形；（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，∵AD∥EF，EF⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∵AD+AB＝12，BD＝4，∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，解得AD＝4，AB＝8，∴∠ABD＝30°，∵四边形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形，∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4，∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根据勾股定理得，FG＝，在Rt△AGF中，AG＝6，根据勾股定理得，AF＝＝＝4．12．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AD，∠DCE＝∠DAF＝90°，∵CE＝AF，∴△DCE≌△DAF（SAS）；（2）①∵△DCE≌△DAF，∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF，∴∠DE＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，∴△DFE为等腰直角三角形，∵DH⊥EF，∴点H是EF的中点，∴DH＝EF，同理，由HB是Rt△EBF的中线得：HB＝EF，∴HD＝HB；②∵四边形ABCD为正方形，故CD＝CB，∵HD＝HB，CH＝CH，∴△DCH≌△BCH（SSS），∴∠DCH＝∠BCH＝45°，∵△DEF为等腰直角三角形，∴∠DFE＝45°，∴∠HCE＝∠DFK，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠DKF＝∠HEC，∴△DKF∽△HEC，∴，∴DK•HC＝DF•HE，在等腰直角三角形DFH中，DF＝HE＝HE，∴DK•HC＝DF•HE＝HE2＝，∴HE＝1．13．解：（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠EFG，∠B＝∠G＝90°，∵等腰直角三角形AEF，∴AE＝EF，在△ABE和△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，在Rt△CGF中，CF＝＝；②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，∴∠ADC+∠ADE'＝180°，∴C、D、E'共线，∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAE'+∠EAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠E'AF＝45，在△EAQ和△E'AQ中，，∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE，∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，又∠C＝90°，PH⊥EQ，∴PH＝PC，∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECP，∴＝，即＝，∴CP＝m（1﹣m），∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴m＝时，h最大值是；（2）①当m＜时，如图：∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，∴△ABE∽△ECP，∴＝，即＝，∴HG＝﹣m2+m，∵MG∥CD，G为BC中点，∴MN为△ADQ的中位线，∴MN＝DQ，由（1）知：EQ＝DQ+BE，设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，∴（1﹣m）2+（1﹣x）2＝（x+m）2，解得x＝，∴MN＝，∴y＝NH＝MG﹣HG﹣MN＝1﹣（﹣m2+m）﹣＝1﹣m﹣+m2，②当m＞时，如图：∵MG∥AB，∴＝，即＝，同①可得MN＝DQ＝，∴HN＝MG﹣HG﹣MN＝1﹣﹣＝，∴y＝，综上所述，y＝1﹣m﹣+m2或y＝．14．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS）；（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：（3）解：由（1）知：△ABC≌△CDA，∵四边形ABCD的面积为20，∴S△ABC＝S△CDA＝10，∵AB＝5，∴CE＝4．15．解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．16．解：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∵DE＝CE，EF⊥CD，∴DF＝CF＝CD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°，∴AD∥EF，∴S△ADE＝S△ADF，∴S△ADE＝×AD×DF＝×4×2＝4；【拓展应用】如图③，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，∴∠BDC＝∠GCF，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BCD，∴S△BDF＝BC×BC＝8．17．解：（1）由x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝5或﹣1，∵OA是方程的根，∴OA＝5，∴AB＝OA＝5，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，AB＝5，∴BE＝4，AE＝5，∴OE＝OA+AE＝5+3＝8，∴B（8，4）．（2）如图1中，当点F落在OB上时，AN＝t，DM＝t．AD＝t，∵FM∥OA，∴＝，∴＝，∴t＝．如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是四边形ACFM，S＝•（AC+FM）•DM＝•（t+t﹣t）•t＝t2．如图3中，当＜t≤5时，重叠部分是五边形ACHGM，S＝S梯形ACFM﹣S△FGH＝t2﹣××[﹣（5﹣t）]2＝﹣t2+t﹣．综上所述，S＝．（3）如图4中，满足条件的点P如图所示：∵点F落在OB上时，t＝，∵DM＝FM＝，AD＝，AC＝，∴PF＝PM﹣FM＝5﹣＝，OC＝5﹣＝，∴F（，），M（，）．∴P（，），P″（﹣，﹣），P′（，）．18．（1）证明：如图1中，∵△BFE是由△BCE折叠得到，∴BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCE＝90°，∴∠ECF+∠CGD＝90°，∴∠BEC＝∠CGD，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDG（AAS）．（2）如图2中，连接EH．。

