分类思想在三角形上应用

“三角形的分类”教学设计教学内容：人教版小学数学第八册P83～P84教学目标：（1）通过实际操作、探究掌握三角形的分类标准及方法，体会每类三角形特征，并能够识别直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，等腰三角形和等边三角形。

（2）经历动手操作、分析思考的过程，感悟分类的数学思想；通过观察、分类、记录等活动，折、剪等操作，培养学生的探索精神、归纳概括能力、逻辑思维能力，发展学生的空间想象能力。

（3）让学生在探究过程中，感受到学习数学的乐趣，体验成功的喜悦，从而激发学生学好数学的热情，同时懂得合作可以提高效率的道理。

教学重点：感受分类思想，分别从三角形的角和边两个方面特征，对三角形准确地进行分类。

教学难点：能够掌握各种三角形的特征以及各类三角形之间内在联系。

教学准备：1、教具：多媒体课件、红领巾2、学具：三角形卡片、直尺、量角器教学设想：“分类”是科学研究的方法之一，在数学中应用很广。

教学三角形的分类，一方面要使学生进一步认识三角形角、边的特点，另一方面要使学生理解分类的思想，掌握分类的方法。

本节课的设计意图是希望通过学生对图形的分类来加强对各图形特征的理解，引导学生自主探索，合作交流，在交流中发现问题，然后解决问题。

教学过程：一、复习、创设情景导入我们已经学习过关于角的知识，那么你能说出下面的图形是什么角吗？（课件出示）如果我在这些角的两条边上分别取两点，用线段连接它，我们还能把他们叫锐角、直角、钝角吗？（生答后师问：那么我们把他们叫什么？）（三角形）师：对，生活中的三角形物体是非常多的，比如，这是一艘小帆船（课件示），它是由许许多多形态各异的小三角形拼成的。

如果让你把这些三角形进行分类的话，你可以怎么分？生自由分类并汇报结果。

师介绍分类方法的要求。

二、探究新知1.按角分类（1）思考探究师：下面请你们把大信封里面的三角形拿出来，用我们刚才了解的分类知识统一一个分类标准，即“按照角的特点”把他们进行分类好吗？分好之后小组成员间互相交流一下，说一说你分的每一组三角形的角都有什么特点？（2）辨析提升师：请你们把分类的情况介绍一下，并试着给大家讲讲你们分类的依据。

浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用【摘要】本文将探讨分类讨论思想在中学数学中的应用。

在我们将介绍分类讨论思想在中学数学中的重要性、定义以及与解决数学问题的关系。

接着在将详细讨论分类讨论思想在解决代数方程、几何证明、概率统计、数学竞赛、数学教学中的具体应用情况。

在将总结分类讨论思想在中学数学中的普遍适用性，对学生思维能力的培养作用，以及未来在数学领域的发展。

通过本文的阐述，读者将全面了解分类讨论思想在中学数学中的重要性和实际应用，为其在数学学习及教学中提供参考和借鉴。

【关键词】关键词：分类讨论思想、中学数学、代数方程、几何证明、概率统计、数学竞赛、数学教学、普遍适用性、思维能力培养、未来发展。

1. 引言1.1 分类讨论思想在中学数学中的重要性分类讨论思想在中学数学中的重要性在于其能够帮助学生建立起系统性的思维方式和解决问题的方法。

通过分类讨论思想，学生能够将复杂的数学问题分解成更小的部分，从而更好地理解问题并找到解决方案。

分类讨论思想还能帮助学生培养逻辑推理能力和分析问题的能力，提高数学问题的解决效率和准确性。

在学习数学的过程中，分类讨论思想也可以激发学生的兴趣和求知欲，促使他们更深入地探究数学知识和技巧。

分类讨论思想在中学数学中扮演着至关重要的角色，是学生发展数学思维和解决问题能力的必备工具之一。

通过引导学生熟练运用分类讨论思想，可以让他们更好地掌握数学知识，提升数学学习的效果和质量，同时也为他们未来的学习和职业道路打下坚实的基础。

1.2 分类讨论思想的定义分类讨论思想是指在解决问题时，将问题分解成若干个小问题，再通过对每个小问题进行分类讨论，最终达到对整个问题的全面理解和解决的方法。

分类讨论思想通过对问题进行细致的分类和分析，可以帮助我们更好地把握问题的本质和规律，找到解决问题的有效途径。

在数学领域，分类讨论思想是一种常用的求解问题的方法，尤其在代数、几何、概率统计等领域有着广泛的应用。

通过分类讨论思想，我们可以将复杂的问题分解成易于理解和解决的小问题，从而提高问题解决的效率和准确性。

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等．证明数量关系题型1证明线段相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.(第1题)题型2证明角相等2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.(第2题)证明位置关系3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.(第3题)证明倍分关系4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.(第4题)证明和、差关系5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.(第5题)证明不等关系6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.(第6题)专训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．构造基本图形法1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.(第1题)翻折法2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE ＋DF＝EF，求∠EAF的度数．(第3题)平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4题)加倍折半法5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(第5题)截长补短法6．如图所示，AB∥CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E 在AD上．求证：BC＝AB＋CD.(第6题)专训三：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．当顶角和底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．当底和腰不确定时，分类讨论4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－5|＋(10－y)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数．由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()(第10题)A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．(第11题)专训四：三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定．本章的考点较多，也是中考的重点考查内容．互逆命题、基本事实、互逆定理1．下列命题是真命题的是()A．无限小数是无理数B．相反数等于它本身的数是0和1C．对顶角相等D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是()A．全等三角形的对应角相等B．若两个角都是直角，则它们相等C．同位角相等，两直线平行D．若a＝b，则|a|＝|b|全等三角形的性质与判定3．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有()A．3对B．2对C．1对D．0对(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则BF的长是()A．7 B．6 C．5 D．45．(2015·杭州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.(第5题)等腰三角形的判定与性质6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(第6题)(第7题)(第8题)7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．8．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB＝6 cm，AC＝9 cm，则△AMN 的周长为________．9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.(第9题)尺规作图10．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法如下：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB，AC.△ABC即为所要求作的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()(第10题)A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)线段垂直平分线与角平分线11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC 于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是()A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点(第11题)(第12题)12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是()A．80°B．50°C．40°D．20°13．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝12(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？并说明理由．(第13题)思想方法a．分类讨论思想14．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角度数为________．15．(2014·安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10C．6或7 D．7或10b．方程思想16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．(第16题)c．转化思想17．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE＝12(AC－AB)．(第17题)答案专训一1．证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD(S .A .S .)．∴DE ＝DF.2．证明：过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ，则CG ∥AB ，∴∠BAF ＝∠G.又∵AF ⊥BD ，AC ⊥CG ，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∠CAG ＋∠G ＝90°.∴∠ABF ＝∠CAG.在△ABD 和△CAG 中，⎩⎨⎧∠ABF ＝∠CAG ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACG ＝90°，∴△ABD ≌△CAG(A .S .A .)．∴AD ＝CG ，∠ADB ＝∠G.又∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∴CD ＝CG.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.又∵AB ∥CG ，∴∠ABC ＝∠GCE.∴∠ACB ＝∠GCE.又∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CGE(S .A .S .)．∴∠G ＝∠CDE.∴∠ADB ＝∠CDE.(第3题)3．证明：如图，连接ED ，FD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△BDE 和△CFD 中，⎩⎨⎧BD ＝CF ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△BDE ≌△CFD(S .A .S .)．∴DE ＝DF.又∵点G 是EF 的中点，∴DG ⊥EF.4．证明：∵AD ，BE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，又∵∠BHD ＝∠AHE ，∴∠EBC ＝∠EAH.在△BCE 和△AHE 中，⎩⎨⎧∠EBC ＝∠EAH ，BE ＝AE ，∠BEC ＝∠AEH ＝90°，∴△BCE ≌△AHE(A .S .A .)．∴AH ＝BC.又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2BD ，∴AH ＝2BD.5．证明：如图，延长CB 至E ，使BE ＝BA ，则∠BAE ＝∠E.∵∠ABC ＝2∠C ＝2∠E ，∴∠E ＝∠C ，∴AE ＝AC.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠BAE ＝∠E ，∠E ＝∠C ，∴∠BAE ＝∠C.又∵∠EAD ＝∠BAE ＋∠BAD ，∠EDA ＝∠C ＋∠DAC ，∴∠EAD ＝∠EDA.∴AE ＝DE.∴AC ＝DE ＝BE ＋BD ＝AB ＋BD.(第5题)(第6题)6．证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD.在△AEP 和△ACP 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ACP(S .A .S .)，∴PE ＝PC.在△PBE 中，BE ＞PB －PE ，∴AB －AC ＞PB －PC.专训二1．证明：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠ACF ＝90°.∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，∴△ACD ≌△CBG(A .S .A .)．∴∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG.∵点D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.∴BD ＝BG.又∵∠DBG ＝90°，∠DBF ＝45°，∴∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.∴∠DBF ＝∠GBF.在△BDF 和△BGF 中，⎩⎨⎧BD ＝BG ，∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，∴△BDF ≌△BGF(S .A .S .)．∴∠BDF ＝∠G.∴∠ADC ＝∠BDF.点拨：本题运用了构造基本图形法，通过作辅助线构造△CBG 、△BGF 是解题的关键．(第1题)(第2题)2．证明：如图，延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE.∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠BDF ＝90°.在△ABD 和△FBD 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，∴△ABD ≌△FBD(A .S .A .)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB ＝∠1＋∠C ，∴∠2＝∠1＋∠C.(第3题)3．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.∵∠ABE ＝90°，∠D ＝90°，∴∠ABH ＝∠D ＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABH ＝∠D ＝90°，BH ＝DF ，∴△ABH ≌△ADF.∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF.∴∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF ，即∠HAF ＝∠BAD ＝90°. ∵BE ＋DF ＝EF ，∴BE ＋BH ＝EF ，即HE ＝EF.在△AEH 和△AEF 中，⎩⎨⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，∴△AEH ≌△AEF.∴∠EAH ＝∠EAF.∴∠EAF ＝12∠HAF ＝45°.点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，使AD 边与AB 边重合，得到△ABH.4．证明：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，∴∠ADO ＝∠ABC. ∵∠BAC ＝60°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝80°.∴∠ADO ＝80°.∵BQ 平分∠ABC ，∴∠QBC ＝40°.∴∠AQB ＝∠C ＋∠QBC ＝80°.∴∠ADO ＝∠AQB.易知∠DAO ＝∠QAO ，OA ＝OA ，∴△ADO ≌△AQO.∴OD ＝OQ ，AD ＝AQ.∵OD ∥BP ，∴∠PBO ＝∠DOB ，又∵∠PBO ＝∠DBO ，∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝OD.∴BD ＝OQ.∵∠BAC ＝60°，∠ABC ＝80°，BQ 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ， ∴∠BAP ＝30°，∠ABQ ＝40°，∴∠BOP ＝70°.∵∠BAP ＝30°，∠ABC ＝80°，∴∠APB ＝70°.∴∠BOP ＝∠APB ，∴BO ＝BP.∴AB ＋BP ＝AD ＋DB ＋BP ＝AQ ＋OQ ＋BO ＝BQ ＋AQ.5．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AD 是线段BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB.∵AB ＋BD ＝CD ，DE ＝BD ，∴AB ＋DE ＝CD.而CD ＝DE ＋EC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC.故设∠EAC ＝∠C ＝x ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.6．证法一：用截长法，如图①所示，在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.(第6题)因为BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，所以∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE.在△ABE 和△FBE 中，因为⎩⎨⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，所以△ABE ≌△FBE.所以∠A ＝∠EFB.因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠D ＝180°.因为∠BFE ＋∠EFC ＝180°，所以∠EFC ＝∠D.在△EFC 和△EDC 中，因为⎩⎨⎧∠FCE ＝∠DCE ，∠EFC ＝∠D ，EC ＝EC ，所以△EFC ≌△EDC.所以FC ＝DC.所以BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CD.证法二：用补短法，如图②所示，延长BE 交CD 的延长线于点G.因为AB ∥CD ，所以∠ABE ＝∠G.因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠CBE.所以∠CBE ＝∠G.因为CE 平分∠BCD ，所以∠BCE ＝∠GCE.在△BEC 和△GEC 中，因为⎩⎨⎧∠CBE ＝∠G ，∠BCE ＝∠GCE ，CE ＝CE ，所以△BEC ≌△GEC.所以BC ＝GC ，BE ＝GE.在△ABE 和△DGE 中，因为⎩⎨⎧∠ABE ＝∠G ，∠AEB ＝∠DEG ，BE ＝GE ，所以△ABE ≌△DGE.所以AB ＝DG.所以BC ＝CG ＝GD ＋DC ＝AB ＋CD.专训三1．D 2.C 3.32°4．C 5.23或25 6.257．解：设等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D.(1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC 的内部，如图①，∵∠DBC ＝25°，∴∠C ＝90°－∠DBC ＝90°－25°＝65°，∴∠ABC ＝∠C ＝65°，∠A ＝180°－2×65°＝50°.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC 的内部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠A ＝90°－∠ABD ＝65°，∴∠C ＝∠ABC ＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC 的外部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠BAD ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.(第8题)9．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，则AB－BC＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝8 cm；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，则BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝2 cm；但是当AB＝2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，而2＋2＜5，不符合三角形三边关系，故舍去，故腰长为8 cm.10．B11．解：(1)当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，(第11题)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D，E在点A的同侧，且点D在D′的位置，点E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.专训四1．C 2.C 3.A 4.C5．证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，∴AM＝23AB，AN＝23AC.又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.又∵AD＝AD，∴△AMD≌△AND(S.A.S.)．∴DM＝DN.6．D7.38.15 cm9．证明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB ＝AD.10．C 11.D 12.D(第13题)13．解：∠1与∠2互补．理由：作CF ⊥AN 于F(如图)，∵AC 平分∠MAN ，∴∠3＝∠4，又∵CE ⊥AM ，CF ⊥AN ，∴CF ＝CE ，∠CFA ＝∠CEA ＝90°，∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ，∴AF ＝AE.∵AE ＝12(AD ＋AB)＝12(AF －DF ＋AE ＋BE)＝AE ＋12(BE －DF)，∴BE －DF ＝0，∴BE ＝DF ，又CE ＝CF ，∠CEB ＝∠CFD ，∴△DFC ≌△BEC(S .A .S .)，∴∠5＝∠2，∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°.即∠1与∠2互补．14．70°或40° 点拨：本题运用了分类讨论思想，将已知条件外角等于110°分为底角处的外角和顶角处的外角两种情况进行讨论，解题时要防止漏解．15．A 点拨：∵2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，∴⎩⎨⎧2a －3b ＋5＝0，2a ＋3b －13＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3. 当a 为底边长时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b 为底边长时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7.综上所述，此等腰三角形的周长为7或8.16．解：设∠ABD 的度数为x.∵AD ＝DE ＝EB ，∴∠A ＝∠AED ＝2∠ABD ＝2x.∵BC ＝BD ，∴∠C ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝3x.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝3x.∴∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝8x ＝180°.∴x ＝22.5°.∴∠A ＝2x ＝45°.17．证明：如图，延长BE 交AC 于F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠FAE.(第17题)在△ABE 和△AFE 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∴△ABE ≌△AFE(A .S .A .)．∴∠ABF ＝∠AFB ，BE ＝FE ，AB ＝AF.∴BE ＝12BF.∠ABC ＝∠ABF ＋∠FBC＝∠AFB ＋∠FBC ＝∠C ＋∠FBC ＋∠FBC ＝∠C ＋2∠FBC ，又∵∠ABC ＝3∠C ，∴3∠C ＝∠C ＋2∠FBC.∴∠C ＝∠FBC.∴BF ＝CF.∴BE ＝12CF.∵CF ＝AC －AF ＝AC －AB ，∴BE ＝12(AC －AB)．点拨：本题运用了转化思想，通过添加辅助线构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质将AC 与AB 的差转化为AC 与AF 的差是解题的关键．。

