常州高数学期末统考试题(word版含答案)

2022-2023学年江苏省常州高级中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数11+i在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若α、β是两个不重合的平面，①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β； ②设α、β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α⊥β； ③若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l ∥α； 以上说法中成立的有（ ）个． A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，二面角D 1﹣BC ﹣D 的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）A ．26πB ．20πC ．19πD ．18π5．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，点M 满足BM →+3CM →=0→，若BC →⋅AM →=1，则BC 的值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．36．正四面体ABCD 中异面直线AB 与CD 所成角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的锐二面角为γ，则（ ）A ．α＞γ＞βB ．α＞β＞γC ．β＞α＞γD ．γ＞α＞β7．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角C 的平分线交边AB 于点D ．若C =π3，c ＝2，且CD =43，则△ABC 中最长的边为（ ） A ．23√3B ．43√3C ．43D ．48．已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为（ ） A ．8√6πB ．4√6πC ．2√6πD ．√6π二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（ ）A ．招商引资后，工资性收入较前一年增加B ．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C ．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25D ．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍10．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为13，若他连续射击两次，则下列正确的是（ ）A ．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．该运动员击中目标的概率为5911．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝5，点E ，点F 分别线段AC ，BB 1的中点，点P ，点Q 分别为线段AC ，CC 1上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．存在P ，Q ，使得B 1D 1⊥PQ B ．三棱锥B 1﹣BPQ 体积的最大值为10C ．若△PCQ 的周长为10，则∠PAQ =π4 D ．QE +QF 的最小值为712．在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB =√2，BC ＝3，CD =2√2，DA ＝1．则下列说法正确的是（ ） A ．四边形ABCD 的面积为72B ．圆O 的半径为√10C ．AO →⋅BD →=−12D ．若DH ⊥BC 于点H ，则DB →⋅DH →=4三、填空题：（本题共4小题，每小题S 分，共计20分．）13．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x ﹣y |的值为 ． 14．sin 270°−sin50°sin70°4cos 250°−1= ．15．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为 ．16．设点Q 在半径为1的圆P 上运动，同时，点P 在半径为2的圆O 上运动．O 为定点，P ，Q 两点的初始位置如图所示，其中OP ⊥PQ ，当点P 转过角度θ时，点Q 转过角度2θ，则在运动过程中OP →⋅OQ →的取值范围为 ．四、解答题：（本题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知向量a →=(1，−√3)，向量b →与a →的夹角为23π，且|b →|=2．（1）求向量b →的坐标；（2）设向量c →=(sinx ，cosx)，（x ∈R ），向量m →=(−√3，1)，若b →⋅m →=0，求|b →+c →|的最大值并求出此时x 的取值集合．18．（12分）如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BE ＝BC ，AE ⊥BE ，M 为CE 上一点，且BM ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BC ；（2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．19．（12分）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如图频率分布直方图：（1）估计两组测试的平均成绩；（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．20．（12分）如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，AB=√2AD，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点（Ⅰ）证明：BF∥平面PDE；（Ⅱ）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．21．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosBcosC =2a2a2+c2−b2．（1）求角C的大小；（2）若点D在边AB上，且BD＝2AD，cosB=35，求cos∠BCD的值．22．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，过A，B1，E的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱CC1上的动点．（1）已知点H在棱BC上，且CH=14CB，若用FH∥平面AEB1，求C1FC1C；（2）若AB＝2，求点D到平面AEF的最大距离．2022-2023学年江苏省常州高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数11+i在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵11+i =1−i (1+i)(1−i)=1−i 2=12−12i ，∴复数11+i在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D ．2．若α、β是两个不重合的平面，①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β； ②设α、β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α⊥β； ③若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l ∥α； 以上说法中成立的有（ ）个． A ．0B ．1C ．2D ．3①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，由直线与平面、平面与平面平行的判定可得α∥β，故①正确；②设α、β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α与β可能垂直也可能不垂直，故②错误； ③若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，由直线与平面平行的判定可得l ∥α，故③正确． ∴以上说法正确的有2个． 