人教版八年级上册数学期中考试试题一、单选题1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．五边形的外角和等于（）A．180° B．360° C．540° D．720°3．下面各组线段中，能组成三角形的是（）A．6，9，14 B．8，8，16 C．10，5，4 D．5，11，64．已知△ABC△△DEF，且AB=4，BC=5，AC=6，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．不能确定5．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC 分别以M、N为圆心，大于12于点D．则下列说法正确的是（）A．AD+BD<AB B．AD一定经过△ABC的重心C．△BAD=△CAD D．AD是三角形的高6．如图，将一等边三角形剪去一个角后，△1+△2=（）A．120° B．240° C．300° D．不确定7．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB等于（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm8．如图，△ABC的面积为10cm²，AP垂直△B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．4cm² B．5cm² C．6cm² D．7cm²9．在Rt△ABC中，△C=90°，△A=30°，点P是边AC上一定点，此时分别在边AB，BC上存在点M，N使得△PMN周长最小且为等腰三角形，则此时APPC的值为（）A．12B．1 C．32D．210．如图所示，点D在△ABC外部，点E在BC边上，DE交AC于F，若△1＝△2，△D＝△C，AE＝AB，则（）A．△ABC△△AFE B．△AFE△△ADCC．△AFE△△DFC D．△ABC△△AED二、填空题11．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，4）关于x轴的对称点B的坐标为________．12．如图所示，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带_________________．13．将一副三角板按如图所示的方式放置，则△1的大小为_________．14．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差= _____．15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45︒，则其顶角为________．16．如图，Rt△ACB中，△ACB-90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF△AD 交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：△△APB=135°；△AD=PF+PH；△DH平分△CDE；△74ABPABDES S=△四边形；△APH ADES S∆∆=，其中确的结论是______．三、解答题17．如图，E是BC的中点，△1＝△2，AE＝DE．求证：△ABE△△DCE.18．（1）正六边形的每个内角都等于_______度；（2）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．19．如图1,已知ABC的三个顶点均在单位,长度为1的正方形网格中的格点上,请你按照要求完成以下问题:（1）请直接写出图中ABC的面积为______;（2）动手操作与画图:请你根据所学全等与轴对称知识,在图2,图3,图4,图5的网格内完成以下设计轴对称图形的任务,要求如下:画出的三角形要与ABC全等,且它们的顶点都在格点上;画出的三角形与ABC关于某条直线成轴对称图形．20．如图，是A、B、C三个村庄的平面图，已知B村在A村的南偏西65°15′方向，C村在A村的南偏东15°方向，C村在B村的北偏东85°方向，求从C村观测A、B两村的视角△ACB 的度数．21．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD，交BE于点F．求证：BE垂直平分CD．22．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．△在射线BM上作一点C，使AC=AB；△作△ABM的角平分线交AC于D点；△在射线CM上作一点E，使CE=CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，求证：BD=DE．23．已知A（-10，0），以0A为边在第二象限作等边△AOB（1）求点B的横坐标：（2）如下图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当△EMO=45°时，求△MEO的度数．24．如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若△A＝60°，△CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分△BCD；（2）如图2，△A与△D互补，△DEA＝2△CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD2 3AB＝4．求点E到BC的距离．25．如图，四边形MNPO中，MP与NQ交于点0，△QMP=18°，△MNQ=42°，△MON=114°，△MPN=78°．