《三角形分类》教学设计优秀4篇《三角形分类》教学设计篇一教材内容：本课的教学内容是北师大版教材四年级下册“三角形”第二单元。

教学目标：1、知识与技能：使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。

2、方法与过程：经历分类的过程，渗透分类的数学思想，培养学生的空间观念和初步的逻辑思维能力。

3、情感态度与价值观：在共同学习中，训练学生的自我探索能力，在探索活动中培养学生主动探索精神和创新意识。

重、难点：教学重点：认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形以及等腰三角形、等边三角形的基本特征。

教学难点：发现三角形的角、边特征从而正确分类。

教学工具：多媒体幻灯片、直尺、学具袋（各种类型的三角形）教学过程：一、复习引入1、复习出示幻灯片2生活中哪些东西是三角形，同学们可以列举生活用品，也可以对书中的事物进行描述。

出示幻灯片3我们学过哪几种角？（指名口答）下面的角是什么角？（指名口答）下面三种角同学们知道角是由两条边和一个顶点组成的，并且它的两条边是两条射线。

2、揭题板书：是啊，三角形在我们生活中处处可见，有着广泛的应用，为我们的生活增添了不少情趣，是我们生活中的数学，今天我们就来给众多精美的三角形分分类。

板书：三角形的分类二、探索新知：给三角形分类1、按角把三角形分类三角形有各种不同的形状，所以可以分成不同的类别。

（发给每个小组一个学具袋）（1）操作感知让学生打开学具袋。

（内装有锐角三角形、钝角三角形、直角三角形纸片各2张并编上序号），以小组为单位，量出每个三角形三个角的度数，并按要求填写记录表。

（2）展示、交流指名说一说量得的结果后，仔细观察。

看看你发现了什么？（教师出示填写好的记录单，和学生对照检查后，让学生说说他们的发现，可以组内相互说说，再在班上说。

）向学生介绍什么是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

（3）认识三类三角形的关系（多媒体出示）理解三角形的关系图。