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分形图形的计算机模拟

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安徽工业大学

毕业设计（论文）说明书

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摘 要 分形理论是近二、三十年才发展起来的一门新的学科，其主要描述自然界和非线性系统中不光滑和不规则的几何形体。分形理论已广泛应用于各个领域，如：数学、物理、化学、材料科学、生物与医学、地质和地理学、地震和天文学以及计算机科学等。因此，分形理论的研究具有重要的理论意义，又有广泛的实际应用价值。 本文在对分形理论的基本知识和分形几何的空间分布维数有一定了解后，总结前人的一些经典分形图的生成算法，利用Visual C++6.0良好的用户界面和强大的图形编程技术，实现一些经典分形图的生成软件。

本文主要运用字符串替换算法（L-system）在计算机上生成Von Koch曲线、Hilbert曲线等经典分形图形。运用良好的用户界面模式，实现对生成分形图形的参数修改对话框，使其能对生成分形图的迭代初始值进行修改，从而可以生成不同的分形图形。

关键词：分形维数 Von Koch曲线 字符串替换算法 Visual C++6.0 安徽工业大学

毕业设计（论文）说明书

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Abstract Fractal theory is a science newly developed in the past 20 to 30 years, it can mainly describe roughness and irregular geometric shapes in the nature or in non-linear system. Fractal theory is extensive applied to many fields, such as mathematics, physics, chemistry, material science, biology and medicine, geography, earthquake and astronomy, computer science and so on. In consequence, the research on fractal theory has both important theoretical significance and extensive applied value. Referencing the foregoer's research achievements,on the basis of mastering the base knowledge of the fractal theory and space distribution dimension of the fractal geometry,this paper sums up some algorithm about drawing some fractal graphics.It takes advantage of Visual C++6.0 the better user interface and mighty computer programming technology. In this paper, it mainly use the string replacement algorithm (L-system) on the computer to generate Von Koch curve, Hilbert curve and so on. It can realize to modify the parameter of the fractal graphics by using the parameter dialogue box. In order to obtain various fractal graphics, it can modify the iterated initialized values. Key words: fractal dimension Von Koch curve L-system Visual C++ 6.0 安徽工业大学

毕业设计（论文）说明书

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目 录 目 录 .................................................................................................................... - 3 - 第1章 绪 论 ...................................................................................................... - 5 - 1.1非线性科学 ............................................................................................ - 5 - 1.1.1什么是非线性科学 ..................................................................... - 5 - 1.1.2非线性问题研究的历史概况 ..................................................... - 5 - 1.1.3非线性科学研究的范围 ............................................................. - 6 - 1.2分形理论的发展阶段及现状 ................................................................ - 6 - 1.3分形理论的应用 .................................................................................... - 8 - 1.3.1艺术领域的应用 ......................................................................... - 8 - 1.3.2 其他领域的应用 ........................................................................ - 9 - 1.4分形理论的研究意义 .......................................................................... - 10 - 第2章 分形理论的基础知识 .......................................................................... - 13 - 2.1分形的定义及特征 .............................................................................. - 13 - 2.2分形的性质 .......................................................................................... - 14 - 2.2.1自组织现象 ............................................................................... - 14 - 2.2.2自相似性与标度不变性 ........................................................... - 14 - 2.3分形与混沌 .......................................................................................... - 14 - 2.3.1分形 ........................................................................................... - 14 - 2.3.2混沌 ........................................................................................... - 15 - 2.4分形几何与欧氏几何的比较 .............................................................. - 17 - 第3章 分形维数 .............................................................................................. - 17 - 3.1分形维数问题的提出 .......................................................................... - 17 - 3.2分形维数的定义 .................................................................................. - 18 - 3.2.1 Hausdorff维 .............................................................................. - 18 - 3.2.2 自相似维 .................................................................................. - 19 - 3.2.3盒维数 ....................................................................................... - 19 - 3.3 分形维数的一些性质 ......................................................................... - 20 - 3.4分形维数的测定方法 .......................................................................... - 21 - 3.4.1改变观察尺度求维数 ............................................................... - 21 - 3.4.2尺码法 ....................................................................................... - 22 - 3.4.3盒维数法 ................................................................................... - 22 - 第4章 经典自相似分形图形 .......................................................................... - 22 - 4.1分形简介 .............................................................................................. - 22 - 4.2各种曲线的设计方案 .......................................................................... - 23 - 4.2.1 von Koch曲线的设计方案 ...................................................... - 23 - 4.2.2 Helibert曲线的设计方案 ......................................................... - 24 - 第5章 基于VC++6.0下分形图形的实现 ..................................................... - 24 -

