江苏省常州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析

江苏省常州市田家炳高级中学高二下学期期末考试数学（理）试题2019学年度第二学期期末质量调研高二数学理科试题参考公式：（1）若~(,)X B n p ，则()(1)V X np p =-； （2）球的体积为V =343r π，其中r 为球的半径.一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．. 1. 若复数z 满足i 13i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．2. 用反证法证明“,,a b R ∈若33a ≥b ，则a b ≥”时，应假设▲ ．3. 已知i是虚数单位，则复数112i+的模为 ▲ ．4. 用数学归纳法证明2135(21)n n ++++-=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项为 ▲ ．注意事项1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。

本试卷满分160分，考试时间120分钟。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。

3．答题时，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。

5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。

一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。

5.6. 在平面几何中有如下结论：若正方形ABCD 的内切圆面积为1,S 外接圆面积为2,S 则1212S S =，推广到立体几何中可以得到类似结论：若正方体1111ABCD A BC D -的内切球体积为1,V 外接球体积为2V ，则12V V = ▲ ．13.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA ===,E F分别是,BC11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF10，则线段BD 的长为▲ ．14. 在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为 ▲ ．二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分） （1）已知矩阵10a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-，其对应的特征向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵A 及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P 为曲线C ：2ρ=上任意一点，求点P 到直线l ：πsin 33ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的最小距离.16.（本小题满分14分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）． （1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.17.（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 中，121a 且1111,N .n n n na a n a a *++-=+∈（1）分别计算出234,,a a a 的值，然后猜想数列{}na 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想. 18.（本小题满分16分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB AC ===,AB AC ⊥,M N 分别是棱1,CC BC 的中点，点P 在线段1A B 上（包括两个．．．．端点．．）运动． （1）当P 为线段1A B 的中点时，①求证：1PN AC ⊥；②求平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值；（2）求直线PN 与平面AMN 所成的角的正弦值的取值范围.19.（本小题满分16分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车A 与电动自行车B 两种车型，采用分段计费的方式租用.A 型车每30分钟收费5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），B 型车每30分钟收费10元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过30分钟还车的概率分别为4321,,,5432，并且四个人每人租车都不会超过60分钟，甲乙丙均租用A 型车，丁租用B 型车． （1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布和数学期望．20.（本小题满分16分） 已知2018220180122018(1).x a a x a x a x -=++++（1）求0a 及122018a aa +++的值；（2）求证：1111111()2k k k n n n n C n C C ++++=⨯++（,Nk n k ≤∈），并求201801k ka =∑的值. （3）求1009211()2018k k k a =⋅⋅∑的值.高二期末数学参考答案及评分标准（理科）一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．. 1﹑ 3； 2﹑a b <； 3﹑55； 4﹑21k +； 5﹑6；6﹑52-； 7﹑15；8﹑216； 9﹑0.7； 10﹑8； 11﹑427； 12﹑39； 13﹑2214﹑588.二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.15.（1）解：由λ⋅=⋅A αα得：1112022a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，122,24,a b +=-⎧∴⎨=-⎩3,22,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=-⎩ …3分矩阵A 的特征多项式为31()202f λλλ-=+ …5分 ，令()0f λ=，得(1)(2)0λλ-+=，解得1λ=或2,λ=- 所以矩阵A 的另一个特征值为 2.- …7分（2）解：以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ．因为()πsin 33ρθ-=，所以()31sin 32ρθθ=，将其化为普通方程，得360.x y -+= ……… 9分将曲线C ：2ρ=化为普通方程，得224x y +=． ……… 11分所以圆心()00O ，到直线360l x y -+=的距离3.31d ==+ ……… 13分所以P到直线l的最小距离为2 1.d -= ……… 14分16.解：（1）先排最左边，除去甲外有16C 种，余下的6个位置全排有66A 种，则符合条件的排法共有16664320C A =种. ……3分（2）将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有4444A A =576种；……8分（3）先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有43451440A A⋅=种；……13分答：（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种；（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种；……14分 17.