最新人教版高中数学选修1.7.1-定积分在几何中的应用 (3)ppt课件

排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=

2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2

3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+

S2＝8[ 2x－(x－4)]dx＝338. 2
于是，S＝S1＋S2＝136＋338＝18.
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第一章 1.7 1.7.1
解法二 选取对y积分变量，有 S＝4－2[(y＋4)－12y2]dy ＝12y2 |4－2＋4y |4－2－16y3 |4－2＝18.
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＝ 2
(－x＋2)dx－
2

(x2－4)dx＝(2x－12
x2)|
2 －3
－(
1 3
x3－4x)|2－3
＝
25 2
-3
-3
－(－235)＝1265.
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第一章 1.7 1.7.1
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探究2 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．
【解析】 解法一 如图所示，解方程组
y2＝2x， y＝x－4，
得交点A(2，－2)、B(8,4)，所求面积S可分为S1
与S2两部分．
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第一章 1.7 1.7.1
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S1＝2[
2x－(－
2x)]dx＝2
22
xdx
0
0
＝2 2×23×x32 |20＝136.
所以S＝
|bf(x)dx|＝－bf(x)dx；


a
a
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第一章 1.7 1.7.1
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(3)如图③，a≤x≤c时，f(x)<0，cf(x)dx<0； a

解1 求两曲线的交点:
y 2x
S1 S S1 2 2
y x4
8
y2 2 x
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
S=2S1 +S2 =2
2 0
2
0
8
2xdx+ ( 2x - x+4)dx
2
2
8
= 2 2xdx+ ( 2x - x+4)dx
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出 路程即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
2. 变力做功
一物体在恒力 F 单位 : N的作用下做直线运动 ,如 果物体沿着与力 F 相同的方向移动了 s (单位 : m), 则力 F所作的功为 W Fs.
2
x 和 y x 围成图形的面积.
2
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y = x x= 0 x=1 解方程组 ⇒ 或 2 y = 0 y =1 y = x
y
y
C o O
2 y xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y x2
S=S曲边梯形OABC -S曲边梯形OABD
A1
A2
y x3 6x
注意各积分区间上被积函数的形式．
定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0 ， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
b
s v(t )dt
a
v
v v(t )

探究3:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:
图1.曲边梯形
y y f (x)
图2.如图
y
y f2(x)
oa
bx
b
A1
f ( x)dx
a
图y3.如图
a
b
0
x
y f (x)
b
A3 a f ( x)dx
y f1( x)
oa
bx
b
A2 a [ f2( x) f1( x)]dx
图4.如图
3
或S
1
(
0
x
-
3 0
3
x2 )dx
3 23 ( x2
3
x3
1
)
1.
0
3 33
0
Ax
方法小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:
1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限; 3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积， 特别注意分清被积函数的上、下位置; 4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
S1
S3
S2
b
a f ( x)dx S1 S2 S3
2、牛顿—莱布尼茨公式
定理 （微积分基本定理）
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则ab f (x)dx F(b) F(a)
或
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F(b) F(a)
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
S1 S1
S2 x 4 y
2
8
20 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
y2 2x