数学归纳法典型例题
【典型例题】
例1. 用数学归纳法证明：时，。
解析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。
②假设时等式成立，即有，则当时，
，
所以当时，等式也成立。
由①，②可知，对一切等式都成立。
点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即
，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。
（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
例2. 。
解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。
（2）假设当时命题成立，即
，
那么当时，
左边
。
上式表明当时命题也成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。
例3. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式
成立。
解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。
②假设时，不等式成立，即
，
那么当时，
，
∴时，不等式也成立。
由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。
点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式
成立。
（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即
成立，则成立，成立，……，从而断定命题对所有的自然数均成立）。另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。
例4. 若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。
解析：取，。令，得，而，
所以取，下面用数学归纳法证明，
，
（1）时，已证结论正确
（2）假设时，
则当时，有
，
因为，
所以，
所以，即时，结论也成立，
由（1）（2）可知，对一切，
都有，
故a的最大值为25。
例5. 用数学归纳法证明：能被9整除。
解析：方法一：令，
（1）能被9整除。
（2）假设能被9整除，则
∴能被9整除。
由（1）（2）知，对一切，命题均成立。
方法二：（1），原式能被9整除，
（2）若，能被9整除，则时
∴时也能被9整除。
由（1），（2）可知，对任何，能被9整除。
点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。
例6. 求证：能被整除，。
解析：（1）当时，，命题显然成立。
（2）设时，能被整除，
则当时，
。
由归纳假设，上式中的两项均能被整除，
故时命题成立。
由（1）（2）可知，对，命题成立。
例7. 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成个部分。
解析：①时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。
②假设时，个圆将平面分成个部分，
当时，
第k+1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面
分成个部分，即个部分。
故时，命题成立。
由①，②可知，对命题成立。
点评：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后
作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
例8. 设，是否存在关于自然数n的函数，使等式
对于的一切自然数都成立？并证明你的结论。
解析：当时，由，
得，
当时，由，
得，
猜想。
下面用数学归纳法证明：
当时，等式恒成立。
①当时，由上面计算知，等式成立。
②假设成立，
那么当时，
∴当时，等式也成立。
由①②知，对一切的自然数n，等式都成立。
故存在函数，使等式成立。
点评：（1）归纳、猜想时，关键是寻找满足条件的与n的关系式，猜想的关系未必对任意的都满足条件，故需用数学归纳法证明。
（2）通过解答归纳的过程提供了一种思路：可直接解出，即
。
