求解Bagley-Torvik分数方程的数值解的Haar小波算子矩阵法(中文版)

On Haar wavelet operational matrix of general order and

its application for the numerical of fractional Bagley Torvik

equation.

求解Bagley-Torvik分数方程的数值解的Haar小波算子矩阵法

本文译自：S.Saha Ray. On Haar wavelet operational matrix of general order and its application

for the numerical of solution fractional Bagley Torvik equation. Applied Mathematics and

Computation 218 (2012) 5239–5248

【摘 要】在本文中，我们深入研究了分数阶Torvik-Bagley微分方程[1]。我们采用Haar 小波矩阵运算方法求解了Bagley Torvik方程。利用此方法得到的结果与Podlubny [2]中给出的解析解进行比较，我们发现Haar 小波方法更加实用，因为此计算方法将所考虑的问题转变成为解简单地代数矩阵方程来求解。

【关键词】：分数阶微分方程，Bagley Torvik方程，Haar 小波，矩阵运算

一、引言

分数阶微积分是应用数学的一个领域之一，能处理任意阶的微分和积分（包括复杂的阶）。因广义积分和任意阶的微积分而出名的有kilbas等人[3]和Sabatier等人[4]。

分数阶微积分被Gorenflo 和 Mainardi[5]定位到处理学术研究与任意阶积分与微分应用的数学分析领域中。

分数阶微积分在300年前就使用了，并且很多伟大的数学家（包括纯数学家和应用数学家）Sabatier等人，例如Abel、Caputo、Euler、Fourier、GrUnwald、Hadanard、Hardy、Heaviside、Holmgren、Laplace、Leibniz,、Letnikov、Lioville、Riemann、Riesz以及Weyl为分数阶微积分理论做出了伟大的贡献。

分数阶微积分的历史开始于17世纪末，分数阶微积分的诞生是由于一封信的交流。在那个时代科学期刊还不存在，科学家们是通过信交换他们的信息的。第一个有关分数阶微积分及其应用的会议是在1974年由Ross组织的，地点在外文翻译

1 new Haven大学。

最近几年，分数阶微积分成为很多在不同科学与工程应用学科的研究者们关注的焦点，因为一个物理现象的理想模型能通过分数阶微积分成功实现。

分数阶微分发生在很多物理问题中，例如频率取决于阻尼材料的行为，大型薄板在牛顿流体中的运动，粘弹性材料的蠕变和松弛函数，DPI控制器控制的动力系统等。在电磁学、 声学、 粘弹性和电化学以及材料学中的现象科学家们也通过分数阶微分方程描述出来了。在求解微分方程的过程中牵涉到了很多分数阶的求导。

在物理和工程过程中建立的最佳模型可以在分数微积分中通过分数阶微分方程描述出来。出于这一原因，我们需要一个可靠并且高效率的方法来求解分数阶微分方程。

在目前的分析中，Haar 小波的运算方法已经应用于求解Bagley-Torvik方程的数值解中，然后与Podlubny[2]得到的解析解进行比较。

二、Haar 小波s运算矩阵

Haar函数自从1910年就被使用了，当时是匈牙利数学家Alfred Haar介绍的。Haar 小波函数是各种类型的小波函数中最简单的一个，它们是分段函数（分段常数函数），在实值线上只能取三个值0、1、-1.我们使用Haar 小波方法是由于它的一下特征：简单、快捷、灵活、方便、花费的计算量小并且计算方法具有吸引力。

Haar函数是矩形波形类中的一种，它所有函数的振幅都各不相同，Haar函数的正交集是定义在区间[0,1)上，由

0()1ht

，其他，，，，，022211-221211)(jjjjiktkktkth (2.1) 外文翻译

2 这里i=1,2,…，m-1；m=M2，并且M是一个正整数；j和k是符号i的整数分解，即12jki，ij0并且121jk。

理论上，这组函数完成了。第一段曲线图2.1是表示1)(0th在整个[0,1)区间上的曲线，它是叫做标准函数。第二段曲线)(1th是基本的小波函数，这个原始波形也的跨度也是整个[0,1)区间。所有其它接下来的曲线都是由)(1th经过两步运算得到的：平移和伸缩。)(2th是由)(1th扩张得到的，即)(1th从整个[0,1) 区间压缩一半到[0,1/2]区间，就得到了)(2th，相同的也是)(2th向右移动1/2。类似地，将)(2th压缩一半到1/4区间就产生了)(4th，函数)(4th向右平移1/4，2/4，3/4就分别得到了)(5th，)(6th，)(7th。

