第2节 平面向量基本定理及坐标运算一、选择题1.下列各组向量中,可以作为基底的是( B )(A)e 1=(0,0),e 2=(1,-2)(B)e 1=(-1,2),e 2=(5,7)(C)e 1=(3,5),e 2=(6,10)(D)e 1=(2,-3),e 2=(,-)解析:两个不共线的非零向量构成一组基底,故选B.2.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( A )(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意得a+b=(2,2+m),由a∥(a+b),得-1×(2+m)=2×2,所以m=-6,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件,故选A.3.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C 三点共线,则k 的值是( A )(A)-(B)(C)(D)解析:=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因为A,B,C 三点共线,所以,共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.故选A.4.在△ABC 中,点D 在BC 边上,且=2,=r +s ,则r+s 等于( D )(A)(B)C-3(D)0解析:因为=2,所以==(-)=-,则r+s=+(-)=0,故选D.5.在△ABC 中,点P 在BC 上,且=2,点Q 是AC 的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于( B )(A)(-2,7)(B)(-6,21)(C)(2,-7)(D)(6,-21)解析:=-=(-3,2),因为Q 是AC 的中点,所以=2=(-6,4),=+=(-2,7),因为=2,所以=3=(-6,21).故选B. 6.已知点M 是△ABC 的边BC 的中点,点E 在边AC 上,且=2,则向量等于( C )(A)+(B)+(C)+(D)+解析:如图,因为=2,所以=+=+=+(-)=+.故选C.二、填空题7.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值为 .解析:=(a-2,-2),=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,即ab-2a-2b=0,所以+=.答案:8.已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,则实数x 的值为 . 解析:因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为u∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,即10x=5,解得x=.答案:9.在平行四边形ABCD 中,=e 1,=e 2,=,=,则= (用e 1,e 2)表示.解析:如图,=-=+2=+=-+(-)=-e 2+(e 2-e 1)=-e 1+e 2.答案:-e1+e210.(2017·丽水月考)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2), c=(4,1).(1)满足a=mb+nc的实数m,n分别为 ;(2)若(a+kc)∥(2b-a),则实数k= ;(3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,则d的坐标为 .解析:(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-.(3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=,所以解得或所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).答案:(1), (2)- (3)(3,-1)或(5,3)11.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则x= ,y= .解析:由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.答案: 12.已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为30°,设=m+n(m,n∈R),则= .解析:因为·=0,所以⊥,以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系,=(1,0),=(0,),=m+n=(m,n).因为tan 30°==,所以m=3n,即=3.答案:3三、解答题13.已知点A(-1,2),B(2,8),=,=-,求的坐标.解:设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).因为=,=-,所以有和解得和所以点C,D的坐标分别为(0,4),(-2,0),从而=(-2,-4).14.(2017·金华四校联考)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若=x+y,其中x,y∈R,求x+y的最值.解:以O为坐标原点,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B(-,),设∠AOC=α(α∈[0,]),则C(cos α,sinα),由=x+y,得所以x=cos α+sin α,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=2sin(α+),又α∈[0,],故当α=时,x+y取得最大值2;当α=0或时,x+y取得最小值1.15.已知正△ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,求||2的最大值.解:建立平面直角坐标系如图所示,则B(-,0),C(,0),A(0,3),设P(x,y),M(x0,y0),则点P的轨迹方程为x2+(y-3)2=1.因为=,则x=2x-,y=2y0,代入圆的方程得(x0-)2+(y0-)2=,所以点M的轨迹方程为(x-)2+(y-)2=,它表示以(,)为圆心,以为半径的圆,所以||max=+=,所以|=.。
第七课时 2.4平面向量的坐标（二）——平面向量共线的坐标表示一、教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.二、教学重点：平面向量的坐标运算。
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性三、授课类型：新授课四、教学过程（一）、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=（二）、探究新知a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0；（2）充要条件不能写成2211x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0；(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=⇔y x y x b a λ （三）、讲解范例： 例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD（四）、课堂练习：1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）A.-3 B .-1 C.1 D.33.若AB =i +2j ， DC =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与共线，则x 、y 的值可能分别为（ ） A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .6.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = .（五）、小结（学生总结，其它学生补充）①向量加法运算的坐标表示.②向量减法运算的坐标表示.③实数与向量的积的坐标表示.④向量共线的条件.（六）、课后作业：1.已知的值求且），y x c b a y c x b a ,,////),,3(),2,(1,2(-==-= 2．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB ∥CD3．证明下列各组点共线：① A (1,2)，B(-3,4)， C(2,3.5)② P (-1,2)， Q(0.5,0)， R(5,-6)4．已知向量a =(-1,3) b =(x,-1)且a ∥b 求x .课后练习：1.教材P 105练习1--52．（备选题）：已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量−→−AB 与−→−CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵−→−AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) −→−CD =(2-1,7-5)=(1,2)又∵2×2-4-1=0 ∴−→−AB ∥−→−CD又∵AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) −→−AB =(2, 4)2×4-2×6≠0 ∴−→−AC 与−→−AB 不平行 ∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD五、教后反思：。
第一课时2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）物理学中，在力的作用下，功的表达式W = |F|⋅|s|cosθ，θ是F与s的夹角.二、讲解教材：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与，b它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b= |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ⇒a=c.但是a⋅b = b⋅ca = c如右图：a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|，b⋅c = |b||c|cosα =|b||OA|⇒a⋅b = b⋅c 但a≠c(5)在实数中，有(a⋅b)c = a(b⋅c)，但是(a⋅b)c ≠a(b⋅c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b|；当θ = 180︒时投影为-|b|.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、a⊥b⇔a⋅b = 02、当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|.特别的a ⋅a = |a|2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a||b|cos θ，b ⋅ a = |b||a|cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b)⋅c = a ⋅c + b ⋅c4.有如下常用性质：22||a a = （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解例题：例1．已知|a|=12， |b|=9，254-=∙b a ，求a 与b 的夹角。
