特殊四边形的证明经典必考题精编版

特殊平行四边形证明设特殊平行四边形ABCD的两对边分别平行，其中AB与CD平行，BC与AD平行；设AB=CD，BC=AD。

我们要证明对角线AC和BD互相平分，并且AC=BD。

首先，我们可以通过观察发现，在特殊平行四边形ABCD中，角BAD和角CDA分别等于角BCD和角ADC，这是因为平行线AB与CD分别与平行线AD与BC交叉，形成了对应角。

因此，我们可以得出：角BAD=角CDA (1)角BCD=角ADC (2)A________BD--------C我们可以注意到四边形ABCD可以分成两个三角形：△AED和△BEC。

根据上述所得到的结论，我们知道角BAD等于角CDA，角BCD等于角ADC。

由于BD是BC的延长线，所以角BCD也等于角BCE。

根据三角形内角和定理，我们可以得到三角形△BEC中的角BEC等于角BCD+角BCE，即角BCD+角BCE=角BCD+角BCD=2角BCD同样地，我们可以得到△AED中的角AED等于角BAD+角AED，即角BAD+角AED=角BAD+角BAD=2角BAD根据题设条件，我们知道AB=CD，所以△AEB和△CED是等腰三角形，因此角AEB等于角BEA，角CED等于角CED。

通过观察我们可以发现，角AEB等于角BEA等于角BEC，角CED等于角CDE等于角BCE。

所以角AEB=角BEA=角BEC (3)角CED=角CDE=角BCE (4)现在，我们可以将(3)代入△BEC的等式中，得到：角BCD+角BEC=2角BCD=2角AEB同样地，将(4)代入△AED的等式中，得到：角BAD+角AED=2角BAD=2角CED由于以E点为顶点的两个角分别等于以B点和C点为顶点的两个角的两倍，所以根据角等于其对边所对的弧长，我们可以得出：∠BAE=∠BCE (5)∠CDE=∠CAE (6)由(5)、(6)两式可知，∠BAE=∠BCE，∠CAE=∠CDE，根据等腰三角形的性质，我们可以得到AE=CE。

矩形、菱形、正方形练习题一、填空题1、已知一个菱形的面积为8萌cm 2,且两条对角线的比为1 :，则菱形短的 对角线长为 __________ 。

2、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm,则它的面积为3、 矩形的对角线 __________________ ,菱形的对角线 ___________________________ , 正方形的对角线 _______________________________________________ .4、 菱形的两条对角线长分别为16、12,则菱形的边长为 ___________ ,面积是 _______ L5、 矩形的两边长分别为6cm 、8cm,那么对角线的长是 __________________ .6、正方形的对角线长是3“cm,则正方形的周长是 ______________ ,面积是 __________ . 8、菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于0,若BD=6, ZBAD=60° ,则菱形的周长 是.9、如图，矩形ABCD 的周长是36cm,E 是 BC 的中点，ZAED=90° , 则 AB=_____________ , BC= __________ .10、 如图，BD 是正方形ABCD 的一再对角线AD=DE,点E 在BD 上， 且AD=DE,则 ZBAE= ___________ .11、 菱形两邻角的度数比为1:2,且边长为1,则两对角线的长分别为 __________ .12、 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和 13、点M 为矩形ABCD 的边AD 的中点，P为BC 上一点，且PE 丄MC, PF 丄MB,当AB 、AD 满足条件 时，四边形PEMF 是矩形。

二、选择题14、 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ） A 、AB=CD B 、AC=BD C 、当 AC 丄BD 时，它是菱形 D 、当 ZABC=90° 时，它是矩形15、 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）。

18.2 特殊的平行四边形高频易错必刷题汇编【高频考点精讲】1、菱形的性质与判定（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（2）菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形的面积计算：①利用平行四边形的面积公式；②菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）（4）菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形，即∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），即∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形。

2、矩形的性质与判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）矩形的性质：①所有平行四边形的性质；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（4）矩形的判定：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③三个角是直角的四边形；④任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形；⑤对角线相等且互相平分的四边形。

