第一章 函数与极限高等数学主要研究对象是变量及其之间的相互关系．极限是研究变量的一种基本的和重要的方法．本章主要讨论函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的基本性质．第一节 函数一 预备知识：1.集合由事物组成的集体，无论它们是由其成员直接表示出来的，还是由它们成员所具有的某些本质属性表示出来的，都称为集合．集合是数学中的一个原始概念，以上的定义属描述性的．几乎所有的数学分支都与集合密切相关，我们所学的这门课与实数集就是紧密相关的．某事物a 是集合A 的一个成员，则称a 为A 的一个元素，记作a A ∈．若事物a 不是A 的元素，记作a A ∉．一个集合认为是已知的，如果对任何事物能判断它是否属于这个集合．若能写出这个集合的所有元素，则我们用一个括号将它们括起来表示这个集合，例如由元素12,,,n a a a L 组成的集合，可记作{}12,,,n A a a a =L ，而对不易列举出其所有元素的集合，通常用以下记号表示：设集合A 是由某种性质P 的元素x 所组成，就记作{|}A x x P =具有性质．例如 {|}N n n =为自然数代表全体自然数组成的集合， {|}R x x =为实数代表全体实数所组成的集合，{|}Z x x =为整数代表全体整数所组成的集合， {|}Q x x =为有理数代表全体有理数所组成的集合．若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若x A ∈ ,则x B ∈，就称A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇，例如N Z ⊆，Z Q ⊆，Q R ⊆．若A B ⊆，且B A ⊆，则称集合A 等于集合B ，记作A B =．一个极端的情形是集合中不含任何元素，这种集合称为空集，记作∅．2.邻域邻域也是我们以后常要用到的一个重要概念．设a R ∈，R δ∈且0δ>，数集{}x x a δ-<称为点a 的δ邻域，记作()a U δ；点a 叫做该邻域的中心，δ叫做该邻域的半径，如图1-1．图1-1点a 的δ邻域去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作0()aU δ，即 {}0()0a U x x a δδ=<-<．二 函数的概念1．变量与函数所谓变量，就是在某一过程中可以取不同值的量．相反，若在某一过程中保持不变的量就称为常量．通常用字母,,a b c 等表示常量，用字母,,,,,x y z u v t 等表示变量．在自然现象中，对同一个问题，往往同时出现几个变量，而这些变量又是相互联系、相互依赖的，以下就两个变量的情形举几个例子．例1 在自由落体运动中，路程s 随时间t 的变化而变化，它们之间的依赖关系由公式212s gt =表示，当t 在[0,)+∞内任意取定一个数值时，由上式就可确定s 的相应数值．例2 按邮章规定，国内外埠平信，每重20克或不足者付邮资1.20（元），以下累计，不得超过2公斤，则此邮章规定了由信重W 的值确定邮资M 的值的规则，其中02000W <≤（克），邮资M 与信重的关系表达为M=1.20(元) 当020W <≤，M=2.40(元) 当2040W <≤，L M=120.00(元) 当19802000W <≤．例3 设有半径为r 的圆，考虑圆内接于该圆的正n 边形的周长n S （如图1-2所示），由初等数学知识易知2sin n S nr n π=，于是此式表达了内接正n 边形周长n S 与边数n 之间的相互依赖关系．图1-2上面几个例子都反映了同一过程中有着相互联系的两个变量，当一个量在某个数集中变化时，按一定的规则，另一个量有唯一的一个值与它对应，函数概念正是从这一事实中抽象出来的．定义1 设D 是R 中的一个非空数集，若有一个对应规则f ，使得对于D 内每一个实数x ，都能由f 唯一地确定一个实数y ，则称对应规则f 为定义在D 上的一个函数，记为 (),y f x x D =∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量．点集D 称为函数的定义域，记为()D f ．()f x 称为x 所对应的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域，记为()R f ，即(){}()R f y y f x x D ==∈，．如上述例1中确定了一个定义在区间[0,)+∞上的一个以t 为自变量的函数，例2确定了区间(0,2000]上的以W 为自变量的函数，例3确定了数集{},3n n N n ∈≥上n 为自变量的函数．注（1）如果一个函数是用一个数学式子给出的，则其定义域约定为使这个式子有意义的自变量所取值的全体．（2）所谓两个函数相同，是指它们的定义域和对应法则分别相同．对函数()y f x =，任取()x D f ∈，对应函数值()y f x =，这样，以x 横坐标，y 为纵坐标就确定了XOY 平面上的一点，点集{}(,)(),()C x y y f x x D f ==∈一般描述出一条平面曲线，称为()f x 的图形（见图1-3）．图1-32．函数的表示法表示函数的方法主要有三种（1）解析法 当函数的对应法则用方程式给出时，称这种表示函数的方法为解析法（分析法）如上述例1至例3，这种方法是我们表示函数的主要方法．注 有时一个函数在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，如上面的例2及以下例子：1,0,()sgn 0,0,1,0.x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ 此函数称为符号函数，其定义域()(,)D f =-∞+∞，值域(){1,0,1}R f =-，参见图1-4．图1-4这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数．（2）列表法 若函数()f x 可用一张含有自变量值与对应的函数值()f x 的表格来表示，则称为列表法．通常所用的三角函数表，对数表等都是用列表法表达的函数．（3）图像法 由图像给出函数的对应法则的方法称为图像法．3. 几个特殊的函数(1) 取整函数 []y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数．对于取整函数[]x (如图1-5) ，可以证明：对任意的实数x ，有不等式：[]x []1x x ≤<+．(2) 狄利克雷(Dirichlet)函数：1, ()0, x y D x x ⎧==⎨⎩是有理数,是无理数.图1-5三 函数的主要性质1.有界性设函数()f x 的定义域为()D f ，()D D f ⊆，如果存在正数M ，使得当x D ∈时()f x M≤，则称()f x 是D 上的有界函数，否则称()f x 在D 上无界，即对任何正数M ，存在0x D ∈，使得0()f x M >．例如函数()sin f x x =，()cos g x x =在(,)-∞+∞上是有界函数，而函数1()f x x =在(0,1) 上无界，可是函数1()f x x=在(,1)c 上是有界的，其中01c <<． 有界函数图像的特点是它完全落在平行于x 轴的两条直线y M =±所组成的带形区域之中．2.单调性若函数()f x 的定义域为()D f ，()D D f ⊆，如果对任意12,x x D ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <（12()()f x f x >） 则称f 在D 上是单调增加的（单调减少的），单调增加和单调减少函数统称单调函数．例如，函数2y x =在(,0)-∞上单调减少，在(0,)+∞上单调增加，而在(,)-∞+∞上不是单调的．函数3y x =在(,)-∞+∞上是单调增加的，如图1-6和图1-7．图1-6 图1-73.奇偶性设函数()f x 的定义域()D f 为关于原点对称的数集（即若()x D f ∈，则()x D f -∈）．如果对于任一点()x D f ∈有()()f x f x -= ，则称函数()f x 是偶函数，如果对于任一()x D f ∈ ，总有()()f x f x -=-，则称函数()f x 是奇函数．例如函数2()f x x =，()cos g x x =是偶函数．函数31()f x x =，1()sin g x x =是奇函数，函数()sin cos h x x x =+是非奇非偶函数，既奇又偶的函数只有()0f x =．偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，如图1-8和图1-9．图1-8 图1-94.周期性 设函数()f x 的定义域为()D f ，如果存在正数l ，使得对任意()x D f ∈有()x l D f +∈，且总有()()f x l f x +=成立，则称()f x 为周期函数，称l 为()f x 的周期．由定义知道，若l 为()f x 的周期，则nl 也为其周期．通常，我们称l 为()f x 的周期，是指l 是()f x 的最小正周期．例如函数()sin f x x =，()cos g x x =是以2π为周期的函数，奇函数()sin h x x ω=是以2L πω=为周期的函数，这里0ω≠．周期函数在每个周期上，图形相同．四 反函数与复合函数1. 反函数在函数的定义中，有两个变量，一个自变量，一个因变量．然而在实际问题与数学问题中，哪个是自变量，哪个是因变量，并不是绝对的，应按所研究的具体问题而定．例如自由落体运动，其运动方程为：212s gt = [0,]t T ∈ ． （1）于是由时间t 可算出路程s ，其中g 为常量．可是，如果问题是由下落的距离来确定所需要的时间t ，那么就要由 （1）解出t ，把它表示为s 的函数t = [0,]s H ∈ ． （2） 这里H 是物体开始下落时与地面的距离．这表明，在一定的条件下，函数的自变量与因变量可以相互转化．这样得到的新函数，就称为原来那个函数的反函数，例如 （2）是（1） 的反函数．