解：（1） 令2,n =得2121112 2.a a a a -=+=化简得22(2)3a=，解得232a =23 2.a=-20,a >232a ∴=…… 1分令3,n =得32321123,a a a a -=+=化简得23(3)4a =，解得323a =或32 3.a=-30,a >32 3.a ∴= (2)分 令4,n =得4343114,a a a a -=+=化简得23(2)5a +=，解得452a =或45 2.a=-40,a >45 2.a ∴= (3)分 猜想1.nan n +（*） …… 5分（1）①当1n =时，12121a ==（*）式成立； ……6分 ②假设(1,)n k k k N *=≥∈时（*）式成立，即1kak k+，那么当1n k =+时，1111112 1.k k k ka a k k k k k a a ++-=+=++=+……9分化简得21(1)2,k a k k ++=+10,k a +>121,k a k k +∴=++所以当1n k =+时，（*）式也成立.……13分 综上：由①②得当n N *∈时，1.nan n =+ ……14分18. 解：以1{,,}AB AC AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),A 1(0,0,2),A (2,0,0)B ，1(0,2,0),(0,2,2)C C .因为,M N 分别是棱1,CC BC 的中点，所以(0,2,1),(1,1,0).M N（1）当P 为线段1A B 的中点时，则(1,0,1).P①因为(0,1,1),PN =-1(0,2,2),AC =所以10,PN AC ⋅=即1.PN AC ⊥ (3)分②因为(0,1,1),(1,1,1),PN MN =-=--设平面PMN 的一个法向量为(,,),n x y z =由,n PN ⊥n MN ⊥可得y z x y z -=⎧⎨--=⎩，取1y =，则2,1,x z ==所以(2,1,1).n =……5分又因为(0,0,1)m =是平面ABC 的一个法向量，设平面PMN 与平面ABC所成的二面角的平面角为θ，则1cos cos 6m n m n m nθ⋅=<⋅>==⋅6=.因为θ为锐角，所以6cos θ=所以平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为6……8分（2）因为P 在线段1A B 上，所以设11A P AB λ=（01λ≤≤），解得(2,0,22)P λλ-，所以(12,1,22)PN λλ=--. ……9分 因为(0,2,1),(1,1,0),AM AN ==设平面AMN的一个法向量为(,,),s x y z =由,s AM s AN ⊥⊥可得200y z x y +=⎧⎨+=⎩，取1,y =则1,2,x z =-=-所以(1,1,2).s =--……11分设直线PN 与平面AMN 所成的角为,α则242sin cos ,68126s PN s PN s PNλαλλ⋅-=<>==⋅⋅-+……12分因为[0,1],λ∈所以2sin 68126αλλ=⋅-+设42,t λ=-则[2,4],t ∈所以2sin 621014tt α=⋅-+，设2()[2,4],621014f t t t t =∈⋅-+则2()141062f t t t=⋅-+设111[,],42u t =∈可求得214102uu -+的取值范围为31[,]142，进一步可求得()f t 的取值范围为37[所以直线PN 与平面AMN 所成的角的正弦值的取值范围为37[……16分19.解：（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件A ，即4人均不超过30分钟，则()P A =4321154325⋅⋅⋅=.答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是1.5···················3分（2）由题意，甲乙丙丁在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为1111,,,5432，设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件B，则()P B=13214121431113. 54325432543260⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是1360．···················8分（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量ξ的值为25，即为事件A，由（1）所以1()5P A=.②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件C，事件C又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为事件1C和2C.i.事件1C对应的ξ的值为30，此时113214121431113()54325432543260P C=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；ii.事件1C对应的ξ的值为35，此时243211()54325P C=⋅⋅⋅=.③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件D，事件D又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件1D和2D.i.事件1D对应的ξ的值为35，此时11121131141113()54325432543240P D =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=； i .事件2D 对应的ξ的值为40，此时213214121431113().54325432543260P D =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件E ，事件E又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件1E 和2E .i .事件1E 对应的ξ的值为40，此时111111()5432120P E =⋅⋅⋅=；i .事件2E 对应的ξ的值为45，此时2()P E =112113114111354325432543240⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=.⑤记“4人均超过30分钟”为事件F ，则随机变量ξ的值为50， 此时()P F =111115432120⋅⋅⋅=；综上：随机变量ξ的所有取值为25，30，35，40，45，50，且1(25)()5P P A ξ===；113(30)()60P P C ξ===； ···············10分 211311(35)()()54040P P C P D ξ==+=+=； ···············11分211319(40)()()6012040P P D P E ξ==+=+=； ···············12分23(45)()40P P E ξ===；1(50)()120P P F ξ===； ···············14分 所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为ξ2530 35 40 45 50 P15136011409403401120所以()253035404550560404040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=12.答：甲乙丙丁四人所付费用之和ξ的数学期望为407.12···············16分（注：不作答扣1分，不多扣！） 