（1）求证：MQ=NQ；（2）求△MPQ的度数；（3）若PQ=10，V是线段MP上的一动点，求QV的最小值．参考答案1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A．不是轴对称图形，故A不符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．B【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答．【详解】解：五边形的外角和是360°．故选B．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是360°．3．A【解析】【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【详解】解：由6，9，14可得，6＋9＞14，故能组成三角形；由8，8，16可得，8＋8＝16，故不能组成三角形；由10，5，4可得，4＋5＜10，故不能组成三角形；由5，11，6可得，5＋6＝11，故不能组成三角形；故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．4．A【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可.【详解】解：△△ABC△△DEF，△DE=AB=4.故选A.【点睛】本题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等5．C【解析】【分析】根据题意判断AD是△BAC的角平分线，可知C正确，根据重心和高定义可知B、D选项错误，根据三角形任意两边之和大于第三边可知A错误．【详解】解：由题可知AD是△BAC的角平分线，A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；C、△AD是△BAC的角平分线，△△BAD=△CAD，故选项C正确，符合题意；D、由题中已知条件不能得出AD△BC，即AD不一定是三角形的高，故选项D错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查尺规作图、重心的定义和三角形三边的关系，熟练掌握这些定义是解题的关键．6．B【解析】【分析】利用三角形的内角和是180度，和外角的性质即可求得．【详解】解：等边三角形的各个内角都是60°，根据三角形的外角的性质得△1＝60°＋180°−△2，则△1＋△2＝240°．故选：B．【点睛】此题考查了等边三角形的性质和三角形的外角的性质．比较简单，要求学生应熟练掌握．7．C【解析】【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE＝BE；然后根据△ABC的周长＝AB＋AC＋BC，△EBC的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC，可得△ABC的周长−△EBC的周长＝AB，据此求出AB的长度是多少即可．【详解】解：△DE是AB的垂直平分线，△AE＝BE；△△ABC的周长＝AB＋AC＋BC，△EBC的周长＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC，△△ABC的周长−△EBC的周长＝AB，△AB＝40−24＝16（cm）．故选C．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．8．B【解析】【分析】延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直△B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP△△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明△PBC 的面积．【详解】解：延长AP 交BC 于E ，△AP 垂直△B 的平分线BP 于P ，△△ABP=△EBP ，△APB=△BPE=90°又△BP=BP ，△△ABP△△BEP ，△S △ABP=S △BEP ，AP=PE ，△△APC 和△CPE 等底同高，△S △APC=S △PCE ， △2152PBC PBE PCE ABC S S S S cm ∆∆∆∆=+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC 的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．9．D【解析】【分析】作P 点关于AB 的对称点E ，关于BC 的对称点F ，连接EF ，交AB 于M ，交BC 于N ，此时△PMN 周长最小，最小值为EF ，分三种情况通过证明△PEN△△PFM ，得出PE=PF ，即可得到PH=PC ，根据30°角的直角三角形的性质即可证得2=AP PC．【详解】解：作P 点关于AB 的对称点E ，关于BC 的对称点F ，连接EF ，交AB 于M ，交BC 于N ，此时△PMN 周长最小，最小值为EF ，当PM=PN 时，△△PMN=△PNM ，△PM=EM ，PN=FN ，△EN=FM ，在△PEN 与△PFM 中，PN PMPNE PMF EN FM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△PEN△△PFM （SAS ），△PE=PF ，△PH=PC ，△△A=30°， △PH=12AP ， △PC=12AP ，2APPC ∴=，当PM=MN 时，则△MPN=△MNP ，△PM=ME ，△△MPE=△E ，△△EPN=90°，△PNM=2△E ，△△PNM=60°，△△PMN 是等边三角形，△PE=PF ，△PH=PC ， △PH=12AP ， △PC=12AP ，2AP PC∴=， 当PN=MN 时， 同理，2=AP PC， 故选择：D【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证得PE=PF 是解题的关键．