(升学预习)七年级数学暑期预习复习资料 相交线、平行线(含八年级内容)(无答案)

第 1 页第1讲 相交线与平行线相交线❖ 基本知识（熟记，会画图，要提问．） 12、余角定理是什么？ 3、什么是补角？ 4、补角定理是什么？ 5、什么是对顶角？ 6、对顶角有什么性质？ 7、什么是邻补角？ 8、邻补角有什么性质？9、什么是垂直？什么是垂线？什么是垂足？ 10、垂线有什么性质？ 11、什么是垂线段？ 12、垂线段有什么性质？ 13、什么是点到直线的距离？ 14、什么是同位角？ 15、什么是内错角？ 16、什么是同旁内角？ 参考答案1、如果两角之和为90°，则称这两个角互余．其中一个角是另一个角的余角．2、余角定理：同角（或等角）的余角相等．3、如果两角之和为180°，则称这两个角互补．其中一个角是另一个角的补角．4、补角定理：同角（或等角）的补角相等．5、如果两个角有公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反射延长线，这两个角互为对顶角．6、对顶角的性质：对顶角相等．7、两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角．8、邻补角的性质：邻补角互补．9、如果两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足．10、垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．11、过直线外一点的垂线上，以那一点和垂足为端点的线段称为垂线段．12、垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．13、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作这个点到这条直线的距离．14、平面内，两条直线被第三条直线所截所形成的角中，既在截线的同一侧，又在两条被截直线的同一侧的两个角，叫作同位角．15、平面内，两条直线被第三条直线所截所形成的角中，既在截线的两侧，又在两条被截直线之间的两个角，叫作内错角．16、平面内，两条直线被第三条直线所截所形成的角中，既在截线的同一侧，又在两条被截直线之间的两个角，叫作同旁内角． 习题：求角度1、如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，若∠BOD=76°，则∠BOM=________．解：∵∠BOC 与∠BOD 互为___________，∵∠BOC=180°—________=104°． ∵OM 平分∠AOC ，21∵∠AOM=∠COM=∠AOC ． ∵∠AOC=∠BOD=76°(______________)， ∵∠COM=38°．∵∠BOM=∠_____+∠_____=_____．2、如图所示，已知直线AB 、CD 交于点O ，OE∵AB 于点O ，且∵1比∵2大20°，则∵AOC=_____．3、如图所示，点O 是直线AB 上的点，OC 平分∵AOD ，∵BOD=40°，则∵AOC=_____．参考答案 1、142° 2、35° 3、70° 习题：证明垂直和其它1、如图所示，O 是直线AB 上一点，31∠AOC=∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线． （1）求∠COD 的度数．（2）判断OD 与AB 的位置关系，并说出理由．2、已知：∠MON=132°，射线OC 是∠MON 内一条射线，31且21∠CON+∠MOC=59°．问OM 与OC 是否垂直，并说明理由．3、如图所示，O 为直线AB 上一点，OD 平分∵AOC ，OE 平分∵BOC ，求证：OD ⊥OE ．4、如图所示，O为直线AB上一点，OD平分∵AOC，∵DOE=90°．求证：OE是∵BOC 的平分线．参考答案1、（1）45°；（2）略2、OM⊥OC3、略4、略平行线❖基本知识（熟记，会画图，要提问．）17、平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．18、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．19、平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（由平行公理推得）20、平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．21、平行线的判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．22、平行线的判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．23、平面内，垂直于同一直线的两直线平行．【这条不是课本上的定理，但是常用，要会熟练证明．】24、平行线的性质1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．25、平行线的性质2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等．26、平行线的性质3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．习题：平行线与相交线1、如图，∠A=2∠B，∠D=2∠C，求证：AB//CD．