20.解：（1）当2018n =时，201822018012(1)n x a a x a x a x -=++++（*） 在（*）中，令0,x =得0 1.a = ···········1分在（*）中，令1,x =得01220180a a a a ++++=，所以122018 1.a a a +++=-······3分（2）证明： 因为1!()!1!()!(2)!2(1)!k n k n k n k n k n C n n n -+-⨯+==⨯++1!()!(11)2(1)!n k n k k n k n n +-⨯+++-=⨯++1!(1)!(1)!()![]2(1)!(1)!n k n k k n k n n n ++-+-=⨯++++111111()2k k n n n n C C ++++=⨯++， ······6分（注：证明共3分，其他证法酌情给分！） 由二项式定理可得2018(1),0,1,2,,2018,k kka C k =-= ······7分所以2018201800201811(1)k k k k k a C ===-∑∑201820180122018020182018201820182018(1)1111(1).k k k C C C C C=-==-+-+-∑因为12018201920191201911()2020k k k C C C +=⨯+，所以20182018011220182019020192019201920192019201912019111111[()()(1)()]2020k k a C C C C C C ==⨯+-+++-+∑02019201920192019112019().20201010C C =⨯+= ······9分 （3）法一：由（2）知(1),k kk n a C =-∴1212018201720162016(1)(1)2018(1)2018().k k k k k k k k k a k C C C C ---⋅=-⋅=-=-+ ·····12分 因为1009224201620181()210081009kk k aa a a a =⋅=++++∑， 所以10092242016201812()2420162018kk k aa a a a =⋅=++++∑0120152016201620162016201620162018()20182.C C C C =++++=⋅ ·····15分 则1009201521()20182kk k a=⋅=⋅∑，所以10092015211()2.2018k k k a =⋅⋅=∑ ·····16分 法二：将2018220180122018(1)x a a x a x a x -=++++两边求导，得201720171220182018(1)22018.x a a x a x --=+++·····10分令1,x =得123420172018023*********a aa a a a =++++++；①·····11分 令1,x =-得20171234201720182018223420172018a a a a a a -⋅=-+-++-.②·····12分 ①-②得2017242018201822(242018)a a a ⋅=+++解得201624201824201820182a a a +++=⋅，·····15分 所以100920152242018111()(21009)2.20182008k k k a a a a =⋅⋅=+++=∑·····16分。

江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知()2,1,3a =-r ，()4,,2b y =-r ，且()a ab ⊥+rr r ，则y 的值为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．14二、多选题2．已知向量()1,01a =-r ,，则下列向量中与a r成60o 夹角的是（ ）A ．()1,1,0-B ．()1,1,0-C ．()2,2,0-D ．()2,2,0-三、单选题3．在函数ln y x x =，cos y x =，2x y =，ln y x x =-中，导函数值不可能取到1的是（ ） A ．ln y x x = B ．cos y x = C ．2x y =D ．ln y x x =-4．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =1，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．不确定5．当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．16．如图，在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，5,3,7AB AD AA ==='，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ∠∠'=='︒，则AC '的长为（ ）A BC D 7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 的导函数为()'f x ，若()'cos f x x ≥ 恒成立，则()sin f x x ≥的解集为（ ） A ．[)π,-+∞B ．[)π,+∞C ．π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．四、多选题9．设空间两个单位向量()(),,0,0,,OA m n OB n p ==u u u r u u u r 与向量()1,1,1OC =u u u r 的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=（ ）A BC D 10．已知()e xxf x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =1处的切线方程为e 10y -=B ．单调递减区间为()1,∞+C ．()f x 的极小值为1eD ．方程2024()1f x =有两个不同的解11．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数()(0)x f x x x =>，我们可以作变形：()()ln ln e e e ,ln xx x x x t f x x t x x =====，所以()f x 可看作是由函数()e t h t =和ln t x x =复合而成的，即()(0)x f x x x =>为初等函数．根据以上材料，关于初等函数1()(0)x h x x x =>的说法正确的是（ ）A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1e e五、填空题12．已知向量(0,1,1),(4,1,0)||a b a b λ=-=+r r r r，λ=.13．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90︒，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为．14．若关于x 的不等式()()e 1ln e 1xa x a -+≥-在[]0,1x ∈内有解，则实数a 的取值范围是．六、解答题15．已知函数()322f x x ax bx a =+-+，在x =1时取得极小值10.(1)求函数()f x 的解析式;(2)求函数()f x 在区间[]1,3-上的最值.16．如图，直三棱柱111ABC A B C -内接于圆柱，AC 为圆柱底面的直径，12AB AA BC ===，M 为11AC 中点，N 为1CC 中点.(1)求直线BM 与平面1A BC 所成角的正弦值(2)若求平面1A BC 与平面BMN 所成锐二面角的余弦值．17．已知函数()()e 1xf x ax a =--∈R .