故选：C ．3．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，二面角D 1﹣BC ﹣D 的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∵BC ⊥平面DCC 1D 1， ∴BC ⊥DC ，BC ⊥D 1C ，∴∠DCD 1是二面角D 1﹣BC ﹣D 的平面角， ∵DD 1⊥DC ，DD 1＝DC ， ∴∠DCD 1=π4，∴二面角D 1﹣BC ﹣D 的大小为π4．故选：B ．4．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）A ．26πB ．20πC ．19πD ．18π解：由题意得，球的半径R ＝2，圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝3， 则该几何体的表面积为S ＝2πR 2+πR 2+2πrh ＝8π+4π+2π×1×3＝18π． 故选：D ．5．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，点M 满足BM →+3CM →=0→，若BC →⋅AM →=1，则BC 的值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．3解：∵BM →+3CM →=0→， ∴BM →=34BC →，BC →=AC →−AB →，∴AM →=AB →+BM →=AB →+34BC →=AB →+34(AC →−AB →)=14AB →+34AC →，∴BC →⋅AM →=(AC →−AB →)⋅(14AB →+34AC →)=34AC →2−12AB →⋅AC →−14AB →2=3−12×2×2cosA −1=2﹣2cos A ＝1， ∴cosA =12，在△ABC 中，由余弦定理得：BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos A =4+4−2×2×2×12=4， ∴BC ＝2． 故选：C ．6．正四面体ABCD 中异面直线AB 与CD 所成角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的锐二面角为γ，则（ ） A ．α＞γ＞βB ．α＞β＞γC ．β＞α＞γD ．γ＞α＞β解：过A 作A 在底面射影O ， 因为A ﹣BCD 是正四面体， 所以O 是底面的中心，取BC 的中点E ，连接OB ，OE ，AE ，则∠ABO 是侧棱AB 与底面BCD 所成的角，即β＝∠ABO ， 侧面ABC 与底面BCD 所成的角为∠AEO ，即γ＝∠AEO ， 在正四面体A ﹣BCD 中，AB ⊥CD ， 即异面直线AB 与CD 所成的角为α＝90°， 因为sin β＝sin ∠ABO =AOAB ，sin γ＝sin ∠AEO =AOAE ， 因为AB ＞AE ， 所以AO AB＜AO AE，即sin β＜sin γ，即β＜γ＜90°， 即β＜γ＜α， 故选：A ．7．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，角C 的平分线交边AB 于点D ．若C =π3，c ＝2，且CD =43，则△ABC 中最长的边为（ ） A ．23√3 B ．43√3 C ．43D ．4解：在△ABC 中，因为C =π3，c ＝2，所以c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，即a 2+b 2﹣ab ＝4①， 因为角C 的平分线交边AB 于点D ，且CD =43，所以12a ⋅43⋅sin30°+12b ⋅43⋅sin30°=12ab sin60°，即a +b =3√34ab ②， 由①②可得ab =83，a +b ＝2√3③， 所以a ，b 是方程x 2﹣2√3x +83=0的两根，a =2√3±√12−2432=√3±√33， 则△ABC 中最长的边为4√33． 故选：B ．8．已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为（ ） A ．8√6π B ．4√6πC ．2√6πD ．√6π解：如图，由P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，可知三棱锥P ﹣ABC 为正三棱锥， 则顶点P 在底面的射影O 1为底面三角形的中心，连接BO 1 并延长，交AC 于G ，则AC ⊥BG ，又PO 1⊥AC ，PO 1∩BG ＝O 1，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC ， ∵E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∴EF ∥PB ，又∠CEF ＝90°，即EF ⊥CE ，∴PB ⊥CE ，得PB ⊥平面P AC ， 则PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又三棱锥P ﹣ABC 是正三棱锥， ∴正三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D =√PA 2+PB 2+PC 2=√12(PA 2+PB 2+PB 2+PC 2+PA 2+PC 2) =√12(AB 2+BC 2+AC 2)=√12(22+22+22)=√6． 半径为√62，则球O 的体积为43π×(√62)3=√6π．故选：D ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（ ）A ．招商引资后，工资性收入较前一年增加B ．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C ．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25D ．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍解：设招商引资前经济收入为a ，则招商引资后经济收入为2a ，对于A ，招商引资前工资性收入为0.6a ，招商引资后工资性收入为0.37×2a ＝0.74a ， 因为0.74a ＞0.6a ，所以招商引资后，工资性收入较前一年增加了，故A 正确； 对于B ，招商引资前转移净收入为0.04a ，招商引资后转移净收入为0.05×2a ＝0.1a ，因为0.1a0.04a=2.5，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B 错误；对于C ，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和占33%＜40%，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和不超过该年经济收入的25，故C 错误；对于D ，招商引资前经营净收入为0.3a ，招商引资后经营净收入为0.3×2a ＝0.6a ， 所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D 正确． 故选：AD ．10．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为13，若他连续射击两次，则下列正确的是（ ）A ．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．该运动员击中目标的概率为59解：事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故A 正确； 事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”，故B 正确； 事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C 错误； 该运动员未击中目标的概率为(1−13)(1−13)=49， 则该运动员击中目标的概率为1−49=59，故D 正确． 故选：ABD ．11．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝5，点E ，点F 分别线段AC ，BB 1的中点，点P ，点Q 分别为线段AC ，CC 1上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．