Laplace小波学习整理
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. .
页脚 Laplace小波
特征波混合基分解的精髓：使用与信号波形最匹配的基函数对信号进行分解、提取隐含故障特征。
Laplace小波定义：
该小波为单边衰减的复指数小波，定义如下图所示：
在MATLAB中程序：
Fs=1e4;
t=1/Fs:1/Fs:0.1;
f=500;
w=2*pi*f;
A=0.08; %归一化小波函数
ep=0.03; %粘滞阻尼比
tal=0.1; %时间参数
y=A.*exp(-ep/(sqrt(1-ep^2)).*w.*(t-tal)).*exp(-j.*w.*(t-tal));其中，y为复指数小波，欧拉公式知y包含实部和虚部两部分。
Laplace小波特性：
小波的波形： . .
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对应的实部波形图及频谱图：
实部Re(y)实际上是一个高通滤波器。
Laplace小波基函数库 -400-300-200-1000100200300400500-400-300-200-1000100200300-500050010000.020.040.060.080.1-1000-800-600-400-200020040060080000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-1000-800-600-400-200020040060080010000500100015002000250030003500400045005000020406080100120. .
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滤波方法（小波检测方法）：
思想：信号x(t)是某个系统S的输出，信号x(t)与x(t)的Laplce小波原子的积，可以估计出它们之间的相似性，从而得到系统S的模态参数，与的频率、阻尼特性的对应关系。
积：
若x(t)与完全相关，那么它们之间的夹角。可以定义一个相关系数rk来量化)(tx与之间的夹角。
xtxtkr)(),(
其中)(t为Laplace小波基函数库中的一个，一个)(t对应一个)(tkr。
补充知识：
积定义：
cos||||,BAbababaBAnn
其中nnbbbBaaaA||,||
二数定义：
nnbbbBaaaA,
那么cos,BABA
. .
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应用例子：
通过相关滤波法写出MATLAB程序
%
%------模拟信号检验，用Laplace小波检验自由度响应的脉冲响应信号
%------Laplace小波滤波例子
%
clear;
clc;
%%
An=0.01;%噪声幅度
z0=0.05; %阻尼比
t0=0.5; %固有时间参数
f0=10; %固定频率
Fs=200; %采样率
t=-5:1/Fs:5; %时间围
L=length(t); %采样点数
s=zeros(1,L); %构造信号
lap=zeros(1,L); %构造小波原子函数 . .
页脚 noise =zeros(1,L); %随机噪声
%----构造脉冲响应信号,噪声
noise=An*random('Normal',0,1,1,L);
%----自由度系统的脉冲响应信号
for i=1:L
if t(i)>=t0
s(i)=exp(-z0/(sqrt(1-z0^2))*2*pi*f0.*(t(i)-t0))*(sin(2*pi*f0.*(t(i)-t0)))+noise(i);
else
s(i)=noise(i);
end
end
%%
%----构造Laplace小波特征波库
F=5:0.5:20; %频率组
Z=[0.005:0.005:0.2,0.3:0.1:0.9]; %阻尼比组
T=-5:0.1:5; %时间参数组
for m=1:length(F)
for n=1:length(Z)
for p=1:length(T)
for i=1:L
if t(i)>=T(p)
lap(i)=exp(-Z(n)/(sqrt(1-Z(n)^2))*2*pi*F(m)*((t(i)-T(p))))...
*(sin(2*pi*F(m)*(t(i)-T(p))));
else
lap(i)=1e-5;
end
end
norm_lap(m,n,p)=norm(lap,2);
norm_s(n,m,p)=norm(s,2);
kr(m,n,p)=sqrt(2)*sum(lap.*s)/(norm(s,2)*norm(lap,2));
% plot3(F(m),Z(n),kr(m,n,p));hold on;
end
end
end
%norm求欧几里得数
%----求信号s的二数，小波原子的二数
%% 求 kr最大值并找出最大值对应的坐标
size_kr=size(kr);
max_kr=max(kr(:));
i_max=find(kr==max_kr);
[c,k,g]=ind2sub(size_kr,i_max); . .
页脚 gy_f=F(c);
gy_z=Z(k);
gy_t=T(g);
gy_s=zeros(1,L); %固有参数对应的结果
%% 根据得到的固有参数得到的结果
for i=1:L
if t(i)>=gy_t
gy_s(i)=exp(-gy_z/(sqrt(1-gy_z^2))*2*pi*f0*(t(i)-gy_t))*(sin(2*pi*gy_f*(t(i)-gy_t)));
else
gy_s(i)=0;
end
end
figure(1)
subplot(1,2,1)
plot(t,s,'-r');grid on;
subplot(1,2,2)
plot(t,gy_s,'-k');grid on;
%% 每个T时刻对应的相关系数峰值kr(T)
for p=1:length(T)-1
krT(p)=max(max(kr(:,:,p)));
[row,clum]=find(kr(:,:,p)==krT(p));
f_lap(p)=F(row);
z_lap(p)=Z(clum);
end
figure(2)
subplot(3,1,1)
plot(T(1,1:100),krT); %每个时刻T的相关系数kr的峰值，对应的图像
title('每个时刻T的相关系数kr峰值');grid on;
xlabel('T，时间');
ylabel('kr峰值');
subplot(3,1,2)
plot(T(1,1:100),f_lap);
title('每个时刻T的相关系数频率值');grid on;
xlabel('T，时间');
ylabel('固有频率');
subplot(3,1,3)
plot(T(1,1:100),z_lap);
title('每个时刻T的相关系数阻尼系数值');grid on;
xlabel('T，时间');
ylabel('固有阻尼系数');
. .
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-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-5-4-3-2-101234500.511.5每个时刻T的相关系数kr峰值T，时间kr峰值-5-4-3-2-10123455101520每个时刻T的相关系数频率值T，时间固有频率-5-4-3-2-101234500.020.040.06每个时刻T的相关系数阻尼系数值T，时间固有阻尼系数
