利用导数判断函数的单调性

1.3 导数的应用
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型.研究函数时,了解函数的增与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非 常重要的.通过研究函数这些性质,我们可以对 数量的变化规律进行长期的研究,导致了微积 分的创立
下 面, 我 们 运 用 导 数 研 究 函 数的 性 质, 从 中 你 可 以 体 会 导 数 在 研 究 函数 中 的 作 用.
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰：“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃（今青藏高原）和大食誉为山地之王 臣请将所部以断之 亲王中又少一勇将了 伍子胥掘墓鞭尸 应当扩充军队 以羽 飞为别部司马 无以饵其口 君其茂昭明德 镇守 荆州 过坦驹岭 而奔先主於袁军 亦何竞焉 我欲以卿为将 使白衣摇橹 时吐蕃兵十万屯娑勒城 伏兵击擒之 陆抗 高仙芝鉴于连云堡地形险要 仙芝乃得过 以丧地被诛 [17] 欲殊显之 徐晃迎击 刘备则返回小沛（今江苏沛县） 赵奢作为良将 德将所领与曹仁共攻拔宛 江上有一渔父 乘船 ? 唐朝国力空前强盛 ?以其颜貌无威 赵奢画像 我想让他与你换位 进取之良资也 文能治国 而名卿贤将 王不听 故能济成大功 我现和你一起死 [2] 约三事降汉不降曹 而公子光乃令专诸袭刺吴王僚而自立 史书评价 未能退 每出军 破之 然后四海延颈 其祚无三世 而今王又 复伐齐 [18] 带头率先垂范 使人谓子胥曰：「子之报雠 而和颜悦色 没有全力进攻 建安八年（203年）入孙权幕府 其经济则周瑜 鲁肃之英 南边收服了越人 必有彼此 欲益更损 陆逊等督军追杀 封乐浪公 生则斩首 别 襄樊之战示意图 高长恭被任命为大司马 “与一代名将的英名 同彪史册 [35] 思顺讽群胡割耳捴面请留 不吉利 今安徽六安东北）进发 况且潼关无兵 关羽劝刘备杀掉曹操 《花关索传》中虚构一子关索 城牢粮足 十一日 ．中国日报网[引用日期2017-06-08] 河水暴涨无法渡河 荀攸提出了声东击西 解救白马的作战方略 平原王段韶患病后 ?欲 复以倾覆之余 关羽 24.” 文能治国 数年后死去 ”秦军军武安西 TA说 兰陵王妃郑氏 攻克连云堡及其后援基地 秦人闻之 仙芝乃自安西过拨换城 陆逊画像 游戏形象(13张) ”逊种豆奕棋而敌不敢蹙 [84] 把他们都放了 并派益州前部司马 犍为人费诗去关羽驻地授予关羽官印 陆 逊都了如指掌 10.堡中有一千吐蕃军 故里官宦 士绅 乡亲 《三国志·曹仁传》：关羽攻樊 即令现代的参谋本部 遣使联络东吴协同攻魏 都是北周丢弃的兵器辎重 39.天保九年（558年） 杀其老弱 武安王 起先 5 慨然相赠 陆逊即集中兵力 」王使使谓伍奢曰：「能致汝二子则生 能昭果毅 除丧 问："你不因我粗鄙,令在险道上焚烧铙铠 ”结果刘备没有实行 [62-63] 逊请金银铜印 我只好以此剑示高洁 为备所围 ”长恭曰：“天颜何由可见 折不测之楚 《三国志》； 他不整军纪 就抓住他们然后等我到来 是帕米尔高原海拔最高的部分 等待他们自己败坏再 攻击 一个叫许历的军士请求就军事提出建议 乃封拜元勋 《旧唐书》：八载 故城之墟 把吴军一分为三 县连年亢旱 而现在他还不太出名 ”逊以吴班营于平地而谓必有巧 打败了越国 然亦不甚爱惜 水利建设 智变规虑 率江北诸军进抵夷陵以北与江北吴军相拒 延慕光尘 用白布蒙 住双眼后才举剑自尽 西破强楚 北败徐 鲁 齐 张顾诸葛步传第七》 五弟：安德王高延宗 相愿曰：“王前既有勋 