定义2 设函数()y f x =的定义域为()D f ，值域为()R f ，若对每一个()y R f ∈，()D f 中有唯一值x 使得()f x y =，于是在()R f 上确定一个函数，此函数称为函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，()y R f ∈ ． （3）注（1）若()y f x =有反函数，则按f 建立了()D f 与()R f 之间的一一对应关系．（2）由定义可知，()f x 也是函数1()f y -的反函数，或者说它们互为反函数，而且前者的定义域与后者的值域相同，前者的值域与后者的定义域相同．（3）由于习惯上用x 表示自变量，用y 表示因变量，因此（3）又常常记为1()y f x -= ()x R f ∈． （4）因为（3）与（4）有相同的定义域()R f 和相同的对应关系1f -，故（3）和（4）表示同一函数．（4）在同一坐标系中，()y f x =的图像与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，如图1-10．图1-102.复合函数先看一个实例，运动物体的动能是速度的函数：212E mv =，而速度v 又是时间t 的函数，对于自由落体，这个函数是v gt =，于是动能E 是时间t 的函数2212E mg t =． 一般地，两个函数的复合函数的定义如下：定义3 设 ()y f u = ()u D f ∈；()u g x =，()x D g ∈是两个已知函数，且()()D f R g ≠∅I （其中()R g 记函数()u g x =的值域），则称函数 [()],y f g x ={()()}x x g x D f ∈∈为由函数()y f u =与()u g x =复合而成的复合函数，其中()f u 称为外层函数，()g x 为内层函数，y 称为因变量，x 称为自变量，而u 称为中间变量．由定义可知，复合函数[()]f g x 的定义域为{()()}x g x D f ∈．例如2sin y x =可以看成2y u =和sin u x =复合而成，其定义域为(,)-∞+∞；y =可以看成y =，21u x =-复合而成，其定义域为[1,1]-．注 （1）当且仅当()()D f R g ≠∅I 时，两个函数才能进行复合，如arccos y u =，[1,1]u ∈-与22u x =+，(,)x ∈-∞+∞就不能进行复合．（2）复合函数也可以由三个或者三个以上函数复合而成，例如y =可以看成三个函数12y u = ，[0,)u ∈+∞，21u v =+ ，(,)v ∈-∞+∞， sin v x = ，(,)x ∈-∞+∞复合而成．五 初等函数中学数学课程中已经讨论过下列几类函数：1.幂函数：y x α=（α为常数）．2.指数函数：x y a =(0,1)a a >≠．3.对数函数：log a y x = (0,1)a a >≠．在科技中常用的以e 为底的对数函数log e y x =叫做自然对数函数，简记作ln y x =．4.三角函数常用的三角函数有：sin y x =，cos y x =， tan y x =，cot y x =等．5.反三角函数常用的反三角函数有：arcsin y x = ， arccos y x = ， arctan y x = ， arccot y x =等． 以上五类函数统称为基本初等函数．由常数及基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除四则运算和有限次的复合步骤所构成并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数．例如y 2012()n n n y P x a a x a x a x ==++++L ， y =都是初等函数．而分段函数一般不是初等函数，例如Dirichlet 函数就不是初等函数．六 经济学中常见的函数需求函数与供给函数．需求与供给是经济活动中的主要矛盾之一．在市场经济条件下, 需求与供给关系对商品的生产与销售有重要影响, 因此它们是经济学研究的重要对象．需求函数：某一商品的需求量是指在一定的价格水平下，在一定时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商品数量．消费者对某种商品的需求量是由多种因素决定的，如商品价格、消费者的数量、经济收入状况、消费时段以及消费嗜好等．为简化问题，不考虑除价格以外的其他因素的影响或把其他因素看作相对稳定，那么需求量可看成是价格p 的一元函数，称为需求函数，记为()Q f p =．一般地，需求函数是价格的单调递减函数．人们常用下面这些简单的初等函数来近似表示需求函数：线性函数：Q ap b =-+，其中,0a b >；幂函数：a Q kp -=，其中0k >，0a >；指数函数：bp Q ae -=，其中,0a b >．供给函数：某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定时期内生产者愿意生产并可供出售的商品量．供给量也是由多个因素决定的，如果在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量Q 可以简化为价格p 的函数，记为()Q Q p =．一般说来,商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品就越多，因此，一般的供给函数都是单调递增的．人们常用下面这些简单的初等函数来近似表示供给函数：线性函数：Q ap b =-，其中,0a b >；幂函数：a Q kp =，其中0k >，0a >；指数函数：bp Q ae =，其中,0a b >．例5 设某配电箱的价格为120元时，厂家可提供2万个该配电箱，当价格每增加2元时，厂家可多提供2000个，试求供给函数．解 p 为价格,Q 为配电箱供应量,依题意有：1202000020001000(100)2p Q p -=+⨯=-. 在同一个坐标系中作出需求曲线和供给曲线，两曲线的交点通常称之为供需平衡点，对应的价格p 称为均衡价格．习题1-11．求下列函数的定义域：（1）[]23log log y x =，（2）32arcsin 5x y - 2．若()f x 的定义域是[0,3](0)a a >，求()()f x a f x a ++-的定义域．3．验证：函数11x y x-=+的反函数是它本身． 4．求函数cos(3)y x =-的最小正周期．5．验证下列函数在区间(0,)+∞内是单调增加的： (1) 12x y -=，(2) ln y x x =+．5．设sin ,,3()0,.3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),(2)6πφφ-，作出函数()y x φ=的图形． 6．已知2211()3f x x x x+=++，求()f x ． 7．证明：定义在对称区间(,)l l -上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和（提示：考虑()(),()()f x f x f x f x +---的奇偶性）．8．设,0,()1,0.x x f x x ≥⎧=⎨<⎩（1）求(1)f x -； （2）求()(1)f x f x +-．（写出最终的结果）．9．在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量0x 的函数值：（1）20,sin ;6y u u x x π=== ； （2）20,;1u y e u x x ===． 10．火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费．试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出这函数的图形．11．拟建一容积为V 的长方形水池，要求池底为正方形，如果池底单位面积的造价是四周单位造价的2倍．假定四周单位造价为k （元/平方米），试将总造价y （元）表示成底边长x （米）的函数，并确定此函数的定义域．12．某商品供给量Q 对价格P 的函数关系为P kQ a b c =+⋅(1c ≠)，已知当2P =时，30Q =；3P =时，50Q =；4P =时，90Q =，求供给量Q 对价格P 的函数关系．13．某化肥厂生产产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过的部分按九折出售，试将销售总收益y （元）表示成销售量x （吨）的函数．第二节 数列极限一 数列极限的定义一个数列就是按照一定顺序排成的一列数1,23,,,,n a a a a L L ,简记为{}n a , 数列中的每一个数称为数列的项，第n 项n a 称为数列的一般项（或者通项）．数列也可以视为一个定义在正整数集N +上的函数:(),1,2,n a f n n ==L ．如果对任意n ,总有1n n a a +≤,则称{}n a 是单调递增的数列;类似可定义单调递减的数列.两者统称为单调数列. 如果存在常数1K ,使得1n a K ≤，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有上界；如果存在常数2K ,使得2n a K ≥，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有下界．如果存在常数0M >,使得数列{}n a 满足:n a M ≤，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有界；否则称{}n a 无界，即如果对任何正数M ,至少有一项n a 满足n a M >．例如,公差0d >的等差数列是单调无界数列,首项10a >,公比01q <<的等比数列是单调有上界数列.下面考察n 无限增加时,其通项n a 的变化规律.先看下面表格给出的几个具体的例子：从上表可以看出,当n 无限增大时, 一般项n a 的变化规律可分为三类:第一类,如1n和21n ,当n 无限增大时, n a 无限趋于一个确定的数a ；第二类,如21n +,当n 无限增大时,n a 的值无限增大；第三类, 如()1n-,当n 无限增大时,没有确定的变化趋势.一般地,如果n 无限增大时,数列的项n a 无限趋近于某一个确定的常数a ,则称a 为数列{}n a 的极限.下面，我们按照无穷大列、无穷小列以及数列极限的顺序给出数列极限的严格定义. 