广东中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形一、选择题1. （广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【】A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】 A。

【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。

【分析】根据题意画出图形，如右图所示：连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC。

∴EF=GH，EF∥GH。

∴四边形EFGH是平行四边形。

由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。

故选A。

2．（广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】A．26B．25C．21D．20【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。

∴BE=AD=5。

∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。

∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。

故选C。

3. （广东广州3分）在平面中，下列命题为真命题的是【】A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】C。

【考点】命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定。

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误。

中考数学 平行四边形综合试题及答案解析一、平行四边形1．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形； （2）当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2413【解析】分析：（1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定△BOE ≌△DOF （ASA ），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE ，由勾股定理求出BD ，得出OB ，再由勾股定理求出EO ，即可得出EF 的长.详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ， ∴∠OBE=∠ODF ， 在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ）， ∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ， 设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ， 在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2， ∴x 2=42+（6-x ）2， 解得：x= 133， ∵22AD AB +13∴OB=1213∵BD⊥EF，∴EO=22BE OB=213，∴EF=2EO=4133．点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键2．已知：在菱形ABCD中，E，F是BD上的两点，且AE∥CF．求证：四边形AECF是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得AF＝CF，由△ABE≌△CDF，可得AE＝CF，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，∵AB＝CD，∠ADF＝∠CDF，DF＝DF∴△ADF≌△CDF（SAS）∴AF＝CF，∵AB∥CD，AE∥CF∴∠ABE＝∠CDF，∠AEF＝∠CFE∴∠AEB＝∠CFD，∠ABE＝∠CDF，AB＝CD∴△ABE≌△CDF（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF＝CF，∴四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.3．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°问题探究：（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为．（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．问题解决：（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．【答案】(1)、5；(2)、622+；(3)、3212++.【解析】【分析】试题分析：(1)、如图1中，连接OD，在Rt△ODC中，根据OD=22OC CD+计算即可．(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．在Rt△OCE中，根据OC=22OE CE+计算即可．(3)、如图3中，当OF⊥DE时，OF的值最大，设OF交DE于H，在OH上取一点M，使得OM=DM，连接DM．分别求出MH、OM、FH即可解决问题．【详解】试题解析：(1)、如图1中，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=1，∠C=90°在Rt△ODC中，∵∠C=90°，OC=2，CD=1，∴2222215OC CD++(2)、如图2中，作CE⊥OB于E，CF⊥AB于F，连接OC．∵∠FBE=∠E=∠CFB=90°， ∴四边形BECF 是矩形， ∴BF=CF=12，CF=BE=3， 在Rt △OCE 中，OC=222231122OE CE ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=62+． (3)、如图3中，当OF ⊥DE 时，OF 的值最大，设OF 交DE 于H ，在OH 上取一点M ，使得OM=DM ，连接DM ．∵FD=FE=DE=1，OF ⊥DE ， ∴DH=HE ，OD=OE ，∠DOH=12∠DOE=22.5°， ∵OM=DM ， ∴∠MOD=∠MDO=22.5°， ∴∠DMH=∠MDH=45°， ∴DH=HM=12， ∴DM=OM=22， ∵2232DF DH -=， ∴OF=OM+MH+FH=213222++=3212． ∴OF 321++ 考点：四边形综合题．4．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）请问EG 与CG 存在怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．【详解】（1）CG=EG．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=12FD，同理．在Rt△DEF中，EG=12FD，∴CG=EG．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=12MC，∴EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG【点睛】本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．5．（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．【答案】（1）2AF；（2）无变化；（3）AF313．【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出2，再得出BE=AB=2，即可得出结论；（2）先利用三角函数得出2CACB=，同理得出2CFCE=△ACF∽△BCE，进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出，，即可得出，借助（2）得出的结论，当点E 在线段BF 的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论． 