2019-2020年高考数学大一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十九直线与圆锥曲线理

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课时达标检测（四十九）直线与圆锥曲线［练基础小题——强化运算能力]1．已知双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是( )A.错误! B．(－错误!，错误!)C。

错误! D．［－错误!，错误! ]解析:选C 由题意知，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±错误!x.当过点F的直线与渐近线平行时,满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是错误!，故选C。

2．已知经过点（0，错误!)且斜率为k的直线l与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q，则k的取值范围是( ）A.错误!B.错误!∪错误!C．(－错误!，错误!) D．（－∞,－错误!）∪(错误!,＋∞）解析:选B 由题意得，直线l的方程为y＝kx＋错误!，代入椭圆方程得错误!＋（kx＋错误!）2＝1，整理得错误!x2＋2错误!kx＋1＝0。

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4错误!＝4k2－2>0，解得k<－错误!或k〉错误!，即k的取值范围为错误!∪错误!。

故选B.3．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2,则这样的直线（)A．有且只有一条 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有且只有四条解析：选B ∵通径2p＝2，｜AB|＝x1＋x2＋p，∴｜AB|＝3>2p，故这样的直线有且只有两条．4．斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A,B两点,则｜AB｜的最大值为（)A．2 B。

文 20 最值与范围问题 椭圆中的范围问题
20192 卷 理 21 曲线与方程
求曲线方程与椭圆中的面积最值 问题
3
卷
文 理
21 21
定值定点问题 定值定点问题
证明直线过定点 证明直线过定点
考情 1.高考常考内容,高考主要考查三个方面:(1)求动点的轨迹方 分析 程;(2)最值与范围问题;(3)定点与定值问题;(4)探究存在性问 与预 题.载体主要是直线与椭圆,有时也涉及抛物线和圆. 测 2.预计 2020 年高考保持稳定.运算量有下降趋势.
���������-���������=-1,������������22 + ������������22=1,即
c|y|=16,
①
x2+y2=c2,
②
������2 ������2
+
������������22=1.
③
由②③及 a2=b2+c2 得 y2=������������24,又由①知 y2=1���6���22,故 b=4.
=
3 2
1 2+1������ -������12
=32
1 ≥1,
- 1������-12 2+94
当且仅当1
������
=
12,即
t=2
时等号成立,此时
k1=±22,所以
sin
∠������������������ 2
≤
12,
因 所此 以∠∠������2���S���O������ T≤最π6.大值为π3.
考点101 考点102 考点103 考点104
考点104最值与范围问题
1.(2019·全国2,文20,12分,难度★★)已知F1,F2是椭圆C: 的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.

第49节 抛 物 线一、选择题1．(2018沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0【答案】C【解析】将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a .故选C. 2．(2018辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．2B ．12C ．32D ．52【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4.又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3.所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.3．(2018邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点．若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意可设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.故选C.4．(2018河北三市联考)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A.53 B ．75 C ．97 D ．2【答案】A【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2.又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53. 5．(2018广东汕头联考)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A ．25－1B ．25－2C ．17－1D ．17－2【答案】C【解析】由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.故选C. 二、填空题6．(2018沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.【答案】43【解析】设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝2 33，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±2 33，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43.7．(2018云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与圆M 相切，那么p 的值为__________．【答案】12或4【解析】将圆M 的方程化为标准方程为(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心的坐标为(－4,0)，半径r ＝2.又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4.8．(2018兰州、张掖联考)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C .若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．【答案】y 2＝3x【解析】分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°.又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点．根据题意，得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .三、解答题9．(2018辽宁葫芦岛模拟)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．【解】(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)，所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33.(2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py－4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2，所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p .因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，解得p ＝1. 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2018合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)． 【解】(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )，则OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p )．由OB →·AB →＝0，知x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2.∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2.∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p 2(x 41＋4p 2·x 21)，且x 21≥16p 2，∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．。

课后限时集训(四十九)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝ba x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A ．12B ．22 C ．32D ．55C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C ．]3．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点．若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2yD ．y 2＝－2xB [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p＝y 1－y 2x 1－x 2·(y 1＋y 2)＝k AB ·2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x .] 4．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，设O为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.]5．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16A [由题意知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，易知当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝6，故选A ．]二、填空题6．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．553[由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －，x 25＋y24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.] 7．(2019·沧州百校联盟)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1①，x 22a 2＋y 22b2＝1②， ①②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.] 8．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB→的取值范围是________．[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]三、解答题9. 如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．[解] 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x＋2k 2－2＝0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23， ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.B 组 能力提升1．(2019·黑龙江松原模拟)已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP ′→，当点P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →，求直线l 的方程．图①[解] (1)如图①，设M (x ，y )，则P (x,2y )在圆C ：x 2＋y 2＝4上． 所以x 2＋4y 2＝4，即曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)经检验，当直线l ⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线l 的斜率存在(如图②)．设直线l ：y ＝kx ＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＞0，得k 2＞34.图②x 1＋x 2＝－16k1＋4k2，① x 1x 2＝121＋4k2.② 又由AC →＝35AD →，得x 1＝35x 2，将它代入①②得k 2＝1，k ＝±1⎝ ⎛⎭⎪⎫满足k 2＞34，所以直线l 的斜率为k ＝±1，所以直线l的方程为y ＝±x ＋2.2．(2019·河南濮阳期末)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1·x 2＝3k 2＋14， 由Δ＝(4k )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14×3＝4k 2－3＞0得，k ＞32或k ＜－32.①又∠AOB 为锐角，∴cos∠AOB ＞0， ∴OA →·OB →＞0，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＞0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14＞0，即k 2＜4，∴－2＜k ＜2.② 由①②得，－2＜k ＜－32或32＜k ＜2. 故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.。