10．D【解析】【分析】根据AAS 即可判定△ABC△△ADE.【详解】△△1＝△2，△△1+△DAC ＝△2+△DAC ，即△BAC ＝△DAE ，在△ABC 和△ADE 中，BAC DAE C EAB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABC△△ADE ，故选D ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理.11．（﹣4，﹣4）【分析】根据关于x 轴的对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数进行填空即可．【详解】△点A （-4，4）关于x 轴的对称点是B ，△B 的坐标为（-4，-4），故答案为（-4，-4）．【点睛】本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，掌握关于那个轴的对称时，那个坐标不变，另一个坐标互为相反数是解题的关键．12．△【解析】【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【详解】解：第△块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的；第△、△只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第△块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃．最省事的方法是应带△去，故答案为：△．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．13．105°【解析】【分析】先根据三角板的特征得出2903060∠=︒-︒=︒，再根据三角形外角的性质得到132∠=∠+∠，计算即可求解．【详解】由三角板的特征得出2903060∠=︒-︒=︒，3=45∠︒，△132∠=∠+∠，△14560105∠=︒+︒=︒．故答案为：105°．【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．14．2【解析】【详解】解：已知D 是BC 边上的中线，可得BD=CD ，所以△ABD 的周长-△ADC 的周长=AB AD BD AC AD CD ++-++（）（） 862AB AC =-=-=．故答案为：215．135°或45°【解析】【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可．【详解】解：△如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，△ABM=45°，又△BM 是AC 边上的高，△△AMB=90°，△△A=90°-45°=45°，△如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，△DEN=45°，△EN 是DF 边上的高△△EDN=90°-45°=45°，△△EDF=180°-45°=135°故顶角为：135°或45°．【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．16．△△△【解析】【分析】△正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．△正确．证明△ABP△△FBP，推出PA=PF，再证明△APH△△FPD，推出PH=PD即可解决问题．△错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．△错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．△正确．由DH△PE，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分△BAC、△ABC，△△ACB=90°，△△A+△B=90°，又△AD、BE分别平分△BAC、△ABC，△△BAD+△ABE=1（△A+△B）=45°，2△△APB=135°，故△正确．又△PF△AD，△△FPB=90°+45°=135°，△△APB=△FPB，又△△ABP=△FBP，BP=BP，△△ABP△△FBP（ASA），△△BAP=△BFP，AB=FB，PA=PF，在△APH和△FPD中，90 APH FPDPA PFPAH PFD ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△APH△△FPD（ASA），△PH=PD，△AD=AP+PD=PF+PH．故△正确．△△ABP△△FBP，△APH△△FPD，△S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，△△HPD=90°，△△HDP=△DHP=45°=△BPD，△HD△EP，△S△EPH=S△EPD，△S△APH=S△AED，故△正确，△S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD =S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故△不正确．