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河北省唐山市度高三数学摸底考试 文(扫描版)

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河北省唐山市2014-2015学年度高三数学摸底考试文
唐山市2014—2015学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案
一、选择题：
A卷：CDBCA BCDCD BA
B 卷：ADBC
C ACDDC BB
二、填空题：
（13）（ 1 2，＋∞） （14）6 （15）x 2－y 23
＝1 （16）3＋ 5
三、解答题： （17）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由题设得a 1＝S 1＝2k －1，
a 2＝S 2－S 1＝4k －1，
由a 2－a 1＝2得k ＝1，
则a 1＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. …4分
（Ⅱ）b n ＝b n －1＋2a n ＝b n －2＋2a n －1＋2a n ＝b 1＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1＋2a n ．
由（Ⅰ）知2a n ＝22n －1，又因为b 1＝2，所以
b n ＝21＋23＋25＋…＋22n －3＋22n －1＝2(1－4n )1－4
＝2(4n
－1)3． 明显，n ＝1时，也成立．
综上所述，b n ＝2(4n －1)3
． …12分 （18）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由直方图可得：20×(x ＋0.0250＋0.0065＋0.0030＋0.0030)＝1，
解得x ＝0.0125． …4分
（Ⅱ）设中位数为t ，则
20×0.0125＋(t －20)×0.0250＝0.5，得t ＝30.
样本数据的中位数估计为30分钟． …8分
（Ⅲ）享受补助人员占总体的12%，享受补助人员占总体的88%．
因为共抽取25人，所以应抽取享受补助人员25×12%＝3人，
抽取不享受补助人员25×88%＝22人． …12分
（19）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）连接A 1C ，交AC 1于点E ， 则点E 是A 1C 及AC 1的中点．
连接DE ，则DE ∥A 1B ． 因为DE 平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A 1B ∥平面ADC 1，
则点A 1与B 到与平面ADC 1的距离相等，又点D 是BC 的中点，点C 与B 到与平面ADC 1的距离相等，则C 到与平面
ADC 1的距离即为所求． …6分
因为AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥A 1A ，
所以AD ⊥平面BCC 1B 1，平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1．
作于CF ⊥DC 1于F ，则CF ⊥平面ADC 1，CF 即为所求距离． …10分 在Rt △DCC 1中，CF ＝DC ×CC 1 DC 1＝ 2 5 5
． 所以A 1到与平面ADC 1的距离为 2 5 5． …12分 A 1 B 1 C 1 A B C
D E F
（20）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）f '(x )＝2e x －a ．
若a ≤0，则f '(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a ＞0，则
当x ∈(－∞，ln a 2
)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(ln a 2，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增． …5分
（Ⅱ）注意到f (0)＝0．
若a ≤0，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．
若ln a 2
≤0，即0＜a ≤2，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．
若ln a 2＞0，即a ＞2，则当x ∈(0，ln a 2
)时，f (x )单调递减，f (x )＜0，不合题意． 综上所述，a 的取值范围是(－∞，2]．
…12分
（21）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）因为离心率为 3 5，所以 b a ＝ 4 5
． 当m ＝0时，l 的方程为y ＝ 4 5x ， 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1并整理得x 2＝ a 2 2
． …2分 设A (x 0，y 0)，则B (－x 0，－y 0)， PA →·PB →＝－x 02－y 02＝－ 41 25x 02＝－ 41 25· a 2 2
． 又因为PA →·PB →＝－412，所以a 2＝25，b 2＝16， 椭圆C 的方程为x 225＋y 216
＝1． …5分 （Ⅱ）l 的方程为x ＝ 5 4y ＋m ，代入x 225＋y 216
＝1并整理得 25y 2＋20my ＋8(m 2－25)＝0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则|P A |2＝(x 1－m )2＋y 12＝4116y 12，同理|PB |2＝4116y 2
2． …8分 则|P A |2＋|PB |2＝4116( y 12＋y 22)＝4116
[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2] ＝4116[(－ 4m 5)2－16(m 2－25)25
]＝41． 所以，|P A |2＋|PB |2是定值．
…12分 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：
（Ⅰ）证明：
因为∠A ＝∠TCB ，∠ATB ＝∠TCB ，
所以∠A ＝∠ATB ，所以AB ＝BT .
又AT 2＝AB ⋅AD ，所以AT 2＝BT ⋅AD ． …4分
（Ⅱ）取BC 中点M ，连接DM ，TM ．
由（Ⅰ）知TC ＝TB ，所以TM ⊥BC ．
因为DE ＝DF ，M 为EF 的中点，所以DM ⊥BC ．
所以O ，D ，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径．
所以∠ABT ＝∠DBT ＝90︒.
所以∠A ＝∠ATB ＝45︒. …10分
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：
（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax （a ＞0）；
直线l 的普通方程为x －y －2＝0．
…4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得
t 2－2(4＋a )2t ＋8(4＋a )＝0 （*）
△＝8a (4＋a )＞0．
设点M ，N 分别对应参数t 1，t 2，恰为上述方程的根．
则|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|．
由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|．
由（*）得t 1＋t 2＝2(4＋a )2，t 1t 2＝8(4＋a )＞0，则有
(4＋a )2－5(4＋a )＝0，得a ＝1，或a ＝－4．
因为a ＞0，所以a ＝1．
…10分
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：
（Ⅰ）由m ＞0，有f (x )＝|x － 4 m |
＋|x ＋m | ≥|－(x － 4 m )＋x ＋m |＝ 4 m
＋m ≥4， 当且仅当 4 m ＝m ，即m ＝2时取“＝”．所以f (x )≥4． …4分 （Ⅱ）f (2)＝|2－ 4 m |＋|2＋m |
． 当 4 m ＜2，即m ＞2时，f (2)＝m － 4 m ＋4，由f (2)＞5，得m ＞ 1＋17 2
． 当 4 m ≥2，即0＜m ≤2时，f (2)＝ 4 m
＋m ，由f (2)＞5，0＜m ＜1． 综上，m 的取值范围是(0，1)∪( 1＋17 2
，＋∞)
． …10分。