存在P ，Q ，使得B 1D 1⊥PQ B ．三棱锥B 1﹣BPQ 体积的最大值为10C ．若△PCQ 的周长为10，则∠PAQ =π4 D ．QE +QF 的最小值为7解：对于选项A ，因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D ， 当点P 与点C 重合，点Q 与C 1重合时，B 1D 1⊥PQ ，故A 正确； 对于选项B ，因为平面ABCD ⊥平面BB 1C 1C ，所以点P 到平面BB 1C 1C 的距离h 即点P 到BC 的距离h ， 所以点P 到平面BB 1C 1C 的最大距离为3，又S △BB 1Q =12×5×4=10，所以V P−BB 1Q =13⋅S △BB 1Q ⋅ℎ=10ℎ3≤103×3=10， 所以V B 1−BPQ =V P−BB 1Q ≤10，即三棱锥B 1﹣BPQ 体积的最大值为10，故B 正确；对于选项C ，因为C 1C ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以C 1C ⊥AC ，又C 1C ＝AC ＝5， 所以在△C 1CA 中，∠C 1AC =π4，若∠PAQ =π4，则点Q 与点C 1重合，此时△PCQ 即△PCC 1的周长为PC +CC 1+PC 1＞PC +2CC 1＞2CC 1＝10，故C 错误； 对于选项D ，将矩形CC 1B 1B 和矩形AA 1C 1C 展开为矩形AA 1B 1B ，如右图所示， 则QE +QF ≥EF =√EB 2+BF 2=√(52+4)2+(52)2=√1942，故D 错误．故选：AB ．12．在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB =√2，BC ＝3，CD =2√2，DA ＝1．则下列说法正确的是（ ） A ．四边形ABCD 的面积为72B ．圆O 的半径为√10C ．AO →⋅BD →=−12D ．若DH ⊥BC 于点H ，则DB →⋅DH →=4解：对于选项A ：因为在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB =√2，BC ＝3，CD =2√2，DA ＝1，连接AC ，在△ACD 中，cos D =AD 2+CD 2−AC 22AD⋅AC =9−AC 24√2，cos B =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC =11−AC26√2，所以cosB +cosD =9−AC 24211−AC262=0，解得AC 2=495， 此时cosD =−√210，cosB =√210，则sinB =sinD =√1−2100=7√210，此时S △ABC =12×AB ×BC ×sinB =12×√2×3×7√210=2110， S △ADC =12×AD ×DC ×sinD =12×1×2√2×7√210=75， 所以四边形ABCD 的面积S ＝S △ABC +S ADC =2110+75=72，故选项A 正确； 对于选项B ：不妨设外接圆半径为R ，由正弦定理得2R =ACsinB =√4957√210=√10，所以该外接圆的半径R =√102，故选项B 错误；对于选项C ：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点D 作AB ⊥DN 于点N ，所以AG →⊥ND →，BN →⊥GO →，此时GO =√R 2−AG 2=√(√102)2−(√22)2=√2， 易知AG =12AB =12GO =√22，因为A +C ＝π，所以cosA +cosC =1+2−BD 22√29+8−BD 212√2=0，解得BD =√5， 此时cosC =√22，所以C =π4，则DN =AD ⋅sin(π−A)=1×√22=√22， 所以BN =AB +AN =√2+√22=3√22， 故AO →•BD →=（AG →+GO →）（BN →+ND →）=AG →•BN →+ND →•GO →+AG →•ND →+BN →•GO →=AG →•BN →+ND →•GO →＝﹣|AG →|•|BN →|+|ND →|•|GO →|=−√22×3√22+√22×√2=−12，故选项C 正确； 对于选项D ，因为C =π4， 若DH ⊥BC 于点H ， 此时|DH →|＝CD sinπ4=2，则DB →•DH →=|DB →|•|DH →|cos ∠BDH ＝|DH →|2＝4，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：（本题共4小题，每小题S 分，共计20分．）13．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x ﹣y |的值为 4 ． 解：由题意可得：x +y ＝20，（x ﹣10）2+（y ﹣10）2＝8，设x ＝10+t ，y ＝10﹣t ，则2t 2＝8，解得t ＝±2， ∴|x ﹣y |＝2|t |＝4， 故答案为：4． 14．sin 270°−sin50°sin70°4cos 250°−1=14．解：原式=cos 220°−sin(30°+20°)cos20°2(1+cos100°)−1=cos 220°−(12cos 220°+√32sin20°cos20°)1−2sin10°=cos 220°2−√34sin40°1−2sin10°=1+cos40°4−√34sin40°1−2sin10°=1+cos40°−√3sin40°4(1−2sin10°)=1−2sin(40°−30°)4(1−2sin10°)=1−2sin10°4(1−2sin10°) =14． 故答案为：14．15．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为2027．解：根据题意，比赛为“三局两胜”制（无平局），则甲获胜分为比赛2局或者比赛3局两种情况，则甲获得冠军的概率为：(23)2+C 21×23×13×23=2027． 故答案为：2027．16．设点Q 在半径为1的圆P 上运动，同时，点P 在半径为2的圆O 上运动．O 为定点，P ，Q 两点的初始位置如图所示，其中OP ⊥PQ ，当点P 转过角度θ时，点Q 转过角度2θ，则在运动过程中OP →⋅OQ →的取值范围为 [2，6] ．解：建立如图所示的平面直角坐标系，设P （2cos α，2sin α），PQ →=（cos （2α+π2），sin （2α+π2））， 则OQ →=OP →+PQ →=（2cos α﹣sin2α，2sin α+cos2α）， OP →⋅OQ →=4cos2α﹣2sin2αcos α+4sin 2α+2sin αcos2α ＝4﹣2sin α∈[2，6]．OP →⋅OQ →的取值范围为：[2，6]． 故答案为：[2，6]．四、解答题：（本题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知向量a →=(1，−√3)，向量b →与a →的夹角为23π，且|b →|=2．（1）求向量b →的坐标；（2）设向量c →=(sinx ，cosx)，（x ∈R ），向量m →=(−√3，1)，若b →⋅m →=0，求|b →+c →|的最大值并求出此时x 的取值集合． 解：（1）设b →=(p ，q)， 由|b →|=2． 则p 2+q 2＝4，①又向量a →=(1，−√3)，向量b →与a →的夹角为23π，则a →⋅b →=|a →||b →|cos2π3=√12+(−√3)2×2×(−12)=−2， 即1×p +(−√3)×q =−2，② 联立①②可得：{p =−2q =0或{p =1q =√3，即b →的坐标为（﹣2，0）或(1，√3)； （2）已知向量m →=(−√3，1)， 又b →⋅m →=0，当b →=(−2，0)时，显然b →⋅m →=(−2)×(−√3)+0×1≠0， 即b →=(−2，0)不合题意，当b →=(1，√3)时，b →⋅m →=1×(−√3)+√3×1=0满足题意， 即b →=(1，√3)，则b →+c →=(1+sinx ，√3+cosx)，则|b →+c →|=√(1+sinx)2+(√3+cosx)2=√5+2sinx +2√3cosx =√5+4sin(x +π3)， 又sin(x +π3)∈[−1，1]， 即当x +π3=2kπ+π2，k ∈Z ， 即x =2kπ+π6，k ∈Z 时，|b →+c →|取最大值3，即|b →+c →|的最大值为3，此时x 的取值集合为{x|x =2kπ+π6，k ∈Z}．18．（12分）如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BE ＝BC ，AE ⊥BE ，M 为CE 上一点，且BM ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BC ；（2）如果点N 为线段AB 的中点，求证：MN ∥平面ADE ．