崇明县2015-2016学年第一次高考模拟考试试卷数学 2015.12一．填空题（本大题满分56 分）本大题共有14 题，考生应在答题编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对4 分，否则一律得零分． 1. 函数sin 2()1x f x =- cosx 的最小正周期是 . 2. 若集合 A ＝{x | ｜x −1 ｜＜2}，B ＝2|04x x x -⎧⎫<⎨⎬+⎩⎭，则 A B ＝3. 已知 z ＝(a −i )(1+i )（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数 z 在复平面内对应的点在实轴 上，则a ＝ .4. 已知cos 14α=，且3(,2)2παπ∈，则cos( 2πα+)＝ . 5. 若log 21a b =-则a +b 的最小值为 .6.10()x a +的展开式中， x 7的系数为 15，则a = . (用数字填写答案)7. 已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积是____________ cm 3 . 8. 已知 f (x )、g(x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且 f (x ) −g(x ) ＝2x ＋x ，则f (1) ＋g(1) .9. 在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在理科学科：物理、化学、生物，文科学科：政治、历史、地理这6 门学科中选择3 门学科参加等级考试.小王同学对理科学科 比较感兴趣，决定至少选择两门理科学科，那么小王同学的选科方案有___________种. 10. 有一列球体， 半径组成以1 为首项，12为公比的等比数列， 体积分别记为11、在△ABC 中，AN ＝4，BC ＝62，∠CBA ＝4π，.若双曲线Γ以 AB 为实轴，且过点C ，则Γ的焦距为 .12. 在矩形 ABCD 中， AB ＝2， AD ＝1，边DC （包含点 D 、C ）的动点 P 与 CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足的取值范围是____________.13. 已知数列的各项均为正整数，对于，有其中k 为使1n a +为奇数的正整数. 若存在， 当n ＞m 且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为14. 设函数 y ＝f （x ）的定义域为 D ，如果存在非零常数 T ，对于任意 x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝T • f (x )，则称函数 y ＝f （x ）是“似周期函数”，非零常数T 为函数 y ＝f （ x ）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数” y ＝f （ x ）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为 2 的周期函数； ②函数 f （x ）＝x 是“似周期函数”；③函数()2xf x =是“似周期函数”；④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“k ωπ=，k ∈Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）二．选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5 分，否则一律得零分． 15. “a ＜2”是“实系数一元二次方程x 2 ＋ax ＋1 ＝0有虚根”的(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 16. 要得到函数的图象，只需将函数 y ＝sin 2x 的图象（ ）(A)向左平移3π个单位 (B)向左平移6π个单位 (C)向右平移3π个单位 (D)向右平移6π个单位17. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）(A)消耗1 升汽油，乙车最多可行驶5千米(B)以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多(C)甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油(D)某城市机动车最高限速80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油a a18. 若a，b是函数的两个不同的零点，且a，b，−2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于（）(A)1 (B)4 (C)5 (D)9三．解答题（本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分满分6 分．如图，四棱锥S −ABCD中，底面ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD，AB=3，SA=4 （1）求异面直线SC 与AD 所成角；（2）求点B 到平面SCD 的距离.20. （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第2 小题满分满分6 分．如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C ，另一种从A沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 分钟后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 米/分钟，山路AC 长1260 米，经测量，（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？21. （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分满分9 分．已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y ＝x＋2上，且AB∥l．（1）当AB 边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（2）当∠ABC ＝90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．22. （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分满分6 分，第3 小题满分满分6 分．已知函数f (x) ＝x ｜x a ｜＋b, x∈R.（1）当b ＝0时，判断f (x)的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＝1,b ＝1时，若，求x的值；（3）若－1≤b ＜0，且对任意x∈［0,1］不等式f (x) ＜0恒成立，求实数a的取值范围．23. （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分满分6 分，第3 小题满分满分8 分．设m 个正数依次围成一个圆圈．其中(k＜m,k∈N*)是公差为d 的等差数列，而是公比为q 的等比数列．⑴若，求数列的所有项的和S m；⑵若，求m的最大值；⑶当q ＝2时是否存在正整数k ，满足？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．13、1或5；14、①，③，④二、选择题15、A; 16、B17、D18、D三、解答题。
