![椭圆第一课时[上学期]--浙教版](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/0ffecaae964bcf84b8d57b6c.webp)
从教材内容的疑点处挖掘核心素养的生长点*—以“椭圆的定义”为例广东省东莞市教育局教研室(523125)易文辉摘要新修订的课程标准要求高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,由于教材在编写过程中为了有利于教学生成,往往存在许多需要教师搞明白的“疑点”,而这些疑点往往涉及到不是“是什么”的问题,而是“为什么”的问题,从这些疑点进行挖掘,揭示数学的发生发展过程,揭示数学本质的同时,真正让学生经历从抽象到推理,最后形成模型这样一个全过程,发展学生的数学核心素养.关键词教材;疑点;核心素养;生长点1、问题的提出新修订的课程标准要求高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质[1].核心素养为纲的理念如何转化为广大教师教育教学的实际行动,是目前教学中研究的重点和热点.教材是师生教与学的主要素材,决定了课堂教学的内容,是从“四基”“四能”通向核心素养的主渠道[2].多年来大家已经形成的共识是要“用教材”而不是“教教材”,理解好教材内容,把握内容本质,决定了学生数学学科核心素养的达成度.专家们在编写教材时,注重整体知识结构的综合性、全面性,使教材的科学性、思想性、时代性、现实感以及亲和力得到保障[3].但在实际教学中,教材只是学术形态的数学转化为教育形态的数学的一个中介,还需要教师进行“智慧”地处理,才能用好教材.目前,教材中的内容编排或者编写要转化为教育形态的数学,仍然存在许多疑点,而这些疑点往往就是核心素养培养的生长点,是用好教材的一个抓手,以人教版选修2-1A版中“椭圆及其标准方程”一节为例,教师要根据教材中存在的疑点,使之成为教学的有利于学生核心素养培养生长点.2、教材“椭圆的定义”的疑点分析疑点1椭圆的画法是怎么产生的?根据课程标准的要求,平面解析几何的单元学习中,要帮助学生认识椭圆的几何特征,教材通过探究,也就是一种画椭圆的方法,通过画图揭示椭圆上的点满足的条件,从而得到椭圆的定义.教材的这种引入方式,想法是很好的,但是教师非常难处理,不知道这种画法是怎么产生的,学生就更加不清楚了,不少老师处理方式是类比画圆的方法,从一个定点(圆心),变为两个定点,过渡到教材中的实验.然而,经过调查和多年来教学实践发现,学生对此是非常疑惑的,为什么定点是2个,而不是3个?为什么是距离之和,而不是距离之差呢?显然这些疑惑是不能忽视的,因为这些疑惑正是对椭圆知识发生过程的疑惑.教材这种处理,突然冒出来个“椭圆”,是会“伤害”学生对数学的兴趣的,为什么要学习椭圆知识?椭圆从哪里来的?没有将椭圆的概念建立在学生已有的生活经验或者已有的知识中,未能感受到学习它的必要性,也没有经历椭圆的形成过程,怎么能不让学生感觉到数学的冷呢.疑点2画椭圆过程中那两个定点是随便选的吗?为什么只关注长度关系?在画椭圆的探究过程中,将细绳两个端点抽象成两个定点F1,F2,笔尖是平面内一个动点M,笔尖拉开的两段细绳,是动点M在运动变化时到两个定点F1,F2的距离,然后让学生观察到这两个距离之和等于一个常数,不少的老师还通过几何画板验证,让学生观察发现结论.然而,实际上这种目的性非常强的探究是意义不大的,学生难免会产生疑问,为什么要观察这两条线段之和?不能是差?或者是积或者商?更甚至,几何中常常通过距离和角度来刻画相对位置关系,那么将这个实验抽象为平面内点、线关系之后,动点M在运动变化过程中,不但线段长度发生了变化,还有角度也发生了变化,为什么不研究角度之间的关系呢?要发展学生的核心素养,一定不能只关注结果性知识,更应该关注过程性知识,只有将知识的产生和发展过程嵌入教学之中,而且教学过程也要渗透不确定性知识,例如画椭圆这个实验中,除了距离之和等于一个常数是确定性知识,还有这个距离之差、积、商都是不确定的,角度的关系也存在不确定性关系,从培养学生理性思维,学会用数学的眼光观察世界的素养来看,这些不确定性关系在寻找到确定性关系的过程中同样重要.