证明：（1）因为BM ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， 所以BM ⊥AE ．（2分）因为AE ⊥BE ，且BE ∩BM ＝B ，BE 、BM ⊂平面EBC ， 所以AE ⊥平面EBC ．（4分） 因为BC ⊂平面EBC ， 所以AE ⊥BC ．（6分）（2）取DE 中点H ，连接MH 、AH ． 因为BM ⊥平面ACE ，EC ⊂平面ACE ， 所以BM ⊥EC ． 因为BE ＝BC ，所以M 为CE 的中点．（8分） 所以MH 为△EDC 的中位线．所以MH ∥12DC ，且MH =12DC ．（10分）因为四边形ABCD 为平行四边形，所以DC ∥AB ，且DC ＝AB ． 故MH ∥12AB ，且MH =12AB ．因为N 为AB 中点，所以MH ∥AN ，且MH ＝AN ． 所以四边形ANMH 为平行四边形， 所以MN ∥AH ．（12分）因为MN ⊄平面ADE ，AH ⊂平面ADE ， 所以MN ∥平面ADE ．（14分）19．（12分）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如图频率分布直方图：（1）估计两组测试的平均成绩；（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这7人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 解：（1）由田径队的频率分布直方图得：10×（0.016+0.024+0.032+a +0.008）＝1， 解得a ＝0.020，同理可得b ＝0.010，其中“田径队”的平均成绩为：x =10×(55×0.016+65×0.024+75×0.032+85×0.020+95×0.008)=73，“足球队”的平均成绩为：y =55×0.02+65×0.58+75×0.24+85×0.10+95×0.06=71． （2）“田径队”中9（0分）以上的有10×0.008×100＝8（人）， “足球队”中9（0分）以上有10×0.006×100＝6（人）， 所以抽取的比例为78+6=12，在“田径队”抽取8×12=4（人），记作a ，b ，c ，d ，在“足球队”抽取6×12=3（人）．记作A ，B ，C ，从中任选2人包含的基本事件有：ab ，ac ，ad ，aA ，aB ，aC ；bc ，bd ，bA ，bB ，bc ；cd ，cA ，cB ，cC ；dA ，dB ，dC ；AB ，AC ；BC ，共21个，正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共6个， 故正、副队长都来自“田径队”的概率为621=27．20．（12分）如图所示，在平行四边形ABCD 中，A ＝45°，AB =√2AD ，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△PDE ，使平面PDE ⊥平面BCD ，F 为线段PC 的中点 （Ⅰ）证明：BF ∥平面PDE ；（Ⅱ）已知M 为线段DE 的中点，求直线MF 与平面PDE 所成的角的正切值．（Ⅰ）证明：取PD 的中点H ，连接HF ，HE ， 因为F 为PC 的中点，所以HF ∥CD ，HF =12CD ，因为平行四边形ABCD ，且E 是AB 的中点，所以BE ∥CD ，BE =12CD ，所以HF ∥BE ，HF ＝BE ， 所以四边形BEHF 为平行四边形，所以BF ∥HE ， 又BF ⊄平面PDE ，HE ⊂平面PDE ， 所以BF ∥平面PDE ．（Ⅱ）解：设AB =√2AD ＝2，则AE ＝1，在△ADE 中，由余弦定理知，DE 2＝AD 2+AE 2﹣2AD •AE cos A ＝2+1﹣2×√2×1×√22=1，即DE ＝1，所以△ADE 为等腰直角三角形，且AE ⊥DE ， 所以PE ⊥DE ，因为平面PDE ⊥平面BCD ，且平面PDE ∩平面BCD ＝DE ，所以PE ⊥平面BCDE ，所以PE ⊥BE ， 又DE ⊥BE ，PE ∩DE ＝E ，PE ，DE ⊂平面PDE ，所以BE ⊥平面PDE ，因为HF ∥CD ∥BE ，所以HF ⊥平面PDE ，连接HM ，则∠FMH 即为直线MF 与平面PDE 所成的角， 在Rt △FHM 中，HM =12PE =12，HF =12CD ＝1， 所以tan ∠FMH =HFHM=2， 故直线MF 与平面PDE 所成的角的正切值为2．21．（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAcosBcosC=2a 2a 2+c 2−b 2．（1）求角C 的大小；（2）若点D 在边AB 上，且BD ＝2AD ，cosB =35，求cos ∠BCD 的值．解：（1）由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac， 所以sinAcosBcosC=2a 2a 2+c 2−b 2可变形为sinAcosBcosC=2a 22accosB，即sinA cosC=a c，a c=sinA sinC，∴cos C ＝sin C ，即tan C ＝1， 又C ∈（0，π），∴C =π4；（2）如图，设BD ＝2AD ＝2m ，∠BCD ＝θ，sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =√22(35+45)=7√210， 在△ACD 中，由正弦定理可得msin(π4−θ)=CD sinA①，在△BCD 中，由正弦定理可得2m sinθ=CD sinB②，由①÷②可得sinθsin(π4−θ)=8√27，即7sin θ＝8√2sin （π4−θ），整理可得15sin θ＝8cos θ，即tan θ=815， 所以cos ∠BCD ＝cos θ=1517．22．（12分）在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，过A ，B 1，E 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F 为棱CC 1上的动点．（1）已知点H 在棱BC 上，且CH =14CB ，若用FH ∥平面AEB 1，求C 1F C 1C； （2）若AB ＝2，求点D 到平面AEF 的最大距离．解：（1）设平面BCC 1B 1与平面AEB 1的交线为l ，因为FH ∥平面AEB 1，平面BCC 1B 1∩平面AEB 1＝l ，FH ⊂平面BCC 1B 1，所以FH ∥l ，由正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1知，平面BCC 1B 1∥平面ADD 1E ，又因为平面ADD 1E ∩平面AEB 1＝AE ，平面BCC 1B 1∩平面AEB 1＝l ，所以AE ∥l ，所以AE ∥FH ，取BC 的中点G ，连接C 1G ，易知AE ∥GC 1，所以GC 1∥FH ，又因为H 为CG 的中点，所以F 为CC 1的中点．所以C 1FC 1C =12； （2）以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有D （0，0，0），A （2，0，0），E （1，0，2），F （0，2，t ），其中t ∈[0，2]，AE →=(−1，0，2)，AF →=(−2，2，t)，DA →=(2，0，0)，设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{n →⋅AE →=0n →⋅AF →=0⇒{−x +2z =0−2x +2y +tz =0，不妨取x ＝2，则n →=(2，2−t 2，1)，所以d D−AEF =|n →⋅AD →|n →||=4√5+(2−t 2)2≤2√63， 当t ＝2，即点F 与点C 1重合时，取等号，所以点D 到平面AEF 的最大距离为2√63．。

