人教版中考数学压轴题学能测试试题

一、中考数学压轴题

1．在菱形ABCD中，P为直线DA上的点，Q为直线CD上的点，分别连接PC，PQ，且PCPQ．

（1）若60B，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图①，易证：DQPDAB（不需证明）；

（2）如图②，若∠B＝120°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图③，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系？请直接写出对图②，图③的猜想，并选择其中一种情况给予证明．

2．在学习了轴对称知识之后，数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究，请你跟随兴趣小组的同学，一起完成下列问题．

(1)（课本习题）如图①，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD． 求证：DB=DE

(2)（尝试变式）如图②，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，延长BC至E，使CE=AD．

求证：DB=DE．

(3)（拓展延伸）如图③，△ABC是等边三角形，D是AC延长线上任意一点，延长BC至E，使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论．

3．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．

（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为

，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．

（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；

（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．

①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．

②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；

4．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果xy，那么称这个四位数为“和平数”．

例如：1423，14x，23y，因为xy，所以1423是“和平数”．

（1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________；

（2）求同时满足下列条件的所有“和平数”：

①个位上的数字是千位上的数字的两倍；

②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；

（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”．

例如：1423于4132为“相关和平数”

求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

5．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．

（1）求证：△PFA∽△ABE；

（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出DP满足的条件： ．

6．综合与实践

4A纸是我们学习工作最常用的纸张之一， 其长宽之比是2:1，我们定义：长宽之比是2:1的矩形纸片称为“标准纸”．

操作判断：

1如图1所示，矩形纸片2()ABCDADAB是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,AB求CF的长，

2如图2，在1的基础上，连接,BD折痕EF交BD于点O，连接,BE判断四边形BFDE的形状，并说明理由．

探究发现：

3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A与点C重合，再展开，痕MN交AD边于点M，BC交边于点,N交BD也是点O.然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由．

7．如果关于x的一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．

（1）①方程2280xx 半等分根方程（填“是”或“不是”）；

②若(1)()0xmxn是半等分根方程，则代数式2252mmnn ；

（2）若点(,)pq在反比例函数8xy的图象上，则关于x的方程260pxxq是半等分根方程吗？并说明理由；

（3）如果方程20axbxc是半等分根方程，且相异两点(1,)Mts，(4,)Nts都在抛物线2yaxbxc上，试说明方程20axbxc的一个根为53．

8．如图1，抛物线2yxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接AC、BC，已知点A、C的坐标为2,0A、0,6C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是线段BC下方抛物线上的一动点，如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点Q的坐标；

（3）如图2，若点M是AOC△内一动点，且满足AMAO，过点M作MNOA，垂足为N，设AMN的内心为I，试求CI的最小值．

9．如图，在ABC中，90ABC，ABBC，O为AC中点，点D在BO延长线上，CDBC，AEBC∥，CECA，AE交BD于点G． （1）若28DCE，求AOB的度数；

（2）求证：AGGE；

（3）设DC交GE于点M．

①若3AB，4BC，求::AGGMME的值；

②连结DE，分别记ABG，DGM，DME的面积为1S，2S，3S，当ACDE时，123::SSS

．（直接写出答案）

10．对于平面内的点M和点N，给出如下定义：点P为平面内的一点，若点P使得PMN是以M为顶角且M小于90°的等腰三角形，则称点P是点M关于点N的锐角等腰点P．如图，点P是点M关于点N的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点．

（1）已知点(2,0)A，在点123(0,2),(1,3),(1,3)PPP，4(2,2)P中，是点O关于点A的锐角等腰点的是___________．

（2）已知点(3,0)A，点C在直线2yxb上，若点C是点O关于点A的锐角等腰点，求实数b的取值范围．

（3）点D是x轴上的动点，(,0),(2,0)DtEt，点(,)Fmn是以D为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n．直线24yx与x轴和y轴分别交于点HK，，若线段HK上存在点E关于点F的锐角等腰点，请直接写出t的取值范围．

11．如图，一张半径为3cm的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交O于AB、两点．

（1）若折叠后的圆弧恰好经过点O，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l（不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB的长度．

（2）已知M是O一点，1cmOM．

①若折叠后的圆弧经过点M，则线段AB长度的取值范围是________．

②若折叠后的圆弧与直线OM相切于点M，则线段AB的长度为_________cm．

12．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）

（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的一边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，

OA＝2，OC＝1．

①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．

②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．

③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满足的关系为 ．

（2）若ω＝120°，O为坐标原点．

①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝23，求圆M的半径及圆心M的斜坐标．

②如图4，圆M的圆心斜坐标为M（23，23），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是 ．

13．如图，在矩形ABCD中，6ABcm，8ADcm，连接BD，将ABD△绕B点作顺时针方向旋转得到ABD△（B′与B重合），且点D刚好落在BC的延长上，AD与CD相交于点E．

（1）求矩形ABCD与ABD△重叠部分（如图1中阴影部分ABCE）的面积；

（2）将ABD△以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与ABD△重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； （3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得AAB△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．

14．在平面直角坐标系xOy中，点A为x轴上的动点，点B为x轴上方的动点，连接OA，OB，AB．

（1）如图1，当点B在y轴上，且满足OAB的角平分线与OBA的角平分线交于点P，请直接写出P的度数；

（2）如图2，当点B在y轴上，OAB的角平分线与OBA的角平分线交于点P，点C在BP的延长线上，且满足45AOC，求OABOCB；

（3）如图3，当点B在第一象限内，点P是AOB内一点，点M，N分别是线段OA，OB上一点，满足：1902APBAOB，PMPN，180ONPOMP．

以下结论：①OMON；②AP平分OAB；③BP平分OBA；④AMBNAB．

正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．

15．我们知道，在等腰直角三角形中，底边与一边腰长比为2:1．如图1，90A，ABAC，则2BCAB．

知识应用：

(1)如图2，ADE和ABC均为等腰直角三角形，90DAEBAC，D，E，C三点共线，若2AD，2BD，求CD的长．

知识外延：

(2)如图3，正方形ABCD中，BE和BC关于BG对称，C点的对应点为E点，AE交BG的延长线于F点，连接CF．

①求证：GFEC；

②若2AE，2CE，求BF的长．

16．如图，平面直角坐标系中，抛物线228yaxaxa与x轴交于B、C两点（点B在点C右侧），与y轴交于点A，连接AB，25AB．