2.2直线、平面平行的判定及其性质

1 / 27 2．2直线、平面平行的判定及其性质 一、目标认知 学习目标： 1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理； 2．理解并掌握两平面平行的判定定理； 3．掌握直线与平面平行的性质定理及其应用； 4．掌握两个平面平行的性质定理及其应用.

重点： 1．直线与平面平行的判定定理及应用； 2．两个平面平行的判定； 3．两个性质定理.

难点： 1．直线与平面平行的判定定理及应用； 2．平面与平面平行的判定定理、例题的证明； 3．性质定理的证明和运用.

二、知识要点梳理 知识点一：直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 简记为：线线平行，则线面平行.

符号表示：、，.

知识点二：两平面平行的判定 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

符号表示：若、，，且、，则. 2 / 27

知识点三：直线和平面平行的性质 直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 简记为：线面平行则线线平行.

符号表示：若，，，则.

知识点四：平面和平面平行的性质 平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号表示：若，，，则.

三、规律方法指导 1．直线、平面之间的平行关系： 线线平行线面平行面面平行. 2．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆： 空间之中两直线，平行相交和异面． 线线平行同方向，等角定理进空间． 判断线和面平行，面中找条平行线； 已知线和面平行，过线作面找交线． 要证面和面平行，面中找出两交线． 线面平行若成立，面面平行不用看． 已知面与面平行，线面平行是必然． 3 / 27

若与三面都相交，则得两条平行线． 经典例题透析 类型一：直线与平面平行的证明

1．已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC.

思路点拨：证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行. 证明：设PC的中点为G，连接EG、FG． ∵F为PD中点，∴GF∥CD且

GF=CD． ∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点， ∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形． ∴EG∥AF， 又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC． 总结升华：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．

举一反三： 【变式1】（2010安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB=2EF，∠

BFC=，BF=FC，H为BC的中点． (1)求证：FH∥平面EDB； 4 / 27

(2)求证：AC⊥平面EDB； (3)求二面角的大小． 解法一：(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点， 连EG，GH，又H为BC的中点， ∴

GH．又EF， ∴ EFGH． ∴ 四边形EFHG为平行四边形， ∴ EG∥FH，而EG平面EDB， ∴ FH∥平面EDB． (2)证明：由四边形ABCD为正方形， 有AB⊥BC，又EF//AB， ∴ EF⊥BC. 而EF⊥FB，∴ EF⊥平面BFC，∴ EF⊥FH，∴ AB⊥FH. 又BF＝FC，H为BC的中点，∴ FH⊥BC. ∴ FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC， 又FH∥BC，∴ AC⊥EG. 又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴ AC⊥平面EDB.

(3)解：，，

∴ 平面， 在平面内过点作交的延长线于， 则为二面角的一个平面角． 设EF=1，则AB=2，， 又，∴ ， 5 / 27

∴∴ ，，∴ ∴ 二面角为． 解法二： ∵ 四边形ABCD为正方形，∴ ，又，∴

． 又，∴ EF⊥平面BFC． ∴ EF⊥FH，∴ AB⊥FH 又BF=FC，H为BC的中点，∴ FH⊥BC，∴ FH⊥平面ABC．

以H为坐标原点，为轴正向，为轴正向，建立如图所示坐标系．

设BH=1，则，，，， ， (1)证明：设AC与BD的交点为G，连接GE，GH，则 ∴ ，又，∴ ． GE平面EDB，HF不在平面EDB内，∴ FH∥平面EBD，

(2)证明：，，，∴

又，，∴ AC⊥平面EDB． 6 / 27

(3)解：， 设平面BDE的法向量为． 则． ∴ ． 设平面CDE的法向量为

， ， 故，

， ∴ ，即二面角B-DE-C为60°.

【变式2】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG． 证明：如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE， 7 / 27

在△BCD中，G、F分别是BD、CD中点，∴GF∥BC， ∵G为BD中点，∴O为MD中点， 在△AMD中，∵E、O为AD、MD中点，∴EO∥AM， 又∵AM平面EFG，EO平面EFG， ∴AM∥平面EFG．

类型二：平面与平面平行的证明 2．如右图，在正方体中，M、N、P分别是、、的中点，求证：平面MNP∥平面. 思路点拨：利用平面与平面的判定定理.

证明：连结，∵P、N分别是、的中点，∴PN∥． 又∥BD，∴PN∥BD． 又PN不在平面上，∴PN∥平面． 同理，MN∥平面．又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面．

3．正方体中． (1)求证：平面∥平面； (2)若E、F分别是、的中点，求证：平面∥平面FBD． 8 / 27

证明：(1)由，，得四边形是平行四边形，∴， 又BD平面，平面，∴BD∥平面． 同理∥平面．而，∴平面∥平面． (2)由BD∥，得BD∥平面．取中点G，∴AE∥． 从而得∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴∥DF． ∴DF∥平面，， ∴平面∥平面FBD． 总结升华：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行．一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.

举一反三： 9 / 27

【变式1】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱，M、N分别为、的中点，E、F分别是、的中点． (1)求证：平面AMN∥平面EFDB； (2)求平面AMN与平面EFDB的距离．

答案: (1)证明：连接，分别交MN、EF于P、Q．连接AC 交BD于O，连接AP、OQ． 由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB． 由已知可得，PQ∥AO且PQ=AO． ∴AP∥OQ．∴AP

∥EFDB平面，， ∴平面AMN∥平面EFDB． (2)解：过A1作平面AMN与平面EFDB的垂线， 10 / 27

垂足为H、，易得， 由， 根据

则 解得．所以，平面AMN与平面EFDB的距离为. 类型三：直线与平面平行的性质 4．经过正方体的棱作一平面交平面于，求证：∥. 证明：∵，平面，平面， ∴∥平面． 又平面，平面平面， ∴∥． 11 / 27

则. 5．如图，AB∥，AC∥BD，，，求证：AC=BD.

证明：连结CD， ∵AC∥BD，

∴直线AC和BD可以确定一个平面，记为，

∵，，∴， ∵AB∥，AB，，∴AB∥CD， 又∵AC∥BD，∴四边形ACDB为平行四边形， ∴AC=BD. 总结升华：利用直线与平面平行解决问题的转化过程是“由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行.

类型四：平面与平面平行的性质 6．如图，设平面∥平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D．求证：MN∥． 12 / 27

证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ME∥平面，

又NE∥BD，∴NE∥平面， 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面， ∵MN平面MEN，∴MN∥．

7．如图，在正三棱柱中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG，求证：平面EFG∥平面ABC．

证明：作于P，连接PF． 在正三棱柱的侧面中，易知， 又，所以；

∴，EP∥平面ABC． 又∵BE=CF，，∴， ∴PF∥BC，则PF∥平面ABC．

∵EPPF=P，∴平面PEF∥平面ABC． ∵EF平面PEF，∴EF∥平面ABC．同理，GF∥平面ABC．

∵EFGF=F，∴平面EFG∥平面ABC．

8．如图，已知正方体中，面对角线、上分别有两点E、F，且，求证：EF∥平面ABCD．