定义1 设{}n D 是一个单调递增、无上界的正数列 ,则称{}n D 是一个恒正无穷大列. 例如，数列{}n α（其中α为正数）为恒正无穷大列．定义2 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷大列{}n D ,使得对一切n 总有|| n n a D ≥,则称{}n a 是无穷大列.如果对一切自然数n ,都有 n n a D ≥,则称{}n a 是正无穷大列. 如果对一切自然数n ,都有 n n a D ≤-,则称{}n a 是负无穷大列．例1 证明数列{}n q （1q >）和{(1)sin}2n n n π-+是无穷大列. 证 由于1q >，所以1n n q q +>，所以正数列{}k q 是单调递增的．对于任何正常数K ，取正整数0ln []ln Kn q =，当0n n >时，有ln ln Kn q q q K >=，于是数列{}n q （1q >）无上界，故{}n q （1q >）是恒正无穷大列，从而是无穷大列．因为(1)sin12n n n n π-+≥-，而数列{1}n -当2n ≥时是恒正无穷大，所以数列{(1)sin}2n n n π-+是无穷大列． 定义3 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷大列{}n D ,使得对一切n 总有1n na D =,则称{}n a 是恒正无穷小列. 定义4 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷小列{}n α,使得对一切n 总有|| n n a α≤,则称数列{}n a 是无穷小列.例如,当α为正数时,数列{}n α-是恒正无穷小列；当0||1q <<时,数列{}n q 是无穷小列.定义5 设{}n a 是一个数列,如果存在一个常数A 和一个无穷小列{}n α,使得n n a A α=+,则称数列{}n a 以A 为极限, 或数列{}n a 收敛于A ,记为lim n n a A →∞=或者() n a A n →→∞时.否则,称数列{}n a 发散,也称极限lim n n a →∞不存在.显然，无穷小列的极限是0.注 我们约定：正无穷大列{}n D '以+∞为极限，记作lim nn D →∞'=+∞,负无穷大列{}n D ''以-∞为极限，记作lim nn D →∞''=-∞,无穷大列{}n D 以∞为极限，记作lim n n D →∞=∞. 例2 用极限定义证明:313lim212n n n →+∞+=+.证 因为31312122(21)n n n +--=++,而12(21)n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是无穷小列,故有313lim 212n n n →+∞+=+. 注 由定义5知道： lim n n a A →∞=的充分必要条件是n n a A α=+，其中{}n α是n →∞时的无穷小列，即lim 0n n α→∞=.由定义,表1-1的几个例子极限分别为:1lim0n n →∞=，21lim 0n n →∞=，()lim 21n n →∞+=+∞，()lim 1nn →∞-不存在．为便于以后求数列极限,我们将常用的几个数列极限归纳如下: (1)lim n c c →∞=,(2)1lim0n n α→∞=()0α>, (3)0, 01,1, 1,lim , 1,, 1.n n q ••q q q •••q →∞⎧<<⎪=⎪=⎨=-⎪⎪∞>⎩不存在注 数列极限的定义还有与上述定义等价的N ε-语言形式：对任意0ε>,都存在0N >,使得对任意n N >,都有n a a ε-<成立,则称数列{}n a 以a 为极限，记作 lim nn a a →∞=．三 无穷大列与无穷小列的基本性质性质1 若{}n D 和{}n D '是恒正无穷大列，则{}n n D D '+也是恒正无穷大列．若{}n a 和{}n a '是正无穷大列，则{}n n a a '+也是正无穷大列．证 因为{}n D 和{}n D '是恒正无穷大列，所以{}n D 和{}n D '均是单调递增且无上界，直接验证知道{}n n D D '+也是单调递增且无上界，故{}n n D D '+是恒正无穷大列．由第一个结论及正无穷大列的定义即可得到第二个结论的证明．同样，由恒正无穷大列和正无穷大列的定义，不难证明以下性质：性质2 若{}n D 是一个恒正无穷大列，M 是一个正数，则{}n MD 也是恒正无穷大列．若{}n a 是一个正无穷大列，M 是一个正常数，则{}n Ma 也是正无穷大列．由恒正无穷小列的定义不难知道，两个恒正无穷小列的和是恒正无穷小列，一个正数与一个恒正无穷小列的积是恒正无穷小列，一般地，我们有以下结论： 性质3 若{}n α和{}n β是无穷小列，则{}n n αβ±也是无穷小列．证 因为{}n α和{}n β是无穷小列，所以存在恒正无穷小列{}nα'和{}n β'使得n n αα'≤，n nββ'≤．令max(,)n n n γαβ''=，则{}n γ是恒正无穷小列，从而{2}n γ也是恒正无穷小列．于是有2n n n n nn n αβαβαβγ''±≤+≤+≤，故{}n n αβ±是无穷小列． 类似地可以证明以下性质：性质4 若{}n α是无穷小列，{}n ν是有界数列，则{}n n να⋅也是无穷小列．特别，若{}n α是无穷小列，M 是一个常数，则{}n M α⋅也是无穷小列．四 数列极限的性质下面,我们给出数列极限的几个基本性质.性质5(唯一性) 若数列{}n a 收敛,则数列{}n a 的极限唯一.证 若{}n a 收敛于A ,又收敛于A '，则存在两个无穷小列{}n γ与{}nγ'使得n n a A γ=+，又有n na A γ''=+，于是得n n A A γγ''-=-,由性质1知道{}n n γγ'-是一个无穷小列，故常数列{}A A '-是一个无穷小列，从而0A A '-=，即A A '=．性质6（有界性） 若数列{}n a 有极限A ,则数列{}n a 有界．证 因为{}n a 有极限A ，所以存在无穷小列{}n γ使得n n a A γ=+，于是存在标准无穷小列{}n α使得n n γα≤．故对任意正整数n ，有1n n n n a A A A A γγαα=+≤+≤+≤+．这就证得数列{}n a 有界．类似于前两个性质的证明，可得如下性质：性质7（保序性）若数列{}n a ,{}n b 均收敛,且存在正整数0N 使得0n N ≥时,n n a b ≤， 则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.注 （1)性质6的等价命题是:若数列{}n a 无界,则数列{}n a 发散.例如数列(){}2n-是无界的,所以发散.（2)数列有界只是数列收敛的必要而非充分条件,即数列有界也不一定收敛.例如,数列(){}1n-有界,但它发散.（3) 如果性质7条件中的n n a b ≤换成n n a b <,未必有lim n n a →+∞<lim n n b →+∞.例如,取1n a n =-,1n b n=，显然对于任意正整数n ,都有n n a b <,但lim n n a →+∞=lim 0n n b →+∞=.习题1-21．证明数列2{(1)}n n -是无穷大列. 2．证明数列21{}1n +和数列cos {}xn是无穷小列. 3．观察如下的数列{}n a 的变化趋势，写出它们的极限：（1）n a 12n=； （2）n a 1n n =+； （3）n a (1)n n =--； （4）n a 1sin xn π=.4．用极限定义证明:222lim 12n n n →+∞-=+.5．若lim n n u a →∞=，证明lim n n u a →∞=，并举例说明反过来未必成立．第三节 函数极限一 自变量趋于无穷大时函数的极限我们知道，数列是定义在正整数集N +上的函数．数列的极限则反映了自变量n →∞时，{}n a 的变化趋势．值得注意的是，讨论数列极限时，自变量n 是正整数，它只有一种变化趋势：n →∞．而函数的自变量x 是实数，其变化趋势就不止一种：x 可能是趋于正无穷大、负无穷大，也可能是从某一固定点a 的某一侧趋于a ，还可能是以从两侧的任意方向趋于a ．因此，函数的极限就具有几种不同的形式．当然，这些不同形式的极限，与数列的极限还是具有一些相同之处．因此，我们先讨论自变量趋于无穷大时函数的极限，然后讨论自变量趋于常数a 时函数的极限．1．自变量趋于无穷大时的无穷大量定义1 设()0D x >是一个定义在区间(,)a +∞上的单调递增的函数，如果()D x 在这个区间上是无上界的，我们就称()D x 是+∞的一个邻域：()(,)a U a +∞=+∞上的恒正无穷大量，或者称()D x 是当x →+∞时的恒正无穷大量．定义2 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在一个邻域()a U +∞上的恒正无穷大量()D x ，使得对()a U +∞上的一切x 都有|()|()f x D x ≥，则称()f x 是当x →+∞时的无穷大量，记作lim (),()()x f x f x x →+∞=∞→∞→+∞ 或 ．如果邻域()a U +∞上的一切x 都有()()f x D x ≥（或()()f x D x ≤-），则称()f x 是当x →+∞时的正无穷大量(或负无穷大量)，记作lim ()x f x →+∞=+∞，或()()f x x →+∞→+∞．后者记作lim ()x f x →+∞=-∞，或()()f x x →-∞→+∞．显然，恒正无穷大量是无穷大量．例1 函数(0)k y x k =>与函数(1)x y a a =>，都是邻域0()U +∞上的恒正无穷大量，而函数ln y x =则是邻域0()U +∞上的无穷大量以及邻域1()U +∞上的恒正无穷大量．我们也可以类似地定义当x →-∞时的无穷大量．例2 证明lim ()x x x →+∞=+∞，0()x U ∈+∞．证 在4x >时有222x x xx x x ⎛+≥+> ⎝．显然，函数()2xD x =在邻域4()U +∞上是单调递增的且无上界，而对于在邻域4()U +∞上的一切x ，都有()()f x D x ≥．所以()f x 是正无穷大量．