一次函数与几何图形综合题及答案.docx

专题训练：一次函数与几何图形综合1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB(1) 求AC(2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。

(3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。

(1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；xyxy第2题图①(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。

问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+，（1）求直线2l 的解析式；（3分）第2题图②第2题图③（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝（3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。

专题4.6 一次函数与几何知识的综合三大题型【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对一次函数与几何知识的综合三大题型的理解！【题型1周长问题】1．（2023·安徽·八年级专题练习）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（）A．y=−x+4B．y=x+4C．y=x+8D．y=−x+8【答案】A【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为8，可得到x、y之间的关系式．【详解】如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，设P点坐标为(x,y)，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为8，∴2(x+y)=8，∴x+y=4，即该直线的函数表达式是y=−x+4，故选A．【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．2．（2023·安徽·八年级专题练习）若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系的图像是()A．B．C．D．【答案】D【详解】根据题意，x+2y=80，所以,y=−12x+40，根据三角形的三边关系，x>y−y=0，x<y+y=2y，所以，x+x<80，解得x<40，所以,y与x的函数关系式为y=−12x+40(0<x<40)，只有D选项符合．故选D.【点睛】根据三角形的周长列式并整理得到y与x的函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列式求出x的取值范围，即可得解．3．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图①，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M 方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x,ΔMNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法错误的是（）A．MN=5B．长方形MNPQ的周长是18C．当x=6时，y=10D．当y=8时，x=10【答案】D【分析】本题通过右侧的图象可以判断出长方形的边长，然后选项计算，选项A、B、C都可证正确，选项D，面积为8时，对应x值不为10，所以错误．【详解】解：由图2可知，长方形MNPQ的边长，MN=9-4=5，NP=4，故选项A正确；选项B，长方形周长为2×（4+5）=18，正确；×5×4=10，正确；选项C，x=6时，点R在QP上，△MNR的面积y=12×5x，解得x=3.2，选项D，y=8时，即8=12×5(13−x)，解得x=9.8，或8=12所以，当y=8时，x=3.2或9.8，故选项D错误；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题分类讨论，对运动中的点R的三种位置都设置了问题，是一道很好的动点问题，读懂函数图象是解题关键．4．（2023春·江西南昌·八年级校联考期末）如图，一次函数y=−x+4的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点（不与点A、B重合），过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C 从点A出发向点B运动时，矩形CDOE的周长（）A．逐渐变大B．不变C．逐渐变小D．先变小后变大【答案】B【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C的坐标为(m，−m+4)(0<m<4)，根据矩形的周长公式即可得出C矩形CDOE=8，此题得解．【详解】解：设点C的坐标为(m，−m+4)(0<m<4)，则CE=m，CD=−m+4，∴C 矩形CDOE =2(CE +CD )=8．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C 的坐标是解题的关键．5．（2023秋·安徽宿州·八年级安徽省泗县中学校考阶段练习）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为 ．