2、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=90°，求证：AB∥CD．3、如图，EF∥GH，AB、AD、CB、CD是∠EAC、∠FAC、∠GCA、∠HCA的平分线，求证：∠BAD=∠B=∠BCD=∠D．4、如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=40°，则∠EPF的度数是_______．【65°】5、已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE．6、如图，AB//CD，BN、DN分别平分∠ABM、∠MDC，求证：∠M=2∠N．7、如图，已知DB∥FG∥EC，∠ABD=70°，∠ACE=36°，AP是∠BAC的平分线．求∠PAG的度数．【17°】第2页第 3 页8、如图，已知直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1=∠2，∠CNF+∠AME=180°． （1）求证：AB//CD ； （2）求证：MP//NQ ．9、如图，已知AB//CD ，试再添上一个条件，使∵1=∵2成立（要求给出两个以上答案），并选择一个说明理由。

三角形综合练习题一、选择题1.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）A.∠A =∠D ，∠C =∠F ，AC =DF Ｂ.∠A =∠D ，AB =DE ，BC =EFＣ.AB =DE ，∠A =∠D = 80°，∠B =60°，∠F =40° Ｄ.∠C =∠F = 90°，AB =DE ，BC =EF2.AD 是△ABC 的角平分线，从D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足分别为E 、F ，那么下列结论中错误的是( ) A.DE =DF B.AE =AF C.BD =CD D.∠ADE =∠ADF3.如图2，AB ⊥BC 于B ，CD ⊥BC 于C ， AB =BC ，E 为BC 的中点，且AE ⊥BD 于F ，若CD =4cm ，则AB 的长度为（ ）A.4cmB.8cmC.9cmD.10cm4..如图3，已知点E 在△ABC 的外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1=∠2=∠3，AC=AE ，则有( )A.△ABD ≌△AFD B .△AFE ≌△ADCC.△AEF ≌△DFCD.△ABC ≌△ADE 二、填空题. .5如图4，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ，∠B =∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，•需要补充的一个条件是____________.6.如图5，沿AM 折叠，使点D 落在BC 边上，如果AD =7cm ，DM =2cm ，∠DAM =20°，则AN 的长为cm ，MN 长为 cm ， ∠NAM 的度数是 °.7. 如图6，四边形ABCD 中，CB =CD ，∠ABC =∠ADC =90°， ∠BAC =35°，则∠BCD 等于__.8.已知，在△ABC 中，AB =4，AC =2，AD 是B C 边上的中线，则AD 的取值范围是 .图2 A BC N MD 图5DC B A 图6 图4F E D B A 图3321B A C FE DD E AC B 三、解答题9.已知：如图7，D 是△ABC 边AC 上的一点，DF 交AB 于E ，且DE =EF ，FB ∥AC ， 求证：AE =BE .10.已知：如图11-8，AB 、CD 相交于O ，AC ∥DB ，OC =OD ，AE =BF ， 求证：CE =DF11.已知：如图，在△ABC 中，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE = CF ，请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？并说明理由. 12.已知：如图，∠A =∠D =90°，AC ，BD 交于O ，AC=BD ，求证：OB=OC ．13已知，如图，在ΔABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，AD ⊥DE 于D ，BE⊥DE 于E ，若AD=2厘米，BE=3厘米，求DE 的长。

四川省渠县崇德实验学校北师大版七年级数学下册第二章相交线与平行线暑假培训讲义集体备课教案（授课内容：平行线、平行线的构造）知识梳理 一、平行线1．平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“//”表示． 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【例】如图1，过直线a 外一点A 作b//a ，c//a ，则b 与c 重合．3．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简记为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【例】如图2，若b//a ，c//a ，则b//c ．图1 图2 图34．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．如图3，若a//b ，则Ð1=Ð2． （2）两直线平行，内错角相等．