(1)若a 为常数，求曲线y =f (x )在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 的单调性；(3)判断0.314e 与1.314的大小关系，并说明理由.18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PAD V 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，其中//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．(1)取线段PA 中点M ，连接BM ，判断直线BM 与平面PCD 是否平行并说明理由； (2)求B 到平面PCD 的距离；(3)线段PD 上是否存在一点E ，使得平面EAC 与平面DAC求出PEPD的值；若不存在，请说明理由． 19．已知函数()21ln ,,,f x a x mx bx m a b x=+--均为实数，()f x '为()f x 的导函数.(1)当1,0,2a m b =-==时，求函数()f x 的单调区间; (2)当2,1a m ==-时，若函数()1y f x x =+与直线y bx b =--在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，求实数b 的取值范围.(3)当0,0a m >=时，已知()()1212,0,x x x x ∞∈+≠，若存在b ∈R ，使得()()12f x f x =成立，求证:()()120f x f x ''+>.。

2013-2014学年江苏省常州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共70分）1．已知复数z1=1+i，z2=m﹣i（m∈R，i是虚数单位），若z1•z2为纯虚数，则m=_________．2．二项式（x﹣）6的展开式中第5项的二项式系数为_________．（用数字作答）3．若随机变量X～B（3，），则P（X=2）=_________．4．计算：+=_________．（用数字作答）5．抛掷一颗质地均匀的骰子，设A表示事件“正面向上的数字为奇数”、B表示事件“正面向上的数字大于3”，则P（A|B）=_________．6．用0，1，2，3四个数字，组成没有重复数字的四位数，则其中偶数的个数为_________．7．已知函数f（x）=sin（2x﹣），那么f′（）的值是_________．8．记n!=1×2×…n（n∈N*），则1!+2!+3!+…+2014!的末位数字是_________．0 1 3的方差是_________．10．已知在等比数列{a n}中，若m+2n+p=s+2t+r，m，n，p，s，t，r∈N*，则a m•a n2•a p=a s•a t2•a r．类比此结论，可得到等差数列{b n}的一个正确命题，该命题为：在等差数列{b n}中，若m+2n+p=s+2t+r，m，n，p，s，t，r∈N*，则_________．11．设正四棱锥的侧棱长为3，则其体积的最大值为_________．12．已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为和，若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为_________．13．已知函数f（x）的导函数f′（x）是二次函数，且f′（x）=0的两根为0和2，若函数f（x）在开区间（2m﹣3，）上存在最大值和最小值，则实数m的取值范围为_________．14．某宿舍的5位同学每人写一张明信片并放在一个不透明的箱子中，每人从中任意取出一张，记一个“恰当”为有一位同学取到的明信片不是自己写的，用ξ表示“恰当”的个数，则随机变量ξ的数学期望是_________．二、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（12分）某小组有4名男生，3名女生．（1）若从男，女生中各选1人主持节目，有多少种不同的选法？（2）若从男，女生中各选2人，组成一个小合唱队，要求站成一排且2名女生不相邻，共有多少种不同的排法？16．（12分）设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5求：（1）a0+a1+a2+a3+a4（2）（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．17．（12分）已知函数f（x）=（x＞﹣1）．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的最小值．18．（14分）在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中恰有2个是奇数的概率；（2）设X为所取3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布及数学期望．19．（15分）已知数列{a n}的首项a1=1，设T n=a1+a2+a3+…+a n+a n+1（n∈N*）．（1）若数列{a n}是等差数列，且公差d=2，求T n；（2）若数列{a n}是等比数列，且公比q=2．①求T n；②用数学归纳法证明：T n＞n2+2n（n∈N*，n≥2）．20．（15分）已知函数f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）若a=2，求函数f（x）的极小值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若方程f（x）=0在区间[，e]上有且只有一个解，求实数a的取值范围．三、选做题（在21、22、23、24题中只能选做1题，每小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）如图，AB为圆O的直径，BC与圆O相切于点B，D为圆O上的一点，AD∥OC，连接CD．求证：CD为圆O的切线．【选修4-2：矩阵与变换】22．已知矩阵A=，向量=，求矩阵A的逆矩阵，及使得A=成立的向量．【选修4-4：坐标系及参数方程】23．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C（2，），半径为1，求圆C的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】24．求函数y=+的最大值．二、解答题（本大题共6小题，共80分）15．解：（1）完成这是事情可分为两步进行：第一步，从4名男生中选1名男生，有4种选法，第二步，从3名女生中选1名女生，有3种选法，根据分步计数原理，共有4×3=12种选法答：有12种不同的选法；（2）完成这是事情可分为四步进行：第一步第一步，从4名男生中选2名男生，有=6种选法，第二步，从3名女生中选2名女生，有=3种选法，第三步，将选取的2名男生排成一排，有=2种排法，第四步，在2名男生之间及两端共3个位置选2个排2个女生，有=6，根据分步计数原理，不同的排法种数为6×3×2×6=216答：有216种不同的排法．16．解：当x=1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=a5+a4+a3+a2+a1+a0=1；当x=﹣1时，a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0=﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1x+a0=﹣243；（1）∵a5=25=32∴a0+a1+a2+a3+a4=1﹣32=﹣31（2）∵（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2．=（a5+a4+a3+a2+a1+a0）（﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0）=1×（﹣243）=﹣24317．