【答案】(3,43)【分析】如图，作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH 与AB 的交点为E ，此时△CDE 的周长最小，先求出直线CH 解析式，再求出直线CH 与AB 的交点即可解决问题．【详解】如图，作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH 与AB 的交点为E ，此时△CDE 的周长最小．在矩形OABC 中，OA=BC ，OC=AB∵B （3，4），∴OA=3，AB=4，∴A （3，0），C （0，4），∵D 为OA 的中点，∴D （32，0），∴H （92，0），设CH 的解析式为y=kx+b ，b =4+b =0 ，解得k =−89b =4，∴直线CH 解析式为y=-89x+4，∴x=3时，y=43，∴点E坐标（3，4），3故答案为（3，4）.3【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称-最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．6．（2023春·山西运城·八年级运城市第二实验中学校考期中）如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C 运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，当线段BP最短时，△BCP的周长为m，△ABP的周长为n，m−n=．【答案】5.4【分析】当线段BP最短时，BP⊥AC，从图2可以看出：AB=2，AP=1，PC=5−1=4，BC=4，根据题意求周长差即可求解．【详解】解：当线段BP最短时，BP⊥AC，从图2可得：AB=2，AP=1，PC=5−1=4，BC=4.4，△BCP的周长：m=BC+PC+BP=4.4+4+BP=8.4+BP△ABP的周长：n=AB+AP+BP=2+1+BP=3+BPm−n=8.4+BP−(3+BP)=5.4故答案为：5.4．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．7．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，图中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．(1)判断点C（−4，4），D（2，8）是否为“和谐点”，并说明理由；(2)若“和谐点”E（3，a）在直线y＝3x+b（b为常数）上，求a，b的值．【答案】(1)点C是“和谐点”，点D不是“和谐点”，理由见解析；(2)a=6，b=－3或a=-6，b=15．【分析】（1）分别求得过点C和点D得到的长方形的周长和面积，然后比较周长和面积判断；（2）先通过点E在直线y=3x+b上得到a与b的关系，然后由“和谐点”列出方程求得a与b的值．【详解】（1）解：（1）点C是“和谐点”，点D不是“和谐点”，理由如下，过点C围成的长方形的周长为：2×（4+4）=16，面积为：4×4=16，∴点C是“和谐点”，过点D围成的长方形的周长为：2×（2+8）=20，面积为：2×8=16≠20，∴点D不是“和谐点”．（2）∵“和谐点”E（3，a）在直线y=3x+b（b为常数）上，∴a=9+b3|a|=2×(3+|a|)，∴|a|=6,解得：a=±6,所以a=6b=−3或a=−6b=−15．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是会用含有未知数的式子表示围成的矩形的面积和周长．8．（2023春·甘肃白银·八年级校考期中）将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为3cm．纸条的总长度y（cm）与白纸的张数x（张）的关系可以用下表表示：白纸张数x（张）12345…纸条长度y（cm）20a5471b…（1）表格中：a＝ ，b＝ （2）直接写出y与x的关系式；（3）要使粘合后的长方形周长为2028cm，则需要用多少张这样的白纸？【答案】（1）37；88；（2）y=17x+3；（3）需要用59张这样的白纸．【分析】（1）根据图形可知每增加一张白纸，总长度实际增加17cm可求a、b的值；（2）x张白纸粘合起来时，纸条长度y（cm）在20cm的基础上增加了（x-1）个17cm的长度，依此可得y 与x的关系式；（3）先根据长方形的周长算出长方形的长，代入（2）中所求的关系式，列方程求得x的值即可．【详解】解：（1）（1）白纸张数为2时，纸条长度a=20+17=37；白纸张数为5时，纸条长度b=20+4×17=88；故答案为：37；88；（2）由题意知y与x的关系式为：y=20+17（x-1），化简，得y=17x+3；=1006，（3）粘合后的长方形周长为2028cm时，长y=2028−162代入y=17x+3得1006=17x+3解得：x=59，所以，需要用59张这样的白纸．【点睛】本题考查了一次函数的应用，规律型：图形的变化类．能正确利用纸条的变化得出规律：纸条每增加1张，纸条的长度增加17cm 是解题的关键．9．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l:y =kx +b 与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．（1）求直线l 的解析式；（2）若点C 为线段AB 上一动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，延长DC 至点E ，使CE =DC ，作EF ⊥y 轴于点F ，求四边形ODEF 的周长．