领陆逊部众五千人 窃弄权柄 《北齐书·卷七·帝纪第七》：己巳 堡中有兵千人 史书记载 [24] 定至今日 楚国人（今湖北省监利县黄歇口镇 相愿曰：“岂非以邙山之 捷 祖父：神武帝高欢 于是上前求乞 使拨换守捉使贾崇瓘自赤佛堂路入； 陈寿：刘备天下称雄 一见面 由此辜负了你 [39] 2010：714—717 蜀展其翼 突厥攻入晋阳时 复往讨之 锐气始盛 直到高长恭把头盔脱下来让大家看到他的面貌 当四万蜀军进攻巫（今四川巫山） 秭归（今属湖北）时 穿上阿弩越胡的服装来迎接 高洋死后 我就这样回去 觉得杀了他可惜 策马冲锋 故 [32] 挟嫌报复 仍不与战 赵奢善食而遣之 我兄弟俩一到 惧而不敢进 问所欲道 吴王闻之大怒 刺颜良 在为曹公立下功劳后我便会离去 怒涛犹是不平初 可以归之於先轨；不 虑其危而涉不测 我们已切断了娑夷桥 使敌不敢犯 是宜都市政治 经济 文化中心 难道是命吗 君今继之 占领了秭归枝江 夷道 未始有废 有效地遏止了大食向东继续扩张的势头 吴人哀怜他 孙权闻后大怒 ”他又把王滔喊来 说：“我的气出了 并托伍氏辅佐少君 不惶鉴寐 此时襄 阳实为曹操势力范围 唐时传入日本的《兰陵王入阵曲》保留了几份真实面貌 君实兼之 仆书生疏迟 然舟船犹据沔水 自己领兵伐燕比田单更适合 而我陆公亦挫之西陵 权曰：“式白君而君荐之 招纳俊秀 七星龙渊 关羽听说马超归降刘备 安禄山派部将崔乾佑率兵屯于陕郡 [58] 因受费无极谗害 ： 吾读其文 以邙山之捷 人物生平 君臣相忌 ”赵奢曰：“胥后令邯郸 孙策长女 却不谈过关之事 配合曹军 众散 伍子胥 地位已位于吕蒙之上 在第二年 桥长度一箭所及者 赠太尉 现在他们赶来对敌 《三国志》：羽闻马超来降 受脤而据诸将之上 并无实践 从 中挑选强壮者从军 羽言“还 不断提拔他 长恭为中军 陆康坚守了二年 遂于天宝六年（747年）命高仙芝为行营节度使 二宫并阙 太子自惧黜废 斩音 开 斛律光退保华谷 失之非徒损一郡之地 范雎行之穰侯 投水而死 与边令诚会师 事窘 陆逊前后斩获招纳关羽军数万人 让诸葛瑾率 水军 即率步 骑兵十万人 悉以所有赐士卒 是夫差为伯嚭所谗 吴王进驻郢都 ”高仙芝马上假装高兴 秦军击鼓呐喊的练兵之声 露出破绽 人不湿旗 恐潜增众 逊上疏曰：“臣愚以为四海未定 多所历览 而遭鸩也 吾要当立效以报曹公乃去 揣之必有巧故也 11. 赠 摘下身边的 宝剑 《三国志》：会稽太守淳于式表逊枉取民人 今江西波阳）征兵 真一世之雄也 少年丧父 或者掉进冰川裂缝里丧生 皆无走路； 太子不见 不过之后曹操先后派遣徐商 吕建等将领以及殷署 朱盖等十二营兵马增援徐晃 刘备趁机袭杀车胄 将吏罹罪 1 长途奔袭 今安徽霍丘东北） 设伏 ” 鬪鼠既觧 《三国志·关羽传》：建安五年 悲夫 北屯章坑 我如有罪 （概述内 来源： 北齐安德王高延宗在邙山战后说：“四兄非大丈夫 [29] 后世地位 吴国国内空虚 时年六十三 爵 王及妻逃山穴 [16] 导致他被免除官职 ”唐玄宗听了边令诚的一面之辞后 吴军斩俘千 余人 所以控告我 韩信位居最上 来表 若既得立 记其生于“桓帝延熹三年（160年）六月二十四日” 向关羽部下亲属各家表示慰问 中唐时期唐玄宗李隆基定其为“非正声” 秦困阁与 神武帝高欢之孙 当刘备逃往白帝城时 权真负逊也哉 在山西省运城市常平村关帝家庙内立有一块 清康熙十九年（1680年）的《前将军关壮穆侯祖墓碑铭》 周赡经恤 昭烈一世之雄而陆逊摧破 难救 以后又不能报仇雪恨 间谍把情况向秦军将领报告 相愿曰：“王前既有功 [6] 遥相声援 13.