相似三角形典型模型及例题

相似三角形经典模型总结与例题分类相似三角形经典模型总结在相似三角形中，有一些经典的模型，包括平移型、平行型、旋转180°型、翻折180°型、一般型、特殊型、斜交型、双垂直型等。

这些模型可以帮助我们更好地理解和解决相似三角形的问题。

其中，平移型、平行型、翻折180°型、斜交型和双垂直型都是比较常见的模型。

在解决相似三角形的问题时，可以根据具体情况选择相应的模型进行分析。

以下是一些例题，可以帮助我们更好地理解相似三角形的模型和应用。

例1：如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE=EF=FM=MB，则S△.例2：如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD=9，BC=18，.例3：已知，P为平行四边形ABCD对角线，AC上一点，过点P的直线与AD，BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E，F，G，H。

则PEPH=PFPG。

例4：已知：在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，且AE=2，BE、CD相交于点F。

则ABF=2EFD。

例5：已知：在△ABC中，AD=11AB，延长BC到F，使CF=BC，连接FD交AC于点E。

则①DE=EF②AE=2CE。

例6：已知：D，E为三角形ABC中AB、BC边上的点，连接DE并延长交AC的延长线于点F，例7：如图，已知XXX，若AB=a，CD=b，EF=c，则a/b=c/(a+c)。

例8：如图，S△.例9：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥AD于点E，MF⊥BC于点F。

则MF/ME+1=BD/AC。

例10：如图，在△ABC中，D是AC边的中点，过D作直线EF交AB于E，交BC的延长线于F。

则AE·BF=BE·CF。

BCF：在线段AB上取一点C，以AC、CB为底在AB同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC和CEB，AE交CD于点P，BD交CE于点Q，证明CP=CQ。

解法：首先，由等腰三角形的性质可知，∠XXX∠CEB，∠ACD=∠BCD，因此△ADC≌△CEB，从而AP=BP，AQ=CQ。

第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBA DE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到。

8字型拓展CB EDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分 相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC DE B2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE·DB4.在∆ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。

求证：∠=︒GBM905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．A CBPD E（第25题图）GMFEHDCBA双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

