【配套K12】全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例增分练

第7讲解三角形的应用举例板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )A．10 km B．10 3 kmC．10 5 km D．107 km答案 D解析如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝107(km)．2．[2018·武汉模拟]海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝( )A．10 3 n mile B.1063n mileC．5 2 n mile D．5 6 n mile 答案 D解析由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得10 sin45°＝BCsin60°，所以BC＝5 6.3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B解析 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a 2，故|AB |＝3a .4．[2018·临沂质检]在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003m B.40033 mC.200 33m D.2003m 答案 A解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°， 又AB ＝200，∴AC ＝40033.在△ACD 中，由正弦定理，得ACsin120°＝DC sin30°，即DC ＝AC ·sin30°sin120°＝4003(m)．5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h答案 B解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.6.如图，某工程中要将一长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案 100 2解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin30°＝x sin45°，解得x ＝100 2.7.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为________km.答案 7解析 ∵82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，∴cos D ＝－12.∴AC ＝49＝7(km)．8.[2018·河南调研]如图，在山底A 点处测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．答案 1000解析 由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－(90°－∠DSB )＝30°，∴∠ASB ＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得1000sin30°＝AB sin135°，∴AB ＝10002，∴BC ＝AB2＝1000(米)．9.[2018·山西监测]如图，点A ，B ，C 在同一水平面上，AC ＝4，CB ＝6.现要在点C 处搭建一个观测站CD ，点D 在顶端．(1)原计划CD 为铅垂线方向，α＝45°，求CD 的长；(2)搭建完成后，发现CD 与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD 2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6) 解 (1)∵CD 为铅垂线方向，点D 在顶端，∴CD ⊥AB . 又∵α＝45°，∴CD ＝AC ＝4.(2)在△ABD 中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB ＝AC ＋CB ＝ 4＋6＝10，∴∠ADB ＝180°－83°＝97°，∴由AD sin β＝AB sin ∠ADB 得AD ＝AB sin βsin ∠ADB ＝10sin30°sin97°＝5sin97°≈5.在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos α＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17. 10.如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝ 103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2(3－1)×2×cos120°＝6， 解得BC ＝ 6.又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin∠BAC BC ＝2×sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD ＝ 120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6，解得t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[B 级 知能提升]1．[2018·天津模拟]一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝ABsin45°，解得BC ＝102(海里)．2.某观察站B 在A 城的南偏西20°的方向，由A 出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B 处测得此公路上距B 处30 km 的C 处有一人正沿此公路骑车以40 km/h 的速度向A 城驶去，行驶了15 min 后到达D 处，此时测得B 与D 之间的距离为810 km ，则此人到达A 城还需要()A ．40 minB ．42 minC ．48 minD ．60 min 答案 C解析 由题意可知，CD ＝40×1560＝10.cos ∠BDC ＝102＋102－3022×10×810＝－1010，∴cos ∠ADB ＝cos(π－∠BDC )＝1010， ∴sin ∠ABD ＝sin[π－(∠ADB ＋∠BAD )]＝255.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD ＝BDsin ∠BAD ，∴AD255＝81022， ∴AD ＝32，∴所需时间t ＝3240＝0.8 h ，∴此人还需要0.8 h 即48 min 到达A 城．3.[2014·全国卷Ⅰ]如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.答案 150解析 在Rt △ABC 中，AC ＝100 2 m ，在△MAC 中，由正弦定理得MA sin60°＝ACsin45°，解得MA ＝100 3 m ，在Rt △MNA 中，MN ＝MA ·sin60°＝150 m.即山高MN 为150 m.4.如图所示，A ，C 两岛之间有一片暗礁．一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解 (1)在△ABC 中，由已知，得AB ＝10×5＝50(海里)，BC ＝10×3＝30(海里)，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，所以AC ＝70(海里)． 故A ，C 两岛之间的距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，sin ∠BAC ＝BC ·sin∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.5．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.⎝⎛⎭⎪⎫sin21.8°≈3314解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝ABsin120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)， 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．。