*2017年广东省强师工程项目“基于高中数学本质理解的教师专业发展研究”(2017YQJK158)疑点3确定一个椭圆之后,两个焦点能找出来吗?在画椭圆的试验中,先定好了两个定点,然后拉直绳子才能画出椭圆,这两个定点就是椭圆的焦点,意味着只有椭圆的焦点定了才能有椭圆,学生难免会疑惑,是否所有椭圆都能有焦点呢?如果有,是否可以有办法找出两个焦点?这两个定点究竟在平面内是什么位置?要培养学生严谨求实的精神,就不能用“以后你就知道了”去搪塞学生,而是要尽可能理清知识的来龙去脉,帮助学生理解知识的本质.3、改进教学设计,挖掘数学核心素养的生长点要解释这么多疑点,显然不是单纯的简答题,根本在于教学观、教材观的问题.数学核心素养生成的本源是知识[4],也就是说数学核心素养就在知识的来龙去脉、知识的发生发展过程中生成,而“椭圆及其标准方程”一节中,教材上的处理突兀、生硬,需要教师进行“再加工”,搞明白椭圆是怎么来的?为什么要研究椭圆?是怎么研究椭圆问题的?等.历史上,古希腊人先是从圆柱或圆锥被平面截得的截口上发现椭圆;公元前3世纪,阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中采用了截线定义,并导出了“椭圆的焦半径之和等于常数”这一性质;公元6世纪,拜占庭数学家安替缪斯利用该性质给出的“两钉一线”画法;17世纪,法国数学家拉伊尔将椭圆定义,为平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹;直到1822年,比利时数学家旦德林利用圆锥的两个内切球,导出椭圆焦半径性质,从而使截线定义和轨迹定义统一起来[5].纵观数学史,椭圆的发展有以下重要环节椭圆的发现、截线定义的形成、基本性质的推导、焦半径性质的获得、机械作图的产生、轨迹定义的确立、椭圆方程的推导.教材上只呈现了后面三个环节,虽然简练,但是将椭圆最核心的发生发展过程给割裂了,不利于学生学习,更不利于学生核心素养的生成.由于内容容量大,建议教学中“椭圆及其标准方程”分成两个课时,第一节课主要是椭圆的定义,第二节课推导椭圆的标准方程.根据以上分析,建议改进教学设计,改变教学内容的呈现方式,可以通过生活中的椭圆入手,重构历史,让学生经历从截线定义到轨迹定义的知识发生过程,帮助学生厘清椭圆的来龙去脉,椭圆定义教学过程主要环节的设计:学生活动:观察生活中与椭圆有关的情境.图1图2图3图4问题1对于第四张图中,当平行光照射篮球时,影子轮廓的形状有什么变化?轮廓上的点到篮球与地面切点的距离有什么变化?设计意图由学生熟悉的情境引发思考,当光线在篮球正上方发时,影子轮廓是一个圆,此时圆心是球与地面的切点,影子轮廓上的点到切点的距离等于一个常数;当光线斜照时,影子轮廓是形成的是椭圆,显然影子轮廓上的点到切点的距离会随点的位置变化而变化.问题2将平行的光线看成是与球面相切的圆柱面,椭圆与圆柱面有什么关系?设计意图由光线斜照篮球在地面形成的轮廓,将篮球抽象成球,与球面相切平行光线抽象成为圆柱面,地面抽象成为一个与球相切图5的平面,这时椭圆就是圆柱面与平面的交线,如图5所示.问题3如图6,假设球与平面相切于F,椭圆上一点P,过点P的母线与球相切于Q,则P点移动的时候,P F与P Q 的变图6化有什么关系?问题4根据对称性,图6中的椭圆还可以怎么得到?你能发现椭圆上点P在运动的过程中,有什么样的不变的长度关系?设计意图根据对称性,让学生经历由图7到图8的变化,将圆柱在平面下方部分补完整,也可以看成另一边也有一个同样大小的球,与平面相切,设切点为E,过点E的母线与球交于点M,则有P E=P M,P F=P Q,而P M+P Q=MQ(定长),从而得到P E+P F=定长,学生能够体会到“椭圆上的点到两个定点间的距离是一个常数”,是自然的,而不是“变戏法”一样突然冒出两个定点.图7图8问题5用一个不平行于底面的平面截圆柱得到的图形是什么?在该截面内是否依然存在两个定点,使得所得图形上任意一个点到这两个定点的距离都是一个常数?设计意图从一般的角度思考椭圆的特征.