如图3，若a//b ，则Ð2=Ð3． （3）两直线平行，同旁内角互补．如图3，若a//b ，则Ð3+Ð4=180°． 5．平行线的判定（1）同位角相等，两直线平行．如图3，若Ð1=Ð2，则a//b ． （2）内错角相等，两直线平行．如图3，若Ð2=Ð3，则a//b ． （3）同旁内角互补，两直线平行．如图3，若Ð3+Ð4=180°，则a//b ． 二、平行的构造1．如图4，若a//b ，则Ð1=Ð2+Ð3 2．如图5，若a//b ，则Ð1+Ð2+Ð3=360°(c )b aAcba b a4321a b` 213`a b213图4 图5例题讲解 一、平行线下列说法中：下列说法中：①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；①如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交；②过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线相交； ③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行；③如果同一平面内的两条直线不相交，那么它们互相平行； ④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 正确的是__________．【解析】①③④．【提示】这道题主要考查平行线的概念和平行公理．（1）如图2-1，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若125Ð=°，则2Ð的度数是（的度数是（ ） A ．155° B ．135° C ．125° D ．115°（2）如图2-2，已知AB//CD ，EF 分别交AB 、CD 于M 、N ，EMB Ð=50°，MG 平分BM BMF F Ð，交CD 于G ，MGN Ð的度数为__________．FE AMBC N G D12图2-1 图2-2（3）证明：三角形三个内角的和等于180°．【解析】（1）D ；（2）65°；（3）证法1：如右图，过△ABC 的顶点A 作直线l//BC ． 则B Ð1=Ð，C Ð2=Ð（两直线平行，内错角相等）． 又因为BAC Ð1+Ð+Ð2=180°．（平角的定义） 所以B BAC C Ð+Ð+Ð=180°（等量代换）． 即三角形三个内角的和等于180°． 证法2：如右图，延长BC ，过C 作CE//AB ， 则A Ð1=Ð（两直线平行，内错角相等），B Ð2=Ð（两直线平行，同位角相等）．又∵BCA Ð+Ð1+Ð2=180°， ∴BCA A B Ð+Ð+Ð=180°， 即三角形三个内角的和等于180°．【提示】这道题主要考查平行线的性质，（3）题证明方法老师可以自行补充，这个结论和平行公理是等价的．平行公理是等价的．另外，另外，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，这种证明题需要学生先转化成常规的已知和求证，然后然后再证明，重点强调格式．（1）根据图在（）根据图在（ ）内填注理由：）内填注理由： ①∵B CEF Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ②∵B BED Ð=Ð（已知），（已知），∴AB//CD （ ）；）； ③∵B CEB Ð+Ð=180°（已知），（已知），l21CB A 21DCEBAA CDBFE∴AB//CD （ ）．）．（2）已知：如图所示，ABC ADC Ð=Ð，BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð，AED EDC Ð=Ð．求证：ED//BF ．证明：∵BF 和DE 分别平分ABC Ð和ADC Ð（已知）（已知）∴EDC Ð=__________ADC Ð，FBA Ð=__________ABC Ð（ ）， 又∵ADC ABC Ð=Ð（已知），（已知）， ∴Ð__________FBA =Ð（等量代换）．（等量代换）． 又∵AED EDC Ð=Ð（已知），（已知），∴Ð__________=Ð__________（等量代换），（等量代换）， ∴ED//BF （ ）．）．【解析】（1）①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行． （2）12；12；角平分线定义；EDC ；AED ；FBA ；同位角相等，两直线平行. 【提示】这道题主要考查平行的判定，这道题主要考查平行的判定，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，也通过这道题规范孩子们的书写过程，这种题型也是这种题型也是各学校的必考题型．如图，已知EF BC ^，C Ð1=Ð，Ð2+Ð3=180°．证明：AD BC ^．【解析】C Ð1=ÐQ ，（已知）\GD//AC ，（同位角相等，两直线平行） \CAD Ð=Ð2．（两直线平行，内错角相等）A CD BF EABCDEFG123又Ð2+Ð3=180°Q ，（已知）\CAD Ð3+=Ð180°．（等量代换）\AD//EF ，（同旁内角互补，两直线平行） \ADC EFC Ð=Ð．（两直线平行，同位角相等）EF BC ^Q ，（已知） ADC \Ð=90°，\AD BC ^．【提示】平行的性质和判定结合，时间可以留长点．