当前位置：文档之家 › 常微分方程》第二次作业

常微分方程》第二次作业

  • 格式：doc
  • 大小：184.50 KB
  • 文档页数：3

1
《常微分方程》第二次作业
第1章 初等积分法
1．求解下列方程
（1）1)()(22yyyx （2）0)1)(1(2yxyx
（3）3222])(1[)(yya （4）0)(22yyyyy
（5）01)(2yyy （6）0)(32yyy
（7）06)(22xyyyy （8）084)(2222yyxyxyyx
2．求抛物线族2axy的正交轨线．

3．求曲线族12222ayax的正交轨线，其中为参数．
4．求一曲线．使其上每一点的切线斜率为该点横坐标的2倍，且通过点)4,3(P．
5．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比．
（1）如果过4小时的细菌数即为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？
（2）如果在3小时的时候，有细菌数410个，在5小时的时候有4104个，那么在开始
时有多少细菌？
6．重为100kg的物体，在与水平面成30的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试
求：
（1）物体运动的微分方程；
（2）求5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．
第2章 基本定理
1．试画出下列各方程的积分曲线图：
（1）ay（a为常数） （2）2xy

（3）yy （4）21ddxxy

（5）xxydd
2．试判断方程yxxytandd在区域
（1）yxR0,11:1 （2）44,11:2yxR
上是否满足定理2.1的条件？
3．判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且惟一？
（1）22yxy （2）yxysin

（3）31xy （4）yy
4．讨论方程3123ddyxy在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过)0,0(的一切解．
5．试用逐次逼近法方程求2ddyxxy满足初值条件0)0(y的近似解：
)(0x，)(1x，)(2x，)(3x

6．试证明：对于任意的0x及满足条件10y的0y，方程221)1(ddyxyyxy的解
)(xyy
2

在),(上存在．
7．指出方程2)e1(dd2xyyxy的每一个解的最大存在区间，以及当x趋于这区间的右端点
时解的性状．
8．设),(yxf在整个平面上连续有界，对y有连续偏导数，试证明方程),(ddyxfxy的任
一解)(xy在区间),(上有定义．
9．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解，并作图．

（1）yxydd （2）xyxydd

（3）yxxxy2dd2
10．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在yx,轴上的截距之和为1．
11．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数a．

参考答案
第1章 初等积分法
1．7—1．8节作业

1．（1）3221231126CxCCxxCy （2）xCCyx2212e
（3）22221)()(aCyCx （4）xCCCyy1e21
（5）2221)(CyCx （6）3221)(CxCCy
（7）213lnCxCxy （8）5xxCCyln8ln521
2．2222Cyx
3．Cxayxln2222
4．52xy

5．（1）8倍， （2）8104个
6．（1）略 （2）s5t时，m5.62x，m/s25v，2m/s5a．
第2章 基本定理
1． （略）
2．（1）不满足 （2）满足
3．（1）整个xoy平面 （2）整个xoy平面
（3）除y轴x = 0外的整个xoy平面 （4）除x轴y = 0外的整个xoy平面

4．对0a，axaxaxy当当,)(,023

5．0)(0x，2)(21xx，202)(522xxx，4400160202)(118523xxxxx
3

6．提示：0y和1y是解．
7．提示：1y是解．
8．见学习指导典型例题的例3

9．（1）有，0y （2）无 （3）有，221xy

10．2)1(11CxCCCxy
11．323232ayx
选做作业
一、填空题
1. 若)(x在(-∞，+∞)上连续，则方程yxy)(的任一非零解( )与x轴
相交.
2. 方程21yy满足解的存在唯一性定理条件的区域是（ ）．

3. ),(yxfy连续是保证方程),(ddyxfxy初值解唯一的( )条件.
4. 方程y+ ysinx = ex的任一解的存在区间必是( )．
二、单选题

1. 方程21ddyxy过点(0，0)的解为xysin，此解的存在区间是( ).

（A）（－∞，＋∞） （B）]2,2[
（C）（－∞，0） （D）［0，＋∞］
2. 方程yxydd满足解的存在
唯一性定理条件的区域是( ).
(A)全平面； (B)y＞0的上半平面；
(C)y＜0的下半平面； (D)除去x轴的全平面.
3. 方程2xyy是否存在奇解( ).
(A)无奇解； (B)有奇解；
(C)不一定； (D)可能有奇解.
4.函数f(x, y)=｜y｜对y是否满足李普希兹条件( ).
(A)不满足； (B)满足.
(C)可能满足； (D)可能不满足
参考答案：
一、填空题
1.不能 2.满足012y的平面区域 3.充分 4.（,）
二、单选题
1．B 2．D 3．A 4．B

合集下载

理工类专业课复习资料-《常微分方程》东师大第二版习题答案

理工类专业课复习资料-《常微分方程》东师大第二版习题答案

《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社习题 1.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1)xdx ydy =解：积分，得1222121c x y +=即cy x =−22(2)y y dxdyln =解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx yy dy=ln ，积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y xx c ，即xcee y =(3)y x e dxdy−=解：变形得dx e dy e xy=积分，得c e e xy =−(4)0cot tan =−xdy ydx 解：变形得x y dx dy cot tan =，0=y 为特解，当0≠y 时，dx xxdy y y cos sin sin cos =.积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+−=,即0,cos sin 1≠=±=c c ex y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)1)0(),1(=−=y y y dxdy解：1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx dy yy =−−111(，积分，得0,1,1ln11≠=±=−+=−c ce e e yy c x yy x x c 将1)0(=y 代入，得0=c ，即1=y 为所求的解。