学生容易直观得到用不平行于底面的平面截圆柱所得的图形就是一个椭圆(截线定义),通过截面上下补回两个大小一样球,使得球与截面都相切,切点就是索要找的两个定点,至此,将球和圆柱去掉,抽象出椭圆上点的本质特征,椭圆的定义形成就水到渠成了,师生共同总结、提炼:我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.关于焦点的名称可以简单向学生介绍,椭圆有非常重要的光学性质应用到实践中,例如放电影的灯泡的反射镜面就是椭圆面,由椭圆的两个定点F1,F2,任意个定点发出的光线,都活聚焦到另一个定点,因此我们把这两个定点F1,F2,称为椭圆的焦点这样既能激发学生兴趣,又能直观感受到数学是“自然”、“讲道理”的.以上环节通过生活中的椭圆,抽象成数学中的椭圆,从基于对应的抽象,根据球的切线性质,过渡到基于内涵的抽象,培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养,体会用数学的眼光观察生活中光照篮球的现象,用数学的思维思考球、截面、圆柱之间的关系,用数学的语言描述椭圆的特征,这本身就是完整的一个抽象、推理、模型的过程,就是核心素养培养的过程.4、结束语培养学生核心素养的就是要“教好数学”,前提就是教师要理解好数学,理解数学内容从何而来,本质是什么,以及将来的发展方向,在教材编写过程中,专家们既要考虑教材的科学性、可读性,还要考虑教材的逻辑结构体系,对数学的理解也未必就符合学生的心理规律,教材也不能方方面面兼顾,难免会有交待不清楚或者没法交待清楚的情况,比如椭圆及其标准方程中,除了椭圆的定义之外,后面内容中,比如为什么要设|MF1|+|MF2|=2a?为什么椭圆方程√(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2=2a还要化简?为什么要选择通过移项两边平方的方式化简方程?为什么x2a2+y2b2=1叫标准方程?标准的含义是什(下接第11页)(上接第25页)角线段的方法”的方法体系中.5.设置有思维梯度的习题,在定理应用过程中,发展各层学生的思维能力把握定理的应用过程,通过设置有思维梯度的习题,让各层学生都能够参与练习提高,引领他们最大限度地发展思维能力.案例4“三角形的中位线”应用5.1初步应用已知:如图8,DE是△ABC的中位线.图8(1)若∠C=55◦,则∠BED=◦.(2)若AC=12cm,则DE=.(3)若DE=8cm,则AC=.(4)若DE+AC=24cm,则AC=.(5)若△BDE的周长是32cm,则△ABC的周长是.5.2拓展应用1.议一议:如图9,任意画一个四边形,以四边的中点为顶点组成一个新四边形,这个新四边形的形状有什么特征?请证明你的结论,并与同伴交流.2.问题解决:如图10,A、B两点被池塘隔开,在没有任何测了工具的情况下,小明通过下面的方法估测出A、B间的距离:在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别步测AC和BC的中点M、N,如果测得MN=20m,那么A、B 两点的距离是多少?为什么?图9图10本案例中,设置具有梯度性的变式题组,在应用中深化对定理的理解,提高分析和解决问题的能力,定理的实际运用能力,考查学生综合运用能力.定理教学一般要经历“问题情境——猜想、验证——得出定理——定理解释——应用巩固”等五个环节,不少青年教师愿意花较多时间在“应用巩固”,最容易忽视的是“定理解释”.本设计重视定理探究前问题情境的设计、探究过程中猜想与验证活动的组织,注重“定理解释”,揭示定理的内涵和外延,让学生知道定理“是什么”(用三种语言表述)、“有什么用”、“怎么用”(推理格式),这为学生在“应用巩固”环节独立、灵活地运用新知解决问题打下良好的基础.初中定理教学应当掌握基本的规范要求,组织恰当有效的数学活动,充分发挥其作用,发展学生的思维能力.度,激发其学习数学兴趣.图3:积分评价方案图4:积分规则3.在进行小组互助合作学习的数学应用题教学时的策略(1)在应用题教学时,先让学生独立审题,保证组长们的审题时间,只有组长们在自己充分理解了题意的基础上才能帮助审题有障碍甚至无法理解题意的同学.为了杜绝个别学生偷懒而不认真审题,教师通过抽取小组成员来解读题意,重点提问组员,找关键词语,弄清题目的已知条件,条件与问题之间有什么关系.