偏微分方程数值解试题(06B)
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
1
一 (10 分)、设矩阵 A 对称，定义 J(x) =-(Ax, x)-(b, x) (x R n )，
( )=J(x 0
-x).若'(0) = 0,则称称X o 是J(x)的驻点(或稳定点).矩阵A 对
称(不必正定)，求证x o 是J(x)的驻点的充要条件是：x o 是方程组 Ax = b 的解 解：设Xo ? R n 是J(x)的驻点，对于任意的R n ，令
f 2
()二 J(X o ，x) = J(X o )
? (Ax o -b,x) (Ax,x),
(3 分)
2
'(o^o ,即对于任意的R n , (Ax 。-b,x) =o ,特别取x 二Ax 。-b ,则有 (Ax o -b,Ax o -b) =||
Ax o _b 『 = o ，得到 Ax 。= b .
(3 分)
反之，若
Xo ? R n 满足 Ax °二b ,则对于任意的
1
X , J(X o x^ (1) = (o) 2(Ax ，x) J(X o ),因此 X o 是 J(x)的最小值点.(4 分) 评分标准：：
(■)的展开式3分,每问3分，推理逻辑性1分
d du
Lu (p ) qu = f
dx dx
u(a) =0,u (b) =0
其中 p C 1([a, b]), p(x) _ min p(x)二 p min 0, q C([a, b]), q 一 0, f H 0([a,b])
X 斗 a,b]
建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。
解：设H E 二｛u|u ，H 1(a,b), u(aH0｝为求解函数空间，检验函数空间.取
v H E (a,b)，乘方程两端，积分应用分部积分得到
(3分)
b
du dv
b
a(u, v) (p . quv)dx fvdx 二 a dx dx a 即变分问题的Galerkin 形式.
(3分)
x ，(a,b)
(10分)、对于两点边值问题: f (v)，一 v H E (a,b)
1 1 b du
2 2
Ritz形式令J(u) = —a(u,u)—(f ,u) =—J [p(—) +qu - fu]dx，则变分问题的
2 2 a dx
为求E （a,b ）,使 J （u *） =min J （u ）
（4 分）
u 日
E
评分标准：空间描述与积分步骤3分，变分方程3分，极小函数及其变分问题4分, 三（20分）、对于边值问题
u |
x =^ = 1,u |x4 = 0, u|y^ = u|y4=^x
（1） 建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截 断误差的阶。 （2） 取h =1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3） 就h =1/5和h = 1/ N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵 表示）O 解：（1）区域离散X j =jh,y k =kh ，差分格式为
u
j,k J - 2u jk ' u
j,k 1
孑 0
2 _ 4
_ 4
应用Tayloy 展开得到，截断误差为彳 ^]jk O （h 4）,其阶为O （h 2） （3分）
12 ex cy 2 -1/2 V15/2 1/2 0
<15/2
I 0
-2/^15 -21尿旋/晁丿
A=[4，-1，-1,0;-1,4,0，-1;-1,0,4，-1;0，-1，-1,4] L =
2.0000
-0.5000 -0.5000 0
0 1.9365 -0.1291 -0.5164
0 0
1.9322 -0.5521 0 0 0 1.8516 u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333
-2
-2
:u
: u
~~2 :x
:y
,(x,y) G =(0,1) (0,1)
u
j 1,k _ 2u jk ' u j J,k
h 1
(5分)
z
4 -1
-1
0 '
V2/3X
*5/3
、
—1 4 0 _1
1/3
1/3
A = 0
4
_1 ,F =
1+2/3
5/3 <0 —1 _1 4」 < 1/3」
0/3>
求解得到解为
（3分）
(4分)
⑵未知量为U = （un ,山 2 ,吐 1 , 口22）丁，矩阵形式为AU = F ，
「B —I
「4 -1
⑶矩阵为
-I B -I
+ +
,B
=
-1 4
-1
+ +
(5分)
< 」B
」
< -1 4」
评分标准：第1冋8分，格式4分，截断误差4.（2） 7分，方程4分，解3分.（3）5分，形 式3分,B 的形式2分
u(0,t)二 u(1,t) = 0,0 二 t 二 T
