模2021糊关系和模糊聚类分析

23.模糊聚类剖析原理及实现聚类剖析，就是用数学方法研究和办理所给定对象，依据事物间的相像性进行区分和分类的过程。

传统的聚类剖析是一种硬区分，它把每个待识其他对象严格地区分到某个类中，拥有非此即彼的性质，这种分类的类型界线是分明的。

跟着模糊理论的成立，人们开始用模糊的方法来办理聚类问题，称为模糊聚类剖析。

因为模糊聚类获得了样本数与各个类其他不确立性程度，表达了样本类属的中介性，即成立起了样本关于类其他不确立性的描绘，能更客观地反应现实世界。

本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情况，及理解模糊聚类原理）：鉴于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。

（一）预备知识一、模糊等价矩阵定义 1 设 R=(r ij )n×n为模糊矩阵， I 为 n 阶单位矩阵，若R 知足i)自反性： I ≤R （等价于 r ii =1）；ii)对称性： R T=R;则称 R 为模糊相像矩阵，若再知足iii) 传达性： R2≤R（等价于n(r ik r kj ) r ij）k 1则称 R 为模糊等价矩阵。

定理 1 设 R 为 n 阶模糊相像矩阵，则存在一个最小的自然数k（k<n）, 使得 R k为模糊等价矩阵，且对全部大于 k 的自然数 l，恒有R l=R k. R k称为 R 的传达闭包矩阵，记为 t(R).二、模糊矩阵的λ-截矩阵定义 2 设 A=(a ij )n×m为模糊矩阵，对随意的λ∈[0,1],作矩阵A a ij( )n m此中，a ij( )1,aij 0,aij称为模糊矩阵 A 的λ-截矩阵。

明显， Aλ为布尔矩阵，且其等价性与与A一致。

意义：将模糊等价矩阵转变为等价的布尔矩阵，能够获得有限论域上的一般等价关系，而等价关系是能够分类的。

所以，当λ在[0,1]上改动时，由 Aλ获得不一样的分类。

若λ1＜λ2, 则 Aλ1≥Aλ2, 进而由 Aλ2确立的分类是由Aλ1确立的分类的加细。

当λ从 1 递减变化到 0 时，Aλ的分类由细变粗，渐渐合并，形成一个分级聚类树。

实验报告（一）一、实验内容模糊聚类在土地利用分区中的应用二、实验目的本次上机实习主要以指导学生掌握“如何应用模糊聚类方法进行土地利用规划分区”为目标。

三、实验方法本次试验是在Excel中实现。

利用《土地利用规划学》P114页数据，使用“欧氏距离法”、建模糊相似矩阵，并进行模糊聚类分析实现土地利用分区。

四、实验步骤1、获取原始数据通过对2000年如东县土地利用总体规划及各部门规划资料的分析得到8个评价单元的13项指标体系赋值如下。

将数据录入sheet1(A1：M8)工作区中。

表1：2000年如东县土地利用规划指标2、指标数据标准化本次实验采用了标准差法对数据进行标准化，首先需求取原始矩阵各个指标的均值和标准差。

选取A10单元格输入公式=AVERAGE(A1：A8)，用数据填充A10：M10得到样本数据的均值。

在单元格A11中输入公式=STDEV（A1：A8），用数据填充A11：M11得到样本数据的方差。

如下表2。

表2：13个指标值得均值和标准差选取A13单元格输入公式=(A1-A$10)/A$11，并用数据填充A13：M20区域得到标准化矩阵如下表3。

表3：标准化数据矩阵3、求取模糊相似矩阵本次试验是通过欧氏距离法求取模糊相似矩阵。

其数学模型为：mr ij=1−c√∑(x ik−x jk)2k=1选取A23单元格输入公式=SQRT((A$13-A13)^2+(B$13-B13)^2+(C$13-C13)^2+(D$13-D13)^2+(E$13-E13)^2+(F$13-F13)^2+(G$13-G13)^2+(H$13-H13)^2+(I$13-I13)^2+(J$13-J13)^2+(K$13-K13)^2+(L$13-L13)^2+(M$13-M13)^2)求的d11，B23中输入公式=SQRT((A$14-A13)^2+(B$14-B13)^2+(C$14-C13)^2+(D$14-D13)^2+(E$14-E13)^2+(F$14-F13)^2+(G$14-G13)^2+(H$14-H13)^2+(I$14-I13)^2+(J$14-J13)^2+(K$14-K13)^2+(L$14-L13)^2+(M$14-M13)^2)q 求的d12。