试题解析：（1）在Rt △ABC 中，AB=AC=2，根据勾股定理得，，点D 为BC 的中点，∴AD=12， ∵四边形CDEF 是正方形，∴， ∵BE=AB=2，∴AF ，故答案为AF ； （2）无变化；如图2，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=CA CB =在正方形CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=CF CE =∴CF CACE CB=， ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE ﹣∠ACE=∠ACB ﹣∠ACE ，∴∠FCA=∠ECB ，∴△ACF ∽△BCE ，∴BE CBAF CA=∴AF ， ∴线段BE 与AF 的数量关系无变化； （3）当点E 在线段AF 上时，如图2，由（1）知，，在Rt △BCF 中，，，根据勾股定理得，，∴BE=BF ﹣，由（2）知，，∴﹣1， 当点E 在线段BF 的延长线上时，如图3，在Rt △ABC 中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin ∠ABC=2CA CB =， 在正方形CDEF 中，∠FEC=12∠FED=45°，在Rt △CEF 中，sin ∠FEC=2CF CE =，∴CF CA CE CB = ， ∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE ，∴∠FCA=∠ECB ，∴△ACF∽△BCE，∴BE CB=2，∴BE=2AF，AF CA由（1）知，CF=EF=CD=2，在Rt△BCF中，CF=2，BC=22，根据勾股定理得，BF=6，∴BE=BF+EF=6+2，由（2）知，BE=2AF，∴AF=3+1．即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为3﹣1或3+1．6．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是命题（填“真”或“假”）．（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．【答案】（1） C ；（2）∠ABC的度数为60°或90°或150°.【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.（2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.（1）根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够．故选C.（2）∵等腰Rt△ABD中，∠BAD=90°，∴AB=AD.∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB=BC，∴分三种情况讨论：若AD=CD ，如图1，则凸四边形ABCD 是正方形，∠ABC=90°； 若AD=AC ，如图 2，则AB=AC=BC ，△ABC 是等边三角形，∠ABC=60°； 若AC=DC ，如图 3，则可求∠ABC=150°.考点：1.新定义；2．菱形的性质；3．正方形的判定和性质；4．等边三角形的判定和性质；5.分类思想的应用.7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α： （1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标； （2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP 剟. 【解析】 【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，即可得出点B′的坐标； （3）连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，因为P 为线段BC′的中点，所以PK ＝12OC′＝3，即点P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP 长的取值范围． 【详解】解：（1）∵A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），∴四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，∵OB＝62，OA′＝OA＝6，∠OBC＝45°，∴A′B＝626-，∴BD＝（626-）×21262=-，∴CD＝6﹣（1262-，-）=626∴BC与A′B′的交点D的坐标为（662-，6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为)-+；333,333（3）如图③，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，∵P 为线段BC′的中点，∴PK ＝12OC′＝3， ∴P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK ＝32，∴AP 最大值为323+，AP 的最小值为323-，∴AP 长的取值范围为323323AP -+剟.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P 的轨迹．8．问题探究（1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别是边BC 、CD 上两点，且BM ＝CN ，连接AM 和BN ，交于点P ．猜想AM 与BN 的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD 的边长为4．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM 和BN ，交于点P ，求△APB 周长的最大值；问题解决（3）如图③，AC 为边长为23的菱形ABCD 的对角线，∠ABC ＝60°．点M 和N 分别从点B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CA 向终点C 和A 运动．连接AM 和BN ，交于点P ．求△APB 周长的最大值．【答案】（1）AM ⊥BN ，证明见解析；（2）△APB 周长的最大值2；（3）△PAB 的周长最大值3．【解析】试题分析：根据全等三角形的判定SAS证明△ABM≌△BCN，即可证得AM⊥BN；（2）如图②，以AB为斜边向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP，证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；（3）如图③，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB，证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可.试题解析：（1）结论：AM⊥BN．理由：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，∵BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠CBN+∠ABN=90°，∴∠ABN+∠BAM=90°，∴∠APB=90°，∴AM⊥BN．（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，∴四边形EFPG是矩形，∴∠FEG=∠AEB=90°，∴∠AEF=∠BEG，∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，∴△AEF≌△BEG，∴EF=EG，AF=BG，∴四边形EFPG是正方形，∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF，∵EF≤AE，∴EF的最大值=AE=2，∴△APB周长的最大值=4+4．