(2)在分析数量关系时,可以通过直观的操作进行分析,帮助学生理解题意.例如,“圣诞节同学之间互赠礼物,九年级二班有x名同学,互赠了182件礼物,可列方程为”为了帮助基础较差的学生理解本题,可以让小组四人互赠礼物,记录共赠出多少份礼物.教师在分析这题的数量关系时,可以把全班x名同学按学号进行排序:1号、2号、3号……x号,其中1号同学要给除了自己以外的每个同学都赠送一份礼物,故赠出(x−1)份礼物,同样的2号同学也要给除了自己以外的每个同学都赠送一份礼物,故也赠出(x−1)份礼物,以此类推,全班每个同学均赠出(x−1)份礼物,因此全班赠出的礼物数量可以表示为x(x−1),从而列出方程x(x−1)=182.利用这种思维模式让学生解决“同学聚会,每两个人都握一次手,所有人共握手66次,设有x人参加这次聚会,可列方程为”时,学生很快就形成概括性的规律性的认识.(3)在应用题教学过程中,为了培养学生的创新思维,多采用问题情境开放性的应用题.例如:七年级一班有38名学生,在读书读报活动中家委决定每人购买一本单价为8元的书,书店对购买40本及40本以上者给与九折优惠.利用以上信息,请同学们制定购买方案.对于上述问题,启发学生充分利用以上信息进行分析探究和交流,先在小组内制定方案,再统一讨论最佳方案并进行汇报,这将有利于培养学生的创新能力.(4)在选择例题时,要注重实际,作适当的改编,增加题目的实用性.应用题是从实际生活中抽象化而来的,在解题过程中应按实际情况对信息进行整合,例如:人教版八年级上册《分式》这章的例4.某次列车平均提速v km/h.用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50km,提速前列车的平均速度为多少?改编为:琶洲有轨电车的平均速度为v km/h.用相同的时间,有轨电车在提速前行驶了s km,提速后比提速前多行驶50km,问提速前有轨电车的平均速度为多少?用学生周边熟悉的实例作为应用题的背景,更能让学生有代入感,提高他们解决问题的热情.在实践中发现,针对数学基础差的班级开展小组合作学习的数学应用题教学,有助于学生消化吸收,利用“兵带兵”促进学生共同进步,使得每个层次的学生都得到提高.参考文献[1]张彩霞,探索构建高效初中数学课堂教学模式[J],数学学习与研究,2011(12):40-41.[2]何应居,借“51035教学模式”构建高效数学课堂[J],新课程学习•中旬,2014(2):50-51.[3]金惠娟,打造初中数学高效课堂的策略探索[J],中学教学参考,2016(20):10-11.[4]方蕊.小组合作学习模式在初中数学教学中的有效应用探究[J].课程教育研究,2017(26).[5]朱胤.小组合作学习模式下的数学深度学习初探[J].中学课程辅导(教师教育),2018(3).(上接第36页)么等,这些都是需要教师去搞清楚的,然后才能让学生明白,从而更加理解数学本质.作为教师用教材的前提就是要吃透教材,多研究几个“为什么”,真正把数学知识的来龙去脉搞清楚,在教材的“疑点”处多去挖掘,教知识的同时,有机融入数学文化,让学生体会数学的来龙去脉;注重知识的发生、发展过程,体验数学从抽象研究对象,到建构数学模型的全过程;注重数学内容教学的同时,又要能够和学生的生活、实践联系起来,学会用数学的眼光观察世界;既要注重证实也要注重证伪的教学,让学生体会“直觉思维”在形成确定性结论过程中的重要性,才能在教学中真正培养学生的核心素养.参考文献[1]普通高中数学课程标准[M]:2017年版/中华人民共和国教育部制定.—北京:人民教育出版社,2018.1,3.[2]章建跃,程海奎.高中必修课程中概率的教材设计和教学思考[J].课程·教材·教法,第37卷第5期,2017年5月,27-33.[3]章建跃.普通高中数学课程标准教材的研究与编写[J].课程·教材·教法,第25卷第1期,2005年1月,45-50.[4]喻平.基于核心素养的高中数学课程目标与学业评价[J].课程·教材·教法,第38卷第1期,2018年1月,80-85.[5]HPM:数学史与数学教育[M]/汪晓勤著.—北京:科学出版社,2017.5,456-457.。
