一类分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性

第１２卷第１期　太原师范学院学报（自然科学版）　Ｖｏ１．１２　Ｎｏ．１　２０１３年３月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＡＩＹＵＡＮ　Ｎ０ＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｍａｒ．２０１３　

一类分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性　

安存斌李秀兰　

（山西大同大学数计学院，山西大同０３７００９）　

［摘要］　文章主要考虑如下分数阶微分方程的边值问题　

（￡）＋ｆ（ｔ，Ｍ（ｔ））一０，　“（０）一　（１）一０．　这里ｔ∈Ｅｏ，１］，厂：［Ｏ，１］×Ｒ—Ｒ，，为连续函数，１＜口≤２．我们利用Ｂａｎａｃｈ压缩映射定理和Ｂｒｏｕ　ｗａｒ不动点定理得到此边值问题解的存在性定理．　（关键词］分数阶微分方程；边值问题；压缩映射定理，Ｂｒｏｕｗｅｒ定理　［文章编号］　１６７２—２０２７（２０１３）０１—００１２－０２　［中图分类号］０１７５．１４　［文献标识码］　Ａ　

０　引言　

由于分数阶微积分在许多领域都有应用，如物理、生物学、控制理论等，分数阶微分方程的研究引起广大　

学者的关注，并且分数阶微分方程近十年间已有大量研究成果，如文［１—５］．其中，文［１］中，Ｄｅｌｂｏｓｃｏ和　

Ｒｏｄｉｎｏ利用压缩定理讨论了ａ（Ｏ＜ａ＜１）阶微分方程的初值问题．Ｌａｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ和Ｖａｔｓａｌａ利用上下解手　

法研究了ａ（１＜ｄ＜２）阶微分方程的初值问题．文［３］中，Ｊｉａｎｇ和Ｙｕａｎ用锥不动点理论讨论了ａ（１＜ａ＜２）阶　

微分方程的边值问题．　

本文主要讨论如下分数阶微分方程边值问题：　

（　）＋ｆ（ｔ，“（￡））一０，０＜ｔ＜ｌ　（１）　

（Ｏ）＝甜（１）一０，　（２）　

其中ｔＥ　Ｅｏ，１］，ｆ：Ｅｏ，１］×Ｒ—Ｒ的连续函数，且１＜ａ≤２．文［３］中，Ｊｉａｎｇ和Ｙｕａｎ用锥不动点理论研究该边　

值问题正确的存在性，而我们利用Ｂａｎａｃｈ压缩定理讨论（１），（２）解的唯一性，利用Ｂｒｏｕｗｅｒ定理讨论其解　

的存在性．特别地，本文并不要求函数厂非负，扩大了＿厂的范围．　

１　主要结论　

首先我们引入一个引理，此引理的证明在文献［－５３中可查到．　

引理１如果边值问题（１），（２）的解存在，则问题（１），（２）的解由下式给出　

１　ｒ１　１　Ｃｔ　（￡）一　Ｊ。（１一ｓ）ｒｌ　，（ｓ，“（ｓ））ｄ５一　ｊ。（　—ｓ）　，（５，　（ｓ））ｄｓ・　

为得到本文主要定理，我们引入如下算子Ｔ：　

Ｔｕ（ｔ）一　Ｊ。（１一ｓ）ｒｌ　厂（ｓ，　（ｓ））　一　Ｊ。（￡一ｓ）　厂（ｓ，“（ｓ））　・　（３）　

特别地，Ｕ是（１），（２）的解当且仅当　是算子Ｔ的不动点．我们利用这一事实证明问题（１），（２）解的唯一性定　

理与存在性定理．　

定理１设－厂：［Ｏ，１］×Ｅｏ，。。）一Ｒ，ｆ为连续函数，ｆ（ｔ，　）关于　满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件．即存在Ｌ＞Ｏ，使得　

