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专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题

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努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！

第三章 解析几何

专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题

【压轴综述】

圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.

一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法

(1)两种类型

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．

(2)两种解法

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.

【压轴典例】

例1.（2019·湖南高三月考）点A、B为椭圆2222:10xyEabab长轴的端点，C、D为椭圆E短轴的端点，动点M满足2MAMB，若MAB面积的最大值为8，MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） 努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！ A.23

B.33 C.22

D.32

例2.（2019·山东高考模拟（理））已知(0,3)A，若点P是抛物线28xy上任意一点，点Q是圆22(2)1xy上任意一点，则2||PAPQ的最小值为（ ）

A．434 B．221 C．232 D．421

例3.（2019·江西临川一中高三月考（文））已知点P是椭圆221168xy上非顶点的动点，12,FF分别是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M为12FPF的平分线上一点，且10FMMP，则OM的取值范围为（ ）

A．0,3 B．0,22 C．0,3 D．0,22

例4. （2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线2xy.点A1139-2424B，，，，抛物线上的点P（x,y）13-x22＜＜,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

（I）求直线AP斜率的取值范围；

（II）求PA?PQ的最大值

例5. （2017·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:22221xyab(a>b>0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！ 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.

例6.（2018·浙江高考真题）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x2+24y=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

例7.（2019·浙江高考真题）如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)ypxp，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于,AB两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记,AFGCQG△△的面积为12,SS. 努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标.

例8.（2019·全国高考真题（理））已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−12.记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

（i）证明：PQG是直角三角形；

（ii）求PQG面积的最大值.

【压轴训练】

1．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：2213xym长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）

A．(0,1][9,) B．(0,3][9,)

C．(0,1][4,) D．(0,3][4,)

2．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P在圆22680xyy上，点Q在椭圆22211xyaa上，且PQ的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F，则PQQF的最大值等于__________．

3．（2019·甘肃兰州一中高三月考（理））已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！ 物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.

4．（2020·浙江高三月考）已知P是椭圆2222111xyab（110ab）和双曲线2222221xyab（220,0ab）的一个交点，12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，12,ee分别为椭圆和双曲线的离心率，若123FPF，则12ee的最小值为________．

5．（2019·河北高三月考）已知P是离心率为2的双曲线2210yxmm右支上一点，则该双曲线的渐近线方程为_______，P到直线1ymx的距离与P到点2,0F的距离之和的最小值为_____.

6．（2018·黑龙江哈师大附中高考模拟（理））已知椭圆222:102xyCabab的右焦点为,0Fc,点P为椭圆C上的动点，若PF的最大值和最小值分别为23和23.

(I)求椭圆C的方程

(Ⅱ)设不过原点的直线l与椭圆C 交于,PQ两点,若直线,,OPPQOQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的最大值

7．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左右焦点分别为12,FF，离心率为12，P是椭圆C上的一个动点，且12PFF面积的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线2PF斜率为(0)kk，且2PF与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点(0,)Tt，使得||||?TPTQ若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由.

8．（2019·河北辛集中学高三月考（文））已知焦点在y轴上的抛物线1C过点(2,1)，椭圆2C的两个焦点分别为1F，2F，其中2F与1C的焦点重合，过点1F与2C的长轴垂直的直线交2C于A，B两点，且3AB，曲线3C是以坐标原点O为圆心，以2OF为半径的圆.

（1）求2C与3C的标准方程；

（2）若动直线l与3C相切，且与2C交于M，N两点，求OMN的面积S的取值范围. 努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！ 9．已知椭圆C1的方程为2214xy，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2OAOB，求k的取值范围．

10．（2019·浙江高考模拟）对于椭圆222210xyabab，有如下性质：若点00,Pxy是椭圆外一点，PA，PB是椭圆的两条切线，则切点,AB所在直线的方程是00221xxyyab，利用此结论解答下列问题：

已知椭圆22:12xCy和点2,tP tR，过点P作椭圆C的两条切线，切点是,AB，记点,AB到直线PO（O是坐标原点）的距离是1d，2.d

（Ⅰ）当0t时，求线段AB的长；

（Ⅱ）求12ABdd的最大值.