泰州市2016届高三第一次模拟考试数学试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合21Ax x ≤，集合2,1,0,1,2B，则A B▲ ．2．如图，在复平面内，点A 对应的复数为1z ，若21i z z （i 为虚数单位），则2z ▲ ．3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212xy的实轴长为▲．4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n▲ ．5．执行如图所示的伪代码，当输入,a b 的值分别为1,3时，最后输出的a的值为▲ ．6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为15，甲乙下成和棋的概率为25，则乙不输棋的概率为▲ ．7．已知直线(0)y kx k与圆22:(2)1C x y相交于,A B 两点，若255AB，则k▲ ．8．若命题“存在20,4R x axx a ≤”为假命题，则实数a 的取值范围是▲ ．Read ,1While 21End While Print a b i i aa b ba b ii a（第5题）（第2题）9．如图，长方体1111ABCDA B C D 中，O 为1BD 的中点，三棱锥OABD 的体积为1V ，四棱锥11OADD A 的体积为2V ，则12V V 的值为▲ ．10．已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b ，则33a b 的取值范围是▲ ．11．设()f x 是R 上的奇函数，当0x时，()2ln4xx f x ，记(5)na f n ，则数列{}n a 的前8项和为▲．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB ，若点(2,5)P ，则APBPOP 的取值范围是▲ ．13．若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y ，则12xy的最大值为▲ ．14．已知函数π()sin()cos cos()262x x f x A x （其中A 为常数，(π,0)），若实数123,,x x x 满足：①123x x x ，②31x x 2π，③123()()()f x f x f x ，则的值为▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在ABC 中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A mn ．（1）若cos cos a A b B ，求证：//m n ；（2）若mn ,ab ，求tan2A B的值．（第9题）OCDBC 1AB 1A 1D 1FOCBADE如图，在三棱锥PABC 中，90PAC BAC ，PA PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：直线//DF 平面PAC ；（2）求证：PF AD ．17．（本题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB 米，如图所示．小球从A 点出发以v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设A O E 弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为的函数()T ，并写出定义域；（2）求时间T 最短时cos 的值．18．（本题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)nnn S a b ，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n ，23a ，求数列{}n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设n nna cb ，求证：数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．DFCPAB如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224xy，椭圆:C 2214xy，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D ．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数，使得PQ BC k k ？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．20．（本题满分16分）已知函数4212f x axx ，(0,)x，g x f x f x ．（1）若0a ，求证：（ⅰ）f x 在()f x 的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）g x 在(0,)上恰有两个零点；（2）若1a，记g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a ．xyDQPCA OBBAE高三数学参考答案一、填空题1．1,0,1；2．2i ；3．22；4．200；5．5；6．45；7．12；8．(2,)；9．12；10．(,2)；11．16；12．[7,11]；13．3212；14．23.二、解答题15.证明：（1）因为cos cos a A b B ，所以sin cos sin cos A A B B ，所以//m n .,,,,,7分（2）因为m n ，所以cos cos sin sin 0A BA B ，即cos()0A B ，因为a b ，所以A B ，又,(0,)A B ，所以(0,)AB，则2AB，，12分所以tantan124A B.,,,,,14分16. 