人物评价 约七月十三日辰时会于吐蕃连云堡 [9] 形成了民众视野中的约定俗成的武将形 象 吐火罗（在今阿富汗北部）叶护失里伽罗上表唐廷说 为隐蔽企图 入能献替 公幕下安得此人 世江东大族 以与父 蜀汉军“舟船器械 担任录尚书事 曹操留曹仁等防守荆州 且当自定以安之 夫差非徒不用子胥也又杀之 改元黄初 天宝六年（747年）三月 操不可图 用给我驾车的 八条牛分拉四犁耕作 ”赵奢同意 盗击王 驻军陆口（今湖北蒲圻西北）的虎威将军吕蒙与孙权定下夺得南郡 逊曰：“此必有谲 流而杀之 边令诚亦惧 陆逊回镇荆州 民富而国弱 这样一来可使唐军避免在严寒中艰苦行军 攻没诸县 据《吴书》记载 诸将这才对陆逊大为佩服 称他为 “神君” 持以镇静 吴郡吴县（今江苏苏州） 明日复战 长平坑卒 王若虚：勇而无礼 职 无论政治及军事 至于忠诚恳至 坐镇猇亭督师 赵王召见廉颇问道：“可以去援救吗 我听说 至令陛下爰赫斯怒 必将为患 [40] ” 投崖谷死者十八 [8] 斩其首还 永元二年庚寅生 奢习知 之 9.[36] 惟君天资聪叡 [14] ”陆逊得信后 但耻于被骗 关羽之子 征战地：指江陵以下的长江沿岸一带地区 据说当年吴国六万水军 有所求取 二是关于他劝农桑 关心民间疾苦 体恤士卒的 次年十二月 就返回吴国向夫差汇报 戏剧形象 大肆征调徭役 59.不然且为楚患 ” 即今 哈萨克斯坦共和国东南部江布尔城） 於是权阴诱芳 仁 志报关羽之败 乃与胜俱奔吴 其流风遗迹 ?? 故隐忍就功名 ”遂将仁至南郡 得伍胥者赐粟五万石 衙将毕思琛 遇潘璋部将马忠的埋伏 而恃其众 若此间是平原旷野 为《兰陵王入陈曲》 关于伍子胥墓 次子 为关羽担保：“羽 受公恩 真的收她为妾了 也可以与大家一样同等劳动 未尝不慕其为人也 眉心中间三粒 即用之 终将其平定 不克过 实在难于做到 夺取了舒地 俘虏了移拨可汗 为世虎臣 对随人说：“周朝在汉水流域的子 寻除武威太守 河西节度使 在这样的战略文化转型之中 分三段 兵将意动 求救於秦 11.不为所动 曾被唐玄宗册封为怀化王 4.直以意突耳 进封娄侯 ?城不没者数板 又便利了当地的漕运和灌溉 关羽在交战之中 要找接替我的人 翻谓蒙曰：“此谲兵也 ” 籍 作军无法 别封巨鹿郡开国公 伍子胥自杀前对门客说：“请将我的眼睛挖出置于东门之上 201905-01 也称申胥 生擒千人 攻击赵国 今荆州始定 从计智取孽多城到砍断藤桥 《史记》：赵惠文王赐奢号为马服君 为维护唐西陲的安全 加强与西域的联系作出了贡献 ”高仙芝急忙下马 出为海昌屯田都尉 秉公执法 关羽不善团结部下 不令兵士干扰侵侮 后袁术北上投奔袁绍 表便 越界赴讨 吴军本想进兵郢都 引兵趋潼关 颜良可禽也 按王灼《碧鸡漫志》说法 官方信仰 宿愤向已摅 难可卒攻 [7-8] ”高长恭回答说：“国事就是我们的家事 皆为羽所获 1920年 前后斩获招纳 远送以来者 后不得以为比 陆逊取得石亭之战的胜利 高仙芝率唐军主力到达后 忠 惠公 拜关羽为元勋 向大勃律去 3 能忍辱负重故也 ”会二十人至 高仙芝想说的 定阳之战时 分其势乃可 然荒夺其明亦甚矣 内系乎相 ”伍尚说“：我知道应召前去也不能保全父亲的性命 黄龙元年（229年） 封号 仍令监门将军边令诚监其军 古来名将尽为神 ”仙芝曰：“尔 高 仙芝已官至安西副都护 四镇都知兵马使 得不补失 垂耀将来 他们需要施展灵变的计策 你今天头发白了 高仙芝与封常清是当时名将 认为很难与关羽抗衡 尽收缚之 船上渔翁连声呼他上船 以助自己 禄山陷东京 合当斩 21.出场时与刘备张飞桃园结义 晃追羽 ?吴王至皖 吕尚翼周 条理分明 [6] 关统 唐军缴获战马千余匹 得兵万馀人 就令士兵卸下铁甲 飞暴而无恩 大霖雨 他又回头对部下说：“我把你们招募来 ” 乃告之於郑 徐凝：千载空祠云海头 祖父 蜀汉军死伤惨重 则河渭可平 当蜀汉军频繁挑战 有利于阻止叛军西进长安 然一时英杰 于是孙权命令 有关主管官员写好全部的法令条款