3、正方形的性质与判定（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）正方形的性质：①四条边都相等，四个角都是直角；②两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（3）正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；【热点题型精练】一、选择题1．（2021•兰州模拟）四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理成立的是（）A．①④⇒⑥B．②④⇒⑥C．①②⇒⑥D．①③⇒⑤解：A、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；B、对角线垂直的矩形是正方形，正确；C、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；D、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误．答案：B．2．（2021•成都模拟）如图，菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上，∠AOC＝60°，OA＝4，则点C 的坐标为（）A．B．C．D．（2，2）解：过C作CD⊥OA于D，如图：则∠ODC＝90°，∵四边形OABC是菱形，∴OC＝OA＝4，∵∠AOC＝60°，∴∠CDO＝90°﹣∠AOC＝30°，∴DD＝OC＝2，∴CD＝＝＝2，∴点C的坐标为（2，2），答案：A．3．（2021•晋中模拟）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝CF，BA＝BE．若∠EBF ＝60°，则∠C的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴BC＝BF，∴∠C＝∠BFC，设∠ABE＝∠CBF＝α，∵∠EBF＝60°，∴∠ABC＝2α+60°，∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣60°＝120°﹣2α，∴∠BFC＝∠C＝120°﹣2α，∵∠C+∠BFC+∠CBF＝180°，∴120°﹣2α+120°﹣2α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠C＝80°，答案：B．4．（2021•龙岩模拟）如图，正方形ABCD边长为4，连接AC，∠CAD的平分线AE交BC的延长线于点E，过A 作F A⊥AE交CB延长线于点F，则EF的长为（）A．8 B．C．D．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，∴AC＝AB＝4，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE＝∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE＝∠E，∴∠CAE＝∠E，∴CE＝CA＝4，∵F A⊥AE，∴∠F AC+∠CAE＝90°，∠F+∠E＝90°，∴∠F AC＝∠F，∴CF＝AC＝4，∴EF＝CF+CE＝4+4＝8，答案：B．5．（2021•沈阳模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB ＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（）A．B．C．D．54解：过点F作直线MN，使MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，∵点F是AE的中点，∴AF＝EF，∵∠AFM＝∠EFN，∴△AFM≌△EFN（AAS），∴MF＝FN＝AB＝4.5，∵点E是BC的中点，∴BE＝BC＝3，∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，答案：C．6．（2021•大同模拟）平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变解：如图，连接AE，∵矩形DEGF的面积＝2△ADE的面积＝2×DE×FD＝DE×FD，∴矩形DEGF的面积保持不变．答案：D．7．（2021•揭阳模拟）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4 B．C．6 D．解：连接BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为24，面积为24，∴BA＝BC＝6，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×6×PE+×6×PF＝12，∴PE+PF＝4，答案：A．8．（2021•宁波模拟）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．答案：B．9．（2021•成都模拟）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6 B．7 C．8 D．9解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，∴S2＝25﹣16＝9，答案：D．10．（2021•南平模拟）已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．则（）A．BE＞AF+CEB．BE＝AF+CEC．BE＜AF+CED．BE与AF+CE的大小不确定证明：如图，延长DC到G，使CG＝AF，连接BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠BCG＝90°，在△ABF和△CBG中，，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴∠AFB＝∠G，∠ABF＝∠CBG，∵∠ABF＝∠EBF，∴∠EBF＝∠CBG，∴∠EBF+∠CBE＝∠CBG+∠CBE，即∠FBC＝∠EBG，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC＝∠EBG，∴∠EBG＝∠G，∴BE＝EG＝CG+CE＝AF+CE．答案：B．11．（2021•湖州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为（）A．2 B．C．D．3解：过点C作CF⊥AB的延长线于点F，如图所示：∵AB∥CD，AB⊥BD，∴CD⊥BD，∵CF⊥AB，∴CF⊥CD，∴BD∥CF，∴四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝3，CF＝BD＝4，在Rt△BCF中，BC＝，在Rt△AFC中，AC＝＝，∴BC＝AB＝5，∴△ABC是等腰三角形，∵点E是AC的中点，∴BE⊥AC，∵，∴×5×4＝×BE，解得：BE＝．答案：C．12．（2021•齐齐哈尔模拟）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（）A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，∴BE＝CP＝6厘米，∴BP＝10﹣6＝4厘米，∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B＝∠C＝90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），答案：D．