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高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算第2课时课堂探究学案新人教A版

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1 2.2 平面向量的线性运算（第2课时）

课堂探究

探究一向量的减法运算

1.

2．向量加减法化简的两种形式：(1)首尾相接且相加；(2)起点相同且相减．做题时，注意观察是否有这两种形式的向量出现．同时注意向量加法、减法法则的逆向运用．

【典型例题1】 化简下列各式：

(1) AB－AC＋BD－CD；

(2)( AB＋CD)＋(BC＋DE)－(EF－EA)．

解：(1) AB－AC＋BD－CD＝CB＋BD－CD

＝CD－CD＝0.

(2)( AB＋CD)＋(BC＋DE)－(EF－EA)＝(AB＋BC)＋(CD＋DE)－(EF－EA)＝AC＋CE－AF＝AE－AF＝FE.

探究二 用已知向量表示未知向量

1．解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．

2．通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB”改为“＋BA”．

3．在减法的逆运算中，一定要注意“共起点”“指向被减向量终点”这两个方面．

【典型例题2】 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用a，b，c表示向量BD，BE，CE.

2 思路分析：寻找图形中已知向量与所表示向量的关系，再灵活运用三角形法则或平行四边形法则表示即可．

解：∵四边形ACDE为平行四边形，

∴CD→＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a.

∴BD＝BC＋CD＝b－a＋c，

BE＝AE－AB＝c－a，

CE＝AE－AC＝c－b.

探究三向量减法的综合运用

向量a＋b，a－b的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．基本思路是：先对向量条件化简．转化，再找(作)图形(三角形或平行四边形)，确定图形的形状，利用图形的几何性质求解．

【典型例题3】 已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量OA，OB，OC，OD满足OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．

解析：∵OA＋OC＝OB＋OD，

∴OA－OD＝OB－OC，

∴DA＝CB.

∴|DA|＝|CB|，且DA∥CB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

答案：平行四边形

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6.2.4向量的数量积(第二课时)教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版

6.2.4向量的数量积(第二课时)教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版

教学设计

课题 6.2.4《向量的数量积》（第二课时）

课型 新授课

一、内容及其解析

1.内容

平面向量的数量积用2课时．

第1课时：平面向量数量积的物理背景及其含义；

第2课时：平面向量数量积的运算律．

向量的数量积是继向量的加法、减法、向量的数乘等线性运算之后又一新的运算，内容包括向量数量积的定义、投影向量、向量数量积的性质、运算律及其应用，既是前面知识的延续，又是后续学习的基础，具有承上启下的作用.研究向量数量积的基本思路和向量线性运算的研究路径具有相似之处，但是向量数量积的运算又具有独特性质.在学习中可以类比向量线性运算的研究思路，从物理背景出发定义向量数量积，从代数和几何两个角度认识向量的数量积.同时，要注意提醒学生将向量线性运算和向量数量积进行对比，准确认识向量数量积的概念和性质.

2. 内容解析

单元知识结构图

内容的本质：本单元是在学生已经学习了平面向量线性运算的基础上，以物理中功的概念，引入向量

“数量积”的概念．向量的数量积运算结果是实数，它不仅满足交换律，而且对加法满足分配律．向量数量积可以刻画两个向量的夹角和向量的长度（可以看成两点间的距离），而距离和角又是刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量．因此，向量数量积在解决平面几何问题中发挥着独到的作用．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．

本单元在研究平面向量的数量积时，借助物理中的有关模型或借助与数的运算的类比，如借助物理中功的概念引出数量积的概念；借助与数的运算的类比，发现数量积的运算律．本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法.

知识的上下位关系：

育人价值：培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养．

二、学情分析

平面向量数量积是学生在完整学习了向量线性运算的基础上进行的，学生对于向量运算已经有了丰富的研究经验，对其中蕴含的数学思想和方法也有了较为全面的认识，所以教学中要引导学生类比已学知识，明确研究路径，启发学生进行自主探究.学生具有力、功等物理知识的基础，在借助物理背景定义向量数量积的过程中，要充分利用物理模型进行知识迁移，从力的分解角度认识分力做功，为后续学习投影向量做铺垫，认识投影向量和数量积的关系.从力做功的公式出发，从向量运算的视角描述||||cosWFs，容易想到需要先定义两个向量的夹角.在明确向量夹角的概念后，再定义向量的数量积就水到渠成了.得到向量数量积的计算公式是容易的，但是要进一步引导学生全面认识向量的数量积.由于学生具有认知惯性，教学中需要提醒学生注意区别向量的线性运算，向量数量积的运算结果是实数而不是向量.虽然向量的数量积是实数，但是两个向量的大小和方向仍然影响着运算结果，通过向量数量积的定义认识到运算结果的大小与向量模长、夹角的关系，也为投影向量的研究打下基础.