2023-2024学年江苏省常州市高一上册期末模拟数学试题A卷一、单选题1．若α为第二象限角，且1sin3α=，则tanα的值为（）AB．C．23D．23-【正确答案】B【分析】根据已知结合同角的三角函数关系，求得cosα，即可求得答案.【详解】由题意知α为第二象限角，且1 sin3α=，故cos3α==-，故1sin3tancos4ααα==-，故选：B2．若命题“2,23x x x m∀∈++>R”是真命题，则实数m的取值范围是（）A．(),2-∞B．[)2,+∞C．(],2-∞D．()2,+∞【正确答案】A【分析】根据全称命题的真假，转化为()min223+<+x xm可求解.【详解】命题“2,23x x x m∀∈++>R”是真命题，则()min223+<+x xm，又因为()2223122y x x x=++=++≥，所以2m<，即实数m的取值范围是(),2-∞.故选：A.3．若函数()f x的图象向左平移一个单位长度，所的图象与曲线e xy=关于y轴对称，则()f x=（）A ．1e x +B ．1e x -C ．1e x -+D ．1e x --【正确答案】C【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．【详解】因为与曲线e x y =关于y 轴对称的曲线为e x y -=，向右平移1个单位得(1)1e e x x y ---+==，所以1()e x f x -+=．故选：C ．4．函数()sin π=f x x 对于任意R x ∈的都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则21x x -的最小值为（）A ．12B ．1C ．32D ．2【正确答案】B【分析】根据题意得到()1f x 是函数的最小值，()2f x 是函数的最大值，由21x x -的最小值为半个周期求解.【详解】解：因为函数()sin π=f x x 对于任意R x ∈的都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，所以()1f x 是函数的最小值，()2f x 是函数的最大值，所以21x x -的最小值为半个周期，即1212ππ⋅=，故选：B5．函数()()3256,0ln 2,x x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨+≥⎪⎩的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】注意分段函数的定义域，直接令()0f x =即可求解.【详解】由题设知，当0x <时，令32560x x x ++=，即()()230x x x ++=，解得：3x =-，2x =-，0x =（舍），即当0x <时，()f x 零点的个数是2；当0x ≥时，()ln 2ln 20x +≥>，此时()f x 没有零点.故选：B.6．已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若0.3(log 0.2)a f =，0.2(0.2)b f =，0.3(0.3)c f =-，则（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a<<【正确答案】C【分析】根据函数单调性得到0.3log 0.21>，()0.20.20,1∈，()0.30.30,1∈，再利用指数运算得到10.3100.30.027=，10.2100.20.04=，比较出0.30.20.30.2<，得到0.20.30.3log 0.20.20.3>>，结合()f x 的奇偶性和单调性比较出大小.【详解】0.3log y x =在()0,∞+上单调递减，故0.30.3log 0.2log 0.31>=，0.2x y =在R 上单调递减，故()()0.200.20,0.20,1∈=，0.3x y =-在R 上单调递增，故()()0.300.30.3,01,0-∈-=-，则()0.30.30,1∈，且()3110.331010100.30.30.30.027===，()2110.221010100.20.20.20.04===，因为1110100.0270.04<，所以0.30.20.30.2<，故0.20.30.3log 0.20.20.3>>，因为偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，故0.30.3(0.3)(0.3)f f -=，由于0.20.30.3(log 0.2)(0.2)(0.3)f f f <<，所以0.20.30.3(log 0.2)(0.2)(0.3)f f f <<-，即a b c <<.故选：C7．将函数()f x 的图像向右平移π4个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的12，得到函数()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像则()f x 的函数表达式为（）A ．()πsin 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 2f x x=C ．1π()sin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()πsin 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据函数图像平移变换和伸缩变换的规律求解函数解析式.【详解】由题意可得函数()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移π4个单位得到函数()f x 的图像，()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数1πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向左平移π4个单位得到函数1ππ1πsin sin 24428y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，所以1π()sin 28f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：C8．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足对于每一个实数x ，都成立以下等式：π1()42f x +-=()f x 的最小正周期为（）A ．π4B ．π2C ．πD ．3π2【正确答案】B【分析】由条件可得()22π1114224f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，然后根据周期的定义结合条件即得.【详解】因为π1()42f x +-=所以()()()222π1114224f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()22π1114224f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 成立，则22π1π1122424f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()22π11222f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由π1()42f x +-π1042f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 成立，即()12f x ≥对任意x ∈R 成立，则()π11222f x f x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对任意x ∈R 成立，则π2为()f x 的一个周期；若π4为()f x 的一个周期，即()π4f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1()2f x -，所以()21128f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()12f x ≥，所以()12f x =()f x 为定义在R 上的非常数函数矛盾，所以π4不是函数()f x 的周期.故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若方程ln 2x x =-的解在()(),1Z k k k +∈内，则1k =B ．函数()232h x x x =-+的零点是()()1,0,2,0C ．函数e ,ln x y y x ==的图像关于直线y x =对称D ．用二分法求方程3330x x ++=的近似解，令()333f x x x =++,过程中得到以下三个式子：()10f -<，()()0.50,0.750f f ->->，则方程的根落在区间()1,0.75--上【正确答案】ACD【分析】由函数零点的概念判断选项B ，由函数零点存在性定理判断选项AD ，由反函数性质判断选项C.