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2021届河北唐山市高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含解析

2021届河北唐山市高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含解析

2021届河北唐山市高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题1．若复数满足，则的实部为（）A. 3B.C. 4D.【答案】D【解析】。

故实部为，选D。

2．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】。

故选C。

点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合。

2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解。

3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍。

3．若函数，则（）A. 1B. 4C. 0D.【答案】A【解析】。

故选A。

4．甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲乙等四人在微信中每人抢到一个红包金额为三个一元，一个五元，基本事件总数为，甲乙的红包金额不相等包含的基本事件有：甲乙的红包金额分别为。

所以甲乙的红包金额不相等的概率为。

故选C。

5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体的为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积为。

故选A。

点睛：由三视图求解几何体体积的解题策略(1)以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．(2)求几何体的体积时，若所给定几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解，若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等方法求解．6．设等差数列的前项和为，若，，则（）A. 1B. 0C.D. 4【答案】B【解析】由已知及可得，故选B．7．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果（）A. 4B.C.D.【答案】C【解析】。

唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案

唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案

唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCDDACCB CB B 卷：ADBBD DACAB CB二．填空题：（13）2 （14） 1 2 （15）2 6 （16）(1，3)三．解答题：17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ②①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a n a n －1＝3（n ≥2）， …3分 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1．…6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，…8分 ＝3－3n1－3－(n －1)·3n ＝(3－2n )·3n －32．…10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率P ＝4×5＋6×510×10＝ 1 2．…5分 （2）X 可取0，1，2，3．…6分 P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝ 1 6；P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝ 1 2； P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝ 3 10； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝ 1 30； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0× 1 6＋1× 1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝ 6 5． …12分19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥CD ， 又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，∴CD ⊥PD ，又∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)． …9分cos PA →，n ＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…12分 20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分 （2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－ 1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－ 1k ，…6分 又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋ 1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分 因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋ 2 k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3，解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分 21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ 1x ，所以f (x )＝ 1 x － 1 x 2． …1分 设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）．…3分 所以m ＝1． …4分（2）依题意得f (1)≥ e a ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分 因为f (x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f (x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋ 1ln a ．…7分 设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ，则g (x )＝ e x －1＝e －xx ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减，从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分 又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而 1 ln a ≥ ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0，即log a (ln a )＋ 1 ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0．所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6．…5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)| 因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π 4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．…5分 （2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1，所以a 的取值范围是[1，＋∞）． …10分唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷：ACDCD CBCDA AB二．填空题：（13）12（14）2 （15）1 （16）(3，2]三．解答题：17．解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，…3分又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1．…6分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝1－2n1－2－n·2n …10分＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：（1）-x甲＝110(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；-x乙＝110(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；…4分（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300×25×30＋300×35×20＝7200元；…7分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280×12×30＋280×12×20＝7000元．…10分因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．…12分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，又因为PD 平面PBD ，∴PD ⊥CD ． …5分（2）∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又∵PD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ．…8分 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，所以PD ＝AD ＝2，PB ＝PC ＝BC ＝2．S △ABC ＝2，S △PBC ＝3，设A 点到平面PBC 的距离为d ，由V P -ABC ＝V A -PBC 得，1 3S △ABC ×PD ＝ 13S △PBC ×d ，∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC ＝ 263．即A 点到平面PBC 的距离为 263．…12分 20．解：（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y 得，x 2－2kx －2m ＝0，＝4k 2＋8m ，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，…2分 因为AB 的中点在x ＝1上，所以x 1＋x 2＝2．即2k ＝2，所以k ＝1．…4分 （2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 22， …5分所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ，…6分因为|AB |＝|CD |,所以22·1＋2m ＝212－m 22， 化简得m 2＋8m －20＝0， 所以m ＝－10或m ＝2． …10分 由⎩⎨⎧＞0，d ＜23得－ 12＜m ＜26．所以m ＝2，直线l 的方程为y ＝x ＋2．…12分 21．解：（1）f (x )＝2(ln x ＋1)．…1分 所以当x ∈(0， 1e )时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈( 1e ，＋∞)时，f (x )＞0，f (x )单调递增．所以x ＝ 1 e 时，f (x )取得最小值f ( 1 e )＝1－ 2e ．…5分 （2）x 2－x ＋ 1x ＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x＝(x －1)(x － 1x －2ln x )，…7分 令g (x )＝x － 1 x －2ln x ，则g (x )＝1＋ 1 x 2－ 2 x ＝ (x －1)2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为g (1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0，…10分 所以(x －1)(x － 1x －2ln x )≥0，即f (x )≤x 2－x ＋ 1x ＋2ln x ．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π 4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)|因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π4＜5π4， 从而有－2＜22sin (α＋ π 4)≤22． 所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 1 2，－2x ＋2， x ＞ 12， 由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。

