数值分析数值积分教程文件

指数函数与对数函数的数值分析与数值积分一、引言数值分析是一门研究数学问题的近似解方法和计算机算法的学科。

在实际应用中，经常会遇到指数函数和对数函数，它们具有重要的数值分析和数值积分特性。

本文将探讨指数函数和对数函数的数值分析方法，并介绍它们在数值积分中的应用。

二、指数函数的数值分析指数函数是一种以常数e为底的幂函数，表达式为y = e^x，其中e 是数学常数，约等于2.71828。

指数函数具有如下重要的数值特性：1. 连续性：指数函数在整个实数域内都是连续的，对任意x1、x2（x1 < x2）满足e^x1 < e^x2。

2. 可导性：指数函数在整个实数域内都是可导的，其导数为e^x。

3. 增长性：指数函数在整个实数域内都是递增的，即e^x在x增大时，函数值也随之增大。

基于这些特性，我们可以使用泰勒级数展开、二分法、牛顿迭代法等数值分析方法来求解指数函数的近似值。

三、对数函数的数值分析对数函数是指数函数的逆函数，表达式为y = loga(x)，其中a是底数，x为对数函数的自变量。

对数函数也具有重要的数值特性：1. 定义域：对数函数的定义域是正实数集，即x > 0。

2. 连续性：对数函数在定义域内是连续的，对任意x1、x2（x1 < x2）满足loga(x1) < loga(x2)。

3. 增长性：对数函数在定义域内是递增的，即loga(x)在x增大时，函数值也随之增大。

在实际应用中，常用的对数函数是以10为底的常用对数函数（即y = log(x)），以及以自然对数e为底的自然对数函数（即y = ln(x)）。

四、指数函数和对数函数的数值积分数值积分是指通过数值方法近似计算定积分，主要解决了一些无法用解析方法求解的积分问题。

对于指数函数和对数函数，我们可以使用数值积分方法来计算其定积分值。

1. 梯形法则：将函数曲线下的面积逼近为多个梯形的面积之和，通过计算梯形的底边长度和高来计算定积分值。

n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 例：选择系数与节点，使求积公式（1）
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都 精确成立。 证毕
左 ( x ) g( x )dx 0，
a
b
右 Ak g( xk ) 0
k 0
n
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.
数值分析
数值分析
定义6-4:使求积公式a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b k 0

1
1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c2 f ( x2 )
(1)
成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c2 1, 求解得： c1 + c2=2 3 3 x1 , x2 c1 x1+ c2 x2=0 3 3 所求Gauss公式为： c1 x12+ c2 x22 =2/3 1 3 3 c1 x13+ c2 x23 =0 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析

回忆定积分的定义
b
I f (x)dx lim In,
a
n
n
In
f
(k
)
b
n
a
k 1
n充分大时In就是I的数值积分
各种数值积分方法研究的是
k 如何取值，区间 (a,b)如何划分， 使得既能保证一定精度，计算量又小。
（计算功效：算得准，算得快）
5
数值积分
y
1.梯形公式
h
Tn

h
k 1
fk

2 ( f0

fn )

b
f (x)dx
a
b
R( f ,Tn ) I Tn f (x)dx Tn
a
梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x)
f (x) T(x)
f
(k
2
)
(
x

xk
)(x

xk
1
),
k (xk , xk1)
(
f0

fn)
(3)
k 1
非等距分割梯形公式
Tn

n1 k 0
fk
fk 1 2
(xk 1

xk
)
(4)
8
数值积分 2.辛普森(Simpson)公式
（抛物线公式）
梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x)
提高精度
分段二次插值函数
抛物线 公式
y
y=f(x)
每段要用相邻两小区间
数值积分
数值 积分
为什么要作数值积分
• 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。

数值分析
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
数值分析
可查表得到ti和Ai ,(i 0,1, 2, 3)
原积分
1
11
f ( x)dx F (t)dt
0
2 1
1 2
(
A0F (t0
)
A1F
(t1 )
A2F
(t2
)
A3F
(t3
))
1
1
1
1
2
( A0
f
( 2
(1
t0 ))
A1
f
(
2
(1
t1 ))
A2
f
( 2
(1
t2 ))
1
A3 f ( 2 (1 t3 )))
为Gauss型求积公式。
解：先作变量代换
x 1 (a b) 1 (b a)t 1 (1 t), dx 1 dt
2
2
2
2
于是
1 f ( x)dx 1
1
f
(
1
(1
t
))dt
1
1
F (t)dt
0
2 1 2
2 1
由两点Gauss Legendre求积公式
1
F(t)dt F(0.577) F(0.577)
2
)
5