请你分析下面的题目，从中总结规律，填写在空格上，并选择一道题目具体书写证明． （1）如图5-1，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AME Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（2）如图5-2，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð．求证：MG//NH ．从本题我能得到的结论是：_____________．（3）如图5-3，已知：AB//CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð，相交于点O ．求证：MG NH ^．从本题我能得到的结论是：_____________________．图5-1 图5-2 图5-3【解析】（1）两直线平行，同位角的角平分线平行．A CG EB M H NDFOACGEB MHNDF A CG EBMHNDF（2）证明：∵AB//CD ，∴BMF CNE Ð=Ð，又∵MG ，NH 分别平分BMF Ð，CNE Ð，∴GMF BMFCNE HNM 11Ð=Ð=Ð=Ð22，∴MG//NH ， 从本题我能得到的结论是：两直线平行，内错角的角平分线平行． （3）证明：∵AB//CD ，∴AMF CNE Ð+Ð=180°，又∵MG ，NH 分别平分AMF Ð，CNE Ð， ∴GMF HNE AMF CNE 11Ð+Ð=Ð+Ð=90°22，∴MON GMF HNE Ð=180°-Ð-Ð=90°，∴MG NH ^．从本题我能得到的结论是：两直线平行，同旁内角的角平分线垂直．【提示】平行线的性质和判定相结合，练习平行线倒角．二、平行线的构造（1）如图6-1，已知直线a//b ，Ð1=40°，Ð2=60°，则Ð3等于_________．（2）如图6-2，l 1//l 2，Ð1=120°，=Ð2100°，则Ð3=_________．（3）如图6-3，AB//CD ，ABE Ð=120°，ECD Ð=25°，则E Ð=_________．图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）100°；（2）40°；（3）85°．321b aED CBAl 1l 2321【提示】练习基础的平行线倒角模型：铅笔模型和猪蹄模型．（1）如图7-1，AB//CD ，BAFEAF 1Ð=Ð3，FCD ECF 1Ð=Ð3，AEC Ð=128°，则AFC Ð的度数为________．（2）如图7-2，已知：AB//CD ，ABP Ð和CDP Ð的平分线相交于点E ，ABE Ð和CDE Ð的平分线相交于点F ，BFD Ð=54°，则BPD Ð=________，BED Ð=________．图7-1 图7-2【解析】（1）58°；（2）144°；108°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型综合．（1）如图8-1，AB//CD ，A Ð=32°，C Ð=70°，则F Ð=________．（2）如图8-2，AB//CD ，E Ð=37°，C Ð=20°，则EAB Ð的度数为________．图8-1 图8-2【解析】（1）38°；（2）57°． 【提示】铅笔模型和猪蹄模型的变形．EF A BPCDFD CBEAED CBA如图，直线AC//BD ，连结AB ，直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定线上各点不属于任何部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点当动点P 落在某个部分时，落在某个部分时，连结连结P A 、PB ，构成PAC Ð，APB Ð，PBD Ð三个角。

含字母系数的一次方程一、含字母系数的一次方程1．含字母系数的一次方程的概念当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．2．含字母系数的一次方程的解法 含字母系数的一元一次方程总可以化为ax b =的形式，方程的解由a 、b 的取值范围确定．(1)当0a ≠时，b x a =，原方程有唯一解；(2)当0a =且0b =时，解是任意数，原方程有无数解； (3)当0a =且0b ≠时，原方程无解．二、典型例题例01．关于x 的方程b ax =在以下条件下写出解的情况：①当0≠a 时，解的情况___________.②当0=a 时，⎩⎨⎧≠=_______. 0._______ 0方程解情况方程解情况b b分析 对于方程b ax =.①当0≠a 时，方程有惟一一个解，解为ab x =； ②当0=a 时，00,0=⋅=x b . 有无数个解，x 可为任意实数；当0=a ，0≠b 时，方程无解.例02．由22)(b a x b a -=+得b a x -=的条件是______.分析 因))(()(b a b a x b a -+=+，当0≠+b a 时，.b a x -=解答 0≠+b a .例03．d n a a n )1(1-+=，那么=n ______.分析 因d n a a n )1(1-+=，d n a a n )1(1-=-，d a a n n 11-=-. 故.11+-=da a n n 典型例题四例04．方程a bx b a x -=-〔b a ≠〕的解______. 分析 移项，得a b bx a x -=-， .)(a b aba b x -=- 故 当b a =时，00=⋅x ，x 可为任何数；当b a ≠时，0≠-a b ，故.ab x =解答 .ab x =例05．