【详解】对于选项A ，令()=ln 2g x x x +-，因为()g x 在R 上是增函数，且()()1120,g 2ln 222ln 20g =-<=+-=>，所以由零点存在性定理可得方程ln 2x x =-的解在()1,2，所以1k =，故A 正确；对于选项B ，令2320x x -+=得=1x 或2x =，故函数()f x 的零点为1和2，故B 错误；对于选项C ，函数e x y =与函数ln y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称，故C 正确；对于选项D ，由于()10f -<，()()0.50,0.750f f ->->，可得()()()()10.750,0.750.50f f f f -⋅-<-⋅->，所以由零点存在性定理可得方程的根落在区间()1,0.75--上，故D 正确.故选：A CD10．下列函数中，最小值为2的有（）A ．1y x x=+B ．1sin sin y x x=+C ．e e x x y -=+D ．ln log ex y x =+【正确答案】BC【分析】对于A 和D 选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于BC 选项，结合嗯不等式讨论即可得判断.【详解】解：对于A ，当0x <时，显然不满足题意，故A 错误；对于B ，sin 0x >，10sin x>，1sin 2sin y x x =+≥=，当且仅当1sin sin x x =，即sin 1x =时，取得最小值2，显然成立，故B 正确；对于C ，e 0x >，e 0x ->，e e 2x x y -=≥+，当且仅当e e x x -=，即0x =时，取得最小值2，故C 正确；对于D ，当ln 0x <时，显然不满足题意，故D 错误；故选：BC11．函数3sin y x ω=在区间ππ[,34-上最小值为3-，则实数ω的可能的取值有（）A ．2-B ．1C ．2D ．3【正确答案】ACD【分析】分类讨论ω的符号，以x ω为整体，结合正弦函数分析求解.【详解】当0ω>时，∵ππ[,34x ∈-，则ππ[,]34x ωωω∈-，由题意可得：ππ32ω-≤-，∴32ω≥，B 错误，C 、D 正确；当0ω=时，则3sin 00y ==，不合题意，舍去；当0ω<时，∵ππ[,34x ∈-，则ππ[,]43x ωωω∈-，由题意可得：ππ42ω≤-，∴2ω≤-，A 正确；故选：ACD.12．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理及生活中有着重要的应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=和双曲余弦函数e e cosh 2x x x -+=，下列给出的有关双曲函数的结论中正确的是（）A ．22cosh sinh 1x x -=B ．sinh cosh y x x =是偶函数C ．cosh y x =的单调递增区间为[0,)+∞D ．sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+【正确答案】ACD【分析】根据指数运算判断A ；根据函数奇偶性定义判断B ；利用函数单调性定义证明C ；根据指数运算判断D.【详解】解：对于A ：因为双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=和双曲余弦函数e e cosh 2x x x -+=则22222222e e e e e e 2e e 2cosh sinh 12244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-+++--=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：函数()22e e e e e e sinh cosh 224x x x x x xf x x x ----+-==⋅=，定义域为R ，所以()()22e e 4x xf x f x ---==-，则函数sinh cosh y x x =是奇函数，故B 错误；对于C ：函数e e cosh 2x xy x -+==定义域为R ，则对任意的12x x <，则1122121212121212e e e e e e e e e e e 12222e x x x x x x x x x x x x x x y y ----++++-+----=-=⋅，因为12x x <，所以12e e x x <，即12e e 0x x -<，12e 0x x +>，又当120x x +>时，120e >e 1x x +=，当120x x +<时，120e < e 1x x +=，即120x x ≤<时，120y y -<，即12y y <，函数cosh y x =单调递增，即120x x <<时，120y y ->，即12y y >，函数cosh y x =单调递减，则cosh y x =的单调递增区间为[0,)+∞，故C 正确；对于D ：由于e e sinh()2x y x yx y +---+=，又()()()()ee e e e e e e sinh cosh cosh sinh 4xx y y x x y yx y x y -----+++-+-=()()e e e e e e e e e e 42x yx y y x x y x y x y y x x yx y x y +----+----+--+--+-+--==，所以sinh()sinh cosh cosh sinh x y x y x y +=+，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．1lg25lg 4--=______.【正确答案】1【分析】化简对数即可得出结果.【详解】解：由题意12221lg 25lg 2ln lg 5lg 22ln e 2lg 52lg 2ln e 2-114-----=+-==故1.14．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为____．【正确答案】【详解】试题分析：解直角三角形AOC ，求出半径AO ，代入弧长公式求出弧长的值．解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC ⊥AB ，C 为垂足，并延长OC 交于D ，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt △AOC 中，r=AO==，从而弧长为α×r=2×=，故答案为．弧长公式．15．已知()()2222(0)220x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨++≤⎪⎩，关于x 的方程()()()230R f f x a a x -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是______.【正确答案】92,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】令()f x t =，结合()f x 的图象将问题转化为“方程230-+=t t a 在()1,2上有两不等实根”，然后根据二次函数性质即得.【详解】作函数()f x的图象如图所示，令()f x t =，因为关于x 的方程()()()230R f f x a a x -+=∈有8个不等的实数根，结合图象可知，关于t 的方程230-+=t t a 在()1,2上有两不等实根，则22Δ94031221302320a a a =->⎧⎪⎪<<⎪⎨⎪-+>⎪-⨯+>⎪⎩，解得924<<a ，所以a 的取值范围是92,4⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为.92,4⎛⎫⎪⎝⎭16．已知函数()f x x x =，若对任意1[2,]x t t∈-，不等式()4()f x t f x +≥，则实数t 的取值范围为______.【正确答案】[1,11,1⎡-⋃+⎣【分析】化简函数画出函数图像，利用函数的单调性，等价出不等式解出来即可.【详解】因为()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，如图：由图可知函数()f x 在R 上单调递增，由函数()()44222f x x x x x f x ===，所以()()4()2f x t f x f x +≥=，即2x t x t x +≥⇔≥，在12,t t ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即满足112t tt t ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，因为0t ≠，所以当0t >时，2211012102t t tt t t t ⎧≥⎪⎧-≥⎪⇔⎨⎨--≤⎩⎪-≤⎪⎩解得：11t ≤≤当0t <时，2211012102t t tt t t t ⎧≥⎪⎧-≤⎪⇔⎨⎨--≥⎩⎪-≤⎪⎩解得：11t -≤≤，故实数t的取值范围为：[1,11,1⎡-⋃+⎣，故答案为.