数列求和7种方法方法全_例子多

1 / 9 数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）

一、总论:数列求和7种方法：

利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和

反序相加法求和

分组相加法求和

裂项消去法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11

2、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn

3、 )1(211nnkSnkn ４、)12)(1(6112nnnkSnkn

5、 213)]1(21[nnkSnkn

[例1］ 已知21x,求nxxxx32的前ｎ项和.

解:由等比数列求和公式得 nnxxxxS32 （利用常用公式)

=xxxn1)1(＝211)211(21n＝１－n21

［例2］ 设Sn=1+2＋3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值. 2 / 9 解:由等差数列求和公式得 )1(21nnSn, )2)(1(21nnSn （利用常用公式)

∴

1)32()(nnSnSnf=64342nnn

=nn64341＝50)8(12nn501

∴ 当 nn8,即n＝8时，501)(maxnf

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{aｎ· bn}的前n项和,其中｛ an ｝、｛ bn }分别是等差数列和等比数列．

［例3］ 求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①

解：由题可知，｛1)12(nxn｝的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列｛1nx}的通项之积

设nnxnxxxxxS)12(7531432………………………。 ② （设制错位)

①－②得 nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432 (错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1

∴ 21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn

[例4] 求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.

解：由题可知，｛nn22｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛n21}的通项之积

设nnnS2226242232…………………………………①

14322226242221nnnS………………………………② (设制错位）

①—②得1432222222222222)211(nnnnS （错位相减）

1122212nnn

∴ 1224nnnS 3 / 9 练习题１ 已知 ，求数列{an}的前n项和Sｎ。

答案：

练习题 的前ｎ项和为＿_＿_

答案：

三、逆序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序）,再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa。

［例5］ 求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210

证明: 设nnnnnnCnCCCS)12(53210…………………………。. ①

把①式右边倒转过来得

0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS （反序)

又由mnnmnCC可得

nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(…………．。……．． ②

①+②得 nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2))(22(2110 （反序相加）

∴ nnnS2)1(

题1 已知函数

（１)证明:；

（2）求的值.

解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边

(２)利用第(1）小题已经证明的结论可知，

4 / 9

两式相加得：

所以。

四、分组法求和

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列，若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

［例7] 求数列的前ｎ项和：231,,71,41,1112naaan,…

解：设)231()71()41()11(12naaaSnn

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1111(12naaaSnn

（分组)

当a＝1时,2)13(nnnSn=2)13(nn （分组求和）

当1a时，2)13(1111nnaaSnn=2)13(11nnaaan

[例8] 求数列｛n（n＋１）(2n+1）｝的前n项和.

解：设kkkkkkak2332)12)(1(

∴ nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝kkknknknk1213132

（分组）

＝)21()21(3)21(2222333nnn

＝2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn （分组求和） 5 / 9 =2)2()1(2nnn

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(nfnfan （2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin

（3）111)1(1nnnnan (4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan

（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan

(6) nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则

（７))11(1))((1CAnBAnBCCAnBAnan

(8）111nannnn

[例9] 求数列,11,,321,211nn的前ｎ项和.

解:设nnnnan111 （裂项)

则 11321211nnSn (裂项求和)

=)1()23()12(nn

＝11n

[例10] 在数列｛an｝中,11211nnnnan，又12nnnaab，求数列｛bｎ}的前n项的和．

解： ∵ 211211nnnnnan 6 / 9 ∴ )111(82122nnnnbn

（裂项)

∴ 数列{bn}的前n项和

)]111()4131()3121()211[(8nnSn (裂项求和）

＝)111(8n = 18nn

(２０09年广东文）2０。(本小题满分１4分)

已知点(1,31)是函数,0()(aaxfx且1a）的图象上一点,等比数列}{na的前ｎ项和为cnf)(，数列}{nb)0(nb的首项为c，且前n项和nS满足nS-1nS=nS＋1nS(ｎ２)．

（1)求数列}{na和}{nb的通项公式;

(２)若数列｛}11nnbb前n项和为nT,问nT>20091000的最小正整数n是多少？

0。【解析】（1）113fa，13xfx

1113afcc ，221afcfc29,

323227afcfc .

又数列na成等比数列，22134218123327aaca ，所以 1c；

又公比2113aqa，所以12112333nnna *nN ;

1111nnnnnnnnSSSSSSSS 2n

又0nb，0nS， 11nnSS；

数列nS构成一个首相为1公差为1的等差数列,111nSnn ， 2nSn

当2n， 221121nnnbSSnnn ；

21nbn（*nN）; 7 / 9 (2）12233411111nnnTbbbbbbbb1111133557(21)21nn

1111111111112323525722121nn 11122121nnn;

由1000212009nnTn得10009n，满足10002009nT的最小正整数为112．

练习题１.

.

练习题2。 ＝

答案:

求数列通项公式的常用方法

（１)求差（商)法

［练习］数列na满足111543nnnSSaa，，求na

注意到11nnnaSS,代入得14nnSS；又14S,∴nS是等比数列，4nnS

2n时，1134nnnnaSS……·

(２)叠乘法

如：数列na中，1131nnanaan，,求na