由无穷大量的定义，不难证明以下结论：定理1 设()f x 、()g x 均是在邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量，函数()0h x >是邻域()a U +∞上的有界函数，则有（1）()()f x g x +是邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量； （2）()()f x h x +是邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量； （3）()()f x g x ⋅是邻域()a U +∞上x →+∞时的正无穷大量． 2．自变量趋于无穷大时的无穷小量定义3 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在邻域()a U +∞上的恒正无穷大量()D x ，使得对邻域()a U +∞上的一切x 都有1()()f x D x =，则称()f x 是当x →+∞时的恒正无穷小量．定义4设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在邻域()a U +∞上的恒正无穷小量()x α，使得对邻域()a U +∞上的一切x 都有|()|()f x x α≤，则称()f x 是当x →+∞时的无穷小量，记作lim ()0x f x →+∞=，或者()0()f x x →→+∞．显然，恒正无穷小量也是无穷小量．我们常常把无穷小量记为()x α、()x β、()x γ． 由例1不难知道，函数(0)k y x k =<与(1)x y a a -=>都是邻域0()U +∞上的无穷小量．下面仅就函数(0)k y x k =<中当1k =-时的情形加以证明．例3 用定义证明1lim0x x→+∞=． 证 由于()D x x =在(1,)+∞上是恒正无穷大量，而我们又有11()()f x x D x ==，所以 1lim0x x→+∞=． 由无穷小量的定义，也不难证明以下结论：定理2 设()x α、()x β均是在邻域()a U +∞上当x →+∞时的无穷小量，函数()h x 是在邻域()a U +∞上的有界函数，则有1）()()x x αβ±是当x →+∞时的无穷小量； 2）()()x x αβ⋅是当x →+∞时的无穷小量； 3）()()x h x α⋅是当x →+∞时的无穷小量．例4 证明11limsin 0x x x→+∞=． 证 因为在邻域1()U +∞上1x 是无穷小量，1sin x 是有界函数，所以当x →+∞时，11sin x x是无穷小量，即11lim sin 0x x x→+∞=．3．自变量趋于无穷大时函数的极限定义4 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果有一个实数A 和一个邻域()a U +∞上的无穷小量()x γ，使得()()f x A x γ=+，则称()f x 当x →+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞=，或()()f x A x →→+∞．注 （1）若设函数()f x 在区间(,)a -∞内有定义，按照以上定义1至定义4，我们可类似地定义()f x 是当x →-∞时的恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量、无穷小量概念，以及()f x 当x →-∞时以A 为极限的概念．（2）若设函数()f x 在区间12(,)(,)a a -∞+∞U 内有定义，我们可以同样地给出()f x 是当x →∞时的恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量和无穷小量概念，以及lim ()x f x A→∞=的定义；（3）在定理1和定理2中，若条件x 趋于+∞换为x 趋于-∞（或者x 趋于∞）时，相应结论成立；（4）不难证明，lim ()x f x A →∞= 当且仅当lim ()x f x A →-∞=，且lim ()x f x A →+∞=．二 自变量趋于常数时函数的极限关于自变量趋于常数时函数的极限，与前面类似，按照无穷大量、无穷小量以及自变量趋于常数时函数的极限的顺序给出严格定义．但是，当自变量趋于一点a 时，它可能是从a 的某一侧趋于它，也可能是以从两侧的任一方向趋于它．其函数值的变化因而就具有各种不同的形式，从而，函数的极限也具有各种不同的形式．甚至在这个点的左右两侧的变化趋势可能是完全不同的．因此，我们需要用不同于()x n →+∞→+∞的方式来讨论函数的极限．１．自变量趋于a 时的双向递增与无穷大量定义5 设函数()f x 在去心邻域0()aU δ内有定义，如果对于任意的012,()a x x U δ∈，当12||||a x a x -<-时都有21()()f x f x ≤，我们就称()f x 在去心邻域0()aU δ上是双向递增的． 定义6设函数()f x 在去心邻域0()aU δ内有定义，如果()0f x >在去心邻域0()a U δ上既是双向递增，又是无上界的，我们就称()f x 是去心邻域0()aU δ上的一个恒正无穷大量. 我们常将恒正无穷大量记为()D x ．。
第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限． 5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为()yf x =，x D ∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“g ”、“F ”、“ϕ”等，相应的，函数可记作()y g x =，()y F x =，()y x ϕ=等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作()y y x =，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法 （1）函数的显式表示法（显函数）：()yf x =形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如2cos xy xe x =-，13sin ln x x e y x e x-=++等．（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出31y x =-，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如1,0()1,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩ 是由两个解析式表示的定义域为(,)-∞+∞的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量x 与因变量y 的关系是通过第三个变量t 联系起来 ()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩ （t 为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程 2cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩ 表示的图形即为圆心在原点，半径为4的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，如果存在正数M，使得()f x M≤对任一x X ∈都成立，则称函数()f x 在X 上有界．如果这样的M不存在，就称函数()f x 在X 上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数M 是函数()f x 的一个界，则比M大的数都是函数()f x 的界．2．单调性 设函数()f x 的定义域为D ，区间I D ∈．如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的；如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ，当12x x <时，恒有12()()f x f x >，则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 3．奇偶性 设函数()f x 的定义域D 关于原点对称．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=恒成立，则称()f x 为偶函数．如果对于任一x D ∈，()()f x f x -=-恒成立，则称()f x 为奇函数．例如：()cos f x x =、2()f x x =都是偶函数，()s i n f x x =、()arctan f x x =是奇函数，而()sin cos f x x x =+则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于y 轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证． 4．周期性设函数()f x 的定义域为D ．如果存在一个正数l ，使得对于任一x D ∈有()x l D ±∈，且()()f x l f x +=恒成立，则称()f x 为周期函数，l 称为()f x 的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数sin x 、cos x 都是以2π为周期的周期函数，函数tan x 是以π为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算 设函数()f x ，()g x 的定义域依次为1D ，2D ，12D D D φ=≠，则我们可以定义这两个函数的下列运算： （1）和（差）f g ±：()()()()f g x f x g x ±=±，x D ∈；（2）积f g ⋅：()()()()f g x f x g x ⋅=⋅，x D ∈；（3）商f g ：()()()f f x x g g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，\{()0,}x D x g x x D ∈=∈． 