最短距离法也可用于对指标的分类，分类时可以用距 离也可以用相似系数。但用相似系数时应找最大的元 素并类，计算新类与其他类的距离应使用公式(3.19)。 最短距离法的主要缺点是它有链接聚合的趋势，因为 类与类之间的距离为所有距离中的最短者，两类合并 以后，它与其他类的距离缩小了，这样容易形成一个 比较大的类，大部分样品都被聚在一类中，在树状聚 类图中，会看到一个延伸的链状结构，所以最短距离 法的聚类效果并不好，实际中不提倡使用。
（1）当各指标的测量值相差悬殊时，先对 数据标准化，然后用标准化后的数据计 算距离，即兰氏距离。 （2）一种改进的距离就是马氏距离，它对 一切线性变换是不变的，不受指标量纲 的影响。它对指标的相关性也作了考虑， 我们仅用一个例子来说明。
以上几种距离均是适用于间隔尺度的变量，如果 指标是有序尺度或名义尺度时也有一些定义距离 的方法。
离差平方和法（或称Ward方法）
离差平方和方法是由Ward提出来的，许多资料上称 做Ward法。他的思想是来于方差分析，如果类分得 正确，同类样品的离差平方和应当较小，类与类之 间的离差平方和应当较大。
离差平方和法放弃了在一切分类中求的极小值的 要求，而是设计出某种规格：找到一个局部最优 解，Ward法就是找局部最优解的一个方法。 其思想是先将n个样品各自成一类，然后每次缩小 一类，每缩小一类离差平方和就要增大，选择使 增加最小的两类合并，直到所有的样品归为一类 为止。
Байду номын сангаас
在聚类分析中，不仅要考虑各个类的特征，而 且要计算类与类之间的距离。由于类的形状是 多种多样的，所以类与类之间的距离也有多种 计算方法。
(1) 最短距离法。(nearest neighbor或single linkage method)

聚类分析的方法一、系统聚类法系统聚类分析法就是利用一定的数学方法将样品或变量（所分析的项目）归并为若干不同的类别（以分类树形图表示），使得每一类别内的所有个体之间具有较密切的关系，而各类别之间的相互关系相对地比较疏远。

系统聚类分析最后得到一个反映个体间亲疏关系的自然谱系，它比较客观地描述了分类对象的各个体之间的差异和联系。

根据分类目的不同，系统聚类分析可分为两类：一类是对变量分类，称为R型分析；另一类是对样品分类，称为Q型分析。

系统聚类分析法基本步骤如下（许志友，1988）。

（一）数据的正规化和标准化由于监测时所得到的数值各变量之间相差较大，或因各变量所取的度量单位不同，使数值差别增大，如果不对原始数据进行变换处理，势必会突出监测数据中数值较大的一些变量的作用，而消弱数值较小的另一些变量的作用，克服这种弊病的办法是对原始数据正规化或标准化，得到的数据均与监测时所取的度量单位无关。

设原始监测数据为Xij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m；n为样品个数，m为变量个数)，正规化或标准化处理后的数据为Zij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m)。

1. 正规化计算公式如下：（7-32）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）2. 标准化计算公式如下：（7-33）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）其中：（二）数据分类尺度计算为了对数据Zij进行分类，须对该数据进一步处理，以便从中确定出分类的尺度，下列出分类尺度计算的四种方法。

1.相关系数R两两变量间简单相关系数定义为：（7-34）（i，j＝1，2，…，m）其中一般用于变量的分类（R型）。

有一1≤≤1且愈接近1时，则此两变量愈亲近，愈接近-1，则关系愈疏远。

2.相似系数相似系数的意义是，把每个样品看做m维空间中的一个向量，n个样品相当于m维空间中的n个向量。

第i个样品与第j个样品之间的相似系数是用两个向量之间的夹角余弦来定义，即：（7-35）（i，j＝1，2，…，m）常用于样品间的分类（Q型）。