１，（　，“ｔ）一，（￡一“ｚ）ｌ≤Ｌｌ　一“。１，如果　＜１，则边值问题（１），（２）有唯一解・　

收稿日期：２０１２—１２—１１　

作者简介：安存斌（１９７９一），男，山西山阴人，硕士，大同大学数计学院讲师．主要从事差分，微分方程解的存在性研究　第１期　安存斌等：一类分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性　１３　

Ｉ　。一　。ｌ≤　ｆ：￣ｌ－ｓ）　１￡　Ｉ厂（ｓ，“　（ｓ））一，（ｓ，　（　））Ｉ　＋　

（￡一ｓ）　Ｉ厂　－ｆ（　。㈤）Ｉ　ｄｓ≤　

ｒ　广１　Ｔ　ｒ　Ｊ。（１一ｓ）ｒｌ￡　Ｉ“　）一　ｚ（ｓ）Ｉ　ｄｓ＋　ｊ。（￡一ｓ）　Ｉ　（ｓ）一“ｚ（ｓ）Ｉ　ｄｓ，　

所以　

ＩＩ　・一　ｚ　ＩＩ≤　ＩＩ　一　ｚ　ＩＩ・　ｍ　［０Ｉａｘ　］Ｊ￣［。＇（１－－ｓ）￣ｌｔｒｌ　＋　

而Ｌ　ＩＩ　一　ｚ　ＩＩ・，　ｍ　ａｘＪＦ。＇（　一ｓ）　ｄｓ≤　

而２Ｌ　ＩＩ“　一　ＩＩ・　ｍ∈…ａｘ　Ｊｔ＇［。１（１－－ｓ）　ｄ　

ＩＩ　一　ＩＩ．　

因为　＜１，所以由压缩映射定理知，算子Ｔ存在唯一不动点，亦即边值问题（１），（２）存在唯一解，定　

理得证．　

如果把定理１中关于－厂（￡，“）的条件减弱，就有：　定理２设存在正数Ｍ＞Ｏ，使得　

ｍ×［＿ＭＩａｘ加Ｉ，（枷（￡））ｌ≤４ｐ（　＋１），　

则边值问题（１），（２）至少有一个解　。，而且ｌ　。（￡）Ｉ≤Ｍ，ｔＥ［Ｏ，１］．　

证明　作一闭集Ｂ一｛　ＥＣ［ｏ，１］Ｊ　ＩＩ　Ｉ≤Ｍ），算子丁由（３）定义，则算子Ｔ是连续的．－Ｆｆｆ＿丁：Ｂ－－＊Ｂ．　

为此，ｉ￣Ｑ＝１Ｍｒ（口＋１）．由于　

ＩＩ　ＩＩ≤　而１　（１一ｓ）　１　Ｉ　ｆ（ｓ，ｕ（ｓ）Ｉ　＋　ｍ　［０Ｉａｘ　］ＪＦ。＇（￡一ｓ）　Ｉ　ｆ（ｓ，ｕ（ｓ）Ｉ　≤　

Ｑ　ｍ　ａｘ　而１　（１一ｓ）　１￡　＋Ｑ　（　—ｓ）　≤　

１　ｒ１　ｏ　２Ｑ　Ｊ。（１　）ｒｌ　ｄ　一Ｍ，　

所以Ｔ：Ｂ—Ｂ．从而由Ｂｒｏｕｗｅｒ定理知，算子Ｔ存在不动点　。，且ｌ　。ｌ≤Ｍ，则　。为边值问题（１），（２）的解，　

且ｌ“。Ｉ≤Ｍ，ｔＥ　Ｆｏ，１］，定理得证．　我们用如下例题说明定理１．　

例考虑如下分数阶微分方程边值问题　

Ｄ吾　＋　＿０＇０＜￡＜ｌ－　（４）　ｌ“（ｏ）：：＝“（１）一０，　

这里ａ一号，Ｌ一　，而　一　＜１，所以由定理１知边值问题（４）存在唯一解．　

（下转第２０页）

　２０　太原师范学院学报（自然科学版）　第１２卷　

［４３苏忍锁．环Ｒ上的矩阵环Ｍ　（Ｒ）的理想［Ｊ］．宝鸡文理学院学报（自然科学版），２００２，２２（２）：１１５—１１７　［５３张翔．例说剩余类的理想求法以及剩余类方程的解法［Ｊ］．遵义师范学院学报，２００９，１１（１）：７０—７２　