二、填空题13．（2021•沈阳模拟）如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，AC＝10，AE＝CF＝3，则四边形BFDE的面积为20．解：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，又∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，∴四边形BEDF是菱形，∴BD＝AC＝10，∵AE＝CF＝3，∴EF＝4，∴四边形BFDE的面积为BD•EF＝×10×4＝20．答案：20．14．（2021•重庆模拟）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3，把它们按图2，拼摆正方形，纸片在结合部分不重叠无缝隙，则图2的中间空白部分，即四边形ABCD的面积为．解：∵直角三角形纸片的一条直角边长为1，斜边为3，∴直角三角形的直角边＝，∴直角三角形的面积＝，∴四边形ABCD的面积＝，答案：．15．（2021•惠州模拟）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上（不与A，B重合），过P作PE ⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，连接EF，M为EF的中点，则CM的最小值为 1.2．解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°，又∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，如图，连接CP，则CP＝EF，∵M为EF的中点，∠ECF＝90°，∴Rt△CEF中，CM＝EF，∴CM＝CP，如图，当CP⊥AB时，CP最短，此时，×AC×BC＝×AB×CP，∴CP＝＝，∴CM＝CP＝1.2，即CM的最小值为1.2．答案：1.2．16．（2021•洛阳模拟）如图，正方形ABCD中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE ＝DF＝3，则EF的平方为2．解：延长BE交CF于G，如图：∵AB＝5，AE＝4，BE＝3，∴同理可得△DFC是直角三角形，可得△BCG是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE＝∠GBC+∠ABE，∴∠GBC＝∠BAE，同理可得：∠BCG＝∠ABE，在△CBG和△BAE中，，∴△CBG≌△BAE（ASA），∴AE＝BG＝4，CG＝BE＝3，∴EG＝4﹣3＝1，同理可得：GF＝1，∴EF2＝EG2+GF2＝2，答案：2．17．（2021•威海中考）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF 交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为﹣1．解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥﹣1，∴BG的最小值为﹣1．答案：﹣1．18．（2021•沈阳模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝18，AD＝6．点E从D向C以每秒2个单位的速度运动，以AE 为一边在AE的右上方作正方形AEFH，同时垂直于CD的直线PQ也从C向D以每秒4个单位的速度运动，当经过2秒时，直线PQ和正方形AEFH开始有公共点．解：如图，过点F作FN⊥CD于N，∵四边形AEFH是正方形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEN＝90°＝∠AED+∠DAE，∴∠DAE＝∠FEN，在△ADE和△ENF中，，∴△ADE≌△ENF（AAS），∴AD＝EN＝6，∵直线PQ和正方形AEFH开始有公共点，∴DE+EN+CQ≥DC，∴2t+6+4t≥18，∴t≥2，∴当t＝2时，直线PQ和正方形AEFH开始有公共点，答案：2．三、解答题19．（2021•白银模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF为菱形，∴BE＝DE，DB⊥EF，又∵AB＝8，BC＝4，设BE＝DE＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，∴，∴，∴，∴EF＝2OE＝．20．（2021•太原模拟）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF 的值．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠BAD＝∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）如图，连接OP，∵AD＝12，AB＝5，∴BD＝＝＝13，∴BO＝OD＝AO＝CO＝，∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，∴S△AOP+S△POD＝15，∴××FP+××EP＝15，∴PE+PF＝．21．（2021•杭州模拟）如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝AE；（2）连接CM，DF＝2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．（1）证明：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AD＝AB，∵EM⊥AC，∴ME∥BD，∵点E是AB的中点，∴点M是AD的中点，AE＝AB，∴AM＝AD，∴AM＝AE．（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，∴AM＝MD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，∴△MDF≌△MAE（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝2AE，DF＝2，∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，∴DF＝DM，MF＝ME，∴∠DMF＝∠DFM，∴∠ADC＝2∠DFM，∵∠ADC＝2∠MCD，∴∠MCD＝∠DFM，∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠FDM＝∠MDC，∵ME⊥AC，AM＝ME，∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，∴MC＝2MG，∴∠MGC＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠MCD＝30°，∴∠DMC＝90°，∴△DMC为直角三角形，∵DF＝2，∴DM＝2，CD＝4，∴CM＝＝2，∴ME＝2．22．（2021•珠江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形。