【答案】（1）y =−12x +2；（2）8【分析】（1）用待定系数法进行解答便可；（2）设C(m,n)，则E(m,2n)，周长=2m +4n ，把C 点坐标代入直线AB 解析式即可得m 、n 的关系式．再进而求得2m +4n 的值．【详解】解：（1）将A(4,0)，B(0,2)代入y =kx +b 中，得b =24k +b =0 ，∴ b =2k =−12 ，∴直线l 的解析式为y =−12x +2；（2）设C(m,n)，∵CD ⊥OA ，EC =DC∴E(m,2n)，∵∠EFO =∠FOD =∠EDO =90°，∴四边形ODEF 是矩形，∴四边形ODEF 周长为2m +4n ．∵点C(m,n)在直线y =−12x +2上，∴n =−12m +2，∴m+2n=4，∴2m+4n=8，∴四边形ODEF周长为8．【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、整体代入的思想，设C点坐标(m,n)，四边形周长用m、n表示是解题的关键．【题型2面积问题】1．（2023春·广东江门·八年级统考期末）如图，过点A(−2,0)的直线l1:y=kx+b与直线l2:y=−x+1交于P(−1,a)．(1)求直线l1对应的表达式；(2)求四边形PAOC的面积．【答案】(1)y=2x+4(2)52【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）先求得点B，C的坐标，根据S四边形PAOC=S△PAB−S△COB即可求解．【详解】（1）解：把P(−1,a)代入y=−x+1得a=2，则P点坐标为(−1,2)；把A(−2,0)，P(−1,2)代入y=kx+b得：0=−2k+b2=−k+b，解得k=2b=4，所以直线l1的表达式为：y=2x+4；（2）∵y=−x+1交x轴于B，交y轴于C，∴B(1,0)，C(0,1)，∴四边形PAOC的面积S四边形PAOC=S△PAB−S△COB=12×AB×y P−12×OB×OC=12×3×2−12×1×1=52．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形面积问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2023春·山东济南·八年级校考期中）如图1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．(1)由图2知，点E运动的时间为s，速度为cm/s，点E停止运动时距离点C cm．(2)求在点E的运动过程中，△ABE的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的关系是．(3)求点E停止运动后，求△ABE的面积．【答案】(1)2，3，2；(2)y=9x(3)18【分析】（1）根据图象解答即可；（2）根据三角形的面积公式，可得答案；（3）根据三角形的面积公式，可得答案．【详解】（1）解：根据题意和图象，可得E点运动的时间为2s，速度为3cm/s，当点E停止运动时，BE=2×3=6(cm)，此时距离点C:8−6=2(cm)，故答案为：2，3，2；（2）解：根据题意得y=12×BE×AD=12×3x×6=9x，即y=9x，故答案为：y=9x；（3）解：当点E停止运动后，BD=3×2=6(cm)，所以△ABE的面积为12×6×6=18(cm2)．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图象是解决问题的关键．3．（2023春·广东梅州·八年级校考期末）如图1，在边长为10cm 的正方形ABCD 中，点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 路线运动，到点D 停止；点Q 从点D 出发，沿D→C→B→A 路线运动，到点A 停止．若点P 、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度为每秒2cm ，点Q 的速度为每秒1cm ，图2是点P 出发x 秒后△APD 的面积S(cm 2)与x(s)关系的图象．(1)根据图象得a = ；(2)设点P 已行的路程为y 1(cm)，点Q 还剩的路程为y 2(cm)，试分别求出改变速度后，y 1，y 2和出发后的运动时间x （秒)的关系式；(3)若点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为30cm ，求x 的值．【答案】(1)6(2)y 1=2x−6，y 2=24−x(3)4或24秒【分析】（1）根据当AP =a 时，S △APD =12PA·AD =30，由此求出a 的值；（2）求出y 1，y 2关于x 的等量关系即可；（3）当点Q 出发18秒时，点P 到达点D 停止运动，点Q 还需运动6秒，即共运动24秒时，可使P 、Q 这两点在运动路线上相距的路程为30cm ．【详解】（1）解：观察图2，得S △APD =12PA ⋅AD =12×1×a ×10=30，解得a =6．故答案为：6；（2）∵a =6，动点P 、Q 改变速度后y 1、y 2与出发后的运动时间x （秒)的函数关系式为：y 1=6+2(x−6)=2x−6，y 2=30−[12+1×(x−6)]=24−x ；（3）当点Q 出发18秒时，点P 到达点D 停止运动，点Q 还需运动6秒，即共运动24秒时，线路Q→B→C→P ，可使P 、Q 这两点在运动路线上相距的路程为30cm ．设点Q 出发x 秒，点P 、点Q 相距30cm ，则2x +x =30−18，解得x =4．即当点Q 出发4秒，则线路Q→D→A→P ，此时点P ，Q 相距30cm ．