(2)1)0(,02)1(22==+′−y xy y x 解：0,1222=−−=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，dx x xy dy 1222−−=，积分，得c x y+−−=−1ln 12将1)0(=y 代入，得1−=c ，即11ln 12+−=x y 为所求的解。

(3)0)2(,332==′y y y 解：0=y 为特解，当0≠y 时，dx ydy=323，积分，得331)(,c x y c x y +=+=将0)2(=y 代入，得2−=c ，即3)2(−=x y 和0=y 均为所求的解。

第二次作业参考答案

第二次作业参考答案

第二次作业参考答案
235
1．有两束方向相反的平行热中子束射到 U 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强
度为1012 cm2 s1 。自右面入射的中子束强度为 21012 cm2 s1 。计算：
(1)该点的中子通量密度； (2)该点的中子流密度；
(3)设 a 19.2 102 m1 ，求该点的吸收率。
L
L
L
16、设有一强度为 I (m2s1) 的平行中子束入射到厚度为 a 的无限平板层上，试求：
(1)中子不遭受碰撞而穿过平板的概率； (2)平板内中子通量密度的分布； (3)中子最终扩散穿过平板的概率。
解法一：(1)中子不遭受碰撞而穿过平板的几率： P eta
(2)选取坐标系，使中子入射面与 x=0 的平面重合。扩散方程为：
1
Aea/ L Cea/L

D

A
ea/L

C
ea/L


0

C

1 2D A
L e2a
L

4
2 L
L
1 2D L
(x)
A5

3.1251010 107
235103
1016 0.4324 2 6.022 1023 410 10-28

1.08103 kg
14．在半径为 R 的均匀球体中心，有一个各向同性的单位强度热中子源，介质的宏观吸收截
面为 a 。试分别求： (1)介质 s 0 ；

x/Biblioteka eaEdE


2n0 a
ex/
(2)(x, E) v(E)n(x, E) 2n0v(E)ex/eaE
常微分方程作业

常微分方程作业


上式和 N1 比較得知
檢驗這個解 > odetest(sola,ode1); > ic1:= y(pi) =0; dsolve({ode1,ic1},F(t,y(t)));
)*exp(y(t)^2))*diff(y(t),t)=0;
>odeadvisor(ode1,[exact]); 此為正合的形式 , 在 dt 部分的ycos(ty)+1就令為
M(t, y(t)) ; 在 dy部分的就令為 N(t,y(t)) > M1 := y*cos(t*y)+1; > N1 := t*cos(t*y)+2*y*exp(y^2);
M1對 t 積分 > F1 := int(M1,t) + h(y);
F1對 y 微分 > N2 := diff(F1,y);
>dh:=diff(h(y),y)=solve(N1=N2,diff(h(y),y)); 解出 h(y) >H:=dsolve(dh,h(y)); 代入F1得到一般式 > F:=subs(H,F1); 所以此微分方程的解 > sol_1 := F=0; > sola:=subs(y=y(t),sol_1);
d sinty t hy t costy d hy N t costy 2ye y2
dy
dy
dy
y cos(ty) 1
dt t cos(ty) 2 yey2
y 0
以下是maple驗證算出的答案 先判斷是否為正合的型式 >ode1:=(y(t)*cos(t*y(t))+1)+(t*cos(t*y(t))+2*y(t
《常微分方程》东师大第二版习题答案

《常微分方程》东师大第二版习题答案


y = 0 也是方程的解
y x dy y y 解：方程改写为 − = tan dx x x y du sin u 令 u = ，有 x = tan u = x dx cos u 积分，得 sin u = cx y 代回变量，得通解 sin = cx x
4
即 cot udu =
dx x
(sin u ≠ 0)
令⎨
⎧− 2α + 4β = 0 ，解得 α = 1, β = 2 ⎩α + β − 3 = 0
作变换 x = ζ + 1,
y =η + 2
有
dη 4η − 2ζ = dζ η +ζ du 4u − 2 = dζ 1+ u
(u ≠ 1,2)
再令 u =
η ζ
上方程可化为 u + ζ
整理为
u +1 dζ du = − (u − 1)(u − 2) ζ u−2 2 ) ζ =c u −1
q(5) = q0 e 5 k = 4 × 10 4
ln 4 2

3 ln 4 3k 比较两式得 k = ， 再由 q (3) = q 0 e = q 0 e 2
= 8q 0 = 10 4
得 q 0 = 1.25 × 10
3
3 1.3 习 题 1.
1 解下列方程： (2) ( y − 2 xy ) dx + x dy = 0 解：方程改写为
dy = 0
积分，得
1 − x 2 + 1 − y 2 = c(c > 0)
6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及 x 轴可围成 一个等腰三角形(以 x 轴为底)，且通过点(1,2). 解：设所求曲线为 y = y ( x) 对其上任一点 ( x, y ) 的切线方程：