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基于分形理论与BSP技术的植物形态模拟方法

基于分形理论与BSP技术的植物形态模拟方法


Ｄ ｃ２０ ｅ ．０ ６
Ｖ０ ． １ Ｎｏ． １２ ４
基 于分 形 理 与 Ｂ Ｐ技术 的植 物 形态 模 拟 方 法 论 Ｓ
王 卫 东
（山东经济管理干部学院计算机信息管理学系 ， ０ １ ， ２ ０４ 济南∥４ 岁 ， ， ５ ２ 男 副教授 ）
摘 要 为 了更逼真地模拟植物生长形态 ， 本文提出了一种将分形算法与 ＢＰ Ｓ 技术相结合的编程思路 ． 借助 Ｇ Ｉ 编程 ， Ｄ＋ 通过
直线段 ；
＋（ ： ） 向左 转 ， 的下一状态 为（ Ｙ ａ＋ ， 龟形 ， ， ） 角 的正 向为逆时针方 向；
一
Ｊ Ｆ

（ ： ） 向右转 ， 龟形 的下一状态为（ Ｙ， ） ， ａ一 ；
—
＋
●
．
．ｉ－ ． －ｔ．
．
・
●
－
、
，
． ．
Ｊ
如果用于模拟 植物 的分叉 ， 加入以下两个新 的符 需
物各个器官的差异 ， 但是它对研究大多数植物的形态 ， 尤其是在模拟植 物的视觉效果上具有指导 作用 ．
收稿 日期 ：０６ ６ ５ ２ｏ —０ —１
维普资讯
第 ４期
王卫东 ：基于分形理论与 Ｂ Ｐ技术的植物形态模拟方法 Ｓ
３ ９
、
１
ｔ
为植物各部器官灵活建模、 提取控制参数 和使用随机函数 ， 能灵活地模拟多种植物的形态． 使用计时器技术 ， 还实现了植物形态 的
动态模拟控制 ．
关键词
分形算法 ； ＢＰ Ｓ 技术； Ｇ Ｉ Ｄ ＋； 植物模拟； 动态控制
中 图 分 类 号 Ｔ １７ Ｐ ９． ３
Ｍ ｎｅ ｒ 在 ２ 世 纪 ７ ａｄｌ ｏ ｂｔ ０ ０年代提 出的分形理论 ， 计算 机模拟 自然植物的生长形态开辟 了新途径 ．９８ ，ｉ ｅｍ ｙｒ Ｊ为用 １６ 年 Ｌｎ ｎ ａｅ ｄ 提 出 Ｌ一系统 【 ， ， 经过 Ｓ ｉ 】 ｍｔ Ａ Ｒ和 Ｐｕｉ ｉ ｉ 等人的发展 ， ｈ ｒ ｎｅ ｃ ｓｋｗ ｚ 已成 为一种模拟植 物形态的有效 方法 ， 但该 算法的并行重 写 机制难于编程控制 】且生成 图形过于单调死板 ． ， Ｊ为此 ， 笔者将其字 符串替换思想 与分形递归算法 相结合 ， 挥空 间二分 发 法 （ ｉ ｒ ｐｃ ａｉｏ ，Ｓ ） 方法递归剖分空间平面的优势 ， Ｂｎ ｙＳａｅＰｒｔｎ Ｂ Ｐ ａ ｔ ｉ 对植 物的各个器官在空 间进行细节描绘 和控制 ， 从而找到 了
迭代·混沌·分形