若DH平分△CDE，则△CDH=△EDH，△DH△BE，△△CDH=△CBE=△ABE，△△CDE=△ABC，△DE△AB，这个显然与条件矛盾，故△错误，故答案为△△△．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17．证明见解析【解析】【分析】本题可先根据E是中点，得到BE=CE,然后再结合已知条件用边角边定理即可证明两个三角形全等．【详解】证明：△E是BC的中点，△BE＝EC，在△ABE和△DCE中，,12,, AE DE BE EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE△△DCE(SAS)【点睛】全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．18．（1）120；（2）多边形的边数为7【解析】【分析】（1）先求出正六边形的内角和，然后用内角和除以边数即可得出答案；（2）根据多边形外角和为360︒，多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，列出方程即可得出答案．【详解】解：（1）正六边形的内角和＝62180720()-⨯︒=︒，每个内角＝7206120︒÷=︒，故答案为：120；（2）设多边形的边数为n ，根据题意得：3603180(2)180n ︒⨯-︒=-⨯︒，解得：7n =，△这个多边形的边数为7．【点睛】本题考查了多边形内角和以及外角和，熟知多边形内角和公式以及外角和等于360︒是解本题的关键．19．（1）1;（2）见解析【解析】【分析】（1）要求ABC 的面积等于它所在的正方形减去周围直角三角形的面积,即可得出答案. （2）根据轴对称图形的特点,对称点到对称轴的距离相等,对称点的连线垂直于对称轴,分别画出这两个图形关于这条直线的几个关键的对称点,然后连接即可画出它们的对称图形.【详解】解:（1）1（2）如图所示:【点睛】本题是考查作一个简单图形的轴对称图形,根据轴对称图形的特点画图,求一般三角形的面积,解题的关键是理解并掌握轴对称图形的特点,会用切割法求一般三角形的面积.20．80°【解析】【分析】根据平行线性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：由题意得△BAE=65°15′，△CAE=15°，△DBC=85°，AE△BD△△BAC＝△BAE+△CAE=65°15′+15°＝80°15′，△ABD=△BAE=65°15′△△ABC＝△DBC-△ABD=85°﹣65°15′＝19°45′．在△ABC中，△ACB＝180°﹣△BAC﹣△ABC＝180°﹣80°15′﹣19°45′＝80°．【点睛】本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和是解答此题的关键．21．证明见解析．【解析】【分析】首先根据互余的等量代换，得出△EBC=△EBD，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明．【详解】解：△BD=BC，△△BCD=△BDC．△ED△AB，△△EDB=90°，△△EDB-△BDC=△ACB-△BCD，即△ECD=△EDC，△DE=CE，△点E在CD的垂直平分线上．又△BD=BC，△点B在CD的垂直平分线上，△BE垂直平分CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，得出△EBC=△EBD，是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）△以A为圆心，AB长为半径画弧交BM于C；△根据角平分线的作法作△ABM的角平分线；△以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；△ABC，根据等边对等角可得△ABC＝△4，△2＝△3，（2）根据角平分线的性质可得△1＝12然后再证明△1＝△3，根据等角对等边可得BD＝DE．【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：△BD平分△ABC，△△1＝1△ABC．2△AB＝AC，△△ABC＝△4．△4．△△1＝12△CE＝CD，△△2＝△3．△△4＝△2＋△3，△△3＝1△4．2△△1＝△3．△BD＝DE．【点睛】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．23．（1）点B的横坐标为-5，（2）△MEO=75°．【解析】【分析】（1）过B作BD△OA与D，由△AOB为等边三角形，点A（-10,0），可得OA=OB=AB=10，△BAO=△ABO=△BOA=60°，由BD△OA，根据等边三角形三线合一性质可得AD=OD=1110522OA=⨯=即可；（2）过M作MF△AB，可证△OMF为等边三角形，△FMO=60°，MF=MO，由△MNE是等边三角形，可得△NME=△MFO=60°，MN=ME，可证△FMN=△OME，再证△MFN△△OME （SAS），△MFN=△MOE=60°即可．【详解】解：（1）过B作BD△OA与D，△△AOB为等边三角形，点A（-10,0），△OA=OB=AB=10，△BAO=△ABO=△BOA=60°，△BD△OA，△AD=OD=11105 22OA=⨯=，△点B的横坐标为-5，（2）过M作MF△AB，△△MFO=△BAO=△BOA=60°，△△OMF为等边三角形，△△FMO=60°，MF=MO，△△MNE是等边三角形，△△NME=△FMO=60°，MN=ME，△△FMN+△NMO=△NMO+△OME=60°，△△FMN=△OME，在△MFN和△OME中，MF MO FMN OME MN ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△MFN△△OME （SAS ），△△MFN=△MOE=60°，△△EMO=45°，△△MEO=180°-△OME -△MOE=180°-45°-60°=75°．