2．反函数（函数的逆运算）对于给定的y 是x 的函数()y f x =，若将y 当作自变量而x 当作因变量，则由关系式()y f x =所确定的函数()x y ϕ=称为函数()f x 的反函数，记为1()y f x -=，()f x 叫做直接函数．若直接函数()yf x =的定义域为D ，值域为M ，则反函数1()y f x -=的定义域为M ，值域为D ．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线y x =对称．3．复合函数（函数的复合运算）设函数()y f u =的定义域为fD ，函数()ug x =的定义域为g D ，且其值域g f R D ⊂，则由下式确定的函数[()]y f g x =，g x D ∈称为由函数()u g x =与函数()y f u =构成的复合函数，它的定义域为g D ，变量u 称为中间变量．说明：g 与f能构成复合函数的条件是函数g 的值域g R 必须含在函数f的定义域fD 内，即gf R D ⊂，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数 幂函数：yx μ=（R μ∈是常数）； 指数函数：x y a =（0a >且1a ≠）；对数函数：log a y x =（0a >且1a ≠，特别当a e =时记为ln y x =）；三角函数：sin yx =，cos y x =，tan y x =，cot y x =，sec y x =，csc y x =；反三角函数：arcsin y x =，arccos y x =，arctan y x =，cot y arc x =．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记． （1）反正弦函数arcsin yx =：是由正弦函数sin y x =在区间[,]22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[,]22ππ-． （2）反余弦函数arccos y x =：是由余弦函数cos y x =在区间[0,]π上的一段定义的反函数，故其定义域为[1,1]-，值域为[0,]π． （3）反正切函数arctan yx =：是由正切函数tan y x =在区间(,)22ππ-上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(,)22ππ-． （4）反余切函数cot yarc x =：是由余切函数cot y x =在区间(0,)π上的一段定义的反函数，故其定义域为(,)-∞+∞，值域为(0,)π． 2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：22sin cos y x x =，22y x =-，2ln(1)y x x =++，2arccos(1)y x =-等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n x A ε-<都成立，那么就称常数A 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于A ，记为lim n n x A →∞=或n x A →（n →∞）．如果不存在这样的常数A ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是发散的，习惯上也说lim n n x →∞不存在．说明：数列极限中自变量n 的趋向只有一种，即n →∞，虽然含义表示正无穷，但不要写做n→+∞，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一．性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界． 说明：对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得对一切n ，都有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的，否则称数列{}n x 是无界的． 性质（3）：（收敛数列的保号性）如果lim nn x A →∞=，且0A >（或者0A <），那么存在正整数N ，当n N >时，都有0n x >（或0n x <）． （二）函数的极限1．函数极限的定义 （1）0xx →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某个去心邻域内有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式00x x δ<-<时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A就叫做函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()x x f x A →=或()f x A →（当0x x →）．说明：函数的左极限lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=；右极限0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=；左极限与右极限统称单侧极限．函数()f x 当0x x →时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即00()()f x f x -+=．（2）x →∞时函数的极限：设函数()f x 当x大于某一正数时有定义．如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式()f x A ε-<，那么常数A 就叫做函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()f x A →（当x →∞）．说明：此定义包含lim ()x f x A →+∞=和lim ()x f x A →-∞=两种情况．2．函数极限的性质（以0xx →为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果0lim ()x x f x →存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果0lim ()x x f x A →=，那么存在常数0M >和0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()f x M ≤．性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果0lim()x x f x A →=，且0A >（或0A <），那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >（或()0f x <）． （三）极限运算法则1．如果0lim()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=，则有（1）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±； （2）0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x fx g x f x g x A B →→→⋅=⋅=⋅；（3）000lim ()()lim()lim ()x x x x x x f x f x A g x g x B→→→==，其中0B ≠； （4）0lim[()]lim ()x x x x cfx c f x →→=，其中c 为常数；（5）0lim[()][lim ()]n n x x x x fx f x →→=，其中n 为正整数．2．设有数列{}n x 和{}n y ，如果lim nn x A →∞=，lim n n y B →∞=，则有（1）lim()nn n x y A B →∞±=±； （2）lim()nn n x y A B →∞⋅=⋅；（3）lim n n nx Ay B →∞=，其中0n y ≠（1,2,n =）且0B ≠．3．如果()()x x ϕψ≥，而0lim ()x x x A ϕ→=，0lim ()x x x B ψ→=，则A B ≥．4．复合函数的极限运算法则：设函数[()]y f g x =是由函数()u g x =与函数()y f u =复合而成，[()]f g x 在点0x 的某去心邻域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A→=，且存在00δ>，当00(,)x U x δ∈时，有()g x u ≠，则lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→==．说明：本法则以0xx →为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则I 如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件： （1）从某项起，即0n N ∃∈，当0n n >时，有n n n y x z ≤≤，（2）lim nn y A →∞=，lim n n z A →∞=，那么数列{}n x 的极限存在，且lim nn x A →∞=．准则I ' 如果函数()f x 、()g x 及()h x 满足下列条件：（1）当0(,)x U x r ∈（或x M >）时，()()()g x f x h x ≤≤，（2）0()lim ()x x x g x A →→∞=，0()lim ()x x x h x A →→∞=，那么0()lim ()x x x f x →→∞存在，且等于A ．说明：准则I 及准则I '称为夹逼准则．2．准则II 单调有界数列必有极限．准则II ' 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．