迭代·混沌·分形

迭代·混沌·分形柴文斌(四川省遂宁中学校629000)一、课例背景在20世纪下半叶，计算机的“魔杖”不断制造出新的数学分支，它最拿手的迭代计算引出了“混沌学”，接着又导致了分形几何的产生. 分形的思想和方法在模式识别，自然图象的模拟，信息讯号的处理，以及金融模型，艺术的制作等领域都取得了极大的成功.二、教学目标①本课例按《新课标》的要求，通过分形为载体，引起学生深厚的兴趣，在探究过程中，浅介数学新思想、新发展，同时让学生发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶他们的情操，培养他们创新的精神.②总结平常练习过的从迭代、分形为背景数学试题，让他们用联系、发展的眼光，体会“背景深刻，方法独到”高考压轴题设计意图，明白“基础扎实，能力到位”明确要求.三、教学重点①应用计算机让学生感受分形图之美妙及形成数学原理.②分析分形为背景数学试题，形成高观点下审视数学问题.四、教学难点①迭代、混沌、分形定义度的把握.②Julia集、Mandelbrot集及其特征.五、教学过程(一)美丽的分形图形运用多媒体展放《孔雀开屏》等11幅分形艺术作品.师：这些美丽图形自然而优美，纷繁而有序，放射出诱人的色彩，在绚丽的色彩变化背后有几分神秘，似乎没有人会对这些图形无动于衷，你们相信，这些美妙的图形是运用数学知识，通过计算机构造出来的吗？是如何构造的呢？我们还得从函数迭代说起！(二)函数的迭代问题1：计算：①x n n sin lim ∞→ ②=∞→x n n cos lim 问题2：211n n x x +=-11=x轨道：1，0，－1，0，－1，……5.02=x轨道：0.5，―0.75，―0.4375，―0.80859，…―1，0，―1，0，－1问题3：①有没有这样一个初态把它代入211-+=n n x x ，结果不变吗？· ·A B251- 251+ ②618.11=x 写出系统轨道③619.11=x 写出系统轨道问题4：二次函数2)(z z f =进行迭代 ①i z 211=，写出系统轨道 ②i z +=11，写出系统轨道问题5：2)(z z f =且1||0<z求证：1|)(|0<z f证明：i y x z 000+=且1||0<z|2||)(|0020200i y x y x z F +-=20022020)2()(y x y x +-=22020)(y x +=20||z = 因此，在区域1||00<<z 中，1|||)(|00<<z z F ，这就意味着2)(z z F =的每一次迭代，即21n n z z =+都会使z 向靠近0的方向移动，我们说z 向0收敛，或是z 的吸引号，若1||0>z 近似于上面的结论，会发现，经过迭代z 会趋向于∞.若1||0=z ，很明显，z 是平面上单位圆上的点. 于是我们发现复平面上可分为两个区域，一个区域便落在其中的点向0吸引与逼近，而另一个区域便落在其中的点∞逃逸，它们分界线便是1)(0=z F 的单位圆，就是Julia 集.(三)混沌①C z z f +=2)(，0≠C 时，其吸引子不再是0，而是一个区域被吸进去的点会遍整个区域，我们称这个区域为混沌区. 同时，分界线不再是1|)(|0=z F 的单位圆，它是一个不规则不光滑的分界线，就像一个孤岛的海岸线一样.②《三五历经》中说：“天地混沌如鸡子，盘古生其中，万人千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为地，盘古在其中，一日九变；神于天，圣于地. 天月高一丈，地日厚一丈，盘古月长一丈，如此万人千岁，天数极高，地数极深，盘古极长.”③宇宙起源的问题.(四)分形不使系统发散的那么初态的集合组成“内集”，其他的“初态”组成“外集”，内集与外集的边界叫做Julia 集.问题6：运用多媒体展示：i z z f 12.0765.0)(2+-=(一个完全不连通)i z z f +=2)((连通) 特点：处处不光滑，自相似性、精细结构②Mandelbrot 集我们看到，当C 在复平面变化时它的Julia 集也在复平面内变化，而且这些集合可以分成连通与不连通两类. 