高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》知识点训练附答案
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新数学高考《计数原理与概率统计》复习资料
一、选择题
1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2，则（ ）
A．12EE，12DD B．12EE，12DD
C．12EE，12DD D．12EE，12DD
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】
1可能的取值为0,1,2；2可能的取值为0,1，
1409P，1129P，141411999P，
故123E，22214144402199999D.
22110323P，221221323P，
故223E，2221242013399D,
故12EE，12DD.故选B.
【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
2．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种．
A．2267AA B．3247AA C．322367AAA D．362467AAA
【答案】D
【解析】
【分析】
采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是34A种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.
【详解】
采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是34A种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是27A种．综上所述，不同的排法共有362467AAA种.
故选D.
【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．
3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知()3EX，则()(DX )
A．85 B．65 C．45 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知，3~(5,)3XBm，由3533EXm，知3~(5,)5XB，由此能求出()DX．
【详解】
由题意知，3~(5,)3XBm，
3533EXm，解得2m，
3~(5,)5XB，
336()5(1)555DX．
故选：B．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．
4．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A．110 B．35 C．310 D．25 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255
故答案为D．
5．设*Nn，na为41nnxx的展开式的各项系数之和，7ct，Rt，1222555nnnnaaabL（x表示不超过实数x的最大整数）.则22nntbc的最小值为( )
A．12 B．22 C．22 D．32
【答案】A
【解析】
【分析】
令1x可得，52nnna，求出nb，则22()()nntbc的几何意义为点(n，2)(*)2nnnN到点(,7)tt的距离的平方，最小值即(3,3)到7yt的距离d的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案．
【详解】
令1x可得，52nnna，2[][]55nnnnnanng，
设25nnnncg，所以1+11(1)22223()()055555nnnnnnnnnccngg，
所以数列{}nc单调递减，所以数列2{}5nnnng是单调递增数列，(增函数+增函数=增函数）
当n时，20,5nnng且20,5nnng所以2[][]155nnnnnannng.
21222[][][]12(1)5552nnnnaaannbn， 则22()()nntbc的几何意义为点(n，2)(*)2nnnN到点(,7)tt的距离的平方，
即求点(n，2)(*)2nnnN到7yt的距离d的最小值，
所以222|7|221572|14||()|44242nnndnnn，
当1n时，29572||=12=324444d；
当2n时，225572||=8=224444d；
当3n时，2495722||=2=44442d；
当4n时，28157232||=6=44442d；
由函数的图象可知当5,6,7,nL时，322d.
所以点(n，2)(*)2nnnN为(3,3)时，它到7yt的距离d最小，
|337|222dQ，
22()()nntbc的最小值22．
∴22nntbc的最小值为12.
故选：A．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了点到直线的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
6．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC的BC，AB和AC．若10BC，8AB，6AC，ABCV的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）
A．92524 B．162524 C．252425 D．484825
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.
【详解】
由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为1186242S，
Ⅱ所对应的面积29252482422S，
整个图形所对应的面积9252482422S，
所以，此点取自Ⅱ的概率为484825P.
故选：D.
【点睛】
本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.
7．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ）
A．18 B．28 C．38 D．42
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案．
【详解】
根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，
则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，
将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有2887282C种不同的放法，
即有28个不同的符合题意的放法；
故选B．
【点睛】 本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．
8．如图所示，线段BD是正方形ABCD的一条对角线，现以BD为一条边，作正方形BEFD，记正方形ABCD与BEFD的公共部分为（如图中阴影部分所示），则往五边形ABEFD中投掷一点，该点落在内的概率为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】B
【解析】
【分析】
五边形ABEFD的面积52S，阴影的面积为12，得到概率.
【详解】
不妨设1AB，故五边形ABEFD的面积15222S，阴影的面积为12，
故所求概率为1121522P，
故选：B．
【点睛】
本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9．设某中学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数,iixy1,2,3,,inLL，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx，给出下列结论，则错误的是（ ）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0．85kg
C．回归直线至少经过样本数据,iixy1,2,3,,inLL中的一个
D．回归直线一定过样本点的中心点(),xy
【答案】C
【解析】