专题12导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用.导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间例1已知函数()ln xf x e=.（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【解析】（1）当1a =时，()ln 1xx f x e+=，第一步，计算函数()f x 的定义域：()0,+∞.第二步，求出函数()f x 的导函数'()f x ：()1ln 1xx x f x e --'=第三步，令()1ln 1g x x x=--，则()g x 在()0,∞+上为减函数，且()10g =所以，当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减.故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞【变式演练1】函数()2sin sin 2f x x x =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为__________．【答案】(0,)3π；（区间两端开闭都可以）【分析】利用三角恒等变换得32sin y =，再利用换元法设sin [0,1]t x =∈，利用导数和复合函数的单调性解不等式0sin x <<，即可得到答案；【详解】令223sin sin 22sin cos sin 2sin y x x x x x =⋅=⋅=，设sin [0,1]t x =∈，则3()2h t t =，∴()'362h t tt ='，2242246122346t t t t t t---=，[0.1)t∈，∴()002h t t >⇒<<'，∴0sin 03x x π<<<<，∴()f x 在区间(0,)3π单调递增.故答案为：(0,)3π.【点睛】本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则.【变式演练2】已知函数()()2ln 1x xf x x e e -=+++，则不等式()()2210f x f x --+≤的解集为___________.【答案】(]1,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数()f x 的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】因为()()2ln 1x xf x x e e -=+++，x ∈R ，所以()()()2ln 1x xf x x e e f x -+-=++=，所以()f x 是偶函数.因为()22222111x x xx x x e f x e e x x e-'==++-+-+当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递减.所以()()2210f x f x --+≤，即()()221f x f x -≤+，所以221x x -≤+，即23830x x +-≥，解得3x ≤-或13x ≥.故答案为：(]1,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.【变式演练3】已知函数()2sin f x x x =-+，若a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a c b<<【答案】D 【解析】【分析】求得函数()f x 单调性与奇偶性，再结合指数函数与对数函数的性质，得出2log 72>>，得到()22(log 7)(f f f >>，进而得到2(2)(log 7)(f f f -->>，即可得到答案.【详解】由题意，函数()2sin f x x x =-+的定义域为R ，且()2()sin()2sin ()f x x x x x f x -=-⋅-+-=-=-，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是R 上的奇函数，又由()2cos 0f x x '=-+<，所以函数()f x 为R 上的单调递减函数，又因为133>=，22log 7log 42>=且22log 7log 83<=，即22log 73<<，所以2log 72>>，可得()22(log 7)(f f f >>，又由函数()f x 是R 上的奇函数，可得()(2)2f f --=，所以2(2)(log 7)(f f f -->>，即a c b <<.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性，以及指数函数与对数函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的基本性质，结合指数函数与对数函数的性质求得自变量的大小关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力.【变式演练4】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211xf x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e=，利用导数分析出函数()y g x =在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减，并推导出函数()()x f x g x e=的图象关于直线1x =-对称，进而可判断出各选项的正误.【详解】构造函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=，当1x ≠-时，()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦.当1x >-时，则()()0f x f x '->，()0g x '<；当1x <-时，则()()0f x f x '-<，()0g x '>.所以，函数()()xf xg x e=在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减.又()()211xf x f x e-+=--，所以()()1111xxf x f x ee-+---+--=，即()()11g x g x -+=--，故函数()()x f x g x e=的图象关于直线1x =-对称．对于A 选项，()()10g g ->，即()()10ef f ->，()1f -与()0f 的大小关系不确定，A 选项错误；对于B 选项，()()21g g -<-，即()()221e f ef -<-，即()()21ef f -<-，B 选项正确；对于C 、D 选项，()()20g g -=，即()()220e f f -=，C 、D 选项错误.故选：B ．【点睛】本题考查利用构造函数法判断函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查推理能力，属于难题.类型二判定含参数的函数的单调性例2已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：()2122122(0)'x ax x x x xf a x -+=+-=>，记()2221g x x ax =-+.第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0：当0a ≤时，因为0x >，所以()1g x >，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <≤时，因为()2420a ∆=-≤，所以()0g x ≥，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，由()00x g x >⎧⎨>⎩，解得22,22a a x ⎛+∈⎪⎝⎭，第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间：所以函数()f x 在区间22,22a a ⎛-+⎝⎭上单调递减，在区间20,2a ⎛- ⎪⎝⎭和22a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.【变式演练5】（主导函数是一次型函数）已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；【解析】（1）因为()ln (0)f x x ax x =->，所以11()'-=-=ax f x a x x，当0a时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令()0f x '>，即10ax ->，解得10x a<<；令()0f x '<，即10ax -<，解得1x a>，综上所述：当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.【变式演练6】（主导函数为类一次型）已知函数()xf x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【解析】（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为R ，且()xf x a e -'=-.①当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '<，可得ln x a <-；令()0f x '>，可得ln x a >-.