0sin lim1x xx→=，可引申为()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→=，式中不管自变量x 是哪种趋向，只要在此趋向下()0x ϕ→即可（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）．2．10lim(1)xx x e →+= 或 1lim(1)x x e x→∞+=，可引申为1()()0lim (1())x x x e ϕϕϕ→+=（()0x ϕ+→或()0x ϕ-→时亦成立）或()()1lim (1)()x x ex ϕϕϕ→∞+=（()x ϕ→+∞或()x ϕ→-∞时亦成立）． 说明：数列亦有第二种极限形式，即1lim(1)nn e n→∞+=．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{}n x 称为n→∞时的无穷小．说明：以后我们再提到无穷小时，把数列{}n x 当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量x 的某一趋向下才有意义． （2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小；反之，如果()f x 为无穷小且()0f x ≠，则1()f x 为无穷大． 2．无穷小的比较设α，β均为自变量同一趋向下的无穷小，且0α≠，（1）如果lim0βα=，则称β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； （2）如果lim βα=∞，则称β是比α低阶的无穷小；（3）如果lim0c βα=≠，则称β与α是同阶无穷小； （4）如果lim 1βα=，则称β与α是等价无穷小，记作~αβ；（5）如果lim0k c βα=≠，0k >，则称β是关于α的k 阶无穷小． 3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小． （2）常数与无穷小的乘积是无穷小． （3）有限个无穷小的乘积是无穷小． （4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设α，β，α'，β'均为自变量同一趋向下的无穷小，且~αα'，~ββ'，limβα''存在，则lim lim ββαα'='（lim 表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）．说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．0x →时sin ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()x x ϕϕ； 0x →时tan ~x x ，可引申为()0x ϕ→时，tan ()~()x x ϕϕ；0x →时sin ~arc x x ，可引申为()0x ϕ→时，sin ()~()arc x x ϕϕ； 0x →时211cos ~2x x -，可引申为()0x ϕ→时，211cos ()~()2x x ϕϕ-；0x →时111~n x x n +-，可引申为()0x ϕ→时，11()1~()n x x nϕϕ+-；0x →时1~x e x -，可引申为()0x ϕ→时，()1~()x e x ϕϕ-；0x →时ln(1)~x x +，可引申为()0x ϕ→时，ln(1())~()x x ϕϕ+．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()yf x =在点0x 连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）． 连续性定义（2）：设函数()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()yf x =在点0x 连续．2．左连续、右连续及区间连续 （1）左连续：lim ()x x f x -→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x -=；（2）右连续：：lim ()x x f x +→存在且等于0()f x ，即00()()f x f x +=；（3）区间连续：若函数()f x 在区间每一点都连续，则称()f x 为该区间上的连续函数，或者说函数()f x 在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数()f x 在右端点连续是指左连续，()f x 在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在0xx =处没有定义；（2）虽在0x x =处有定义，但0lim ()x x f x →不存在；（3）虽在0x x =处有定义，且0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠，则函数()f x 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限0()f x -和右极限0()f x +都存在，那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点．00()()f x f x -+=时称0x 为可去间断点，00()()f x f x -+≠时称0x 为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间[,]a b 上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值． 2．零点定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=． 3．介值定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值()f a A =及()f b B =，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f C ξ=（a b ξ<<）．【典型例题】【例1-1】求复合函数． 1．设()12xf x x =-，求[()]f f x ． 解：求[()]f f x 就是用()f x 代替x 然后化简，得12[()]122141212xx xx f f x x x x x x -===----⋅-． 2．设2,01()3,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨<≤⎩ ，()xg x e =，求[()]f g x ．解：当01xe ≤≤即0x ≤时，22[()]()x xfg x e e ==， 当12xe <≤即0ln 2x <≤时，[()]3xfg x e =，故2,0[()]3,0ln 2x x e x f g x e x ⎧≤=⎨<≤⎩ ．【例1-2】求函数的定义域． 1．()arcsin(21)ln(1)f x x x =-+-．解：由arcsin(21)x -可得1211x -≤-≤，即01x ≤≤；由arcsin(21)x -可得arcsin(21)0x -≥，即0211x ≤-≤，112x ≤≤；由l n (1)x -可得10x->，即1x <，故原函数的定义域为三部分的交集，即1[,1)2． 2．21()arccos(2)2x f x x x x -=+---． 解：由1x -可得10x -≥，即1x ≥；由220x x --≠即(1)(2)0x x +-≠可得1x ≠-且2x ≠；由arccos(2)x -可得121x -≤-≤，13x ≤≤，故原函数的定义域为三部分的交集，即为[1,2)(2,3]．【例1-3】判断函数的奇偶性． 1．设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性． （1）()()()()f x f x g x g x +-++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x +-与()()g x g x +-均为偶函数，故其和亦为偶函数． （2）()()()()f x f x g x g x --++-解：由奇偶性的判定可知，()()f x f x --为奇函数，()()g x g x +-为偶函数，故其和为非奇非偶函数． 2．判定函数2()ln(1)f x x x =++的奇偶性．解：因2()ln(()1)f x x x -=-+-+2ln(1)x x =-++21ln 1x x=++2ln(1)()x x f x =-++=-，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．22212lim()n nn n n→∞+++．解：当n →∞时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：222221(1)121212lim()lim lim 2n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+++++++===． 2．222111lim()12n n n n n→∞++++++． 解：因22222111121nn n n n n n nn <+++<+++++，并且2l i m1n nn n→∞=+，2lim 11n nn →∞=+，故原极限值为1．（夹逼准则）3．222lim(1)nn n n→∞++．解：22(22)222222222222lim(1)lim(1)lim(1)n n n n n n n n n n n n e n n n n+⋅+→∞→∞→∞++++=+=+=．4．23lim()21nn n n →∞-+．解：21424212344lim()lim(1)lim(1)212121n nn n n n n n n e n n n +-⋅--+→∞→∞→∞---=+=+=+++． 【例1-5】计算下列极限． 1．sin limx xx→∞．解：当x →∞时，1x为无穷小，sin x 虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得sin lim0x xx→∞=．