解：（1）∵f（x）=，∴f′（x）=，∴f′（1）=，∵f（1）=，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ex﹣4y+e=0；（2）令f′（x）=0，可得x=0，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=0时，f（x）的最小值为1．18．解：（1）记“3个数中恰有2个是奇数”为事件A，从9个自然数中，任取3个不同的数，共会出现=84种等可能的结果，其中3个数中恰有2个是奇数的结果有=40种，故这3个数中恰有2个是奇数的概率P（A）=．（2）由题意得X的取值范围为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．解：（1）由题意得，a n=2n﹣1，∵=，T n=a1+a2+a3+…+a n+a n+1，∴T n=a n+1+a n+…+a2+a1=a n+1+a n+…+a2+a1，…2分∴2T n=（a1+a n+1）+（a2+a n）+…+（a n+a2）+（a n+1+a1），=（a1+a n+1）（++…++）=（1+2n+1）2n，∴T n=（n+1）•2n…4分（2）①由题得，a n=2n﹣1，T n=a1+a2+…+a n+a n+1=+2+22+…+2n﹣1+2n=（1+2）n=3n…7分②证明：（i）当n=2时，T2=32=9，22+2×2=8，T2＞8，不等式成立，…9分（ii）假设n=k（k∈N，k≥2）时，不等式成立，即3k＞k2+2k，…10分当n=k+1时，3k+1=3•3k＞3（k2+2k）…11分∵3（k2+2k）﹣[（k+1）2+2（k+1）]=2k2+2k﹣3，∵k≥2，∴2k2+2k﹣3＞2k﹣3＞0，∴3k+1＞（k+1）2+2（k+1）．即当n=k+1时，不等式也成立…14分根据（i）（ii）可知，对任意n∈N*（n≥2），不等式成立…15分20．解：（1）a=2时，f（x）=x2﹣2lnx，x＞0，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜﹣1（舍），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=1，（2）∵f′（x）=，x＞0，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，x＜﹣（舍），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（3）由题意得：方程a=在区间[，e]上有且只有一个解，令g（x）=，则g′（x）=，令g′（x）=0，解得：x=，∴g（x）在（，）上递减，在（，e）递增，又g（）=＜g（e）=e2，∴方程a=在区间[，e]上有且只有一个解时，有＜a≤e2，或a=2e，∴实数a的取值范围时：{a|＜a≤e2或a=2e}．三、选做题（在21、22、23、24题中只能选做1题，每小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】21．证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．22．解：矩阵的行列式为=﹣2，∴矩阵A的逆矩阵A﹣1=，∴=A﹣1=．23．解：在圆C上任意取一点P（ρ，θ），在△POC中，由余弦定理可得CP2=OC2+OP2﹣2OC•OP•cos∠POC，即1=4+ρ2﹣2×2×ρcos（θ﹣），化简可得ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+3=0．当O、P、C共线时，此方程也成立，故圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+3=0．24．解：由柯西不等式可得y2=（+）2≤[12+（）2]（1+x+1﹣x）=6，当且仅当=，即x=﹣时取等号，∵y≥0，∴x=﹣时，y的最大值为．。

绝密★启用前2020至2021学年第二学期期末学业水平测试高新初中数学七年级试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I 卷（选择题 共48分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．计算1)20211(所得结果是 （ ） A ．2021 B ．20211 C ．﹣20211D ．﹣2021 2．下面四个图形分别是绿色食品、低碳、节能和节水标志，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，沿笔直小路DE 的一侧栽植两棵小树B ，C ，小明在A 处测得AB ＝5米，AC ＝7米，则点A 到DE 的距离可能为（ ） A ．4米 B ．5米C ．6米D ．7米5．在行进路程s 、速度v 和时间t 的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是（ ）A ．变量只有速度vB ．变量只有时间tC ．速度v 和时间t 都是变量D ．速度v 、时间t 、路程s 都是常量6．现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（）A．4cm B．7cm C．10cm D．13cm7．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点A处沿着表面爬到顶点C处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（）A．B．C．D．8．等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的度数是（）A．65°B．80°C．65°或80°D．50°或80°9．若m，n为常数，等式（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n恒成立，则m n的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣210．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝140°，则∠2为（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．设一个直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c．若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，则a，b的长可能是（）A．a＝12，b＝16 B．a＝11，b＝17 C．a＝10，b＝18 D．a＝9，b＝1912．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）A．22 B．24 C．42 D．44第Ⅱ卷（非选择题共102分）注意事项：1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算（y+2）（y﹣2）的结果等于．14．某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∠B＝35°，则∠ADC的度数为°．16．某工程队承建30km的管道铺设，工期60天，施工x天后剩余管道ykm，则y与x的关系式为．17．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BC＝4，则△BCE的周长为．第17题图第18题图18．在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2﹣S3﹣S4＝．三、解答题:（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（本题满分4分）计算：a3•a2•a+（a2）3．20．（本题满分4分）计算：（x﹣3）（x+6）．21．（本题满分4分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C均落在格点上．