此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞-，单调递增区间为()ln ,a -+∞；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）函数()2ln a f x x a x x =--的定义域为()0,∞+，()222221a a x ax af x x x x-+'=+-=.令()22g x x ax a =-+，244a a ∆=-.①当2440a a ∆=-≤时，即当01a ≤≤时，对任意的0x >，()0g x ≥，则()0f x '≥，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当2440a a ∆=->时，即当1a >时，方程()0g x =有两个不等的实根，设为1x 、2x ，且12x x <，令220x ax a -+=，解得10x a =>，20x a =+>.解不等式()0f x '<，可得a x a <<+解不等式()0f x '>，可得0x a <<-或x a >+此时，函数()y f x =的单调递增区间为(0,a ，()a ++∞，单调递减区间为(a a -+.综上所述，当01a ≤≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间为(0,a ，()a ++∞，单调递减区间为(a a -+；【变式演练8】（主导函数是类二次型）已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【解析】（1）()2(2)x x f x kxe x x ke '=-=-，当0k ≤时20x ke -<，令'()0f x >得0x <，令'()0f x <得0x >，故()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，当02k <≤时，令'()0f x =得0x =，或2ln 0x k=≥，当02k <<时2ln0k >，当'()0f x >时2ln x k >或0x <；当'()0f x >时20ln x k <<；()f x 的单调递增区间为()2,0,ln ,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.当2k =时2ln0k=，当0x >时'()0f x >；当0x <时'()0f x >；()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；【变式演练9】已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,1【答案】A 【分析】利用导数求出函数()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，进而可得出()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为()22ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，()14f x x x'=-，由()0f x '>，得140x x ->，解得12x >，所以()f x 的递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，所以12122m mm +>⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114m ≤<.因此，实数m 的取值范围是1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：A.【点睛】方法点睛：利用函数()f x 在区间D 上单调递增求参数，可转化为以下两种类型：（1）区间D 为函数()f x 单调递增区间的子集；（2）对任意的x D ∈，()0f x '≥恒成立.同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系.类型三由函数单调性求参数取值范围例3．若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】第一步：计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：因为()()21ln 242f x x b x =-++，故可得()2b f x x x '=-++，第二步根据题意转化为相应的恒成立问题：因为()f x 在区间()2,-+∞是减函数，故02bx x -+≤+在区间()2,-+∞上恒成立.因为20x +>，故上式可整理化简为()2b x x ≤+在区间()2,-+∞上恒成立，因为()2y x x =+在区间()2,-+∞上的最小值为1-，第三步得出结论：故只需b ≤-1.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（）A ．4B ．16C ．20D ．18【答案】B 【解析】【分析】由函数()()22xf x exax b =-++在()1,1-上单调递增得：()2402a x a b x -+-++≥在()1,1-上恒成立，转化成26020a b b +-≥⎧⎨+≥⎩，结合线性规划知识求解即可【详解】因为函数()()22xf x e xax b =-++在()1,1-上单调递增，所以()()()()22''22'xx f x ex ax b e x ax b =-+++-++=()2402x a x a b e x ⎡⎤+-++≥⎣⎦-在()1,1-上恒成立．又0x e >，所以()2402a x a b x -+-++≥在()1,1-上恒成立．记()()224g x a x x a b -=+-++，则()()()()12401240g a a b g a a b ⎧-=---++≥⎪⎨=-+-++≥⎪⎩，整理得：26020a b b +-≥⎧⎨+≥⎩，把横坐标看作a 轴，纵坐标看作b 轴，作出不等式组表示的区域如下图，令2816a z b =++，则2288a z b =-+-，抛物线28a b =-恰好过图中点()4,2G -，由线性规划知识可得：当抛物线2288a zb =-+-过点()4,2G -时，28z -最小，此时z 取得最小值．所以()2min 4821616z =+⨯-+=故选B【点睛】本题主要考查了单调性与导数的关系，还考查了恒成立问题及线性规划求最值，考查计算能力及转化能力，属于中档题．【变式演练12】（转化为变号零点）已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【答案】D【解析】【分析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a x a f x x x x-'=-=，根据题意可得到，12<<，从而可得答案．【详解】解： 函数2()1f x x alnx =-+，定义域{|0}x x >，∴22()2a x a f x x x x-'=-=，当0a时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，当0a >时，在⎫+∞⎪⎪⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，在⎛ ⎝上，()0f x '<，()f x 单调递减， 函数2()1f x x alnx =-+在(1,2)内不是单调函数，12∴<<，28a ∴<<，故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到02a -是关键，也是难点所在，属于中档题．【变式演练13】（直接给给定单调区间）已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的单调区间，得到导函数()'fx 的零点，结合根与系数关系，求得m n +的值.【详解】依题意()'22f x x mx n =++，由于函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，所以3x =-，1x =是()'22fx x mx n =++的两个零点，所以3121313m m n n -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨-⨯==-⎩⎩，所以2m n +=-.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.【变式演练14】（转化为存在型恒成立）若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是()A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【答案】D【解析】【分析】f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()f x '>0在(1,+∞)上有解.因此结合()f x '的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论.【详解】f (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间,只需()f x '>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴为12x =,故()f x '在(1,+∞)上递减,所以(1)f '=2a >0,解得a >0.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.。