说明：本极限与01lim sin x x x →意义是一样的．2．21lim 1n x x x x nx →+++--．解：2211111lim lim 11n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-++-=--2121lim[1(1)(1)(1)]n n x x x x x x x --→=+++++++++++(1)1232n n n +=++++=． 说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：2111(1)lim lim(12)12n n x x x x x n n n x nx x -→→+++-+=+++=-．3．0sin(1)lim 3x x e x→-．解：因当0x →时，sin(1)~1xx ee --，1~x e x -，故 00sin(1)11limlim 333x x x x e e x x →→--==． 说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：00sin(1)cos(1)1lim lim 333x x x x x e e e x →→--⋅==． 4．sin 0limsin x x x e e x x→--．解：sin sin sin 00(1)lim lim 1sin sin x x x x x x x e e e e x x x x-→→--==--（0x →时，sin ~sin x x e x x --）．5．23lim()2xx x x→∞++． 解：2(2)2222311lim()lim(1)lim(1)222x x x x xx x x x e x x x+⋅+→∞→∞→∞+=+=+=+++． 6．11lim(sincos )x x x x→∞+． 解：111(sin cos 1)11sin cos 11111lim(sin cos )lim[1(sin cos 1)]x x x x x xx x x x x x⋅+-+-→∞→∞+=++-211111sin cos 1sincos 12limlim lim 1lim 111110x x x x x x x x x xx xxe e e e e →∞→∞→∞→∞-+--+++=====．【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0()lim 3x f x x→=，求()f x ． 解：利用前一极限式可令32()22f x x x ax b =+++，再利用后一极限式，得 00()3lim lim()x x f x ba x x→→==+，则 3a =，0b =，故32()223f x x x x =++．【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶． 1．2x 比1cos x -．解：因 22002limlim 211cos 2x x x x x x →→==-，故2x 与1cos x -是同阶无穷小． 2．2x 比11x +-．解：因 220limlim 01112x x x x x x→→==+-，故2x 是比11x +-高阶的无穷小． 3．11x x +--比x ．解：因 0011(11)(11)lim lim (11)x x x x x x x x x x x x →→+--+--++-=++-2lim 1(11)x x x x x →==++-，故11x x +--与x 是等价无穷小． 4．2x 比tan sin x x -．解：因 2220002cos limlim lim 1tan sin sin (1cos )2x x x x x x x x x x x x x →→→===∞--⋅， 故2x 是比tan sin x x -低阶的无穷小． 说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解． 【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1．2,01()1,11,1x x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩在1x =处的连续性． 解：因(1)1f =，11(1)lim ()lim 22x x f f x x ---→→===， 11(1)lim ()lim(1)2x x f f x x +++→→==+=，从而1lim ()2(1)x f x f →=≠，故函数在1x =处不连续．2．1,0()ln(1),0x e x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪+≥⎩ 在0x =处的连续性．解：因(0)0f =，1(0)lim ()lim 0xx x f f x e ---→→===，(0)lim ()lim ln(1)0x x f f x x +++→→==+=，从而0lim ()0(0)x f x f →==，故函数在0x =处连续．【例1-9】当常数a 为何值时，函数2,0()ln(1),0x a x f x x x x-≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 在0x =处连续？解：因(0)f a =-，0(0)lim ()lim(2)x x f f x x a a ---→→==-=-，10000ln(1)1(0)lim ()lim lim ln(1)lim ln(1)1xx x x x x f f x x x xx +++++→→→→+===+=+=，故由连续性可得，(0)(0)(0)f f f -+==，即1a -=，故1a =-．【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型． 1．1()xf x e= ．解：所给函数在0x =处无定义，故0x =是间断点．又1lim x x e +→=+∞，10lim 0xx e -→=，故0x=是()f x 的第二类间断点．2．()sin xf x x= ．解：所给函数在x k π=（0,1,2,k =±±）处无定义，故0x =、x k π=（1,2,k=±±）是间断点．又0lim1sin x xx→=，故0x =是第一类间断点，且是可去间断点；lim sin x k xxπ→=∞，故x k π=是第二类间断点，且是无穷间断点．3．111()1xxe f x e -=+ ．解：所给函数在0x=处无定义，故0x =是间断点．又111(0)lim 11xx xe f e ++→-==+，111(0)lim 11xx xe f e --→-==-+，故0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．4．1arctan ,0()0,0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ． 解：该题是分段函数的连续性问题，因0x ≠时1arctanx 是初等函数，故1arctan x在0x ≠时是连续的，所以该题主要考虑分界点0x =处的连续性．由1(0)lim arctan 2x f x π++→==，01(0)lim arctan 2x f x π--→==-，可知0x =是()f x 的第一类间断点且是跳跃间断点．【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．证：函数32()41f x x x =-+在闭区间[0,1]上连续，又(0)10f =>，(1)20f =-<，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即32410ξξ-+= （01ξ<<），该等式说明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根是ξ．【例1-12】证明方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根．证：由题意，函数()21x f x x =⋅-在区间[0,1]上连续，又(0)10f =-<，(1)10f =>，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即210ξξ⋅-= （01ξ<<），该等式说明方程21x x ⋅=在区间(0,1)内至少有一个小于1的正根ξ．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）函数211arccos 2x y x +=--的定义域是（ ）（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]-解：因 2101112x x ⎧-≥⎪⎨+-≤≤⎪⎩，故 11212x x -≤≤⎧⎨-≤+≤⎩ ， 1131x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ，所以 11x -≤≤，故选（D ）． 2．（2010年，1分）极限0sin3lim x xx→等于（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）13（D ）3 解：00sin33limlim 3x x x xx x→→==，故选（D ）． 3．（2009年，1分）极限(1)limnn n n→∞+-=（ ） （A ）1 （B ）0 （C ）∞ （D ）不存在解：(1)(1)(1)lim lim[1]1lim 101n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+---=+=+=+=，故选（A ）．4．