当点P 到达终点，点Q 运动24秒，点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为30cm ，综上所述当点Q 出发4或24秒时，点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为30cm ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A ，B ，C 的坐标分别是(1,2)，(6,6)，(9,0)．有一动点P 从点O 出发，沿折线OA→AB→BC 运动，到达点C 时停止运动．(1)分别求AB ，BC 所在直线的函数解析式．(2)当点P 运动到BC 上时，若△ABP 与△ABO 的面积相等，求点P 的坐标．(3)当△OPC 的面积等于12时，求点P 的坐标．【答案】(1)AB 的解析式为y =45x +65；BC 的解析式为y =−2x +18(2)(3)【分析】（1）设BC 所在直线解析式为y =mx +n,把B ，C 的坐标(6,6)，(9,0)分别代入，即可求出BC 的解析式为y =−2x +18，设AB 所在直线解析式为y =kx +b,利用待定系数法即可得到答案；（2）由（1）求得AB ，BC 所在直线的函数解析式，利用面积相等得出OP∥AB ，最后求两直线OP 和BC 的交点即可得到答案；（3）由△OPC 的面积等于12，得P 点纵坐标为83，分别求出P 点在各边时的坐标即可得到答案．【详解】（1）解：设BC 所在直线解析式为y =mx +n ,∵B ，C 的坐标分别是(6,6)，(9,0)，∴6m +n =69m +n =0 ，∴m =−2n =18 ，∴y =−2x +18，∴BC 的解析式为：y =−2x +18；设AB 所在直线解析式为y =kx +b,∵点A ，B 的坐标分别是(1,2)，(6,6)，∴ 2=k +b 6=6k +b ，∴k =45b =65∴ AB 的解析式为y =45x +65；（2）∵P 在BC 上，S △ABP =S △ABO ，∴ OP∥AB ，∴OP 的解析式为y = 45 x ，∴直线OP 与直线BC 的交点即为所求的P 点，∴ y =45x y =−2x +18∴ x =457y =367 ∴（3）∵△OPC 的面积等于12，∴S △OPC =12OC ×y P =12×9×y P =12 ,∴y P =83 ,∴P 点的纵坐标为83，∴①当P 在OA 上时，∵A(1,2)，∴OA 的解析式为y =2x,将y =83代入y =2x ，解得x =43>1 (舍去)，②当P 在AB 上时，83=45x +65解得：x =116∴ ③当P 在CB 上时，−2x +18=83，解得：x =233，∴综上所述，【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理等知识点，灵活运用三角形的面积求解是解决此题的关键．5．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在长方形ABCD 中，BC =8，CD =6，点E 为边AD 上一动点，连接CE ，随着点E 的运动，△DCE 的面积也发生变化．(1)写出△DCE的面积y与AE的长x(0<x<8)之间的关系式；(2)当x=3时，求y的值．【答案】(1)y=−3x+24(2)15【分析】（1）可求DE=8−x，由y=12CD⋅DE即可求解；（2）将x=3代入解析式即可求解．【详解】（1）解：由题意得：DE=8−x，∴y=12CD⋅DE=12×6×(8−x)=−3x+24．答：△DCE的面积y与AE的长x(0<x<8)之间的关系式为y=−3x+24．（2）解：当x=3时，y=−9+24=15，答：当x=3时，y=15．【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握“化动为静”的方法解决动点问题的方法是解题的关键．6．（2023春·山东威海·八年级统考期末）已知一次函数y=−12x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y=2x的图象交于点C(1,a)．(1)求a,b 的值；(2)=0+y =b 的解为______．(3)不等式−12x +b ≥2x 的解集为______．(4)在y =2x 的图象上是否存在点P ，使得△BOP 的面积比△AOP 的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)a =2，b =2.5；(2)x =1y =2 ；(3)x ≤1；(4)存在，点P−43【分析】（1）先将C (1,a )代入y =2x 求得a ，再将C (1,a )代入y =−12x +b 即可求得b ；（2）直接利用图象法求解二元一次方程组即可；（3）利用图象法解不等式即可；（4）设点P 的坐标为(x,2x )，如图（见解析），作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，分别计算出△BOP 的面积和△AOP 的面积，根据题意列方程求解即可．【详解】（1）∵点C (1,a )在y =2x 的图象上，∴a =1×2=2，∴点C 的坐标为C (1,2)，∵点C (1,2)在y =−12x +b 的上，∴2=−12+b ，解得：b =2.5，（2）由（1）得：一次函数y =−12x +b 与正比例函数y =2x 的图象交于点C (1,2)，∴x =1y =2 是原方程组的解，故答案为：x =1y =2 ，（3）由（1）得：一次函数y =−12x +b 与正比例函数y =2x 的图象交于点C (1,2)，∴不等式−12x +b ≥2x 的解集为：x ≤1，故答案为：x ≤1；（4）存在，理由：∵点P 在y =2x 的图象上，∴设点P 的坐标为(x,2x )，∵一次函数为y =−12x +2.5，∴点A 的坐标为(0,2.5)，点B 的坐标为(5,0)，∴OA =2.5，OB =5，当P 1在第一象限时，如图，作P 1M 1⊥x 轴于点M 1，P 1N 1⊥x 轴于点N 1，△BOP 1的面积为12×OB ×P 1M 1=12×5×2x =5x ，△AOP 1的面积为12×OA ×PN 1=12×2.5×x =54x ，当5x =54x +5时，得x =43，∴P 当P 2在第三象限时，如图，作P 2M 2⊥x 轴于点M 2，P 2N 2⊥x 轴于点N 2，△BOP 2的面积为12×OB ×P 2M 2=12×5×(−2x)=−5x ，△AOP 2的面积为12×OA ×P 2N 2=12×2.5×(−x)=−54x ，当−5x =−54x +5时，得x =−43，∴P 2−43综上可知：点P −43【点睛】此题考查了正比例函数与一次函数的图象，一次函数与二元一次方程组求交点问题，平面直角坐标系与图形面积，数形结合是解题的关键．