关于x 的方程1)32(=-x a 的根为负数，那么a 的取值范围是_____.分析 1)32(=-x a ，因为方程有根，所以032≠-a ，ax 321-=. 又因0<x ，故.0321<-a 故.32,032><-a a 解答 32>a . 例06．在cb a 111+=〔c b a ,,都是非零实数且b a ≠〕中，假如b a ,，那么=c _______. 分析 原式两边同乘以abc ，得ab ac bc +=移项 ab c a b =-)(〔※〕∵b a ≠，∴0≠-a b ∴.ab abc -= 例07．解关于x 的方程：.k x k h h x +-=- 分析 这里显然x 是未知数，字母系数是h ，k ，但并未说明h ，k 之间的关系. 所以我们把原方程整理成b ax =的形式后，要进展分类讨论.解答 ∵0≠k ，∴方程两边同乘以k ，得2k hx hk kx +-=-，移项、合并同类项得)()(k h k x k h +=+，〔1〕当0≠+k h 时，k x =；〔2〕当0=+k h 时，方程有无穷多组解.例08．解关于x 的方程：mx n n m x -=+〔n m -≠〕 分析 这里x 是未知数，m ，n 是数，容易把x 求出来.解答 由所给方程可知0≠m ，0≠n ，从而0≠mn ，方程两边同乘以mn ，得 nx n m mx -=+22，移项，得 22m n nx mx -=+，即 ))(()(m n n m x n m -+=+∵n m -≠，∴0≠+n m .两边同除以n m +，得 m n x -=.例09．确定实数k 的值，使方程组⎩⎨⎧=-=-)2( 46)1( 33ky x y x 有实数解，且0<x ，0<y .分析 可以用加减法或者代入法解这个方程组，并注意对字母系数的讨论.解答 )2(2)1(-⨯，得 .2)2(=-y k 当2≠k 时，22-=k y ；当2<k 时，.0<y )2()1(-⨯k ，得 43)63(-=-k x k . 当2≠k 时，)2(243--=k k x由2,0<<k x 得 .34,043>>-k k ∴ 当234<<k 时，方程组⎩⎨⎧=-=-4633ky x y x 有实数解，并且.0,0<<y x . 例10．解方程65879854--+--=--+--x x x x x x x x 解答 65879854--+--=--+--x x x x x x x x 分拆得611811911511-++-+=-++-+x x x x ， 消去常数得61819151-+-=-+-x x x x ， 左右分别相加得)6)(8(142)9)(5(142---=---x x x x x x 0)]9)(5()6)(8)[(142(=------x x x x x ，0)142(3=-x ,7=x经检验7=x 是原方程的根.例11．假设01=--+b a ab ，试判断11-a ，11+b 是否有意义？ 分析：判断分式11-a ，11+b 是否有意义，须看1-a ，1+b 是否为零，由条件中等式左边因式分解，及bc a =型数量关系，可判断出1-a ，1+b 与零的关系.解：将01=--+b a ab 的左边因式分解；0)1()(=+-+b a ab0)1()1(=+-+b b a0)1)(1(=-+a b∴01=+b 或者01=-a ∴分式11-a 或者11-b 无意义. 例12．某人提着一筒水上楼，上到一层楼时，这人做的功为0W ，问这人提着这筒水上到n 层，做了多少功？分析：该人提着水上楼时，人对水筒的拉力是一定的，由物理上的求功公式s F W ⋅=，可知：当F 一定是，W 与s 成正比.解：由求功公式s F W ⋅=知，W 与s 成正比∵某人提着这筒水上到一层时做的功为0W∴这人提着这筒水上到n 层时做的功为0nW练习题1．填空题〔1〕关于x 的方程b a x =-5的解为___________〔2〕当a__________时，关于x 的方程b ax =的解为a b x =〔3〕公式)(21c b a S ++=中，c =__________ 〔4〕梯形面积h b a S )(21+=，S ，b ，h ，且0≠h ，那么a =________ 〔5〕当b a ≠时，关于x 的方程22)(b a x b a -=-的解为__________〔6〕关于y 的方程yf f 11121+=)(21f f ≠，那么其解为__________ 〔7〕公式at +=0υυ中，1υ，0υ，a ，且0≠a ，那么t =__________〔8〕假设012=-+x x ，那么xx 1-=__________ 〔9〕关于x 的方程b a x a b x --=-2中，0≠+b a ，那么x =__________〔10〕关于y 的方程yf f 11121+=)(21f f ≠，那么解为___________ 〔11〕关于x 的方程11+=-x mx )1(≠m 的解为___________〔12〕假设m f l mh a -=，那么f =___________ 解答题1．解关于x 的方程〔1〕325=-y x 〔2〕543-=x y 〔3〕b x x a 14347+=- 〔4〕1=+by ax )0(≠a2．解关于x 的方程〔1〕011=--+b x a x )(b a ≠ 〔2〕ba x ab x --=-2)0(≠+b a 〔3〕1=-++b a x b a x )0(≠a 〔4〕x x a 22)1(2-=-励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。