§ 2.1.2系统抽样

例2. 某单位在岗职工共 6240 % 的工人进行调 查 . 如何采用系统抽样方法完成这一抽样 ? 分析 : 因为 624 的 10 % 约为 62 , 624 不能被 62 整除 , 为了保证 “ 等距 ” 分段 , 应先剔 除 4 人 . 解: 第一步 将 624 名职工用随机方式进行编号 ;
系统抽样适用的范围：总体中的个体数较多， 且个体间没有明显的差异。
系统抽样的步骤为:
(1) 采用随机的方式将总体中的个体编号 ; (2) 将整个的编号按一定的间隔 ( 设 为 k ) 分段 , 当 N / n ( N 为总体中的个体数 , n 为样本容量 ) 是整数时 , k = N / n ; 当 N / n 不是整数时 , 从总体中剔除一些个体 , 使剩下的总体中个体的个数 N ’ 能被 n 整除 , 这时 k= N ’ / n , 并将剩下的总体重新编号 ; (3) 在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体 编号l ; (4) 将编号为 l , l + k , l + 2 k , · · · ,l+(n–1)k 的个体抽出 .
2.1.2系统抽样
1.抽签法：
一般地 , 用抽签法从个体个数为 N 的总体中抽 取一个容量为 k 的样本的步骤为 :
( 1 ) 将总体中的所有个体编号 ( 号码可以从 1 到 N ) ; ( 2 ) 将 1 到 N 这 N 个号码写在形状 、大小相同 的号签上 ( 号签可以用小球 、卡片 、纸条等制 作 ) ; ( 3 ) 将号签放在同一箱中,并搅拌均匀 ; ( 4 ) 从箱中每次抽取一个号签 , 并记录其编号 , 连续抽取 k 次 ; ( 5 ) 从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体 取出.
练习3 . 试用系统抽样的方法从你校学生中抽取适当的 样本 , 再对抽出的学生的两臂平展的长度及身高进 行测量 , 分别计算两组数据的平均数 .

2．1.2 系统抽样
了解
理解
学习目标 结合实例 ――→ 系统抽样的概念 ――→
掌握 系统抽样的思想 ――→ 系统抽样的方法
重点难点 重点：系统抽样的概念和步骤． 难点：利用系统抽样解决实际问题．
新知初探思维启动
1．系统抽样的概念及特点 (1)系统抽样的概念 在抽样中，当总体中个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分， 然后按照预先制订的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的 样本，这样的抽样方法叫做系统抽样． (2)系统抽样的特点 ①适用于_个__体__较__多__，但__均__衡__的总体； ②在整个抽样的过程中，每个个体被抽到的_可__能__性__相__等___.
99 837,99 937. 【答案】系统抽样 00 037,00 137,00 237,00 337,00 437，99 537，99 637,
99 737,99 837,99 937
想一想
2.从1 003名学生成绩中，按系统抽样抽取50名学生的成绩时，需 先剔除3个个体，这样每个个体被抽取的可能性就不相等了，你 认为正确吗？
(1)该村委会采用了何种抽用简单随机抽样？
解 (1)系统抽样． (2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔： 33000＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：取一张人民币，末位数 为 2.(假设)确定第一样本户：编号 02 的住户为第一样本户；确定第 二样本户：2＋10＝12,12 号为第二样本户． (3)确定随机数字：取一张人民币，其末位数为 2.
总体中的个体 数_较__多___
抽样过程 中每个个 体被抽到 的可能性
_相__等_
想一想 1.系统抽样如何提高样本的代表性？ 提示：系统抽样所得样本的代表性和具体的编号有关，因此在系统 抽样中就要提高编号的质量．例如，不要让编号呈现周期性．