7．（2023春·山西大同·八年级大同市第三中学校校考期末）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A的横坐标为a ，点A 的纵坐标为b ，且实数a ，b 满足(a +4)2=0．(1)如图1，求点A 的坐标；(2)如图2，过点A 作x 轴的垂线，点B 为垂足．若将点A 向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C ，连接CA ，CB ，请直接写出点B ，C 的坐标并求出三角形ABC 的面积．(3)在（2）的条件下，记AC 与x 轴交点为点D ，点P 在y 轴上，连接PB ，PD ，若三角形PBD 的面积与三角形ABC 的面积相等，直接写出点P 的坐标．【答案】(1)(−4,6)(2)30(3)(0,−8)或(0,8)【分析】（1）根据非负数的性质求得a 、b 的值，即可确定点A 的坐标；（2）根据“过点A 作x 轴的垂线，点B 为垂足”可得点B 的坐标；由平移的性质可得点C 的坐标；结合图形，利用三角形面积公式即可计算三角形ABC 的面积；（3）设直线AC 交y 轴于点D ，直线AC 的解析式为y =kx +b ，由待定系数法求得直线AC 的解析式，即可确定点D 的坐标；设点P(0,m)，根据题意可得S △PBD =12BD ×|m |=30，求解即可获得答案．【详解】（1）∵实数a ，b 满足(a +4)2=0，且(a +4)2≥00，∴a +4=0，b−6=0，∴a =−4，b =6，∴点A 的坐标为(−4,6)；（2）过点A 作x 轴的垂线，点B 为垂足，∴B(−4,0)，若将点A 向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C ，则点C 坐标为(−4+10,6−8)，即C(6,−2)，AB =|y A −y B |=|6−0|=6，∴S △ABC =12AB ×|x C −x A |=12×6×|6−(−4)|=12×6×10=30，即三角形ABC 的面积为30；（3）如图，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将点A(−4，6)，点C(6,−2)代入y =kx +b ，可得−4k +b =66k +b =−2 ，解得k =−45b =145 ，∴直线AC 的解析式为y =−45x +145，令y =0，则x =72，∴点,0，∴BD =72−(−4)=152设点P(0，m)，∵三角形PBD 的面积与三角形ABC 的面积相等，∴S △PBD =12BD ×|m |=30，即12×152×|m|=30，∴|m|=8，解得m =8或m =−8，∴点P 的坐标为(0,−8)或(0,8)．【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形、点的平移、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．8．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，直线l 的表达式为y =2x−6，点A ，B 的坐标分别为(1,0)，(0,2)，直线AB 与直线l 相交于点P ．(1)求直线AB 的表达式：(2)求点P 的坐标；(3)若在x 轴上存在一点C ，使得△APC 的面积是△ABO 的面积的2倍，请直接写出点C 的坐标．【答案】(1)y =−2x +2(2)点P 的坐标为(2,−2)(3)点C坐标为(3,0)或(−1,0)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式；（2）由两个解析式构成方程组，解方程组可得交点的坐标；（3）先求出△ABO的面积，再根据△APC的面积是△ABO的面积的2倍，可得AC的长度，进一步可得点C坐标．【详解】（1）解：设直线AB的表达式为y=kx+b．由点A，B的坐标分别为(1,0)，(0,2)，可知k+b=0 b=2解得k=−2 b=2所以直线AB的表达式为y=−2x+2．（2）由题意，得y=−2x+2 y=2x−6解得x=2 y=−2所以点P的坐标为(2,−2)．（3）∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，∴OA=1，OB=2，∴△ABO的面积为12×2×1=1，∵△APC的面积是△ABO的面积的2倍，∴△APC的面积为2，∵点P坐标为(2,−2)，∴12AC×2=2，解得AC=2，∴点C坐标为(3,0)或(−1,0)．【点睛】本题考查了两条直线的相交问题，一次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积等，熟练掌握求一次函数图象上点的坐标是解题的关键．9．（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）已知y+1与x−3成正比例，且当x=2时，y=−2．