（1）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．（2）△A1B1C1的形状是．22．（本题满分5分）填写下列空格：已知：如图，CE平分∠ACD，∠AEC＝∠ACE．求证：AB∥CD．证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠ACE＝∠（）．∵∠AEC＝∠ACE（已知），∴∠AEC＝∠（）．∴AB∥CD（）．23．（本题满分5分）已知：如图，在△ABC中，BC⊥AC，若AC＝8，BC＝6，求AB的长．24．（本题满分6分）如图是一位病人的体温记录图，看图回答下列问题：（1）自变量是，因变量是；（2）护士每隔小时给病人量一次体温；（3）这位病人的最高体温是摄氏度，最低体温是摄氏度；（4）他在4月8日12时的体温是摄氏度.25．（本题满分6分）先化简，再求值：（2x +3y ）2﹣（2x +y ）（2x ﹣y ），其中x ＝1，y ＝﹣1． 26．（本题满分6分）如图，AD 是等边△ABC 的中线，AE ＝AD ，求∠AED 的度数．27．（本题满分8分）完成下列推理过程：如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2＝∠3，AD ＝AB ．猜想AC 与AE 之间的数量关系，并说明理由. 答：AC AE ．解：∵∠2＝ ，∠AFE ＝∠DFC ，∴180°﹣∠2﹣∠AFE ＝180°﹣∠3﹣∠DFC ∴∠E ＝ ． 又∵∠1＝∠2，∴ +∠DAC ＝ +∠DAC ． ∴∠BAC ＝∠DAE （ ）． 在△ABC 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠)(______________)(已知（已证）已证AD AB DAE BAC ∴△ABC ≌△ADE （ ）． ∴AC ＝AE ．28．（本题满分8分）一圆盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，转盘上有指针，转动转盘，当转盘停止，指针指向的数字即为转出的数字，现有两人参与游戏，一人转动转盘另一人猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则猜数的获胜，否则转动转盘的人获胜，猜数的方法从下面三种中选一种： （1）猜“是奇数”或“是偶数”；（2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；（3）猜“是大于4的数”或“是不大于4的数”．若你是猜数的游戏者，为了尽可能获胜，应选第几种猜数方法？并请你用数学知识说明理由．29．（本题满分10分）如图，△ABC 与△ADE 是以点A 为公共顶点的两个三角形，且AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠CAB ＝90°，且线段BD 、CE 交于F ． （1）求证：△AEC ≌△ADB ．（2）猜想CE 与DB 之间的关系，并说明理由．30．（本题满分12分）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A ，D 两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即PQ ∥CN ，A ，B 为PQ 上两点，AD 平分∠CAB 交CN 于点D ，E 为AD 上一点，连接BE ，AF 平分∠BAD 交BE 于点F ． （1）若∠C ＝20°，则∠EAP ＝ ；（2）作AG 交CD 于点G ，且满足∠1=31∠ADC ，当∠2+56∠GAF ＝180°时，试说明：AC ∥BE ；（3）在（1）问的条件下，探照灯A 、D 照出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线AC 以每秒5度的速度逆时针转动，探照灯D 射出的光线DN 以每秒15度的速度逆时针转动，DN 转至射线DC 后立即以相同速度回转，若它们同时开始转动，设转动时间为t 秒，当DN 回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，当AC 与DN 互相平行或垂直时，请直接写出此时t 的值．备用图2020至2021学年第二学期期末学业水平测试 高新初中数学七年级参考答案及评分标准13．y 2﹣4． 14．12． 15．75． 16．y ＝30﹣0.5x 17．14． 18．﹣2． 三、解答题:（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题4分）解：原式＝a 6+a 6·····················································································2分＝2a 6·······················································································4分 20．（本题4分）解：原式＝x 2+6x ﹣3x ﹣18·············································································2分＝x 2+3x ﹣18·················································································4分 21．（本题4分）解： （1）如图，△A 1B 1C 1为所求；·······································································································3分 （2）△A 1B 1C 1是等腰直角三角形····················································································4分 22．（本题5分）DCE ；角平分线的定义；DCE ；等量代换；内错角相等，两直线平行 23．（本题5分） 解：∵BC ⊥AC∴∠C ＝90°··············································································································1分 ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6·····································································3分 ∴BC 2+ AC 2= AB 2·······································································································4分AB=10··········································································································5分 24．（本题6分） 解：（1）时间，体温··········································································································2分（2）6························································································································3分（3）39.5，36.8············································································································5分（4）37.5·····················································································································6分25．