从总体上看，)(0th被称为标准函数，而)(1th是最基本的小波函数。

通常Haar 小波s函数的区间是被定为]10[，t，在一般情况下][BAt，,我们将区间][BA，划分成m个相等的子区间，每个子区间的宽度mABt/)(。

在这种情况下，Haar 小波s函数定义为：

，其他，，，0],[t1)(0BAth

，其他，，0)()(1-)()(1)(3221itiitithi (2.2)

这里

,)21())(21()(1tmkAABkAijj

,)221())(221()(2tmkAABkAijj

,)2())(2()(3tmkAABkAijj

i=1,2,…,m-1,Mm2且M是一个正整数，也是最大的标准值。j和k是符号i的整数分解，即12jki，ij0并且121jk。 外文翻译

3 任何像))1,0([)(2Ltf这样的函数都能通过以下变换成为Haar 小波s函数

,)()()()(221100thcthcthcty (2.3)

这里dtthtycjj)()(01。 外文翻译

4

图2.1 Haar 小波函数（m-8）

如果 y (t) 在每一个子区间内被近似为分段常数，则(2.3)式将会在有限项

终止，即)(01)(thcimtyii或以矩阵形式

HCYT, (2.4)

其中，Y 是不相关的连续函数。],,,[110mTcccC是Y向量的系数，可以由1HYCT得到。Y和TC都是行向量，H是m=M2阶的Haar 小波矩阵，M是一个正整数并且由TmhhhH],,,[110决定，即

1,11,10,11,11,10,11,01,00,0110mmmmmmmhhhhhhhhhhhhH， (2.5)

其中110,,,mhhh是不相关的一组向量，是Haar 小波向量H的基础向量；这些不相关的向量值分别取自连续曲线)(,),(),(110thththm。 外文翻译

5 一个被给定的函数 f (t) 扩展到 Haar 小波系列是

10)()(miiithctf， ],[BAt, (2.6)

其中ic是小波系数。

在本文中，我们运用小波得到的方法来确定系数ic，这些得到的论点是由下式得到的

tlAtl)5.0(， m,,2,1l。 (2.7)

式(2.6)的离散描述是

10)()(miliilthctf (2.8)

则式(2.8)写成矩阵的形式就是

HCfT, (2.9)

这里f与TC都是m维的行向量，并且H是m阶的小波矩阵。

三、一般阶的积分算子矩阵/广义矩阵的积分运算

式TmmthththtH)](,),(),([)(110的积分可以用Chen与Hsiao[6]的方法来逼近：

tmmtQHdH0)()(， (3.1)

其中Q被称为Haar 小波s运算积分矩阵，也是一个mm维的方阵。

现在，我们应该就能得出Haar 小波s运算矩阵一般阶情况下的积分。按照这个目的，我们首先介绍Podlubny[2]定义的)0(阶分数积分。

dfttft01)()()(1)(， Rt,0， (3.2)

这里R表示正实数集。

Haar 小波运算矩阵Q的阶一般情况下的积分如下式所示:

TmTmmmtQhtQhtQhthththtHtHQ)](,),(),([)](,),(),([)()(110110外文翻译

6 其中

，其他，，，0],[)1(t)(0BAttQh

，，，，，，，，BtiitiitiiAtQhi)(f)()(f)()(f)(t0)(3,33222111 (3.3)

这里

)1())))(21(((f1ABkAtj，

)1())))(221(((2)1())))(21(((f2ABkAtABkAtjj，

)1())))(2((()1())))(221(((2)1())))(21(((f3ABkAtABkAtABkAtjjj，

i=1,2,…,m-1,Mm2且M是一个正整数。j和k是符号i的整数分解，即12jki，ij0并且121jk。

例如，如果m=4，我们有

106896.0398942.0000376338.00909723.0106896.0398942.0326475.00941775.0690988.0398942.00555.1892062.0690988.0398942.02/1HQ

8181000081818183838187858381QH 外文翻译