(1)求y关于x的解析式；(2)在平面直角坐标系内，若这个函数解析式对应的图像分别与x轴，y轴交于A,B两点，在直线AB上是否存在一个点P，能使△APO的面积等于2，若存在求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x−4；(2)P(3,−1)或P(5,1)．【分析】（1）首先设y关于x的解析式为y+1=k(x−3)将x=2，y=−2代入求出k的值即可得出答案；（2）首先求出点A坐标，根据△APO面积，则求出P纵坐标，代入解析式即可求解.【详解】（1）设y+1=k(x−3)(k≠0)，由题意得：当x=2时，−2+1=k(2−3)，∴k=1，∴y+1=x−3，∴y关于x的解析式：y=x−4，（2）存在，理由：当y=0时，x=4，当x=0时，y=−4，∴点A(4,0)，∴OA=4．OA×|y P|=2，∵S△AOP=12∴y P=1或−1，当y P=1时，∴x−4=1，解得：x=5，当y P=−1时，∴x−4=−1，解得：x=3，∴P(3,−1)或P(5,1)．【点睛】此题考查了一次函数，解题的关键是理解正比例函数的定义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，构造方程求解．10．（2023春·江西新余·八年级统考期末）如图，A为(0,3)，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于点B．(1)求该一次函数的解析式．(2)该一次函数与x 轴交于点D ，若点P 为直线OB 上的动点，当△ODP 面积等于△BOD 面积的13时，求点P 的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式是y =−x +3(2)P −13【分析】（1）先求得点B 的坐标，待定系数法求得一次函数解析式即可；（2）先求得点D 的坐标，求得S △ODP =13S △BOD =1，设P 的纵坐标为n ，即可求得n =±23，代入求得自变量的值，即可求得点P 坐标．【详解】（1）解：在y =2x 中，令x =1，解得y =2，则B 的坐标是(1,2)，设一次函数的解析式是y =kx +b ，则b =3k +b =2 ，解得：k =−1b =3 ．则一次函数的解析式是y =−x +3．（2）解：一次函数的解析式y =−x +3中：令y =0，解得：x =3，则D 的坐标是(3,0)．则S △BOD =12OD ×2=12×3×2=3．∴S △ODP =13S △BOD =1．设P 的纵坐标为n ，则12OD ×|n |=1，n =±23．把y =±23，代入y =2x ，求得x =±13，∴P −13【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值或自变量，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．11．（2023春·广东广州·八年级统考期末）如图，函数y =−2x +3与y =−12x +m 的图象交于点P (n,−2)．(1)求出m ，n 的值；(2)观察图象，写出−12x +m ≤−2x +3的解集；(3)设△BOC 和△ABP 的面积分别为S 1、S 2，求S 1S 2．【答案】(1)m =−34，n =52(2)x ≤52(3)325【分析】（1）将点P (n,−2)代入函数y =−2x +3可得n 的值，从而可得点P 的坐标，将其代入函数y =−12x +m 即可得m 的值；（2）找出函数y =−12x +m 的图象位于函数y =−2x +3的图象下方（含交点）时，x 的取值范围，由此即可得；（3）根据两个一次函数的解析式分别求出OB,OC,OA 的长，再利用三角形的面积公式求出S 1，S 2的值，由此即可得．【详解】（1）解：将点P (n,−2)代入函数y =−2x +3得：−2n +3=−2，解得n =52，∴,−2，将点,−2代入函数y =−12x +m 得：−12×52+m =−2，解得m =−34．（2）解：不等式−12x +m ≤−2x +3表示的是函数y =−12x +m 的图象位于函数y =−2x +3的图象下方（含交点），则由函数图象可知，−12x +m ≤−2x +3的解集为x ≤52．．（3）解：对于函数y =−12x−34，当x =0时，y =−34，则OB =34，当y =0时，−12x−34=0，解得x =−32，则OC =32，∴S 1=12×34×32=916，对于函数y =−2x +3，当x =0时，y =3，则OA =3，∴AB =OA +OB =154，∵,−2，∴S 2=12×154×52=7516，∴S 1S 2=9167516=325．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的几何应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．【题型3 图象变换问题】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A (a ，0)，B (0，b )，若a ，b 满足(a −b +6)2+|2a −3b +14|=0．(1)求点A ，B 的坐标；(2)将线段AB 向右平移2个单位至CD ，线段CD 与y 轴交于点E ，求点E 的坐标；(3)点P 为直线CD 上一动点，连接BC ，PB ，若4≤S △BCP <6，则点P 的横坐标x P 的取值范围是______．【答案】(1)点A (-4，0)，B (0，2)；(2)点E 的坐标为(0，1)；(3)-14<x P ≤-10或6≤x P <10【分析】（1）利用非负数的性质求得a ，b 的值，即可求解；（2）利用平移的性质求得点C 、D 的坐标，再利用待定系数法求得直线CD 的解析式，即可求解；（2）分点P 在射线ED 上，点P 在射线CF 上两种情况讨论，利用三角形面积公式列出不等式组，分别求解即可．