【点睛】本题考查图形与坐标，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握图形与坐标，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．24．（1）见解析；（2）点E 到BC 的距离为3．【解析】【分析】（1）延长CD 到T ，使得DT=BA ，连接ET ．证明△EAB△△EDT （SAS ），△ECB△△ECT （SSS ），可得结论．（2）延长CD 到Q ，使得△QED=△AEB ，过点E 作EH△BC 于H ．证明△AEB△△DEQ （ASA ），△EC△△ECQ （SAS ），由题意S 五边形ABCDE=S 四边形EBCQ=2S △EBC=30，推出S △EBC=15，再利用三角形面积公式求出EH 即可．【详解】（1）证明：延长CD 到T ，使得DT=BA ，连接ET ．△△CDE=120°，△△EDT=180°-120°=60°，△△A=60°，△△A=△EDT ，在△EAB 和△EDT 中，AE DEA EDT AB DT=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EAB△△EDT （SAS ），△EB=ET ，△CB=CD+BA=CD+DT=CT ，在△ECB 和△ECT 中，EC ECEB ET CB CT=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△ECB△△ECT （SSS ），△△ECB=△ECD ．即EC 平分△BCD ；（2）解：延长CD 到Q ，使得△QED=△AEB ，过点E 作EH△BC 于H ．△△A+△CDE=180°，△CDE+△EDQ=180°，△△A=△EDQ ，在△AEB 和△DEQ 中，AEB DEQEA ED A EDQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△AEB△△DEQ （ASA ），△EB=EQ ，△AEB=△DEQ ，△△AED=2△BEC ，△△AEB+△CED=△BEC ，△△CED+△DEQ=△BEC ，△△CEB=△CEQ ，在△CEB 和△CEQ 中，EB EQCEB CEQ EC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ECB△△ECQ （SAS ），△BC=CQ ，△S 五边形ABCDE=S 四边形EBCQ=2S △EBC=30，△S △EBC=15， △CD=23AB=4，△AB=6，CD=4，△BC=CQ=CD+QD=CD+AB=10，△12×10×EH=15， △EH=3，△点E 到BC 的距离为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）30；（3）5【解析】【分析】（1）通过角度的计算可得QMN QNM ∠=，进而根据等角对等边即可证明QM QN =； （2）计算96MQN ∠=︒，将QP 绕点Q 旋转96︒，得到QS ，连接SN ,SM ，证明QMP QNS △≌△，可得QPM QSN ∠=∠，计算证明MNP MPN ∠=∠，可得MP MN =，60MNS QNM QNS ∠=∠+∠=︒，进而可得MSN 是等边三角形，证明SQM △≌SQN △，进而可得MPQ NSQ ∠=∠30=︒（3）过点Q 作QV MP ⊥，当QV MP ⊥时，QV 最小，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得答案．【详解】（1）△MON=114°,△MNQ=42°，24OMN ∴∠=︒△QMP=18°，42QMN QMP PMN ∴∠=∠+∠=︒，QMN QNM ∴∠=∠，QM QN ∴=，（2）QMN QNM ∠=∠42=︒，180424296MQN ∴∠=︒-︒-︒=︒，如图，将QP 绕点Q 旋转96︒，得到QS ，连接SN ,SM ，SQ PQ ∴=96MQP MQN NQP NQP ∠=∠+∠=︒+∠，96NQS NQP PQS NQP ∠=∠+∠=︒+∠，MQP NQS ∴∠=∠，又QM QN =，∴QMP QNS △≌△，QMP QNS ∴∠=∠18=︒，MP NS =，QPM QSN ∠=∠，42QNM ∠=︒，60MNS QNM QNS ∴∠=∠+∠=︒，24,78OMN MPN ∠=︒∠=︒，18078MNP OMN MPN ∴∠=︒-∠-∠=︒，MNP MPN ∴∠=∠，MP MN ∴=，MP NS =，NS MN ∴=，MSN ∴△是等边三角形，SM SN ∴=，MSN ∠60=︒，在SQM △和SQN △中SQ SQSM SNQM QN=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴SQM △≌SQN △，1302QSN QSM MSN ∴∠=∠=∠=︒， ∴MPQ NSQ ∠=∠30=︒，（3）如图，过点Q 作QV MP ⊥，当QV MP ⊥时，QV 最小，PQV ∴△是直角三角形，30MPQ ∠=︒，1110522QV PQ ∴==⨯=， ∴QV 的最小值为5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．。