如果参数C 所对应的Julia 集是连通的，我们就将这个C 染成黑色，否则染上白色，这样得到的黑色集就叫做以参数C 为元素的Mandelbrot 集.问题7：运用多媒体展示Mandelbrot 集，可以看出它有非常复杂的结构，这一结构的明显特征是一个主要心形图与一系列圆盘形的“芽苞”连接在一起，并且，每一个芽苞又被一细节更细小的“芽苞”所环绕，以至无穷. 同时，这些精细的芽苞分支都带有与整体曼德布罗特集相似的微型拷贝.(五)试题研究问题8：将一个单位正三角形一分为四，且挖去中间一个小正三角形，然后再上面三个小三角形中重复上面的步骤. 设初始三角形的面积为1. C n 、S n 分别表示第n 次操作各图形的周长和面积.①求C n 、S n 的表达式.②n 趋于无穷时，C n 、S n 趋于什么？问题9：记P 0表示面积为1的等边三角形，P k+1是对P k 进行如下操作得到：将P k 的每条边三等份，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将它中间部分的线段去掉，记S n 为曲线P n 所围成图形的面积.①求数列S n 的通项公式.②n n S ∞→lim 问题10：一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段长度为1，第二层与第一层线段的前端作两条与线段都成135°角的线段，长度为其一半，第三层按第二层的方法滚动，在第二层线段前端生成两条线段，重复前面的作法，作图到第n 层，称水平线到第n 层最高点的距离为到树形图的第n 层高度，试求：①树形图的第三层及第四层总高度②树形图的第n 层总高度h n③n n h ∞→lim问题11：⎪⎩⎪⎨⎧-+)1(221)(x x x f 121210≤<≤≤x x 定义 *∈=N n x f f f x f n ))(()(①求)152(2007f ②]}1,0[,)(|{15∈==x x x f x B求证：B 中至少含有9个元素问题12：如右图是某计算机的程序框图.(I)求打印出来的x 的值；(II)求打印出来的z 的值；(III)若将程序框图中的语句(9)“n=2007？”改为“94≥z ?”，则张三同学说这是死循环(即一直无限算下去而没有结果)，而李四说不会是死循环，你认为哪个同学说的正确？并说出你的理由.问题13：用牛顿迭代法求根.17世纪，牛顿创立了一种依靠简单计算求解方程根的方法.假设你知道某一方程0)(=x f 的近似解为0x ，此0x 接近于你还不知道的真正解x ，从而可以计算出相应的0)(=x f 及其导数0)(0=x f 的值. 由于0x 接近于x ，所以导数)(0x f '可近似写成00)()(x x x f x f --. 又因为0)(=x f 所以此导数为：000)()(x x x f x f --='] 于是有 )()(000x f x f x x '-=-则修正一次后的近似解为)()(001x f x f x x '-= 重复这个过程得到序列数n x ，它会从极快的速度收敛于此方程的真正解.请你用上述方法 81)(3-=x x f 6.00=x 时①求2x ，3x ，4x . ②100001|21|<-n x 时，n 的范围. 问题14：用多媒体展示基于牛顿迭代法的01=-n z 迭代图形.问题15：(角谷猜想) 任给一个自然数，若它是偶数则将它除以2；若它是奇数，则将它乘3再加1，反复这样运算，经有限步之后其结果必为1. 问题16：分形几何上物理学是怎样？六、课例设计反思：1．数学≠数学题. 数学教育，我想不仅要让学生认识到数学是一门科学，数学是工具，数学是技术，而且应当让他们认识到：作为人类精神、智慧与理性的最高代表之一，数学不仅是文化的重要组成部分，还在文化发展中占据着举足轻重的地位，数学是美的，数学是有意思的.2．Shirley(1986)提出，数学分为形式和非形式，应用和纯粹的，我们平常看到多数中小学讲授的数学知识是形式纯数学，这对学生形成完善的数学的文化观有缺陷，新课标模块设计也充分考虑到这一缺陷,本课例对非形式化教学，研究性学习作些探讨.。