（本题6分）解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）···················································································2分＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2··················································································4分当x＝1，y＝﹣1时，原式＝﹣12+10＝﹣2·····································································································6分26．（本题6分）解：∵AD是等边△ABC的中线，∴∠BAC =60°，AD平分∠BAC·····················································································2分∴∠CAD=1 2∠BAC=30°································································································3分∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED·······································································································5分∴∠AED=75°·············································································································6分27．（本题8分）每空1分答：＝解：∠3，∠C，∠1，∠2，等式性质，∠E＝∠C，AAS28．（本题8分）解：选第2种猜数方法··································································································1分理由：P（是奇数）＝0.5，P（是偶数）＝0.5；P（是3的倍数）＝0.3，P（不是3的倍数）＝0.7；P（是大于4的数）＝0.6，P（不是大于4的数）＝0.4·········································································7分∵P（不是3的倍数）最大，∴选第2种猜数方法，并猜转盘转得的结果不是3的倍数······················································8分29．（本题10分）（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC +∠CAD ＝∠DAE +∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠CAE ·····························································································1分在△BAD 与△CAE 中，{AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE···························································································3分 ∴△BAD ≌△CAE（SAS ）···················································································4分 （2）答：=，⊥············································································································6分解：由（1）知，△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ··············································································7分∵∠BAC ＝90°， ∴∠CBF +∠BCF ＝∠ABC +∠ACB ＝90°································································9分∴∠BFC ＝90°·······························································································10分 30．（本题12分） 解：（1）100°···················································································································2分 （2）∵∠1=13∠ADC ，∴令∠1=a ，则∠ADC =3a ························································································3分∵PQ ∥CN ，∴∠ADC ＝∠BAD =3a ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝∠ADC ＝∠BAD =3a ················································································4分∵AF 平分∠BAD ， ∴∠BAD ＝2∠EAF ． ∴∠EAF =1.5a∴∠GAF ＝∠1+∠EAF =2.5a∴65∠GAF ＝3a ······································································································5分∵∠2+65∠GAF ＝180°，∴∠2+3a＝180°．∴∠2+∠CAD＝180°．∵∠2+∠AEB＝180°，∴∠CAD＝∠AEB·································································································6分∴AC∥BE············································································································7分（3）t的值为2s或11s或12.5s或17s或21.5s···································································12分。