河北省唐山市2024届高三下学期第一次模拟演练数学答案

河北省唐山市2024届高三下学期第一次模拟演练数学答案

唐山市2024年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练数学参考答案一．选择题：1～4．DBAC5～8．ADBC 二．选择题：9．AC10．BCD11．ABC三．填空题：12．－8 13．4 314．x 29＋y 26＝1四．解答题：（若有其他解法．．．．．．，请参照给分．．．．．） 15．解：（1）设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，a n ＞0⇒q ＞0．依题意可得⎩⎨⎧a 3＝4，a 4＋a 5＝24，…2分整理得q 2＋q －6＝0， …4分 解得q ＝2，或q ＝－3（舍去），所以a n ＝2n －1． …6分（2）a n ＋log 2a n ＝2n －1＋n －1， …7分T n ＝(20＋21＋22＋…＋2n －1)＋(0＋1＋2＋…＋n －1) …9分＝2n －1＋n (n －1)2， …10分显然T n 随着n 的增大而增大， T 10＝210－1＋45＝1068＜2024， …11分T 11＝211－1＋55＝2102＞2024， …12分 所以满足T n ＜2024的最大整数n ＝10． …13分 16．解：（1）某人答对每道题的概率都是 14，则答对题目的个数X 服从二项分布，即X ～B (8， 14)， …2分E (X )＝8× 14＝2， …4分由于每道题答对得5分，所以此人答题得分为5X ，因此在此项测试中，此人答题得分的期望为E (5X )＝5E (X )＝10． …6分（2）设此人答对k 道题的可能性为P (X ＝k )＝C k 8( 1 4)k×( 3 4)8－k ，k ＝0,1, (8)记p k ＝P (X ＝k )， …8分则 p kp k －1＝ P (X ＝k ) P (X ＝k －1)＝C k 8( 1 4)k( 3 4)8－kC k －18( 14)k －1( 3 4)9－k ，k ＝1,2，…,8． …10分＝8! k ! (8－k )!× 148! (k －1)! (9－k )!×3 4＝ 9－k 3k ＝1＋ 9－4k3k， …12分当k ＜ 94时，p k ＞p k －1，p k 随k 的增加而增加，即p 2＞p 1＞p 0； …13分当k ＞ 94时，p k ＜p k －1，p k 随k 的增加而减小，即p 8＜p 7＜…＜p 2； …14分所以当k ＝2时，p 2最大，因此此人答对2道题的可能性最大． …15分 17．解：（1）取BC 中点为O ．连结AO ，A 1O ． …1分 因为侧面BB 1C 1C 为矩形，所以BB 1⊥BC ，又AA 1//BB 1，则AA 1⊥BC ．…3分 由底面ABC 为等边三角形，所以AO ⊥BC ． …4分 故BC ⊥平面AA 1O ，由于A 1O ⊂平面AA 1O ，故A 1O ⊥BC ． …5分 又BO ＝CO ，故A 1B ＝A 1C ． …6分（2）①由A 1C ⊥A 1B ，O 为BC 的中点及（1），所以A 1O ＝BO ＝1． …7分又AO ＝3，AA 1＝2，得AA 21＝A 1O 2＋AO 2，则A 1O ⊥OA ， …8分 又A 1O ⊥BC ，得A 1O ⊥平面ABC ，A 1O ⊂平面A 1BC ，故平面A 1BC ⊥平面ABC ； …9分 ②以O 为坐标原点，OA ，OB ，OA 1所在直线的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ．A 1(0，0，1)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (0，－1，0)．OA 1→＝(0，0，1)，A 1C 1→＝AC →＝(－3，－1，0)，A 1B →＝(0，1，－1)．…11分设平面A 1BC 1的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0．即⎩⎨⎧y －z ＝0，－3x －y ＝0．