[1,11,1⎡--⋃+⎣四、解答题17．已知集合{}260A xx x =--<∣，集合{}11B x a x a =-≤≤+∣，其中a ∈R .(1)若1a =，求A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求a 的取值范围.【正确答案】(1)[]0,2(2)[)3,∞+【分析】（1）1a =时，分别求解集合,A B ，由集合的运算即可解得A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，即A 是B 的真子集，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.【详解】（1）由题意，得()2,3A =-，当1a =时，[]0,2B =，故[]0,2A B = .（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B 为真子集，即1213a a -≤-⎧⎨+≥⎩，等号不同时取，解得[)3,a ∈+∞.18．计算：(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40--；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值【正确答案】(2)12【分析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值；（2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，结合角α的取值范围可求得2α的值，再利用诱导公式可求得sin 2α的值.【详解】（1）解：原式()()4cos23cos27sin23sin27tan404cos 2327tan40=--=+-()()2sin80sin 10304sin40cos40sin404sin40tan4004cos 9040co t s 440cos 0an 4=-+-=-=--=()()12cos10cos10sin102sin 9010sin 103022cos40cos40----+==)13sin10cos10cos30cos10sin 30sin102222cos40cos 40cos 40⎫-⎪-⎝⎭===()3010cos 40+==（2）解：原式πππππ1π1sin sin sin cos sin 262666234ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1sin 232πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为ππ32α<<，则π4ππ233α<+<，所以，π7π236α+=，则5π26α=，因此，5πππ1sin 2sinsin πsin 6662α⎛⎫==-== ⎪⎝⎭.19．已知函数()cos 2sin 2,R f x x x x =-∈.(1)求函数()f x 的最大值，及取得最大值时对应所有自变量的值（用集合表示）；(2)若函数()y f x k =-在7π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内恰有两个零点，求实数k 的取值范围.【正确答案】ππ,Z 8x x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭(2)(⎤⎦【分析】（1）先利用辅助角公式化简()f x ，再结合余弦函数的性质求解即可；（2）先结合余弦函数的性质分析()f x 的图像，再将问题转化为()f x 与y k =的交点问题，结合图像即可得解.【详解】（1）因为()cos2sin2f x x x =-π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且x ∈R ，所以()f x ，此时π22π,Z 4x k k +=∈，即ππ,Z 8x k k =-+∈，故()f x 取得最大值时x 的取值集合为ππ,Z 8x x k k ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭.（2）因为7π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ22π44x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π22π4x +=，即7π8x =时，()f x当π2π4x +=，即3π8x =时，()f x 取得最小值，且()π014f ==，所以结合余弦函数的性质易得()f x 在3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为函数()y f x k =-在7π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内恰有两个零点，所以()f x 与y k =在7π0,8⎡⎤⎢⎣⎦上的图像恰有两个交点，作出()f x 与y k =的图像如图，.所以(k ⎤∈⎦.20．设12()(0,0)2x x m f x m n n+-+=>>+是奇函数.(1)求m 与n 的值；(2)如果对任意的x ∈R ，不等式2(3sin )(4cos 7)0f a x f x ++>恒成立，求实数a的取值范围.【正确答案】(1)1,2m n ==(2)15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据奇函数的性质可得()()f x f x -=-恒成立，化简可求m 与n 的值；(2)利用奇函数的性质，单调性性质化简不等式由此可得2sin 4cos 73x x a +--恒成立，结合余弦函数和二次函数性质求2y=sin 4cos 7x x +-的最大值，由此可得33a >-，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 定义域上的奇函数，所以()()f x f x -=-恒成立.即112222x x x x m m n n--++-+-+=-++对定义域内任意实数x 均成立.化简整理得到()()()22224220x xm n mn m n -+-+-=因为这是关于x 的恒等式，所以20240m n mn -=⎧⎨-=⎩，解得12m n =-⎧⎨=-⎩或12m n =⎧⎨=⎩，又0,0m n >>，所以1,2m n ==；（2）因为()()23sin 4cos 70f a x f x ++->且为奇函数，所以()()23sin 4cos 7f a x f x +>--，即()()23sin 4cos 7f a x f x +>-+.因为函数21x y =+为R 上的增函数，所以函数121xy =+为R 上的减函数，所以()12112121222212211x x x x x f x +⎛⎫-+-+===-+ +++⎝⎭-在R 上单调递减，所以23sin 4cos 7a x x +<-+对任意x ∈R 恒成立.即2sin 4cos 73x x a +--对任意x ∈R 恒成立.由于[]222sin 4cos 71cos 4cos 7(cos 2)2,cos 1,1x x x x x x +-=-+-=---∈-所以3cos 21x -≤-≤-，故()29cos 21x -≤--≤-所以2(cos 2)23x ---≤-，即2sin 4cos 7x x +-最大值为3-.33a >-()312a ->-.令t =，则22t t ->-且0t ≥，解得[)0,2t ∈[)0,2，所以15,33a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21．已知函数()3ln,03mxf x m x-=>+，且()()11f f -=-.(1)讨论()f x 在定义域上的单调性；(2)若()()ln4f x f x +<-，求x 的范围.【正确答案】(1)()f x 在()3,3-上单调递减(2)()1,3【分析】（1）由()()11f f -=-确定m ，后由复合函数单调性可得答案；（2）将()()ln4f x f x +<-化为()()1f x f <，后由函数单调性可得答案.【详解】（1）()()11f f -=- ，2339ln ln ln 0248m m m +--∴+==21m ∴=又0m >，1m ∴=，()3ln3xf x x-∴=+由303xx->+，解得33x -<<，()f x \的定义域为()3,3-.