Ｉｄｅａｌｓ　ｏｆ　Ｍａｔｒｉｘ　Ｒｉｎｇｓ　

Ｚｈａｎｇ　Ｓｈａｎｍｅｉ　Ｌｉｕ　Ｙａｏｊｕｎ　（１．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｔａｉｙｕａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３００１２；　２．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，Ｔａｉｙｕａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３００１２，Ｃｈｉｎａ）　

（Ａｂｓｔｒａｃｔ３　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｎｏｔｅ，ｉｄｅａｌｓ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ　ｒｉｎｇｓ　（Ｒ），　（Ｒ）ａｎｄ　（Ｒ）ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｉｄｅａｌｓ　ｏｆ　ａ　ｒｉｎｇＲａｎｄ　ｉｄｅａｌｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｒｉｎｇｓ　ｏｖｅｒ　ｉｔ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ．Ａｓ　ｔｈｅｉｒ　

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ａｌｌ　ｉｄｅａｌｓ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｒｉｎｇｓ　ｏｖｅｒ　ｔｈｅ　ｒｉｎｇ　Ｚ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　

（Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］　ｉｄｅａｌ；ｒｉｎｇ；ｑｕｏｔｉｅｎｔ；ｍａｔｒｉｘ　ｒｉｎｇ；ｒｉｎｇ　ｏｆ　ｒｅｓｉｄｕｅｓ　ｍｏｄｕｌｏ　ｎ　

【责任编辑：张丽萍】　

（上接第１３页）　

参考文献：　［１］Ｄｅｌｂｏｓｃｏ　Ｄ，Ｒｏｄｉｎｏ　Ｌ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｆｏｒ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ．Ａｐｐ１．，１９９６，２０４：　６０９—６２５　［２］Ｌａｓｈｍｉｋａｎｔｈａｍ　Ｖ，Ｖａｔｓａｌａ　Ａ　Ｓ．Ｂａｓｉｃ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ａｎａｌ［Ｊ］．ＴＭＡ，２００８，６９（８）：２　６７７—　２　６８２　［３］Ｊｉａｎｇ　Ｄ，Ｙｕａｎ　Ｃ．Ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｇｒｅｅｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ—ｔｙｐｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃ—　ｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１０，７２：７１０—７１９　［４］Ｗａｎｇ　Ｙ，Ｌｉｕ　Ｌ，Ｗｕ　Ｙ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａ　ｎｏｎｌｏｃａｌ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ａｎａｌ［Ｊ］．ＴＭＡ，２０１１，７４：　３　５９９—３　６８２　［５］Ｌｉａｎｇ　Ｓ，Ｚｈａｎｇ　Ｊ．Ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ａ—　ｎａ１．，２００９，７１：５　５４５—５　５５０　

Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　

Ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｂｏｕｔ　Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　

Ａｎ　Ｃｕｎｂｉｎ　Ｌｉ　Ｘｉｕｌａｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｄａｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｔｏｎｇ　０３７００９，Ｃｈｉｎａ）　

［Ａｂｓｔｒａｃｔ］　Ｗｅ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｎ　ｔｈｅ　

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ｆ　（　）＋ｆ（ｔ，　（　））一０，０＜ｔ＜１　，　１　（ｏ）：　（１）一０，　

ｗｈｅｒｅ　ｆ：［Ｏ，１］×Ｒ　Ｒ　ｉｓ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，ｌ＜口≤２．Ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ　ｍａｐｐｉｎｇ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ａｎｄ　

ｔｈｅ　Ｂｒｏｕｗｅｒ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　

［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］　ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ　ｍａｐｐｉｎｇ　

ｔｈｅｏｒｅｍ；Ｂｒｏｕｗｅｒ　ｔｈｅｏｒｅｍ　

【责任编辑：王映苗】