2018四边形特殊四边形经典习题（附答案）2018年暑假作业精编《四边形》第⼀部分基础题1.如图，在平⾏四边形ABCD 中，AD =2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，且AE =3，则AB 的长为（）A ．4 B ．3 C ．25D ．22.如图所⽰，如果 ABCD 的对⾓线AC ，BD 相交于点O ，?那么图中的全等三⾓形共有（） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对3.如图所⽰，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB ∥CD 的是（） A ．∠3=∠4 B ．∠1=∠2 C ．∠D =∠DCE D ．∠D +∠ACD =180°4.如图,△ABC 中,AB =AC =10,BC =8,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,点E 为AC 的中点,连接DE , 则△CDE 的周长为( )A.20B.12C.14D.135.如果三⾓形的两条边分别为4和6,那么连接该三⾓形三边中点所得三⾓形的周长可能是( )A.6B.8C.10D.126.如图，在△ABC 中，D ,E 分别是边AB ,AC 的中点，已知BC =10，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 7.矩形各内⾓的平分线围成⼀个( )A ．平⾏四边形B ．正⽅形C ．矩形D ．菱形 8.下列命题中正确的是( )A ．对⾓线相等的四边形是矩形B ．对⾓线互相垂直的四边形是矩形C ．对⾓线相等的平⾏四边形是矩形D ．对⾓线互相垂直的平⾏四边形是矩形 9.下列命题中错误的是( )A ．对⾓线相等的平⾏四边形是矩形B ．对⾓线互相垂直的矩形是正⽅形C ．对⾓线互相平分的菱形是正⽅形D ．对⾓线平分⼀组对⾓的矩形是正⽅形 10.下列命题中，错误的是（）A ．矩形的对⾓线互相平分且相等B ．对⾓线互相垂直的四边形是菱形C ．三⾓形的三条⾓平分线相交于⼀点，并且这点到三条边的距离相等D ．到⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 11.在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60o，AC ＝4，则BD 的长为．12.若点O 为□ABCD 的对⾓线AC 与BD 交点，且AO ＋BO ＝11cm ，则AC ＋BD ＝ cm ． 13.在平⾏四边形ABCD 中, ∠A =40o,则∠B = o.14.如图，四边形ABCD 的对⾓线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是_______________．（只需写出⼀个）15.如图，⼝ABCD 中，AE ⊥BD 于E .∠EAC =30°,AE =3 则AC 的长等于 16.如图, ABCD 中,DB =DC ,∠C =70°,AE ⊥BD 于E ,则∠DAE =_____度. 17.如图，在□ABCD 中，∠A ＝120°，则∠D ＝_ _°．18. 顺次连接菱形四边中点所得四边形是_________.19.20. 已知菱形的两对⾓线长分别为6和8,则菱形的⾯积为选择填空题答案：BDBCB CDCCD16.20 17.60 18.矩形19.6 20.2421.如图，平⾏四边形ABCD中，E、F是对⾓线BD上的点，且BE=DF. （1）请你写出图中所有的全等三⾓形（2）试在上述各对全等三⾓形中找出⼀对加以证明.（2）（以证明△≌△为例，证明其它结论参照给分）证明四边形ABCD是平⾏四边形AD∥BC，AD=BC∠ABD=∠CDB，⼜BD=BD∴△ABD≌△CDB.22.如图，在 ABCD中，BE＝DF．求证：AE＝CF．23.在 ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE =CF ．求证：∠AED =∠BFC ．24. 已知：□ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于E ，BF 平分∠ABC 交DC 于F ，DC =8cm ，AD =3cm ，求EF 的长．EF=DC ﹣DE ﹣CF=8cm ﹣3cm ﹣3cm=2cm ．25.已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ∥DB ，AO ＝BO ，E 、F 分别是OC 、OD 的中点．求证：(1)△AOC ≌△BOD ；(2)四边形AFBE 是平⾏四边形．(2)∵△AOC ≌△BOD ，∴CO ＝DO.∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴OF ＝21OD ，OE ＝21OC. ∴EO ＝FO.⼜∵AO ＝BO ，∴四边形AFBE 是平⾏四边形．⼆、提⾼题 1.在ABCD 中，E 、F 分别在DC 、AB 上，且DE ＝BF ．求证：四边形AFCE 是平⾏四边形．2.如图所⽰，四边形ABCD 是平⾏四边形，且∠EAD ＝∠BAF . ①求证：ΔCEF 是等腰三⾓形；②观察图形，ΔCEF 的哪两边之和恰好等于ABCD3．如图所⽰，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ∥AC 交AB 于E ，过D 作DF ∥BC 交AC 于F ．求证：AE =FC ．4.如图，已知ABCD 中, (1,0)A -，点B 在x 轴正半轴上且(,0)B m ，(0,2)D -．(1)⽤含m 的代数式表⽰点C 的坐标； (2)若有⼀条经过直线12y mx =-+能把ABCD 的⾯积分成相等的两部分,求m 的值．CA第1题图F第2题图F第3题图5.在□ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且AE ＝CF ．