解题教学——想说爱你不容易

２０１３年９月　教学导航　

解题教学　想说爱你不容易　

⑧浙江省杭州市余杭高级中学　曹凤山（特级教师）　

笔者曾从学生“学”的角度，对数学解题的感受、认识　

等做过专题调查，调查报告《数学解题——想说爱你不容　

易——关于高中生数学解题的调查分析》发表于《中学数　学教学参考￣２００５年第５期，后被中国人大《高中数学教与　学》（原《中学数学教与学》）转载、被知网等收录，被不少　

同行参考、引用．本文换一个角度，从教师“教”的角度看，　解题教学——想说爱你不容易．　“中学数学课程的主要目的之一是发展学生的解题　

能力”（波利亚），从现实需要看，解题教学的重要性毋须　赘言．对于解题教学，虽有众多大家、名师诸多成功的实　

践与经典研究，但如何搞好解题教学仍然没有公式可循．　

一千个读者就有一千个哈姆雷特！一千个数学老师就有　

一千个解题教学的模式．　这里简录以解题教学为主的一节课，通过具体的案　例和课堂教学环节，就解题教学中一些问题谈谈自己的　

思考与实践，以作引玉之砖．为便于表达对解题教学的一　些认识，分成几个段落．　例题（２０１２年浙江高考理科第ｌ７题）设ｎ∈Ｒ，若　＞　

０时，均有［（ｎ一１）　一１］（Ｘ２－Ｏ．￣一１）≥０，贝００＝一　

一、选好题才有好效果　

课堂例题就像磨刀石，只有好的磨刀石才能更快、更　

好地磨出锋利的刀刃．本文简录的是高三第一轮复习接　

近尾声的一节课，笔者以“三个二次”为核心，选择了两道　２０１２年的高考题（浙江省理科第１７题、北京理科第１４题），　

其中第一题学生充分参与，老师详尽分析，第二题做课上　反馈演练．不同教学阶段有不同的选题考虑，这里主要考　

虑了以下几个方面：　１．体现中学数学的核心知识，重心在思维．不在细枝　末节上做文章，解题过程中突出知识的系统性、网络化、　组织良好，突出提升思维能力的主题．　２．具有一定挑战性．试题新颖，两题都没有套路，解题　

过程蕴含着丰富的数学思想方法，而思想方法是知识转　化为能力的桥梁，是高＿三复习过程中提升学生思维能力　材　法　

的必选项、着力点．　３．适合的就是最好的．适合学生的知识储备，适合学生　

的解题基础，适合学生的解题需要，题不在难，有意则灵．　４．以质取胜，体现通性通法．题不在多，有法则行，不　

追求一节课做题的数量，以高质量的试题实现“一题多　解”、“多题一解”．法不在巧，变化则灵，凸显通性通法的　重要作用，体现思维的高度参与．　

５．完整体现解题的全过程，有效检验、提升学生的　解题技能．学生学有所思、所悟．，解透一题通解一类，对　解题有更深的理解，对解题程序有更熟练的操作，特别　

是强化学生比较薄弱的方面，如审题、目标意识以及反　思能力．　

二、练熟解题程序。体验解题成功与失败历程　

解题教学一定要有学生充分参与的过程，思路的　产生不能玩“魔术”，要让学生体验．课堂生成与预设要　相辅相成，要结合具体情境，通过适时的有针对性的启　

发、引导，适度的归纳、概括，帮助学生体验“审题——　制订计划——实施——反思”的过程；落实学生先行，　

教师断后的教学模式，引导、调动学生的“正能量”参与　解题，充分暴露、展示不同层次的思维模式、不同的思　维过程，引导学生对解题的关键点、基本的数学思想方　法的运用等做必要的归纳、反思，让学生体验审题对思　

路的决定作用，反思对模式积累的催化作用，注重南特　殊案例提升到解题经验，改变解题教学“掐头、去尾、烧　中段”的做法，改良为“虎头、豹尾、将军肚”的解题教学　模式．　・　