可取n ＝(－1，3，3)．…13分 由①知OA 1→是平面ABC 的一个法向量，…14分1则cos 〈n ，OA 1→〉＝n ·OA 1→|n ||OA 1→|＝217．故平面ABC 与平面A 1BC 1的夹角的余弦值是217．…15分18．解：（1）由题意得，4a 2－9b 2＝1， …1分AB ：y －3＝3－02－12(x －2)⇔y ＝2x －1， …2分与x 2a 2－y2b2＝1联立得(b 2－4a 2)x 2＋4a 2x －a 2－a 2b 2＝0． …3分 当b 2－4a 2＝0时，又4a 2－9b 2＝1，解得b 2＝7，a 2＝ 74； …5分当b 2－4a 2≠0时，得－4a 2b 2－4a 2＝4⇔3a 2＝b 2，又4a 2－9b 2＝1，解得b 2＝3a 2＝3， 经检验Δ＝0满足题意；所以双曲线方程为x 274－y 27＝1或x 2－y 23＝1． …7分（2）当b 2＝7，a 2＝ 7 4时，e ＝√_____b 2a2＋1＝5＞2（舍）； …8分当b 2＝3a 2＝3时，e ＝√_____b 2a2＋1＝2≤2．满足题意．…9分设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线l ：y ＝k (x － 1 2)，与x 2－y 23＝1联立得(3－k 2)x 2＋k 2x －k 24－3＝0． …10分所以，x 1＋x 2＝－k23－k 2，x 1x 2＝－k 24＋33－k 2． …12分则k 1＋k 2＝y 1－3x 1－2＋y 2－3x 2－2…13分＝k (x 1－ 1 2)－3x 1－2＋k (x 2－ 12)－3x 2－2＝2k ＋(3k2－3)×x 1＋x 2－4x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4 …15分＝2k ＋(3k2－3)(3k 2－12)－94(k 2－4)＝2k － 4 3(3k2－3)＝4 …16分所以，直线AM 与直线AN 的斜率之和为4． …17分19．解：（1）f '(x )＝(sin x cos x )'＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x， …2分 f '( π4)＝2， …4分 故所求切线方程为y －1＝2(x － π 4)，即y ＝2x ＋1－ π2．…5分 （2）由0＜x ＜ π2得1＜2x ＋1＜π＋1，g '(x )＝2cos (2x ＋1)＋2tan x ，…7分设2x 0＋1－ π 2＝0，得2x 0＋1＝ π 2，x 0＝ π4－ 1 2．①当0＜x ≤x 0时，1＜2x ＋1≤ π2，cos (2x ＋1)≥0，tan x ＞0，故g '(x )＞0．…9分②当x 0＜x ＜ π 2时， π2＜2x ＋1＜π＋1．先证明tan x ≥2x ＋1－ π2．构造函数h (x )＝tan x －2x －1＋ π2，…10分则h '(x )＝1cos 2x －2，又h '( π4)＝0， 当x 0＜x ＜ π4时，h '(x )＜0，h (x )单调递减，当 π 4＜x ＜ π2时，h '(x )＞0，h (x )单调递增， h (x )有最小值h ( π 4)＝0，则h (x )≥0，即tan x ≥2x ＋1－ π2．…13分则g '(x )≥2[cos (2x ＋1)＋2x ＋1－ π2]．令s (x )＝cos (2x ＋1)＋2x ＋1－ π2．s '(x )＝－2sin (2x ＋1)＋2＞0，g (x )单调递增，则s (x )＞s (x 0)＝0， 故g '(x )＞0．…15分综①②所述，当0＜x ＜ π2时，g '(x )＞0，g (x )单调递增．由于g (0)＝sin 1，又∀M ＞0，∃θ∈(x 0， π2)，使得cos θ＝√_____1e M ＋1＜ 1 e ， 当x ∈(θ，π2)时，g (x )＞g (θ)＝sin (2θ＋1)－2ln (cos θ) ＝sin (2θ＋1)＋M ＋1＞M ，则g (x )的值域为(sin 1，＋∞)． …17分。