11．（2019·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左焦点1F，直线:2360lxy与y轴交于点P.且与椭圆交于A，B两点.A为椭圆的右顶点，B在x轴上的射影恰为1F.

（1）求椭圆E的方程；

（2）M为椭圆E在第一象限部分上一点，直线MP与椭圆交于另一点N，若:PNPMABSS，求的取值范围.

12．（2019·四川石室中学高三开学考试（理））己知椭圆2222C:10xyabab上任意一点到其两个焦点1F，2F的距离之和等于25，焦距为2c，圆222:Oxyc，1A，2A是椭圆的左、右顶点，AB是圆努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！ O的任意一条直径，四边形12AAAB面积的最大值为25．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，若直线1:0lykxmm与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线2l与1l平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于1l的同侧），求直线1l，2l距离d的取值范围．

13．（2019·浙江高三月考）过抛物线220ypxp上一点P作抛物线的切线l交x轴于Q，F为焦点，以原点O为圆心的圆与直线l相切于点M.

（Ⅰ）当p变化时，求证：PFQF为定值.

（Ⅱ）当p变化时，记三角形PFM的面积为1S，三角形OFM的面积为2S，求12SS的最小值.

14．（2019·山西高三月考（文））已知抛物线C：220xpyp，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线1l，2l交于点M

（Ⅰ）求抛物线C的方程

（Ⅱ）若12ll，求三角形MAB△面积的最小值

15．（2019·广东高三月考（文））已知直线:10lxy与焦点为F的抛物线2:2(0)Cypxp相切.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.

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圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的最值、范围问题

全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）

圆锥曲线中的最值、范围问题

考点一 构造函数求最值

[典例] (优质试题·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求F1M―→·F1N―→的最大值．

[解] (1)由题意，得 e＝ca＝22，1sin2θ＋cos2θ＝c，a2＝b2＋c2，解得 c＝1，a2＝2，b2＝1，

故椭圆C的标准方程为x22＋y2＝1.

(2)由(1)得F1(－1,0)，F2(1,0)．

①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M1，22，N1，－22，

∴F1M―→＝2，22，F1N―→＝2，－22，

故F1M―→·F1N―→＝72.

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）

由 y＝kx－1，x22＋y2＝1消去y得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.

又F1M―→＝(x1＋1，y1)，F1N―→＝(x2＋1，y2)，

则F1M―→·F1N―→＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2

＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)

＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2

＝2k4－12k2＋1＋4k2－4k42k2＋1＋1＋k2

＝7k2－12k2＋1＝72－922k2＋1，

由k2≥0，可得F1M―→·F1N―→∈－1，72.

题型12 圆锥曲线中的最值(解析版)

题型12 圆锥曲线中的最值(解析版)

秒杀高考题型之圆锥曲线中的最值

【秒杀题型一】：定点与椭圆上动点的距离的最值问题。

『秒杀策略』：定点与椭圆上动点的距离的最值：写出定点与椭圆上动点的距离表示，利用点在椭圆上可

消去x或y，然后转化为关于y或x的二次函数，利用椭圆的有界性确定最值；或设椭圆的参数方程，利

用三角函数的有界性去限定。

※椭圆上的点到两焦点距离最大、最小值的点为长轴两端点：min:;max:acac。

1.(高考题)设QP,分别为圆2622yx和椭圆11022yx上的点，则QP,两点间的最大距离是

( )

A.25 B.246 C.27 D.26

【解析】：法一：转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）2,46129)6(222yyyx,转化为二次函数，11y，当32y时，取到最大值25，选D。

法二：参数法，设sincos10yx，代入转化为关于sin（或cos）的二次函数。

2.(高考题)设椭圆方程为:1422yx，过点0,1M的直线l交椭圆于点,AB，O是坐标原点，点P满足)(21OBOAOP，点N的坐标为)21,21(，当l绕点M旋转时。

求:（1）动点P的轨迹方程；

（2）求PN的最值。

【解析】：（1）法一：Step1：设直线方程：当k存在时，设l的方程为1ykx；

Step2：直线与曲线联立：14122yxkxy，得032)4(22kxxk；

Step3：由韦达定理写出根与系数的关系：.48,42221221kyykkxx；

Step4：代入关系式：1()2OPOAOB1212(,)22xxyy224(,)44kkk，设点P的坐标为),,(yx则.44,422kykkx，消去参数k得0422yyx；

