北师大版高中数学必修1课件-正整数指数函数

【解析】列表比较如下:
正整数指数函数的应用
某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每期利率为 r, 设存期是 x,本利和(本金加上利息)为 y 元.
(1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式; (2)如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 期后的本利和.
【解析】(1)已知本金为 a 元,利率为 r,则 1 期后的本利和为 y=a+a×r=a(1+r), 2 期后的本利和为 y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2, 3 期后的本利和为 y=a(1+r)3, x 期后的本利和为 y=a(1+r)x,x∈N+, 即本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为 y=a(1+r)x,x∈N+.
【解析】每年的成本是上一年的 1-20%=80%. 当 x=1 时,y=220×0.8; 当 x=2 时,y=220×0.8×0.8=220×0.82; 当 x=3 时,y=220×0.82×0.8=220×0.83; …… 所以 y=220×0.8x(x∈N+,x≤10).
正整数指数函数的概念
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下列表达式是否为正整数指数函数?
(1)y=1x;
(2)y=(-2)x;
(3)y=3-x(x∈R); (4)y=ex(x∈N+).
【解析】(1)(2)底数不符合,要大于 0 且不等于 1,(3)中 y=3x=(1)x,但定义域不符合,所以只有(4)为正整数指数函数.
3
正整数指数函数的性质
比较下面两个正整数指数函数的性质: (1)y=2x(x∈N+); (2)y=0.997520x(x∈N+).

(2) y x2
(7) y xx
(3) y 2x （8）y (2a 1)x √
(4) y 2x
(5) y x√
(a 1 且a 1) 2
二：指数函数的图像与性质
1. y 2 x
y


1 2
x
的图像：
列表、描点、连线作图
在同一直角坐标系画出 的图像。
所以 1.7 2.5<1.73
5
4.5
4
3.5
3
fx
=
1.7x 2.5
2
1.5
1
0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
6
（2）0.80.1 ＜ 0.80.2
解：因为 函数 y 0.8x
而指数-0.1>-0.2
所以0.80.1 0.80.2
在R上是减函数，
1.8 1.6
fx = 0.8x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
y

2x
，
y


1 2
x

并观察：两个函数的图像有什么关系？
xy
问：如果已知 f (x) ax 的图像
-2 4
能否直接画出88
f
(
x)


1 a
x

的图像
-1 2
77
fx = 2x
01 1 0.5 2 0.25
66
两个函数图像55 关于y轴对称
xy
-2 0.25
44
例2：
（1）求使不等式 4x 32 成立x的集合；

1x 2．在同一坐标系中，函数 y＝2 与 y＝( ) 图像之间的关系是 2
x
( C ) A．关于原点对称 B．关于 x 轴对称 C．关于 y 轴对称 D．关于直线 y＝x 对称
1 x －x 解析：因为 y＝( ) ＝2 ，则－x 代 x 得 y＝2x，所以 y＝2x 与 2 1x y＝( ) 图像关于 y 轴对称． 2
3.y＝a 与 y＝a (其中 a>0 且 a≠1)图像间的关系 1x －x 函数 y＝a (a>0， a≠1， x∈R)与函数 y＝( ) (即 y＝a )二者的 a
x
x
－x
y 图像关于___________ 轴对称．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)指数函数的图像一定在 x 轴上方．( √ ) (2)在同一平面直角坐标系下，y＝ 2x 的图像比 y＝3x 的图像 低．( × ) (3)底数 a>1 时，指数函数的函数值大于 1.( × ) (4)y ＝ ax(x∈N ＋ ) 的图像是 y ＝ ax(x∈R) 图像上的一些孤立 点．( √ )
[0，＋∞) 3．函数 y＝ 3x－1的定义域是____________ ．
解析： 由 3x－1≥0 得 3x≥1＝30， 由于 y＝3x 在 R 上为增函数， 所以 x≥0.即 y＝ 3x－1的定义域为[0，＋∞)．
(－1，3) ． 4．函数y＝ax＋1＋2(a>0，a≠1)过定点________
1 x
⑤y＝3
；⑥y＝x .
1 3
[解析] 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
是否 否 否 是 否 否 否 2x
－1
理由 ( 2)x 的系数不是 1 的指数不是自变量 x 满足指数函数的概念 底数是 x，不是常数 指数不是自变量 x 底数不是常数且指数不是自变量 x

3．分数指数幂 (1)分数指数幂的定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m， n(m，n 互素)，存在唯一的正实数 b，使得 bn＝am，我们把 b 叫 m 作 a 的 次幂，记作 b＝ n ； ＝ (a＞
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： 0，n、m∈N＋，且 n＞1)；
(3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义 ．
＋
(6 分) ，(10 分)
3 ∵ a＋b＝1， 2 9a· 3b ∴ a ＝3.(12 分) 3
【题后反思】 本题是已知代数式的值求其他代数式的值， 通常 又称为“知值求值”．解决此类问题的步骤如下：
【训练 4】 已知 a3－ a－3 (1) －1 ； a－ a
＝3(a＞0)，求下列各式的值：
题型三
根据指数运算性质进行化简、求值
【例 3】 计算下列各式：
[思路探索] 本题涉及指数幂、根式的运算，注意运算顺序及 乘法公式的运用，要有整体思想．
规律方法
对于此类有关指数幂的综合运算题目，由于计算过
程中涉及分数甚至小数，因此极易因马虎而出错．一般地，进 行指数幂运算时的步骤是：有括号先算括号里面的，无括号先 做指数运算；底数是负数的先确定符号，底数是小数的先化成 分数，底数是带分数的先化成假分数；有根式的化成分数指数 幂，然后再利用指数幂的运算性质进行运算．不可盲目运算， 要先明确运算顺序，再进行运算．
整数指数函数的图像是一群孤立的点，不需要连线．
【训练 1】 画出函数 调性．
1 y＝3x，x∈N＋的图像，并说明函数的单
解
列表： x 1 2 3 4
1 1 1 1 „ y 3 9 27 81 描点：
函数在定义域内单调递减．