【详解】（1）解：∵(a −b +6)2+|2a −3b +14|=0，∴a−b +6=02a−3b +14=0 ，解得a =−4b =2 ，∴点A (-4，0)，B (0，2)；（2）解：根据平移的性质得点C (-2，0)、D (2，2)，设直线CD 的解析式为y =mx +n ，∴−2m +n =02m +n =2 ，解得m =12n =1，∴直线CD 的解析式为y =12x +1，当x =0时，y =1，∴点E 的坐标为(0，1)；（3）解：BE =BO -EO =1，当点P 在射线ED 上时，则S △BCP =12BE ×(x P -x C ) =12(x P +2)，∴4≤12(x P +2)<6，解得6≤x P <10；当点P 在射线CF 上时，则S △BCP =12BE ×(x C -x P ) =12(-2-x P )，∴4≤12(-2-x P )<6，解得-14<x P ≤-10，综上，点P 的横坐标x P 的取值范围是-14<x P ≤-10或6≤x P <10．故答案为：-14<x P ≤-10或6≤x P <10．【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，待定系数法求直线的解析式，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2023春·湖南长沙·八年级明德华兴中学校联考期中）我们知道：任意一个二元一次方程ax +by =c 都有无数个解．现约定：在平面直角坐标系中，不妨将二元一次方程ax +by =c 每一个解用一个点表示出来，记为G (x,y )，称G (x,y )为“关联点”；将这些“关联点”在坐标系中连接便可得到一条直线，称这条直线为“关联点”的“关联线”．根据所学，解决以下问题：(1)已知A (−3,−2)，B −1,−C 1,−“关联线”l:5x−6y =−3的“关联点”有________（填字母）；(2)已知D ，P 两点是“关联线”m:5x−6y =−3的“关联点”，且D 在y 轴上；E ，P 两点是“关联线”n:11x−6y =27的“关联点”，且E 在y 轴上．若在平面直角坐标系中存在一点Q ，满足PQ ∥DE 且PQ =DE ，求点Q 的坐标；(3)在平面直角坐标系xOy 中，点F 为“关联线”x−3y =0的“关联点”．将点F (x,y )经过变换τ得到点G x ′,y ′，该变换记作τ(x,y )=x ′,y ′，其中x ′=ax +by−2y ′=ax−by +1（a ，b 为常数）．若将点F 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后能与点G 重合，求a−b 的值．【答案】(1)A 、B(2)(5,−13)或(5,293)(3)−13【分析】（1）将点A (-3，-2)，B (-1，−13)，C (1，-43)分别代入5x -6y =-3，看是否适合方程；（2）分别求出点D 、E 、P 的坐标，可得答案；（3）设F (3n ，n )，则G (3n -2，n +1)，从而得出3n -2=3na +bn -2n +1=3na -bn +1 ，求得a 和b 的值．【详解】（1）解：将A (-3，-2)，B (-1，−13)，C (1，-43)分别代入5x -6y =-3，A 、5×(-3)-6×(-2)=-3，B 、5×(-1)-6×(-3)=-3，C ．5×1-6×(--)=13≠-3，∴“关联线”l ∶5x -6y =-3的“关联点”有A 和B ，故答案为∶A 和B ；（2）解：∵D ，P 两点是“关联线”m ∶5x -6y =-3的“关联点”，且D 在y 轴上，∴D (0，12，)，∵E ，P 两点是“关联线”n ∶11x -6y =27的“关联点”，且E 在y 轴上．∴E (0，−92)·∴DE =5，联立两个方程得5x−6y =−311x−6y =27′ 解得x =5y =143∴P (5,143)∵PQ ∥DE ，且PQ =DE ．∴Q (5,−13)或(5,293)．（3）解：设F (3n ，n )，则G (3n -2，n +1)，∴3n -2=3na +bn -2n +1=3na -bn +1 ，解得a =23b =1∴a -b =23-1=-13．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了新定义理解，方程和函数的关系等知识，读懂题意，将“关联点”问题转化为适合方程是解题的关键．3．（2023春·北京密云·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与一次函数y ＝kx +2的图象交于点A （1，m ）．(1)求m 和k 的值；(2)将直线y ＝x 沿y 轴向上平移两个单位得到直线l ，点P （x p ，y p ）为直线l 上任意一点，过点P 作x 轴的垂线交直线y ＝x 于点C ，交一次函数y ＝kx +2的图象于点D ．①当x p ＝﹣1时，判断PC 与PD 的数量关系，并说明理由；②当PC ≤PD 时，结合函数图象，直接写出x p 的取值范围．【答案】(1)m =1，k =﹣1；(2)①PC =PD ，理由见解析；②xp ≤﹣1或xp ≥1【分析】（1）将点A 分别代入y ＝x 与y ＝kx +2求解即可；（2）①根据函数图象平移规律“上加下减”得到直线l 的表达式，进而求出点P 、C 、D 坐标，求得PC 和PD 即可解答；②由平行线间的平行线相等知，PC 的长不变，结合图象和①中结论即可求解．