7-弹性体振动01解析

可得到
即
第7章 弹性体振动
7.3 时间与空间变量的分离
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上式右端只依赖于空间变量 x，而左端
仅依赖于时间 t 。因此，令等式两边均等
于同一常数，记作－w2，并假设为均匀杆， 则得到下面两个独立方程：
第7章 弹性体振动
7.3 时间与空间变量的分离
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两个方程的解为
这里： F(x) 称为系统的固有振型， w 为固
第7章 弹性体振动
第7章 弹性体振动
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7.1 引 言
当振动系统不能简化为有限个独 立广义坐标表示的运动方程时，就必
须按照连续系统进行分析。有些物理
现象，只能用连续系统的模型才能清 晰地描述。 离散系统的数学特征是用常微分 方程来描述 ; 而连续系统则必须用偏
微分方程来描述。
第7章 弹性体振动
7.1 引 言
有频率。式中积分常数 A与 BBaidu Nhomakorabea比值及固有频
率由边界条件确定，而常数 C和 D则由初始条
件确定。固有振型 F(x) 有一个常数因子不能
确定，这和多自由度系统的情形一样。
第7章 弹性体振动
7.3 时间与空间变量的分离
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固有振型和固有频率
一维波动方程必须与指定的边界条件及 初始条件一起才能构成定解问题。和多自由 度一样首先需要确定固有频率和振型。
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在x处取微段dx，画出该微段的分离体图，则
运动方程为
r
即
p
p
p dx x
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7.4 杆的纵向振动
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利用材料力学中轴向力与轴向变形的
关系式
得到杆的纵向强迫振动方程
（0<x<l）
第7章 弹性体振动
7.4 杆的纵向振动
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若令方程中的f(x,t)等于零，便得到自由
振动方程
对于等截面、均质杆 (均匀杆 )， E、 A均不 依赖于x，自由振动方程简化为
第7章 弹性体振动
7.4 杆的纵向振动
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其中
c的量纲与速度的量纲相同。 显然上述方程也是一维波动方程， c是纵波的传播速率，它等于声波以杆 的材料为介质的传播速率。
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7.4 杆的纵向振动
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7.5 轴的扭转振动
振动过程中，横截面保持为平面，横截
面上每一点的位移由绕截面形心轴转动的
以杆的纵向振动为例，给出常见的几种
边界条件。 （ 1 ）两端固定：两端的轴向位移均等于零， 边界条件为
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
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（2）两端自由：两端的轴向力均等于零，
边界条件为
（3）左端固定，右端弹簧：右端的轴向
力等于弹簧力，边界条件为
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
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（4）左端固定，右端集中质量 m：右端
边界条件为 利用
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
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得关于固有振型的边界条件
代入特征解
及B＝0，得频率方程
其中
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
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频率方程 xtanx ＝h 是超越方程，其解
必须用数值方法或查表得到。当依次计算出
u T
力为 T ，以变形前弦的
方向为x轴，横向挠度 u(x,t)设为小量。对于长 度为dx的微元体有
T
第7章 弹性体振动
7.2 弦的振动
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微振动时
并有
第7章 弹性体振动
7.2 弦的振动
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则方程变为
令
则
弦的振动方程，在数学上称为一维
波动方程。
第7章 弹性体振动
7.2 弦的振动
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7.4 杆的纵向振动
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同一振动系统可以简化为离散 系统和连续系统两种数学模型，连
续系统的数学模型可从相应的离散
系统当自由度无限增多时的极限过 程得到。 多自由度系统线性振动的一些 重要性质和分析方法，可以推广到
连续系统中。
第7章 弹性体振动
7.1 引 言
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7.2 弦的振动
设弦长度为l，单位长
度的质量为 r ，轴向拉
转中心的极惯性矩， r 为体积密度。扭矩 T 与
扭转角q 的关系可从材料力学中得到
代入得
注意到
第7章 弹性体振动
7.5 轴的扭转振动
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当GJp为常量时，方程可写成
（0<x<l） 其中
上述方程也为一维波动方程， c是扭转波 的传播速率。
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7.5 轴的扭转振动
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7.3 时间与空间变量的分离
阶固有振动具有 i －1个节点，这是带有普
遍性的规律。
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固有振型和固有频率
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【例2】 左端固定，右端自由的均匀杆长
度为 l ，在自由端带有集中质量 M ，求该系
统纵向振动的固有频率与固有振型。
解 : 左端固定 , 边界条件为 u(0,t)=0 ，即
F(0)=0，得B＝0
右端的轴向力等于集中质量的惯性力，
多自由度系统的固有振动，振动形态
(各广义位移的相对大小)不依赖于时间，
各广义位移均随时间同步变化 ( 同时通过 平衡位置，同时达到最大值)。 对于连续体的波动方程，也假设具有 同样的特征，因此可假设系统具有分离变
量形式的解：
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代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）
扭转角q 唯一确定，q是空间坐标和时间的 函数。以q为广义坐标建立振动方程。
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7.5 轴的扭转振动
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在坐标x处截取微段dx，横截面上的扭矩为
T，单位长度的圆轴对轴线的转动惯量为 J 。
微段的自由振动方程
即
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7.5 轴的扭转振动
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设G为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭
代入特征解
得
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
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A不能等于0,因此必须满足 此式称为频率方程。由此可以解得系统无
穷多个可数的固有频率
与wi对应的固有振型为
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
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从固有振型的表达式可以看出，在
的点上 F(i)(x)=0 。系统作固有振动时，这 些点是不动的，这样的点称为节点。第 i
的轴向力等于惯性力，边界条件为
还可以具有其他的边界条件。 通过边界条件就可以确定它们所描述 的系统的固有频率与固有振型。
第7章 弹性体振动
固有振型和固有频率
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【例l】 求长为l 的均匀杆两端固定时的
纵向振动固有频率与固有振型。
解:两端固定杆的边界条件为
u(0,t)=u(l,t)=0 即
F(0)=F(l)=0
假设弹性杆在振动过程中杆的横截面保持
为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向
应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。
设杆长为l，轴向坐标x，坐标原点取在杆的
左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为r，轴 向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力为 p，它们均依赖于坐标x。
第7章 弹性体振动
7.4 杆的纵向振动