证明（1）∵点D ，F 分别为BC ，AB 的中点，∴//DF AC ，又∵DF 平面PAC ，AC 平面PAC ，∴直线//DF 平面PAC ．,,,,,6分（２）∵90PAC BAC ，∴AC AB ，AC AP ，又∵AB APA ，,AB AP 在平面PAB 内，∴AC 平面PAB ，,,,,,8分∵PF 平面PAB ，∴ACPF ，∵PA PB ，F 为AB 的中点，∴PF AB ，∵AC PF ，PFAB ，ACABA ，,AC AB 在平面ABC 内，∴PF 平面ABC ，,,,,,12分∵AD平面ABC ，∴ADPF ．,,,,,14分17.解：（1）过O 作OGBC 于G ，则1OG，1sinsinOG OF，11sinEF ，AE，DFCPAB所以11()5656sin6AE EF T v vvv v ，[,]44π3π．,,7分（写错定义域扣1分）（2）11()56sin6T vv v，22221cos 6sin 5cos(2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin30sinT v v v v ，,,,,9分记02cos3，[,]44π3π，0(,)4003(,)4()T - 0 +()T 故当2cos3时，时间T 最短．,,,,14分18. 解：（1）因为1211()2()333n nna ，21[(1()]1133[(1()]1231()3nnnS ，,,,,2分所以11()2131222()23n n nnn S b a ．,,,,4分（2）若nb n ，则22n nS na n ，∴112(1)2n nS n a ，两式相减得112(1)2nnna n a na ，即1(1)2n nna n a ，当2n时，1(1)(2)2nn n a n a ，两式相减得11(1)(1)2(1)n n n n a n a n a ，即112nnn a a a ，,,,,8分又由1122S a ，22224S a 得12a ，23a ，所以数列{}n a 是首项为2，公差为321的等差数列，故数列{}n a 的通项公式是1na n ．,,,,10分（3）由（2）得1n n c n，对于给定的*n N ，若存在*,,,k tn k t N ，使得nk t c c c ，只需111n k t n k t ，即1111(1)(1)n k t，即1111nktkt，则(1)n k tkn，,,,,12分取1kn ，则(2)tn n，∴对数列{}n c 中的任意一项1nn c n，都存在121nnc n 和2222212n nnn c n n使得212n nnnc c c ．,,,,16分19．解：（1）设00(,)B x y ，则00(,)C x y ，2214x y 所以220001222111422424x y y y k k x x x x ．,,,,4分（2）联立122(2)4y k x xy得2222111(1)44(1)0k xk x k ，解得211122112(1)4,(2)11PPPkk x y k x kk，联立122(2)14yk xxy得2222111(14)164(41)0k xk x k，解得211122112(41)4,(2)1414BB Bk k x y k x kk，,,,,8分所以121241B BCB y k k x k，121122112141562(1)641515P PQP k y k k k kkx k，所以52PQ BC k k ，故存在常数52，使得52PQBC k k ．,,,,10分（3）当直线PQ 与x 轴垂直时，68(,)55Q ，则28156225AQk k ，所以直线AC 必过点Q ．当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为：12156()415k yxk，联立1212256()4154k y xk xy，解得21122112(161)16,161161QQk k x y kk，所以1212211211616112(161)42161AQk k k k k k k，故直线AC 必过点Q ．,,,,16 分（不考虑直线PQ 与x 轴垂直情形扣1分）20. 证：（1）因为42102f xaxxx ，所以3()4f x axx ，由32(4)1210axx ax 得()f x 的递减区间为1(0,)23a，,,,,2 分当1(0,)23x a时，32()4(41)0f x axx x ax，所以f x 在()f x 的递减区间上也递减．,,,, 4 分（2）解1：42343211(4)422g x f x f x ax xax x axax xx ，因为0x ，由4321402g x axaxxx 得3214102axax x ，令321()412x axaxx ，则21()382x axax，因为0a ，且1(0)02，所以()x 必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)xx 时，()0x ，()x 单调递减；0(,)x x 时，()0x ，()x 单调递增，若()x 在(0,)上恰有两个零点，则0()0x ，,,,,7 分由20001()3802x ax ax 得2001382ax ax ，所以003217()939x ax x ，又因为对称轴为4,3x所以81()(0)032，所以08733x ，所以003217()()0933x ax x ，又3222111()41(8)(1)1222x axaxx ax x x ax，设1,8a中的较大数为M ，则()0M ，故0ag x 在(0,)上恰有两个零点．,,,,10 分解2：42343211(4)422g x f xfx ax x ax x axaxxx ，因为0x ，由4321402g x axaxxx得3214102ax axx ，令321()412x axaxx ，若g x 在(0,)上恰有两个零点，则()x 在(0,)上恰有两个零点，当2x 时，由()0x 得0a，此时1()12x x 在(0,)上只有一个零点，不合题意；当2x时，由321()4102x axaxx 得321422xxax ，,,,,7 分令322148()2422x x x xx xx ，则22122572[()]2(58)24()0(2)(2)x xx xxx x x ，当(0,2)x 时，()x 单调递增，且由2824,2y x xyx值域知()x 值域为(0,)；当(2,)x时，1()x 单调递增，且1(4)0，由2824,2yxx yx 值域知()x 值域为(,)；因为0a ，所以102a，而12ya与1()x 有两个交点，所以1()x 在(0,)上恰有两个零点．,,,,10 分（3）解1：由（2）知，对于321()412x ax ax x 在(0,)上恰有两个零点12,x x ，不妨设12x x ，又因为(0)10，11()(67)028a ，所以1102x ，,,12 分又因为(4)10，91()(65710)028a ，所以2942x ，所以121945422x x a ．,,,,16 分解2：由（2）知321422xx ax，因为[0,2)x 时，1()x 单调递增，17()212，111111(0)0()()22x a，所以1102x ，,,,,12 分当(2,)x 时，1()x 单调递增，1981()220，112119(4)0()()22x a，所以2942x ，所以121945422x x a ．,,,,16 分。