【数学】第二章《平面向量全章小结》教案(新人教A版必修4)

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第 1 页 共 3 页 第二章 平面向量全章小结

（一）学习目标

1.进一步理解向量的有关概念;

2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.

3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.

4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。

5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.

（二）重点难点

1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算

2. 难点是如何向量方法解决一些问题.

（三）教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

全章知识结构介绍

让学生根据表根中的各项要,回忆相关的概念 让学生从整体上对本章内容有一个宏观的了解

复习 例1.填空(向量的线性运算)

1.已知平行四边形ABCD,则

_______,ADAB._______ADAB

2. ._______BACBACAB

3. 已知)(21OBOAOM,则点M

是A,B的_______;

若点A()7,1(),,5,2B, 则 M的坐

标为_________.

4.已知OBOAOM31)311(,则._____ABAM

5.已知)2,3(),1,2(BA, ABAM32,

则点M的坐标为_______. 让学生自己先解决问题,让后同学进行回答,教师进行指导 说明:给出这组题的目的是,在复习向量的加减法,坐标运算和其相关的几何表示都要掌握,并且要会结合在一起使用.

例2.(向量的数量积) 说明:让学生首要注意一些数据表明平面向量、实际背景

向量及其基本概念 线性运算 向量的数量积

基本定理

坐标表示

向量的应用 知识改变命运，学习成就未来

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第 2 页 共 3 页 (1)已知)1,3(),3,1(ba,求.,|,||,|,,ababababa

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4

1

高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意

义课后习题新人教A版必修4

一、A组

1.已知非零向量 a, b满足a+4b=0,则( )

C a与b的方向相同D. a与b的方向相反

解析：T a+4b=0,二 a=-4b, | a|= 4| b| ,且 a 与 b 的方向相反.

答案：D

1

妙 4- BC

A.

1 -BA-BC B. Z

:BA - BC C. --

D. --

I 1 I I CD = -(CA + CB 解析：T点D是边AB的中点，二 ).

I~~TV 1

I r ^(CA + CB -BA + BC

.•卫dg )=上 .故选D.

答案：D

3.设a, b不共线 J =a+kb, =na+b(k,m€ R),则A, B C三点共线时有( )

A.k=m B.km-仁0

Ckm+1=0 D.k+m=0

i -1

解析:若ABC三点共线，则’共线,

I I

.存在唯一实数入,使二上=入“,

.a+kb=X (ma+b),A. | a|+ 4| b|= 0

B. a与b是相反向量

2.如图所示 2

1加=1*

即 a+kb= Xma+ 入 b, •」几一

/• km=1.

即 km-1=0.

答案:B

A. △ ABC的内部

B. AC边所在直线上

C. AB边所在直线上

D. BC边所在直线上 4.如图,已知 lAB =a, AC=b,図/=3。£,用a, b表示眉D,贝则4D

A. a+

Jb

3 1

B. 4a+4b

C. ]a+ ;b

)

5.已知P是厶ABC所在平面内的一点，池色=入卩月+PB,其中入€ R则点P—定在（ 3

解析：，兀入P上+

PR, .UPR»PA

CB +

•上P加••虽以共线.

•••C P,A三点共线，故选B.4

答案:B

6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.

答案：9a

7.如图，在平行四边形 ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________

人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1.2 向量的几何表示》优质课教案_12

人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1.2 向量的几何表示》优质课教案_12

1

2.1.2 向量的几何表示

学习目标

1.掌握向量的几何表示；

2.理解向量的有关概念。

学习重点、难点

1.向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示；

2.向量的概念和共线向量的概念。

探究（一）：向量的几何表示

思考1：一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地，可以用什么方式表示小船的位移？

思考2：如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？

1.向量的有关概念

(1)向量AB的大小叫做向量的长度(模)。

表示为：___________

(2)字母表示法

为了书写的方便，除了用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示外，向量也可以用黑体的单个小写字母a，b，c，…，或a，b，c表示，如图。

要注意手写体a，b与印刷体a，b的不同，向量的字母表示法有利于向量的代数运算。

思考4：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

2.两个特殊向量

零向量：模为0的向量，记作0。

单位向量：模为1个单位的向量。

思考5：怎样理解零向量的方向？怎样理解向量aa？

A起点 B终点

2

思考6: “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗?

知识运用

例1.______________________________称为向量；常用_________________表示，记为____________，

又可用小写字母表示为____________。

例2.在下列命题中，正确的是（ ）

A.若|a|＞|b|，则a＞b； B.若a与b平行，b与c平行，则a与c不一定平行

C.终点相同的两个向量不平行 D.由于0方向任意，故0不与任一向量平行

例3.判断下列各命题是否正确：

（1）若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反。 （ ）

（2）若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量。 （ ）