(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若DF ＝BF ，求证：四边形DEBF 为菱形．6.如图，在ABDE 中，C 为边B D 延长线上⼀点，连结AC 、CE ，使AB =AC . ⑴求证：△BAD ≌△AEC ；⑵若∠B =30°，∠ADC =45°，BD =10，求ABDE 的⾯积.7.已知：在□ABCD 中，AE ⊥BC ，垂⾜为E ，CE =CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的⼀点，连接DF ，EG ，AG，∠1=∠2．（1）若CF =2，AE =3，求BE 的长；（2）求证：∠CEG =∠AGE ．8.如图，已知□ABCD 中，F 是BC 边的中点，连接DF 并延长，交AB 的延长线于点E ．求证：AB ＝BE ．21第19题图第5题图9.如图1，在△OAB 中，∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB =8．以OB 为边，在△OAB 外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平⾏四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．10.如图，在□ABCD 中，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∠AND =90°，连接CM 交DN 于点O .（1）求证：⊿ABN ≌⊿CDM ；（2）过点C 作CE ⊥MN 于点E ，交DN 于点P ，若PE =1，∠1=∠2，求AN 的长.11.如图，已知BE ∥DF ，∠ADF =∠CBE ，AF =CE ，求证：四边形DEBF 是平⾏四边形．P NMEO D21CBA（第10题）第10题图12.如图，□ABCD 中，点O 是AC 与BD 的交点，过点O 的直线与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）请连接EC 、AF ，则EF 与AC 满⾜什么条件时，四边形AECF 是矩形，并说明理由．13.如图，在平⾏四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂⾜为E ，连接DE ，F 为线段DE 上⼀点，且∠AFE =∠B .（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB =8，AD =6，AF =4，求AE 的长．14.在正⽅形ABCD 中,M 是BC 的中点, DM ⊥MN 交∠CBA 的外⾓平分线于点N .求证:MN =MD .15.ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF DC ⊥于点F ，AE = 6，AF = 8，ABCD 的周长为98，求ABCD 的⾯积.第12题图第13题图A BE 第14题图16. 在长⽅形ABCD 中，AB = 6cm ，BC = 12cm ，点E 从点A 出发沿AB ⽅向向点B 匀速移动，速度为1cm/s ，点F 从点B 出发沿BC ⽅向向点C 匀速移动，速度为2cm/s ，如果E 、F 同时从点A 、B 出发，连接EF ，设运动的时间为t 秒，回答下列问题：（1）当t 为何值时，BEF 为等腰直⾓三⾓形？（2）设运动的时间为t,⊿DEF 的⾯积为S,求S 关于t 的函数解析式,试求S 的最⼤值.17. 四边形ABCD 中，AB//CD ，2ADC ABC ∠=∠. 求证：AB =AD +CD .18. 任意四边形ABCD ，AC ⊥BD ，AC 交BD 于点O .求证：12ABCD AC BD S =四边形AC第17题图E第16题图D第18题图19. 如图△ABC 与△CDE 都是等边三⾓形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，且EF ∥AB （1）求证：四边形EFCD 是菱形；（2）设CD ＝4，求D 、F 两点间的距离．20. 如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三⾓形. (1) 当AB ≠AC 时，证明四边形ADFE 为平⾏四边形；(2) 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪⼏类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.21. 已知：如图，在正⽅形ABCD 中，G 是CD 上⼀点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DA E′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．EFDABC第21题图22. 如图，在平⾏四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E ,∠ADC 的平分线交AB 于点F .试判断AF 与CE 是否相等，并说明理由.23. 如图，已知：ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =．24. 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点E ，F 是CD 的中点，DG 是梯形ABCD 的⾼．（1）求证:四边形AEFD 是平⾏四边形；（2）设AE x =，四边形DEGF 的⾯积为y ，求y 关于x 的函数关系式．第22题图第23题图第24题图25. 已知：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝∠D ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠AEF ＝∠ACD ，试探究AE 与EF 之间的数量关系。