2.1.2 系统抽样1．系统抽样的定义当总体元素个数很大时，样本容量就不宜太小，采用简单随机抽样，就显得费事．这时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．在系统抽样中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样．2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当Nn(n是样本容量)是整数时，取k＝Nn.(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l ＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．思考：使用系统抽样抽出的个体编号有什么特点？[提示]编号都是等距的．1．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A．5,10,15,20B．2,6,10,14C．2,4,6,8 D．5,8,11,14A[将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5.]2．某报告厅有50排座位，每排有60个座位(编号1～60)，一次报告会坐满了观众，会后留下座号为18的所有观众进行座谈．这是运用了() A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样D．有放回抽样C[符合系统抽样的特点．]3．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是() A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生C[∵从1 000名学生中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为1 000100＝10，∵46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{a n}，则a n＝6＋10(n－1)＝10n－4，故可知C项正确．]4．一个总体的60个个体的编号为0,1,2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是_______________________________________．3,9,15,21,27,33,39,45,51,57[由题目可知，采用的抽样方法是系统抽样，抽样间隔是6.]【例1】(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．以上都不对(2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________.[思路探究]解决此类问题的关键是根据系统抽样的概念及特征，抓住系统抽样适用的条件作出判断．(1)C(2)40[(1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N*)号，符合系统抽样的特点．(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝1 200 30＝40.]系统抽样的适用条件及判断方法,适用条件：系统抽样适用于个体数较多的总体.判断方法：判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的.抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样.1．下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是()A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样C[只有C选项样本容量和总体容量都较大，且个体之间无明显差异．]【例2】抽取13人参加运动会，若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程．[思路探究]种子选手必须参加，实质上是从198名运动员中抽取11人参赛．[解]S1将不包括2名种子选手的198名运动员进行编号，编号为001,002， (198)S2将编号按顺序每18个一段分成11段；S3在第1段001,002，…，018这18个编号中用简单随机抽样法抽出1个号(如010)作为起始号；S4依次加18，将编号为010,028,046，…，190的个体抽出，再加上2名种子选手组成代表队参加运动会．在应用系统抽样时，要解决两个关键的问题：(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本.(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，起始编号确定，其他编号便随之确定了.2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A．10 B．11C．12 D．16D[分段间隔k＝524＝13，可推出另一个同学的学号为16，故选D．][1．运用系统抽样抽取样本时，需要计算分段间隔k，得到k值的目的是什么？[提示]当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝Nn，计算出k值是为了把所有个体分成n段，每段有k个个体，从而从k个个体中抽取一个入样．2．对总体分段后，先从第一段随机抽取一个个体，其他各段不再抽取，而是加上分段间隔的若干倍得到，这样做公平吗？[提示]公平．因为第一段中抽取是随机的，每一个个体入样有均等的机会，进而其余各段的每一个个体都有均等入样的机会．3．在系统抽样中，N不一定能被n整除，那么系统抽样还公平吗？[提示]在系统抽样中，(1)若N能被n整除，则将比值Nn作为分段间隔k.由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法，因此每个个体被抽取的可能性是一样的．(2)若N不能被n整除，则用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，再确定样本．因此每个个体被抽取的可能性还是一样的．所以，系统抽样是公平的．【例3】为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．[思路探究]编号→剔除→再编号→分段→在第一段上抽样→在其他段上抽样→成样[解](1)随机地将这1 003个个体编号为1,2,3，…，1 003；(2)利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后将1 000个个体重新编号为1,2,3，…，1 000；(3)将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体；(4)在编号为1,2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18；(5)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,58，…，978,998.1．(变条件)从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．[解]第一步，先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数表法)；第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每＝10个个体；段含k＝80080第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；第四步，从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．2．(变结论)为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，若选择抽签法抽取，有什么弊端？[解]制签成本高，个体太多，不易“搅拌均匀”，抽取的样本代表性差．当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机剔除几个个体.但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除.提醒：剔除个体后需对样本重新编号.1．本节课的重点是记住系统抽样的方法和步骤，难点是会用系统抽样从总体中抽取样本．2．本节课要理解并记住系统抽样的三个特征：①总体已知且数量较大；②抽样必须等距；③每个个体入样的机会均等．3．本节课要掌握设计系统抽样的四个步骤：编号→分段→确定初始编号→抽取样本．4．本节课的易错点有：(1)概念理解错误致错．(2)忽视每个个体被抽到的机会相等而致误．1．思考辨析(1)总体个数较多时可以用系统抽样．( )(2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．( )(3)用系统抽样从N 个个体中抽取一个容量为n 的样本，要平均分成n 段，每段各有N n 个号码．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( )A ．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B ．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C ．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D ．从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况C [A.总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法．B ．总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法．C ．总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法．D ．总体容量较大，样本容量较小，可用随机数表法．]3．为了了解参加某次知识竞赛的1 252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为( )A．2B．3C．4D．5A[因为1 252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A.]4．中秋节，相关部门对某食品厂生产的303盒中秋月饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样的方法完成对此样本的抽取．[解](1)将303盒月饼用随机的方式编号；(2)从总体中用简单随机抽样的方式剔除3盒月饼，将剩下的月饼重新用000～299编号，并等距分成10段；(3)在第一段000,001,002，…，029这30个编号中用简单随机抽样确定起始号码l；(4)将编号为l，l＋30，l＋2×30，l＋3×30，…，l＋9×30的个体抽出，组成样本．。

系统抽样与简单随机抽样比较, 系统抽样与简单随机抽样比较, 有何差异？ 有何差异？
1、系统抽样比简单随机抽样更容易实施； 系统抽样比简单随机抽样更容易实施； 2、系统抽样的效果会受个体编号的影 响，而简单随机抽样的效果不受个体编号的 影响； 影响； 3、系统抽样比简单随机抽样的应用范围 广。
作业:P54,4,6
2.1.2系统抽样 2.1.2系统抽样
探究
某校为了了解高一年级学生对教师 教学的意见,打算从高一年级 打算从高一年级500名学生 教学的意见 打算从高一年级 名学生 中抽取50名进行调查 名进行调查,除了用简单随机抽 中抽取 名进行调查 除了用简单随机抽 样获得样本外,你能否设计其它抽取样本 样获得样本外 你能否设计其它抽取样本 的方法? 的方法
；
不是整数时， 中剔除一些个体， 不是整数时 ， 从 N中剔除一些个体， 使得其为整数 中剔除一些个体 为止。 为止。 （3）第一段用简单随机抽样确定起始号码 , 。 ）第一段用简单随机抽样确定起始号码l （4）按照规则抽取样本：l, l＋k, l＋2k, …, l＋(n-1)k ）按步骤：
个个体编号。 （1）采取随机方式将总体中的 个个体编号。 ）采取随机方式将总体中的N个个体编号 （2）将整个的编号均衡地分段，确定分段间隔 。 ）将整个的编号均衡地分段，确定分段间隔k。 (n为样本容量 为样本容量) 为样本容量
N n N n
N k 是整数时， 是整数时，= n
系统抽样
当总体的个数较多时， 当总体的个数较多时，采用简单随机 抽样太麻烦， 抽样太麻烦，这时将总体分成均衡的部分 然后按照预先定出的规则， ，然后按照预先定出的规则，从每一部分 中抽取1个个体 得到所需要的样本， 个个体， 中抽取 个个体 ， 得到所需要的样本 ， 这 种抽样称为系统抽样。 种抽样称为系统抽样。