2016年江苏南通市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，那么 ______．2. 若复数满足，则的值为______．3. 若从，，，这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积是偶数的概率为______．4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果的值为______．S←0I←0While S≤10S←S+I^2I←I+1End WhilePrint S5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则被调查的户家庭中，有______ 户的月消费额在元以下．6. 已知等比数列的前项和为，若，，则的值为______．7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线过点，其一条渐近线的方程为，那么该双曲线的方程为______．8. 若正方体的棱长为，是棱的中点，则三棱锥的体积为______．9. 若函数为奇函数，则的值为______．10. 已知，那么的值为______．11. 在平面直角坐标系中，已知点，．若直线上存在点使得．则实数的取值范围是______．12. 在边长为的正三角形中，若，，与交于点，则的值为______．13. 在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和，则的值为______．14. 已知函数．若对于任意的，都有成立，则的最大值是______．二、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．16. 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，是的中点．（1）求证：；（2）求证： 平面．17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点（异于点），线段被轴平分，且，求直线的方程．18. 如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以为圆心、半径为的半圆面．公路经过点，且与直径垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路（点在直径的延长线上，点在公路上），为切点．（1）按下列要求建立函数关系：①设（单位：），将的面积表示为的函数；②设（单位：），将的面积表示为的函数．（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求的面积的最小值．19. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）试求函数的零点个数，并证明你的结论．20. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称数列为“等比源数列”．（1）在数列中，已知，．①求数列的通项公式；②试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论．（2）已知数列为等差数列，且，，求证：数列为“等比源数列”．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）在中，由，得，即．因为，所以．（2）方法一：因为，由正弦定理，得．因为，所以，所以，即，即．又因为，所以，即，所以，所以的面积为．方法二：由及余弦定理，得，化简得．又，所以的面积为．16. （1）如图，在直四棱柱中，连接交于点，连接交于点．是菱形，所以．因为四棱柱为直棱柱，所以平面．又平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）连接，为直棱柱，所以四边形为矩形．又，分别是，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以 平面．17. （1）由题意知椭圆的离心率为，所以．又点在椭圆上，所以，解得所以椭圆的方程为．（2）将代入椭圆的方程，得，整理，得．由线段被轴平分，得．因为，所以．因为当时，点，关于原点对称，所以设点的坐标为，点的坐标为，由方程，得．又因为，点的坐标为，所以所以．因为当时，直线过点，故不符合题意，舍去，所以直线的方程为．18. （1）①由题意知，在中，，，所以．又所以．在中，，所以的面积为②由题意得；，，且，所以，即，化简，得，所以的面积为．（2）选用（1）中①的函数关系．由，得当变化时，，的变化情况如下表：所以当时，的面积极小值取得最小值，且最小值为．选用（1）中②的函数关系．．由，得．所以当时，的面积当变化时，，的变化如下表：极小值取得最小值，且最小值为．19. （1）由函数，得．令，得．当变化时，，的变化情况如下表：因此，函数的极小值单调增区间为，单调减区间为．（2）由（1）可知，．（i）当时，由，得函数的零点个数为．（ii）当时，因为在上单调递增，在上单调递减，故时，，所以函数的零点个数为．（iii）当时，．①当时，因为当时，，所以函数在区间上无零点．因为在上单调递增，且，又，且，所以函数在上有且只有一个零点．故当时，函数的零点个数为．②当时，因为在上单调递增，且，，所以函数在区间上有且只有个零点．因为在上单调递减，且，又，且（当时，成立），所以函数在上有且只有个零点．故当时，函数的零点个数为．综上所述，当时，函数的零点个数为；当或时，函数的零点个数为；当时，函数的零点个数为．20. （1）①由，得，且，所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以，故数列的通项公式为．②数列不是“等比源数列”．用反证法证明如下：假设数列是“等比源数列”，则存在三项，，按一定次序排列构成等比数列．因为，所以，所以，得，即．又，，所以，，，，所以为偶数，与矛盾，所以数列中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列．综上，数列不是“等比源数列”．（2）不妨设等差数列的公差为．当时，等差数列为非零常数数列，数列为“等比源数列”．当时，因为，则，且，所以数列中必有一项．为了使得数列为“等比源数列”．只需要中存在第项、第项（），使得成立，即，即成立．当，时，上式成立，所以存在，，成等比数列，所以数列为“等比源数列”．。