三、渗透共性的引导，启发问题个性、解法的形　

成发现　

出示题目，学生自己读题（不干扰学生自己读题，不　

帮助学生读题．本题题干相对短小，学生用时不多）．适时　给出提示语，给学生做出反应、思考的时间．　

师：这是什么问题？求什么？你能猜测到结果是什么　

高中版中。　毒幺－？　；熏

　教　教　教学导航　２０１３年９月　

形式吗？（目的：引导学生确定问题范畴，调动相关知识，　

强调目标意识、问题意识，进入问题情境）　生众：三次不等式，也有学生说“三个二次”，求参数；　

结果应该是一个（或者两个）常数．　

师：用你的语言如何具体表述这个问题？你能联想到　

什么？有现成的方法吗？（目的：不仅强调审题的重要性，　

还要给出审题可以操作的方法．心理学研究表明，问题的　表述对怎样解决问题有极大的影响．对审题跟进提醒，引　导学生从文字、符号、图形等多角度审题，通过观察、对　比、分析、判断，联想、调动所学知识，引导学生深入理解　

问题情境，对解题过程做出合理的预测，初步酝酿、设计　从已知到目标的可能途径，诱导好“念头”的出现）　学生自己独立思考、探究，动手解题．巡视发现，因为　是上一年的高考试题，有学生已经知道答案，但是，详细　