2019-2020学年唐山市高三摸底考试数学数学试题及答案A卷

2019-2020学年唐山市高三摸底考试数学数学试题及答案A卷


y
y
－1 O 1
x
A．
y
－1 O 1
x
பைடு நூலகம்
B．
y
2
－

－1 O 1
x
C．
－1 O 1
x
D．
5．右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个
四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为 A 和 M．在此图内任取一点，此点
取自 A 区域的概率记为 P(A)，取自 M 区域的概率记为 P(M)，则
7．若 sin 78°＝m，则 sin 6°＝
A．
m＋1 2
C．
m＋1 2
B．
1－m 2
D．
1－m 2
开始
输入 x
a＝x MOD 4 b＝x MOD 100 c＝x MOD 400
是 a＝0 且b≠0
否
c＝0
是
否①
输出“x 是平年” 输出“x 是闰年”
8．已知等差数列{an}的公差不为零，其前 n 项和为 Sn，
2．已知 p，q∈R，1＋i 是关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 的一个根，则 p·q＝
A．－4
B．0
C．2
D．4
3．已知 a＝ln 3，b＝log310，c＝lg 3，则 a，b，c 的大小关系为
A．c＜b＜a
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
4．函数 f (x)＝x|2－x|1的图像大致为
若 S3，S9，S27 成等比数列，则SS93＝
结束
A．3
B．6
C．9
D．12
9．双曲线 C：ax22－y2＝1（a＞0）的右焦点为 F，点 P 为 C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点．若