圆锥曲线中的最值和取值范围

圆锥曲线中的最值和取值范围

1

2

解得X"或…泞，则AM k2 8k2 -6

3 4k2 =1 k2 12

3 4k2

因为AM _AN，所以

圆锥曲线中的最值和范围

圆锥曲线是高考数学压轴题之一，是有效区分学生层次不可或缺的一个题型，能否解

决圆锥曲线问题，对提高学生的数学成绩某种程度上至关重要。 回顾几年高考中的圆锥曲线

试题，其核心问题大概有两大类型，一是定值、定点、存在性问题，二是最值和范围问题。

本文就第二问题进行归纳和分析。

最值和范围一般有两个求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显几何意义时可

利用几何性质结合图形直观求解；二是代数方法， 选择适当变量，建立函数模型，按照求最 值的方法求解，求最值方法中：利用基本不等式、函数单调性、分离常数、配方法等是常用 方法。对目标函数的的整理和恰当变形是难点。所涉及的量有斜率、面积、离心率、线段长 度等。

一.近几年高考试题回顾。

X y2

1.(2017全国2)已知椭圆E: 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k 0)的

t 3

直线交E于A, M两点，点N在E上，MA丄NA. (I)当t =4 , AM| | AN时，求△ AMN

的面积；(II)当2 AM二AN时，求k的取值范围•

2 2 X y

【解析】 ⑴当t =4时，椭圆E的方程为 1 , A点坐标为-2 , 0 ,

4 3

则直线AM的方程为y =k X • 2 .

'2 2

£ I 二1

联立 4 3 " 并整理得， 3 4k2 x2 16k2x 16k2 -1^0

y -k X 2

2

厂匚2 12 厂〒2 12

因为 AM 二 AN , k 0，所以 1 k FTk^ = 1 k 3I7^，

k

整理得k -1 4k —k・4产0 , 4k2_k・4=0无实根，所以k .

⑵直线AM的方程为y二k x • ..t ,

r 2 2 x y 1

联立 t 3 并整理得，3 tk2 x2 2x t2k^3^-0 y =k（X + JT ）

课时考点圆锥曲线中的最值及范围问题

课时考点圆锥曲线中的最值及范围问题

课时考点14圆锥曲线中的最值及范围问题

高考透析

高考大纲：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系 解析几何与代数方法的综合.

新题型分类例析

热点题型1:重要不等式求最值 （05浙江?理 17）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦

点R,F2在x轴上，长轴NA的长为4,左准线I与x轴的交点为 M I MA : |AFJ = 2： 1.

（I ）求椭圆的方程;

（n）若直线I1 : x= mi m > 1）, P为I1上的动点，使

F1PF2最大的点P记为Q求点Q的坐标（用m表示）.本

题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹 角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力+满分14分.

2 2

解：(I )设椭圆方程为二厶1 a b a b

2

a

MA — a, Ah a c

2

a 小

a 2 a c

c _

由题意,得 2a 4 a 2,b . 3,c 1

2 2 2

a b c

2 2

故椭圆方程为-1.

4 3

(n )设 P m,y°」m| 1,

当 y。0 时，F1PF2 0 ；

当 y0 0 时，0 F2PF2 PF1M -,

只需求tan F2PF2的最大值即可•

I y 、

l1 M A1 F1

0 F2A2x

m

0，半焦距为c，则 tan F2 PF2 k2 k1

1 & k? 2|y°|

m2 1 y。2 __2 | y。|_

2山厂1 |y°| 设直线PF1的斜率k 一乩，直线PF2的斜率k2 -y0-

m 1 m 1

当且仅当,m2 1 |y°|时，FFF2最大,

Q m, ,m2 1,| m| 1

［变式新题型1］:

过椭圆C的右焦点F作直线|，使| 11，又I与12的交于P点，设|与椭圆C的两个交点

由上至下依次为A、B (如图)

(1 )当l1与l2的夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率，