（1） 建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶； （2） 写出差分格式的矩阵形式（即AU k 1 = BU k ? .F 的形式），用矩阵方法分析 格式的稳定性
（3） 建立六点对称格式（Crank 「Nicolson 格式）并写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。
k 1 k
解:（1）区域离散,格式为 ------ =a — 6；u k +bu j k ,
（5
分）
T
h
2 2 .■ .4
应用Taylor 展开得到，误差主项为丄（二-匹（―）：，O （?2 ? h 4）,阶为 2 St 12
ex 4
O （. h 2）
（3
分） ⑵ A 二 E, B 二diag{r,1—2r,r} ,
（4 分） 稳定条件为r <1/2 （3
分）
⑶格式为
k 1
k
勺巴二+ ：E k1 （1「）u ；） b （u ：1 u k ）,
（3 分）
T
h
2
低阶项归入O （.）中,格式是无条件稳定的. （2
分）
四（20分）、对于初边值问题
.:u .:
t
汽
二 a —2 bu, 0 ：： x ::
1,0 ：： t < T x u(x,0) = (x), 0 x ： 1
-X
六（10分）、建立波动方程
-2 -2
:'U 2
：一 U a
.:t 2
2的初值问题的显格式，推导截断误差
五（10分）、逼近—+— = 0的三层差分格式 ct 次 分析格式的稳定性
人2 +2rsinahi^—1=0,人,2
-2r sin 一汕二 “ 4 —4r 2 sin 2
-：>h .
T2
=1, max{| 11,| 2 |} - 1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根
4 - 4r 2sin 2 :F 一0.考虑到〉的变化，稳定条件为r 「
（2 分）
推导格式稳定的必要条件?
2
解:计算形式为U ： = -r （
U 打 n n A -U j j) U j (2 此为三层格式，
化为两层格式 .令V ；1 =U ；,则有 n 1
U j
二 n 1 V j
n 一r(U j n =Uj n n 1 一山」）V j (4
n n i Jh n 令 U j W 1 e - ,V j n
二
w ?e
E ,代入格式,消去公因子,得到 -2ir si nah 1
1
0丿期
(2
放大矩阵为G =
-2r sin : hi 1
1
°」
,特征方程为| ' E - G |二 ■■■■川
2rsin ： hi
-1
u n + -2u n + 解：差分格式为」 ----- r~
n 4
U j
=a 2 1 . 2 n
—0 U .2 x
j > h
n 1 n 1 n n
U i —u 厂 U jM —U" — j 12 一 =0
2h
n
n
1
截断误差为一 2 2 T
—a
12 ;t 4 j 分析稳定性必要条件 h 2 0(.4 h 4),阶为 O(.2 h 2) (3 分)
j
七（ 10分）、对于二维抛物型方程— (4 分)
,2 厂2
a( ￡
￥)建立 Cran k -Nicols on 差分
.:t ；x ；：y
格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。
n 1 n 解：
差分格式为巴 土二 T a 2 n 1 2 n 1 \
2(、x u jk ' y u jk )
h (4
误差阶为0（「h 2） （3分）
1 放大因子为G （：
?，：，.） - ,恒稳定.（3 分） 2 ： h ‘ . 2 h 1 4r sin 4rsin - 2 2 八.用Ritz -Galerkin 方法求边值问题 " 2 -u u = x 0 ： x ：
1 u(0) =0,u(1) =1 的第 n 次近似 U n (x),基函数 1(X )
=si n( i 二 x )
,i =1,2,…,n 解：（1）边界条件齐次化：令u 。= X, w 二u - u 。，
则w 满足齐次边界条件，
且 Lw 二 Lu 「Lu 0 二 x 2
「x w(0) = 0, w(1) = 0
(3 n 第n 次近似w n 取为w n 八c i ■ ■,其中c i (i =1,2,…n)满足的Ritz - Galerkin 方程为 i T n 迟 a(?i,?j )c =(x 2 —x,?j ) j =1,2,...,n (3 分) i A 又 1 ( 1
3(
平,耳)=[(半平 +
1 二
sin ixsin jx 2 二
由三角函数的正交性，得到
C.2 2
i兀ag j)才二
0,1 ..
,i 二J 2
，J
而(x2—x, ]) = q x(x -1)sin(j 二x)dx =
(j-:)
3[(-1)j -1] 于是得到
C j (X2_X, j) ——3 -------
= o j)(1 j
8兮J为奇数j为
偶数
最后得到
□
U“x [(2曲常们)2] (4
i