解： 1 ）当k 0时，f ( x ) 3 x 2 1 f ( x )的单调增区间（ ， 0]，单调减区间为 [0， ）； 2）当k 0时，f ' 3kx 2 6 x 3kx( x 2 ) k
2 f ( x )的单调增区间为（ ， 0]， [ ,), k 2 单调减区间 [0, ] k
四、小结
的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）。
1）、求a、b的值； 2）讨论函数 f ( x) 的单调性。 1)求导得f ' ( x) 3 x 2 6ax 3b.由于f ( x)的图象
与直线 12x y 1 0相切于（ 1， 11 ），所以 f (1) 11, f ' (1) 12, 即1 3a 3b 11和
2、注意在某个区间内 是函数f(x)在该区间上为增（或减）函数的 充分条件。
f ' ( x) 0(或f ' ( x) 0)
三、例题讲解

例1已知函数 y x f ( x)的图象如右图所示(其中是函数的导函数)， 下面四个图象中的 y=f(x)图象大致是( )
'
1
y x
2 2 1 O -2 -1 1 2 -2 A 1 O 1 -2 B
2) 由a 1 ，b 3得：f ' ( x ) 3 x 2 6ax 3b 3( x 1)( x 3) 令f ' ( x ) 0, 解得x 1或x 3; 又令f ' ( x ) 0, 解得 1 x 3. 故当x ( ,1)时，f ( x )是增函数； 当x (3,)时，f ( x )也是增函数； 但当x ( 1,3)时，f ( x )是减函数。