令()36133x g x x x-==-+++，任取()12,3,3x x ∈-，且12x x <，则()()()()()211212126663333x x g x g x x x x x --=-=++++，211203030，，x x x x ->+>+> ()()120g x g x ∴->，即()()12g x g x >；又ln y x =在()0,∞+上是增函数，由复合函数的单调性知：()f x 在()3,3-上单调递减.（2）()()33lnln 33x xf x f x x x+--==-=--+ ，∴原不等式可化为()2ln4f x <-，即()()1ln12f x f <=；由（1）知，()f x 是减函数，1x ∴>，又()f x 的定义域为()3,3-，()1,3x ∴∈.22．已知函数()()2210,0g ax ax b a b x =-++≠>在区间[]1,2上有最大值2和最小值1，设()()1g x f x x-=.(1)求a 、b 的值；(2)不等式()e e 0x xf k -⋅≥在[]2,1x ∈--上恒成立，求实数k 的范围；(3)方程()2213021xx f k⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的范围.【正确答案】(1)1a b ==(2)()2e 1k ≤-(3)0k >【分析】（1）分0a >、a<0两种情况讨论，分析函数()g x 在[]1,2上的单调性，可得出关于a 、b 的方程组，结合0b >可得出a 、b 的值；（2）由（1）可得()12f x x x =+-，由参变量分离法可知2121e ex x k ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭对任意的[]2,1x ∈--恒成立，令21e,e e x t ⎡⎤=∈⎣⎦，求出函数221y t t =-+在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最小值，即可得出实数k 的取值范围；（3）原方程等价于()2213221210x x k k --+-++=，其中0x ≠，令21xm =-，分析可知关于m 的()()223120m k m k -+++=有两个根1m 、2m ，且1201m m <<≤，利用二次函数的零点分布可得出关于实数k 的不等式组，解之即可.【详解】（1）解：()()211g x a x b a =-++-，当0a >时，()g x 在[]1,2上为增函数，由题意可得()()111212g a b g b ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，解得1a b ==；当a<0时，()g x 在[]1,2上为减函数，由题意可得()()112211g b a g b ⎧=+-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，不合乎题意.综上所述，1a b ==.（2）解：由（1）知()()221122g x x x x =-+=-+，所以()()112g x f x x xx-==+-，由于()e e 0x xf k -⋅≥对[]2,1x ∈--恒成立，故1e 2e exx x k +-≥⋅.e 0x> ，所以，2121e ex x k ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-- ，令21e,e ex t ⎡⎤=∈⎣⎦，则221t t k -+≥对2e,e t ⎡⎤∈⎣⎦恒成立.因为函数221y t t =-+在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以，()2min e 1y =-，所以，()2e 1k ≤-.（3）解：方程()2213021xxf k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭化为()122123021xx k k +-+-+=-，化为()2213221210x x k k --+-++=，其中0x ≠，令210x m =->，则方程化为()()223120m k m k -+++=.作出函数21,02112,0x xxx y x ⎧-≥=-=⎨-<⎩图象如下图所示：因为方程()2213021xxf k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，所以()()223120m k m k -+++=有两个根1m 、2m ，且1201m m <<≤记()()()22312h m m k m k =-+++，则()()012010h k h k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩或()()01201032012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，解得0k >.因此，实数k 的取值范围是()0,∞+.结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.。

互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
2. 某集团校为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市 3 个分校区按学生数用分层随机抽样的方
法抽取一个容量为 n 的样本．已知 3 个校区学生数之比为 2 : 3 : 5 ，如果最多的一个校区抽出的个体数是 60，
那么这个样本的容量为（ ）
A. 96
【答案】B
y 轴 平面 PAD ，平面 PAD 的一个法向量 m 0,1,0 ；
设平面 PDQ 的法向量 n x, y, z ，
则
PD
n
4x
2z
0
，令 x 1，解得： y 1， z 2 ，n 1,1, 2 ，
DQ n 2x 2y 0
cos m, n m n 1 6 ， mn 6 6
A. 不可能平行，也不可能垂直 C. 可能垂直，但不可能平行 【答案】D 【解析】 【分析】如图，借助正方体分析可以判断.
B. 可能平行，但不可能垂直 D. 可能平行，也可能垂直
【详解】如图，在正方体中，即 AD1 为 m ， EF 为 n ，底面 ABCD 为平面 ，则 m，n 在平面 内的射影 AD 和 CD 垂直；
2
B：因为 (2a
b) b
2a b
2
b
2
1
1
2
0 ，所以本选项不符合题意；
2
C：因为 (a
2b) b
ab
2
2b
1
21
3
0
，所以本选项不符合题意；
2
2
D：因为
(2a
b) b
2a b
2
b
2
1
1
0 ，所以本选项符合题意.
2

江苏省常州高级中学期末精选章末练习卷（Word 版 含解析）一、第一章 运动的描述易错题培优（难）1．一个质点做变速直线运动的v-t 图像如图所示，下列说法中正确的是A ．第1 s 内与第5 s 内的速度方向相反B ．第1 s 内的加速度大于第5 s 内的加速度C ．OA 、AB 、BC 段的加速度大小关系是BC OA AB a a a >>D ．OA 段的加速度与速度方向相同，BC 段的加速度与速度方向相反 【答案】CD 【解析】 【分析】 【详解】A ．第1s 内与第5s 内的速度均为正值，方向相同，故A 错误；B ．第1 s 内、第5 s 内的加速度分别为：2214m/s 2m/s 2a == 22504m/s 4m/s 1a -==- 1a 、5a 的符号相反，表示它们的方向相反，第1s 内的加速度小于于第5 s 内的加速度，故B 错误；C ．由于AB 段的加速度为零，故三段的加速度的大小关系为：BC OA AB a a a >>故C 正确；D ．OA 段的加速度与速度方向均为正值，方向相同；BC 段的加速度为负值，速度为正值，两者方向相反，故D 正确； 故选CD 。

2．节能减排可体现在我们日常生活中．假设公交车通过城市十字路口时允许的最大速度为10m/s ，一辆公交车在距离十字路口50m 的车站停留，乘客上下完后，司机看到红灯显示还有10s ，为了节能减排．减少停车，降低能耗，公交车司机启动公交车，要使公交车尽快通过十字路口且不违章，则公交车启动后的运动图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】 【详解】因速度图像与坐标轴围成的面积等于物体的位移，由速度图像可知，A 、B 、D 三个图像与坐标轴围成的面积均大于50m ，且速度不超过10m/s ；C 图像中公交车的位移可能恰好等于50m ，且速度小于10m/s,故公交车启动后的运动图像可能是ABD 。