分形树叶脉络建模算法研究

分形树叶脉络建模算法研究

模 拟及其 基本 方法 ，并 针对不 同的方法 进行 了计 算机 实现 。
所说 的拉伸变换 。
植 物建摸领 域的研究 内容繁 多复杂 ，要获得 一个非 常逼真 的 植 物图形 ，不仅仅是 建摸算法 的问题 ，还与 光照 、纹理 映射 等许多 因素有关 。本 文所做工 作是对 建摸方 法进行 了一定 程 度 的研究 主要包括 ：如何在设计 的过 程 中将 惯用 的直线 用 自
坐标随初值 （，ｙ Ｘ ）及变换系数 ｄ作线性变化。
一
个迭代 函数 系统 由一个完 备度量空 间 （， ）和一个 有 Ｘｄ
Ⅳ
． ．
限压缩映射集 ｗｎ —ｘ ｎ＝ ， …， ： ｘ ， １ ， Ｎ组成 ，用 ＩＳ ｆ ； ， １ ２ Ｆ ＸＷｎｎ＝ ， ２…， ， Ｎ｝表示 。则 变换 Ｗ 定义 为： （）： Ｗ Ｂ
Ｋｅ ｒ ｓ ｆ ｅ ａ ｅ ｒ ； ｈ ｐ ｆ ｅ ｆ； ｒｐ ｉｓ ｙ ｗｏ ｄ ： ｒ ｔ ｔ ｏ ａ ｌ ｈ ｙ ｓ ａ ｅｏ ａ ｇａ ｈｃ ｌ
１ 分 形 的定 义
一
考 虑 到 分 形 的 自相 似 性 和 压 缩 映 射 的 不 动 点 原 理 ， Ｈ ｔ ｉｓｎ于 １８ 年首先提 出可 以用压 缩映射方法产生分形 ， ｕｃ ｎｏ ｈ ９１ 继 而美 国 Ｇ ｏｇａ 工学 院的数学 教授 Ｍ．ａ ｌ ｅｒｉ 理 Ｂ ｍｓ ｙ于 １８ ｅ ９ ５年
图 １ 平移 变 换
（ ）￣ Ｂ Ｘ ＶＢ （ ） ｘ
是完备空 间 （ （）， ｄ）上具有压缩 因子 Ｓ的压缩 映射， ｈ ｘ ｘ ｈ（） 即
ｌ ｌ
（）缩放 变换 ，将 每一 点的横坐标放 大 （ ２ 缩小）至 Ｓ 倍 ，纵 Ｘ
／【
（ （ ） ， （ ） ≤ｓ （ ，） ， Ｗ Ａ ｗ Ｂ） ｈ ＡＢ 对 ＡＢ ＥＸ （ ） ， Ｐ＝ ， Ｘ 且
基于面向对象的分形植物模拟类库研究与实现

基于面向对象的分形植物模拟类库研究与实现


Ｋ ｙｗｏｄ ｆ ｃａ，ｂｅｔ ｒ ｎｅ ， ｙｔｍ ｓ ｌ ｅ ． ｍｕ ｔ ｎ ｅ ｒｓ ｒ ｔｌｏ ｊ — ｉ ｔｄ Ｌ ｓｓ ｉ ａ ｓｓ ｌ ｉ ａ ｃｏ ｅ ｅ ｍｕ ｔ ｉ ａ ｏ
Ｃｌｓ ｍ ｂ ｒ ＴＰ ５ ａ ｓ Ｎｕ ｅ ］
１ 引言
自然植 物是 自然 界最常 见的景物 ， 其结 构 特征 很强， 形状 复杂 ， 势千 姿 百态 。用 计 算 机模 拟 生 长
成时， 用传统 几何 学 方 法几 乎无 法 描 述 ， 而分 形 方 法 的引入 ， 为植 物树 木 的 构 型提 供 了新 的途 径【 。 ］ ］ 近年来 ， 随着 分形 学 的研 究 和发 展 ， 物模 拟 己成 植 为人们研究 的热点 问题 。植 物模拟在 人工 智能 、 计 算 机游戏 、 虚拟现 实 、 学 软件 、 筑 物 配景 、 教 建 园林 设计 以及影 视 特殊 效果 生 成 等领 域 中 占有 重 要 的
ｊｃ —ｏｉ ｔｄｍｅｈ ｄｆｒ ｒｃａ ｓ ｌｔ ｎ Ａ ｅ ｔｏ ｏ ｐ ｌｉｇＯｂｅｔ ｒ ｎｅ ｃｉｕ ｉ ｌ ｉｇｐａ ｔｉ ｅｔ ｒ ｎｅ ｔｏ ｏ ａｔｌｉ ａｉ ． ｎ ｗ ｍｅｈ ｄｆｒａｐｙ ｊｃ—ｏｉ ｔｄｔ ｈｇｅｔ ｓ ａ ｎ ｌｎｓｓ ｅ ｆ ｍｕ ｏ ｎ ｅ ｅ ｏ ｍｕ ｔ
但是 ， 观前人 研 究 成果 ， 纵 我们 发 现 有关 计 算
机分 形算法 通常都采 用结构 化程序设 计思 想 ， 使 致
程序 的可 扩充 性 和可 移植 性受 到 较 大 限制 。 目前
法 。Ｌ系统不 仅是植 物构形 的基 础 ， 在计， 回 日期 ：０ ８ ９月 １ ２０ 年 修 ２０ 年 ６日 基金项目： 湖北 省 教 育 厅科 研 计 划 项 目（ 号 ：２ ０ ３ ０ ４ 资助 。 编 Ｂ ０ ５４ ０ ） 作 者简 介 ： 常君 明 ， ， 士研 究 生 ， 师 ， 究 方 向 ： 学 计 算 可 视化 、 真 。 男 硕 讲 研 科 仿