的解题方法、策略，深层次的思考还没有，解题方法不完　

整，还有部分学生找不到思路．　生１：我是根据实数运算的符号法则，降次，转化为一　个一次、一个二次不等式，分以下两种情况：　

（１）ｆ‘　’ｘ－ｌ￣＜０’（２）ｆ‘　’ｘ－ｌ￣＞０，然后分离参数　！　【Ｘ２－ａＸ一１≤０：　【　一１≥Ｑ　‘　

ｊ　≤１＋　．　ｉ。≥ｌ＋＿＿１，　因为　＞０，（１）、（２）分别转化为（３）Ｊ　（４）４　

、　１　ａ＝；　一——．　，　１　ａ＝　一——．　

再转化为求函数　）＝１＋　，ｇ（ｘ）＝　一＿ｌ的最值问题，结　

果发现无解！不会是试题出错啊！这可是高考题啊！　师：生１同学注意到了关系式的符号，运用转化思想，　

把高次化低次、不等式转化成不等式组，再通过分离参数　

转化为求最值的问题，思路很流畅，可是解不出，问题出　

在哪儿呢？（审题表面化，考虑了问题的转化，模仿套路的　痕迹比较明显，但是，对题目理解上出现偏差）　

回到原点，再次读题，同学们对条件的形式、含义和　

生１同学的理解一致吗？（目的：引导学生再次审题，从条　件的形式、代数意义、几何意义等方面读题，养成“慢审、　

快做”的习惯，优秀的解题者一半时间审题，一半时间做　

题，但有些学生可能“下笔千言，离题万里”．以上提示语　问法不同、角度各异，但基本上都指向审题、启发解题思　

路）　

生２：生１的理解不对．ｘ＞Ｏ时均有［（ｏ一１）　一１］（ｘ２－ａｘ一　１）ｉ＞０，意思不一定是ｘ＞Ｏ时两个因式的值一直是正数或　

２　中。？　受－７高中版　者是负数，只要两个因式同号．下面求解还没有写好．　师：对关系式的理解不一样，哪个是正确的？　

全体：后一个！　师：对，后一个，注意关键词，若　＞０日寸均有……，读对　

题是解对题的必要条件！解给出的问题而不是你认为的　问题！不然肯定是“出师未捷身先死”啊！审题，就要让试　

题自己讲出“真实的情况”，继续！　

生３：我没有看成两个因式乘积，我理解的是函数值　

符号问题，就是两个函数在区间（０，＋∞）的每一点上函数　

值符号一致，这样必须有相同的零点．　师：打断一下，怎么出现的函数？不是不等式问题吗？　

（让思维过程看得见，充分暴露思维过程是学生学会思维，　

领悟数学思维的必然途径，特别是在一个转折点、关键点　

上）　生２：因为……因为……每个不等式都对应一个函　

数，不是可以转化吗？　

师：很好，从不同的角度去推敲！不等式转化为函数　

问题，继续！　

生２：令函数Ｙ。＝（ｒｚ一１　一１，由），。＝０，得Ｍ（　，０），函　

数），　＝　２一似一１显然过点　（　，０），代入得：（　１２／一　＼ｒ上一ｌ　／　＼ｎ—ｌ　ｎ—ｌ　

一１＝０，解得。＝０或者。＝　３．通过检验，。＝０明显不成立　

师：好！分解问题、数形结合是重要的解题思想，从不　同角度理解条件是审题的重要形式、解题的突破口之一，　

也是找到“好念头”的捷径．　

答案出来了，有学生表示还可以优化．　

生３：老师，生２的解法不　完整，令Ｙ．＝（０—１）　一１，ｙ２＝ｘ。一　

似一１，注意它们的“个性”（注：　这是我们解题分析过程中常　

用的一个词，理解问题的“个　性”就是深入挖掘已知条件，　ｖ』　

一　一１　－　

ｔ　／　’　／　＼一／　１　

图１　

解具体的题，充分利用个性是优化解题的必然途径），它　

们都过定点Ｐ（０，一１），ｙ２＝Ｘ２－　一１是开口向上的抛物线，对　应方程两根异号．分类讨论，当。＝１时，ｙｌ＝一１，不合题意．画　

出简图如图１（老师在黑板上按生３的意思画　）．这两个　

函数的图像在Ｙ轴的右边一定是先同时在砖由的下方，然　

ｆ　１　、　后都在礴由的上方，Ｙｌ＝（Ⅱ一１　一１过点　｛÷，０　１

，所以函　教学导航　

数　２一ａｘ－１的图像一定也过点　（　，０），所以（　

—　一１＝０，解得　（舍去　０）．　

教室内一片赞赏之声！　师：很好！问题的求解要像生２同学一样力求完善、直　

观，函数、方程、不等式联动，同时充分发挥了图形的优势，　数形结合，分类讨论，让我们看到了数学思想方法的威力！　生４：老师，我也是看成函数问题，不过形式却不一　

样，把原来的不等式改写成［ａｘ一（　＋１）］［ａｘ一（　。一１）］≤０．　令　）＝ａｘ，ｇ（　）　＋１，　（　）＝　１，问题转化成ｘ＞ＯＨ￣　）一　ｇ（ｘ）］［　）一ｈ（ｘ）］≤０，其几何意义是　ｆ（ｘ）的图像介于　（　）、ｈ（　）图像之　

间，画出图像如图２　）一定过ｇ（ｘ）、　＾（　）的交点，可以算出交点坐标是（２，　

３），另一个交点不合题意，直线ｙ＝ｆ（ｘ）　

０　的斜率只能是÷，即ｎ＝｛．这样不用　二　二　分类讨论．　图２　

师：很好，改变条件的形式，换个角度理解问题，避开　

了分类讨论．　

生１：老师，我发现我的解法　还是可以的，只要再看成函数问题　

和生４的类似，（３）、（４）的意思就是　

），：。的图像位　）：１＋　，ｇ（　）：　

一　（　＞０）图像之间，如图３画出　图３　

函数的图像可以发现，只要求出交点坐标，由１＋　一　

得到　ｏ＝２，　ｏ＝一ｌ（舍去），这样　‰）－ｇ（　。）＝　．　

师：好的，横看成岭侧成峰，只要读得对就可能做得　出，条条道路通罗马！参照生１同学的解法，直接考虑分离　

参数也可以，［（口一１　一１］（　ｚ一似一１）：　ｚ　ｆｎ一　ｌ＿１．　

（）≥０在　＞０时均成立，所以［　（＋÷１／］＼　／　Ｌ　＼　Ｊ　

［　（　一÷）］≤０在　＞０时均成立，即ｙ＝ｎ的图像　）：１＋　

１，ｇ（　）　一　之间，与生１同学的解法异曲同工．　

牛５：老师．还可以再更简洁．只要再深入挖掘“个性”’　材　法　

同学们的兴趣再次被激发，怎么再挖掘“个性”呢？　

生５：设　）＝［（　１　一１］（　２＿似一１），因为ｘ＞Ｏ时均有　）　

当然　≥。　２　即　。．则　丢　

教室内一片掌声！　不过，有学生提出，保证　１）ｉ＞０　２）＞／０就能保￣ｉＥｘ＞　

０时均有　）Ｉ＞０吗？逻辑上明显有缺陷！　

生５：再加一个检验，　３　）：　（　一２）　＋　），　

ｘ＞Ｏ时，　）≥０成立．　

师：好，根据题型特征我们可以选择“个性化”的解题　方法，思维灵活，体现了特殊性存在于一般性之中的哲学　

思想，解客观题不妨试试特殊值法，当然也要注意逻辑的　

严密性．　

生６：老师，还可以再简化，取　＝２，　２）一（２ａ一３）　＞１０，　

直接得到ｎ＝÷，然后再检验．　

不过也有同学提出为什么恰好取　＝２呢？　

生６：开始老师不就是让我们猜测结果是什么形式　

吗？因为结果是求ａ的值，只有一个未知数，只要建立一个　

方程就可以了．　

师：真有才！充分考虑目标的意义，对解题的方向会