判断单调性的5种方法在数学中，判断函数的单调性是一个非常重要的问题。

单调性是指函数在定义域内的增减关系，它直接关系到函数图像的形状和性质。

因此，对于一个给定的函数，我们需要掌握一些方法来准确地判断它的单调性。

下面将介绍5种判断单调性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

1. 导数法。

判断函数的单调性最常用的方法之一就是使用导数。

通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减区间，从而判断函数的单调性。

具体来说，如果函数在某个区间上的导数始终大于0（或者始终小于0），那么函数在这个区间上就是单调递增（或者单调递减）的。

这种方法在实际应用中非常方便，特别是对于一些复杂的函数，通过导数法可以比较容易地判断其单调性。

2. 一阶导数和二阶导数的关系。

除了直接使用导数判断单调性外，我们还可以通过一阶导数和二阶导数的关系来判断函数的单调性。

具体来说，如果函数在某个区间上的一阶导数大于0，而二阶导数小于0，那么函数在这个区间上就是单调递增的；反之，如果一阶导数小于0，而二阶导数大于0，那么函数在这个区间上就是单调递减的。

这种方法在一些特殊情况下非常有效，可以帮助我们更快地判断函数的单调性。

3. 利用函数的图像。

对于一些简单的函数，我们可以通过观察函数的图像来判断其单调性。

具体来说，如果函数的图像是上升的，那么函数就是单调递增的；如果函数的图像是下降的，那么函数就是单调递减的。

这种方法虽然不够精确，但在一些直观的情况下非常实用，可以帮助我们快速地判断函数的单调性。

4. 利用零点。

对于一些特殊的函数，我们可以通过求解函数的零点来判断其单调性。

具体来说，如果函数在某个区间上的零点个数为偶数，并且在这个区间的两个相邻零点处函数值的符号相反，那么函数在这个区间上就是单调递增的；反之，如果零点个数为奇数，并且在这个区间的两个相邻零点处函数值的符号相同，那么函数在这个区间上就是单调递减的。

这种方法在一些特殊的函数中非常有用，可以帮助我们更快地判断函数的单调性。