（2009年，1分）若1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则0lim ()x f x →=（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）不存在解：因00lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=-，0lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=，lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，故0lim ()x f x →不存在，选（D ）． 5．（2009年，1分）2x π=是函数tan xy x=的（ ） （A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点解：因 2lim 0tan x x x π→=，故2x π=是函数tan xy x =的可去间断点，选（B ）． 6．（2008年，3分）设1()sinf x x x= ，则lim ()x f x →∞等于（ ）（A ）0 （B ）不存在 （C ）∞ （D ）1解：1sin1lim ()lim sin lim11x x x x f x x x x→∞→∞→∞===，故选（D ）．7．（2008年，3分）当0x →时，23x 是2sinx 的（ ）（A ）高阶无穷小 （B ）同阶无穷小，但不等价 （C ）低阶无穷小 （D ）等价无穷小解：因 22220033lim lim 3sin x x x x x x→→==，故选（B ）．8．（2007年，3分）当0x →时，tan 2x 是（ ）（A ）比sin3x 高阶的无穷小 （B ）比sin3x 低阶的无穷小 （C ）与sin3x 同阶的无穷小 （D ）与sin3x 等价的无穷小解：因0tan 222limlim sin333x x x x x x →→==，故选（C ）． 9．（2006年，2分）设()sin f x x = ，,0(),0x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩ ，则[()]f g x =（ ）（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x - 解：当0x ≤时，[()]()sin()sin()sin f g x f x x x x πππ=-=-=--=-；当0x>时，[()]()sin()sin f g x f x x x ππ=+=+=-，故选（C ）． 10．（2005年，3分）设120lim(1)xx mx e →-=，则m =（ ）（A ）12- （B ）2 （C ）2- （D ）12解：由11()20lim(1)lim[1()]m m xmxx x mx mx e e ⋅---→→-=+-==，得2m =-，选（C ）．11．（2005年，3分）设1xy e-=是无穷大，则x 的变化过程是（ ）（A ）0x+→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞解：0x +→时，1x →+∞，1x-→-∞，10x e -→；0x -→时，1x →-∞，1x-→+∞，1x e -→+∞；故选（B ）． 二、填空题1．（2010年，2分）若函数21,1(),1x x f x x a x -+≤⎧=⎨->⎩ 在1x =处连续，则a = ．解：11lim()lim(21)1x x f x x --→→=-+=-，11lim ()lim()1x x f x x a a ++→→=-=-，因()f x 在点1x =处连续，故11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即11a -=-，2a =． 2．（2010年，2分）0x =是函数1()cos f x x x=的第 类间断点．解：因1lim ()lim cos0x x f x x x→→==，故0x =是函数()f x 的第一类间断点．3．（2009年，2分）设1,1()0,11,1x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()x g x e =，则[(l n 2)]g f = ．解：因0ln 21<<，故 (ln 2)1f =，所以 1[(ln 2)](1)g f g e e ===．4．（2009年，2分）1sin y x=在0x =处是第 类间断点．解：因0x →时，1x→∞，1sin x 没有极限，故 0x = 是第二类间断点．5．（2008年，4分）函数ln arcsin yx x =+的定义域为 ．解：由题意，011x x >⎧⎨-≤≤⎩ ，故原函数的定义域为 (0,1]．6．（2008年，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞=，则lim n n n x y →∞= ．解：数列可看作特殊的函数，因数列n x 有界，数列n y 为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，lim 0n nn x y →∞=．7．（2008年，4分）函数31y x =+的反函数为 ．解：由31yx =+可得，31y x =+，31x y =-，故反函数为 31y x =-．8．（2007年，4分）函数21arcsin 3x y -=的定义域为 ．解：由21113x --≤≤得，3213x -≤-≤，即12x -≤≤，所以定义域为[1,2]-． 9．（2007年，4分）21lim()xx x x→∞-= ．解：22(2)2111lim()lim(1)lim(1)x x x x x x x e x x x-⋅--→∞→∞→∞---=+=+=．10．（2006年，2分）若函数2121212(),0()12,0x x x f x xx a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩在0x =处连续，则a = ．解：0lim()lim(2)x x f x x a a --→→=-=-，22211221(3)3322000123lim ()lim()lim(1)11x x x x x x xx f x e xx+++++⋅---→→→--==+=++， 因()f x 在0x =处连续，故0lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即3a e --=，故3a e -=-． 三、计算题1．（2010年，5分）求极限lim xx x c x c →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭，其中c 为常数．解：22222lim lim 1lim 1x c cxxxc x cc x x x x c c c e x c x c x c -⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2．（2010年，5分）求极限3tan limx x xx→-． 解：22322000tan sec 1tan 1lim lim lim 333x x x x x x x x x x →→→--===． 说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：232000tan sec 12sec sec tan 1lim lim lim 363x x x x x x x x x x x x →→→--⋅===． 3．（2009年，5分）求极限 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ ． 解：此题为“∞-∞”型的极限，解法如下：23321111313(1)(2)lim lim lim 1111(1)(1)x x x x x x x x x x x x x →→→++--+⎛⎫-===- ⎪----++⎝⎭． 4．（2009年，5分）求极限 0limsin x x x e e x-→- ．解：002limlim 2sin cos 1x x x x x x e e e e x x --→→-+===．5．（2008年，5分）求极限 2sin 2lim cos()x xx ππ→- ．解：22sin 22cos2limlim 2cos()sin()(1)x x x x x x ππππ→→==----⋅-．6．（2007年，5分）求极限011lim()1x x x e →-- ． 解：20000111111lim()lim lim lim 1(1)22x x x x x x x x x e x e x e x e x e x x →→→→------====--． 说明：0x →时，1~xex -．7．（2006年，4分）求极限 011limcot ()sin x x x x→- ．解：2300011cos (sin )sin limcot ()lim lim sin sin x x x x x x x xx x x x x x→→→---== 2220011cos 12lim lim 336x x xx x x →→-===．8．（2006年，4分）设1cos 20()sin xf x t dt -=⎰，56()56x xg x =+，求0()lim()x f x g x →． 解：因0x →时，1cos 20()sin 0xf x t dt -=→⎰，56()056x xg x =+→，且1cos 220()(sin )sin sin(1cos )xf x t dt x x -''==-⎰，45()g x x x '=+，故 2245450000()()sin sin(1cos )(1cos )lim lim lim lim ()()x x x x f x f x x x x x g x g x x x x x →→→→'--==='++224454500011()124lim lim lim 041x x x x x x x x x x x x x→→→⋅====+++．9．（2005年，5分）求极限111lim()1ln x x x→-- ．解： 1111111ln 1lim()lim lim 11ln (1)ln ln x x x x x xx x x x x x x→→→--+-==---+11111limlim ln 1ln 112x x x x x x x →→--===-+-++．。