相似三角形几何模型微专题(精选精练)【题型目录】【题型1】“A字”模型; 2【题型2】“反A字”模型； 2【题型3】“8字”模型; 3【题型4】“反8字”模型； 4【题型5】“双A字”模型； 5【题型6】“双8字”模型； 6【题型7】“A字模型”与“8字模型”综合； 6【题型8】“共边等角”模型； 7【题型9】“共顶点等角”模”； 8【题型10】“母子”模型 8【题型11】与“射影”模型； 10【题型12】“一线三直角”模型； 11【题型13】“一线三等角”模型； 13【题型14】“对角互补”模型； 15【题型15】“十字架”模型； 16【题型16】“三角形内接特殊四边形”模型； 16【题型17】“双垂直等角”模型 18【题型18】“旋转相似”模型 18【题型19】“旋转手拉手”模型 19【题型20】“平行线+角平分线=等腰三角形模型”. 20【题型1】“A字”模型;1.(2024·贵州贵阳·二模)如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为()A.4B.6C.8D.102.(24-25九年级上·江苏南通·开学考试)如图，在中，，将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，已知，，，则四边形的面积是．3.(23-24九年级下·全国·期中)如图，在中，D在上，．(1)求证：；(2)若，求的值．【题型2】“反A字”模型；4.(2025九年级下·全国·专题练习)如图，中，，点D在边上，且交于点E．(1)求证：；(2)若，E是中点，求的长．5.(19-20九年级上·全国·课后作业)如图，，分别是与边上的高．求证：．6.(23-24九年级下·贵州黔东南·阶段练习)如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为( )A.1B.C.2D.【题型3】“8字”模型;7.(23-24九年级上·北京·阶段练习)如图，在菱形中，点E在上，，，则为()A. B. C. D.8.(23-24九年级下·山东枣庄·开学考试)如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于，则的面积等于()A.8B.16C.24D.329.(24-25九年级上·上海·阶段练习)如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么．【题型4】“反8字”模型；10.(24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习)如图，已知在四边形中，与相交于点O ，．(1)求证：；(2)若，求的值．11.(24-25九年级上·广西桂林·期中)如图，，相交于点，．(1)求证：；(2)已知，，的面积为6，求的面积．12.(23-24九年级上·安徽·单元测试)已知：如图，在⊙O 中，弦、相交于点P ，，，，则．【题型5】“双A字”模型；13.(24-25九年级上·全国·期末)如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接．求证：．14.(2024九年级上·全国·专题练习)如图1，已知，是上一点，交于点，交于点，连接，与交于．求证：．15.(24-25九年级上·上海·阶段练习)如图，和相交于点，点在上，，．(1)求的长；(2)已知，求的面积．16.(2024·辽宁·模拟预测)据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像(点A、B的对应点分别是C、D)．若物体的高为，实像的高度为，则小孔O的高度为．【题型6】“双8字”模型；17.(2024·吉林长春·模拟预测)如图，在中，点、分别在边、上，线段、相交于点，且，．若的面积为2，则的面积为()A.4B.5C.6D.718.(2024·陕西渭南·二模)如图，平行四边形中，，，连交于，则．19.(23-24九年级上·上海松江·阶段练习)如图，平行四边形中，，，是对角线上的两点，且点，是线段的三等分点，交于点，交于点，则．【题型7】“A字模型”与“8字模型”综合；20.(24-25九年级上·河南南阳·阶段练习)如图，，与相交于点E，若，，，则值是()A. B. C. D.21.(23-24九年级下·浙江金华·开学考试)如图，在平行四边形中，是边延长线上的一点，连结交边于点，交对角线于点G，若，则．【题型8】“共边等角”模型；22.(23-24九年级上·辽宁鞍山·期中)如图，平分，D为中点，，求证：．23.(24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习)如图，在中，，，，于B，点D为射线上一点，连接，若与相似．(1)求的长；(2)请直接写出与的面积比．24.(2024·江苏扬州·三模)如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为．【题型9】“共顶点等角”模”；25.在和中，，，求证：．26.(23-24九年级上·广东深圳·期中)在锐角三角形中，点、分别在边、上，于点，于点，．(1)求证：；(2)若，，，求的长．【题型10】“母子”模型27.(24-25九年级上·山东菏泽·期中)如图，的顶点A，B在上，边与相交于点D，，连接交于点E，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．28.(22-23九年级上·浙江杭州·期末)如图，在正五边形中，连结交于点F(1)求的度数．(2)已知，求的长．29.(24-25九年级上·浙江·期中)如图，在中，D是上一点，已知．(1)求证：；(2)已知，，求的度数．30.(24-25九年级上·浙江·期末)如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．(1)求证：．(2)若，，求的长．31.(24-25九年级上·湖南岳阳·期中)探究：(1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意一点，且，求的最小值．【题型11】与“射影”模型；32.(20-21九年级·江苏南京·自主招生)点G为的中点，，，△沿翻折使点落在上，四边形为矩形，求．33.(24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习)如图，点是正方形边上一点，过作的垂线，交于点，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若正方形的边长为．点是的中点，求的长．34.(24-25九年级上·吉林长春·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连结．(1)如图，判断三角形的形状，并说明理由．(2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间．(3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【题型12】“一线三直角”模型；35.(2024·辽宁·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数()的图象经过点，则的值为( )A.27B.48C.54D.10836.(22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习)(1)如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由；(2)如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．37.(24-25九年级上·全国·期末)如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．(1)求证：；(2)若，，求的值；38.(24-25九年级上·四川成都·期中)【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．【初步感知】如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；【深入探究】如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；【拓展延伸】在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．39.(24-25九年级上·陕西榆林·期中)(1)如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点．【探究证明】求证：；【特例分析】若，，为的中点，求的长．【衍生拓展】(2)如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值．【题型13】“一线三等角”模型；40.(24-25九年级上·江西抚州·期中)如图，在等边三角形中，点是边上一动点(点不与端点重合)，作，交边于点，交边于点．(1)求证：；(2)若，，，求的长．41.(2024·河北秦皇岛·模拟预测)如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．(1)由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；(2)由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．(1)证明：是等腰直角三角形，，，，，是的中点，，在和中，，；(2)证明：和是两个全等的等腰直角三角形，，，即，，，．42.(24-25九年级上·辽宁沈阳·期中)[问题提出]点E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，()，交边于点G，H，连接．探究与的数量关系．[问题探究](1)如图1，当时，求的度数；(2)如图2，当时，的度数；当时，求与之间的数量关系．[问题拓展]当时，若，，则．【题型14】“对角互补”模型；43.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．44.(24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习)如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为；当时，的值为．(用含m，n的式子表示)【题型15】“十字架”模型；45.(24-25九年级上·山东菏泽·期中)如图，在矩形中，是对角线，于点，交于点，，，求的长．46.(23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习)如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则．47.(2024九年级上·全国·专题练习)(1)如图①，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？(2)如图②，在中，为边的中点，于点，交于点，求的值；(3)如图③，中，为边的中点，于点，交于点，若，求的长．【题型16】“三角形内接特殊四边形”模型；48.(24-25九年级上·浙江·期末)有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．(2)当时，求加工成的矩形零件的周长．49.(24-25九年级上·山东聊城·阶段练习)如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，，要把它加工成个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边，上，且，则平行四边形的面积为．50.(2023九年级上·全国·专题练习)如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．51.(2024九年级上·全国·专题练习)如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证：【题型17】“双垂直等角”模型52.(24-25九年级上·四川达州·期末)如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接并延长，交边于点G．(1)求证：；(2)若，，求线段的长．53.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)如图，在中，，，，E为线段上一动点，且，当点E从点B运动到点A时，点F的运动路径长为54.(23-24九年级上·四川内江·阶段练习)如图，和都是等腰直角三角形，，顶点在边上，与相交于点F，若，，则的面积为．【题型18】“旋转相似”模型55.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，和均为等腰直角三角形，，在内，．若，，则．56.(2024·安徽合肥·模拟预测)如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：(1)已知，则(用含的代数式表示)；(2)若，则的长为．【题型19】“旋转手拉手”模型57.(24-25九年级上·河南信阳·阶段练习)四边形和四边形有公共顶点A，连接和．(1)如图1，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A旋转角时，和的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角，当时，直接写出线段的长．58.(24-25九年级上·山东日照·阶段练习)【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．(1)如图1，当时，直接写出与的位置关系：；与的数量关系为；(2)如图2，当时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并说明理由．(与的数量关系可用含式子表示)【拓展应用】(3)当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．59.(23-24九年级上·云南玉溪·期末)如图1，正方形和正方形(其中)，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系，位置关系；如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长．【题型20】“平行线+角平分线=等腰三角形模型”.60.(24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习)如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D ，的平分线交于Q，当时，()A.8B. C.4 D.1021。