根据考试大纲，填空压轴题仍将以探究规律类型题为主要考察方向。
题型一：数字规律
【例1】一组按一定规律排列的式子：－
，，－，，…，（0a ≠）,则第n 个式子是 （n
为正整数）．
【答案】
【例2】按一定规律排列的一列数依次为：,9
16
,79,54,
31 ……，按此规律排列下去，这列数中的第5个数是 ，第n 个数是 ．
【答案】1125,1
22
+n n
【例3】一组按规律排列的整数5，7，11，19，…，第6个整数为____ _，根据上述规律，第n 个整数为
____ （n 为正整数）.
【答案】67；32+n （n 为正整数）
【例4】将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的
数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.
【答案】81;第45行第15列
2
a 52a 83a 11
4
a 31
(1)
n n
a n --例题精讲
填空题压轴题
【例5】某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见
下表（设第一年前的新芽数为a ）
第n 年 1 2 3 4 5 … 老芽率 a a 2a 3a 5a … 新芽率 0 a a 2a 3a … 总芽率
a
2 a
3a
5a
8a
…
照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 .
【解析】由规律可以看出，从第3年开始，老芽率、新芽率，总芽率都分别是前两年之和，
因此，第8年的老芽为21，总芽为34，因此答案为
2134
． 【解析】
2134
题型二：多边形上存在的点数
【例6】如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形
需要黑色棋子的个数是 ．
【解析】此类型题首先要找到边数的特点，然后找每条边上点的数目，第n 个图形是2n +边形，而且每个边上有n 个点。
【答案】(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-
【例7】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n 个“口”字需用棋子___________
【答案】4n
【例8】用“O”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“O”．
① ② ③ ④ 【答案】181
第2个“口”
第1个“口” 第3个“口”
第n 个“口”
………………
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
题型三：藏头露尾型
【例9】如下图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组
成，……，第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．
【解析】此类问题重点要找到“头是谁”“尾是谁”，①13+；②132+⨯；③133+⨯，……第n 个31n + 【答案】31n +
【例10】搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶
这样的帐篷需要 根钢管．
图1 图2 图3
【答案】83．
题型四：成倍数变化型
【例11】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等
腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC ∆的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．
【解析】注意每一次变化所变化的倍数 【答案】
81；11
(2)2
n n - 【例12】如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边
形，．．．．．．依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________； 所作的第n 个四边形的周长为_________________．
【答案】2,24(
)2
n
【例13】如图，在ABC ∆中，A α∠=，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，
得1A ∠，则1______A ∠=．1A BC ∠的平分线与1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠，……，2009A BC ∠的平分线与2009A CD ∠的平分线交于点2010A ，得
2010A ∠，则2010A ∠= ．
【答案】
2α,2010
2α
(1)
(2)
(3)
……
A 2
A 1D
C A
【例14】如图，小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍
得到新正方形1111A B C D ，正方形1111A B C D 的面积为 ； 再把正方形1111A B C D 的各边延长一倍得到正方形2222A B C D ， 如此进行下去，正方形n n n n D C B A 的面积为 ． （用含有n 的式子表示，n 为正整数）
【答案】5，n
5
【例15】把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的三个小正三
角形再重复以上做法……一直到第n 次挖去后剩下的三角形有 个．
第一次 第二次 第三次 第四次
【答案】3n
题型五：相似与探究规律
【例16】已知ABC AB AC m ∆==中，，72ABC ∠=︒，1BB 平分ABC ∠交AC 于1B ，过1B 作12B B //BC
交AB 于2B ，作23B B 平分21AB B ∠，交AC 于3B ，过3B 作34//B B BC ，交AB 于4B ……依次进行下去，则910B B 线段的长度用含有m 的代数式可以表示为 .
【答案】m 6
215⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
【例17】如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B 与点D 重合，折痕与BD
交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使 点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点 为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与
BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．
第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠
【答案】2；
1
23
32n n -- B A
D C 1
O 1
O 2
O 1
D 1
D 2
D 1
O 2
O 3
O B A
D C B A
D
C
B
A D
C