（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠A PN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，∴∠APB=120°，∵∠AKB=60°，∴∠AKB+∠APB=180°，∴A、K、B、P四点共圆，∴∠BPH=∠KAB=60°，∵PH=PB，∴△PBH是等边三角形，∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，∴△KBH≌△ABP，∴HK=AP，∴PA+PB=KH+PH=PK，∴PK的值最大时，△APB的周长最大，∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，∴△PAB的周长最大值=2+4．9．如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，AF⊥AE交CB的延长线于F．求证：AE=AF．【答案】见解析【解析】【分析】根据同角的余角相等证得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性质可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，根据ASA判定△ABF≌△ADE，根据全等三角形的性质即可证得AF=AE．【详解】∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，又∵∠DAE+∠BAE=90°，∴∠BAF=∠DAE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，证明△ABF≌△ADE是解决本题的关键．10．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，再证明 FG=FE，即可得到四边形DEFG为菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四边形DEFG为菱形；（2）设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理；3．菱形的判定与性质；4．矩形的性质；5．综合题．11．如图1，若分别以△ABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形．（1）发现：如图2，当∠C=90°时，求证：△ABC与△DCF的面积相等．（2）引申：如果∠C 90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE、BCFG和ABMN为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形．已知△ABC中，AC=3，BC=4．当∠C=_____°时，图中阴影部分的面积和有最大值是________．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC，∠ACB=∠DCF=90°，BC=FC，所以△ABC≌△DFC，从而△ABC与△DFC的面积相等；（2）延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．得到四边形ACDE，BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，∠ACP=∠DCQ．所以△APC≌△DQC．于是AP=DQ．又因为S△ABC=12 BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，所以S△ABC=S△DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．所以S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．（1）证明：在△ABC与△DFC中，∵{AC DCACB DCFBC FC∠∠＝＝＝，∴△ABC≌△DFC．∴△ABC与△DFC的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC到点P，过点A作AP⊥BP于点P；过点D作DQ⊥FC于点Q．∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ．∴{APC DQCACP DCQAC CD∠∠∠∠＝＝＝，△APC≌△DQC（AAS），∴AP=DQ．又∵S△ABC=12BC•AP，S△DFC=12FC•DQ，∴S△ABC=S△DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，∴当△ABC是直角三角形，即∠C是90度时，阴影部分的面积和最大．∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×12×3×4=18．考点：四边形综合题12．如图1，在长方形纸片ABCD 中，AB=mAD ，其中m ⩾1，将它沿EF 折叠(点E. F 分别在边AB 、CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 相交于点P ，连接EP .设AM n AD=，其中0<n ⩽1.(1)如图2，当n=1(即M 点与D 点重合)，求证：四边形BEDF 为菱形；(2)如图3，当12n =(M 为AD 的中点)，m 的值发生变化时，求证：EP=AE+DP ； (3)如图1，当m=2(即AB=2AD)，n 的值发生变化时，BE CF AM -的值是否发生变化?说明理由.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；(3)值不变，理由见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知，当n=1（即M 点与D 点重合），m=2时，AB=2AD ，设AD=a ，则AB=2a ，由矩形的性质可以得出△ADE ≌△NDF ，就可以得出AE=NF ，DE=DF ，在Rt △AED 中，由勾股定理就可以表示出AE 的值，再求出BE 的值就可以得出结论.（2）延长PM 交EA 延长线于G ，由条件可以得出△PDM ≌△GAM ，△EMP ≌△EMG 由全等三角形的性质就可以得出结论.（3）如图1，连接BM 交EF 于点Q ，过点F 作FK ⊥AB 于点K ，交BM 于点O ，通过证明△ABM ∽△KFE ，就可以得出EK KF AM AB =，即BE BK BC AM AB -=，由AB=2AD=2BC ，BK=CF 就可以得出BE CF AM -的值是12为定值． （1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵AB=mAD ，且n=2，∴AB=2AD ．∵∠ADE+∠EDF=90°，∠EDF+∠NDF=90°，∴∠ADE=∠NDF ．在△ADE 和△NDF 中，∠A ＝∠N ，AD ＝ND ，∠ADE ＝∠NDF ，∴△ADE ≌△NDF （ASA ）.∴AE=NF ，DE=DF ．∵FN=FC ，∴AE=FC ．∵AB=CD ，∴AB-AE="CD-CF." ∴BE="DF." ∴BE=DE ．Rt △AED 中，由勾股定理，得222AE DE AD =-，即2222AE AD AE AD （）=--，∴AE=34AD.∴BE=2AD-34AD=54.∴554334ADBEAE AD==.（2）如图3，延长PM交EA延长线于G，∴∠GAM=90°．∵M为AD的中点，∴AM=DM．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD.∴∠GAM=∠PDM．在△GAM和△PDM中，∠GAM＝∠PDM，AM＝DM，∠AMG＝∠DMP，∴△GAM≌△PDM（ASA）.∴MG=MP.在△EMP和△EMG中，PM＝GM，∠PME＝∠GME，ME＝ME，∴△EMP≌△EMG（SAS）.∴EG=EP.∴AG+AE=EP.∴PD+AE=EP，即EP=AE+DP.（3）12BE CFAM-=，值不变，理由如下：如图1，连接BM交EF于点Q，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，∴EF⊥MB，即∠FQO=90°.∵四边形FKBC是矩形，∴KF=BC，FC=KB.∵∠FKB=90°，∴∠KBO+∠KOB=90°.∵∠QOF+∠QFO=90°，∠QOF=∠KOB，∴∠KBO=∠OFQ.∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABM∽△KFE.∴EK KFAM AB=即BE BK BCAM AB-=.∵AB=2AD=2BC，BK=CF，∴12BE CFAM-=.∴BE CFAM-的值不变．考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.相似三角形的判定和性质．13．已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB ，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB=PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为22；（2）画图见解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）①过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB=PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；②连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO=PF，只需求出BO的长即可．（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立．（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长．详解：（1）①证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD 是正方形，PG ⊥BC ，PH ⊥DC ， ∴∠GPC=∠ACB=∠ACD=∠HPC=45°． ∴PG=PH ，∠GPH=∠PGB=∠PHE=90°． ∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，∴∠BPG=90°﹣∠GPE=∠EPH ．在△PGB 和△PHE 中，PGB PHE PG PHBPG EPH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△PGB ≌△PHE （ASA ），∴PB=PE ．②连接BD ，如图2．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOP=90°． ∵PE ⊥PB 即∠BPE=90°，∴∠PBO=90°﹣∠BPO=∠EPF ．∵EF ⊥PC 即∠PFE=90°，∴∠BOP=∠PFE ．在△BOP 和△PFE 中，PBO EPF BOP PFE PB PE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BOP ≌△PFE （AAS ），∴BO=PF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC ，∠BOC=90°，∴BC=2OB．∵BC=1，∴OB=22，∴PF=22．∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为22．（2）当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示．同理可得：PB=PE，PF=22．（3）①若点E在线段DC上，如图1．∵∠BPE=∠BCE=90°，∴∠PBC+∠PEC=180°．∵∠PBC＜90°，∴∠PEC＞90°．若△PEC为等腰三角形，则EP=EC．∴∠EPC=∠ECP=45°，∴∠PEC=90°，与∠PEC＞90°矛盾，∴当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形．②若点E在线段DC的延长线上，如图4．若△PEC是等腰三角形，∵∠PCE=135°，∴CP=CE，∴∠CPE=∠CEP=22.5°．∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°．∵∠PRC=90°+∠PBR=90°+∠CER，∴∠PBR=∠CER=22.5°，∴∠ABP=67.5°，∴∠ABP=∠APB．∴AP=AB=1．∴AP的长为1．点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．14．如图，点E是正方形ABCD的边A B上一点，连结CE，过顶点C作CF⊥CE，交AD延长线于F．求证：BE=DF.【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CD，∠B=∠CDF，∠BCD=90°，再由垂直的性质得到∠BCE=∠DCF，然后根据“ASA”证明△BCE≌△BCE即可得到BE=DF详解：证明：∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，又∵∠BCG=90°，∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD∴∠BCE=∠DCF，在△BCE与△DCF中，∵∠BCE=∠DCF，BC=CD，∠CDF=∠EBC，∴△BCE≌△BCE（ASA），∴BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．15．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，在△ABP和△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，在△BCH和△BQH中，，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周长是定值．（3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM和△BPA中，，∴△EFM≌△BPA（AAS）．∴EM=AP．设AP=x在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BE-EM=2+-x，∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．当x=2时，BE+CF取最小值，∴AP=2．考点：几何变换综合题．。

出四边形AECF一定为平行四边形;只有选项B不能判断出四
边形AECF一定为平行四边形.
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5.1 多边形与平行四边形
3.(2013·安徽第13题)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,
F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2.


所以S1＋S2＝8.
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5.1 多边形与平行四边形
4.(2019·安徽第20题)如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.
(1)求证:△BCE≌△ADF;

(2)[一题多解]设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求

的值.
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-9-
5.1 多边形与平行四边形
(2)解法1:如图1,连接EF.
由(1)知△BCE≌△ADF,∴AF＝BE.
又∵AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形,
∴S△AEF＝S△AEB.
同理S△DEF＝S△DEC,
∴T＝S△AEB＋S△DEC.
另一方面,T＝S△AED＋S△ADF＝S△AED＋S△BCE,
∴△CDE≌△BAF(AAS),∴CE＝BF,DE＝AF.
∵AC∥DE,
∴四边形ADEF是平行四边形,∴AD＝EF.
∵AD＝BC,∴EF＝BC.
∵CE＝BF,∴四边形BCEF是平行四边形.

(3) 的值为2.

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