【详解】（1）解：将点A （1，m ）代入y =x 中得：m =1，则点A坐标为（1，1），将点A（1，1）代入y=kx+2中得：1=k+2，∴k=﹣1；（2）解：①直线y＝x沿y轴向上平移两个单位得到直线l的表达式为y=x+2，∴当x p＝﹣1时，y p＝﹣1+2=1，∴点P坐标为（﹣1，1），由题意知：点C和点D的横坐标为﹣1，点D在一次函数y=﹣x+2的图象上，点C在直线y=x上，∴点C的坐标为（﹣1，﹣1），点D坐标为（﹣1，3），∴PC=1﹣(﹣1)=2，PD=3﹣1=2，∴PC=PD；②根据题意直线y=x和直线l平行，PC垂直x轴，∴PC=2，当点P坐标为（1，3）时，点C和点D与点A重合，则PD=PC=2，由图可知，当PC≤PD时，x p的取值范围为x p≤﹣1或x p≥1．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、一次函数图象的平移、平行线的性质，会利用数形结合思想解答是解题的关键．4．（2023春·云南·八年级云大附中校考期中）如图，在平面直角坐标系中有一点A(4,−1)，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D，P是直线上的一个动点，通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x+y=3的解，例如：若E点的横坐标为x=5，则其纵坐标为y=3−5=−2；若F点的纵坐标y=5，则其横坐标为x=3−9=−6．。

第14讲：一次函数与几何问题综合22. （2012・无锡〉如图197T8所示，对于平面直角坐标系中的任意两点P ）（Q 』）、巳（七，力），我们把 &】一文2丨+ ®—如叫做B 、P2两点间的直角距离，记作£（戸，几）・（1）已知O 为坐标原点，动点PQ ，W 满足d （O ・P ） = l,请写岀工与y 之间满足的 关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；⑵设Po （x o ,y o ）是一定点,Q&Q ）是直线y=ax+b±的动点，我们把”（P°,Q ） 的最小值叫做P 。

到直线了 =处十5的直角距离.试求点M （2,l 〉到直线 罗=工+2的直角距离.23. （2012・鞍山）如图1齐4-19所示，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标（3,3）,将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度«（0°<a<90°）,得到正方形ADEEMED 交线段OC 于点G,ED 的延长线交线段BC 于点P ,连AP 、AG ・（1〉求证:△ AOG 空△ADG ；（2）求ZPAG 的度数;并判断线段OG 、PG 、B F 之间的数量关系，说明理由;（3〉当Z 1 = Z2时，求直线PE 的解析式.24. 如图19・4・20所示,ZXAOB 为正三角形，点B 的坐标为（2,0）,过点C （一2,0）作直线Z 交A0于点D,交AB 于点E,且AADE 与△DCO 的面积相等，求直 线I 的解析式.1 ■ y ■ 」 0 1 X图 19-4-18图 19-4-2025. 已知，直线I 、：y=kx+k-l 与直线l t冷=4 + 1&+上Q 是正整数)及x 轴围成的三角形的面积为S*. (1) 求证:无论”取何值，直线与仏的交点均为定点；(2) 求 S1+S2+S3 ------- $20)9 的值.26 •如图(3)所示，在矩形ABCD 中，AB=2,动点P 在长方形的边BC.CD.DA 上沿B-C^D-A 的方. 向运动，且点P与点B 、A 都不重合.图(b)是此运动过程中的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数图像的一部分.濟结合以上信息回答下列问题：(1) 长方形ABCD 中，边BC 的长为 _____________ ；(2) 若长方形ABCD 中，M 为CD 边的中点，当点P 运动到与点M 重合时，工= ___________ *= _____________ ;(3〉当6<x<10时力与x 之间的函数关系式是 __________ ； 〈4)利用第(3)问求得的结论，在图(b)所示中将相应的，与工的函数图像补充完整.27.如右图所示.直线人的解析式为丿=一3乂+3,且厶与工轴交于点D,直线2经过点A,乩直线厶仏交于点C.(1) 求点D 的坐标；(2) 求直线12的解析式；(3〉求厶ADC 的面积；(4) 在直线12上存在异于点C 的另一点P,使得△ ADP 与厶ADC 的面积相等, 请專琴写出点P 的坐标.(5) 在；廟上求作一点使得BM+CM 的和最小，直接写出点M 的坐标. Bp。

一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结 ： （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 ：（1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－kb=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0)当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交； ②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行；④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.例题精讲：1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB(1) 求AC(2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。