专题4.7 解三角形的实际应用-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
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努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！ 第四篇 三角函数与解三角形
专题4.07 解三角形的实际应用
【考试要求】
能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
【知识梳理】
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
【微点提醒】
1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.( )
(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )
【教材衍化】 努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！ 2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A.502 m B.503 m
C.252 m D.2522 m
3.(必修5P15练习T3改编)如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.
【真题体验】
4.(2018·济南月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！ 在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东80° D.南偏西80°
5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
6.(2019·天津和平区调研)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin ∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________.
【考点聚焦】 努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！ 考点一 求距离、高度问题
角度1 测量高度问题
【例1－1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
【规律方法】
1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
【训练1】
如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A.56 B.153 C.52 D.156
努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
角度2 测量距离问题
【例1－2】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)
【规律方法】
1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！ 斗号”相遇所需的最短时间为________小时.
考点二 测量角度问题
【例2】 已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°＝3314
【规律方法】
1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【训练3】 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( ) 努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！
A.30°
B.45° C.60° D.75°
考点三 正(余)弦定理在平面几何中的应用
【例3】 (2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB＝2π3，半径为42，若点C是AB︵上的一动点(不与点A，B重合).
(1)若弦BC＝4(3－1)，求BC︵的长；
(2)求四边形OACB面积的最大值.
【规律方法】
1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. 努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！ 2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.
【训练4】 (2019·临沂检测)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝π2，B＝2π3，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝2π3，EC＝7.
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长.
【反思与感悟】
利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.
【易错防范】
在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.
【分层训练】 努力的你，未来可期！
拼搏的你，背影很美！ 【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )
A.6 km B.2 km C.3 km
D.2 km
2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A.102海里 B.103海里
C.203海里 D.202海里
4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为( )
