2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.1求的值;2求证:.解析:1因为,所以2因为,所以奇巧积累:1 2 34 5 6 7 8 9 10 11111213 14 15 15 例2.1求证: 2求证: 3求证: 4 求证:解析:1因为,所以2 3先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案4首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的,所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例 4.2008年全国一卷设函数.数列满足..设,整数.证明:解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证: 解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:1 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:加强命题例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案放缩思路:。
第16讲 放缩技巧与放缩法放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一.在高考命题的热点一一数列不等式的证明一一中有广泛的应用,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考量.常用的放缩法有增项,减项、利用分式的性质、利用不等式的基本性质,利用已知不等式(如均值不等式,柯西不等式、排序不等式等)、利用函数的性质、利用三角函数的有界性进行放缩等,适当放缩是解决不等式问题的重点也是难点所在.虽然各版教材关于不等式放缩的技巧要求并不高,但高考中和全国数学联赛中经常把对这种方法的考查作为命题的热点,特别是在压轴题中,数列不等式的证明是常考题型.放缩法主要有直接放缩、裂项放缩,并项放缩,加强放缩等几种类型.(1)直接放缩:为了证明不等式A B <,可找一个(或多个)中间量C 作比较,若能确定A C <与CB <同时成立,则A B <显然正确(实质就是运用不等式基本性质中的传递性).所谓“放”即把A 放大到C ,再把C 放大到B ;反之,由B 缩小经过C 而变到A ,则称为“缩”,统称为放缩法,放缩法是一种技巧性较强的不等变形,关键是放,缩适当,跨度合理,放不能过头,缩不能不及.(2)裂项放缩:在证明数列不等式中涉及数列求和时,经常出现这类技巧.放缩法常用的结论如下：=>=; ()*N ,1k k =<=∈> ②2211111111;(1)1(1)1k k k k k k k k k k <=->=---++; ③221111111(1)(1)211k k k k k k ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭(4)绝对值不等式:||||||||||||a b a b a b -±+.(3)并项放缩:有些不等式问题,直接放缩无法办到,如果对原不等式中的项进行适当重组,可使原问题出现“柳暗花明又一村”的境地,并项放缩是局部调整法最为简单的一种.G ・波利亚也说过“局部提示整体”,局部调整,分段逼近是导致不等式证明,特别是数列不等式证明得以解决的重要分析.(4)加强放缩:有些数列不等式问题若直接证明命题比证明其某个加强命题更困难.这时,我们不妨“欲擒故纵",先通过证明原命题的某个“更强的命题”,从而“顺手牵羊”地解决原命题,这种证明方法称为加强命题法,这是证明数列不等式问题的一种有效方法.总之,有关不等式的证明,在对问题作细致观察的基础上,展开丰富的联想,开启创造性思维的大门,将待处理的问题变化(转化)为目标模式或规范问题,从而使原问题得到解决,是化归思想的体现,运用放缩法证明不等式,其实质是化归思想的运用.典型例题【例1】设,,a b c 均为非负实数,求证：22()a b c ++【分析】运用基本不等式证明不等式有时会出现“放缩过头”的状况,使证明陷入僵局,如用222a b ab +,22ab ,22,bc 22ca ,于是有ca a b c ++,而实际上,,2a b ab +,2b c bc +2c a ca +,可得a b cab bc +++两者矛盾,说明上述用222a b ab +来缩小22a b +有点过头,所以用放缩法变形应当把握好放缩的尺度,注意“适度".【证明】 由222a bab +,得()2222()a ba b ++{,2,2a b+ 22()2a b +.22222(),()22b c c a c a +++.22())))2a b b c c a a b c ++++=++.【例2】若n 是正整数,求证:222211112123n++++<. 【分析】本不等式左边项数很多,不能直接通分,要通过适当放缩才能得出证明.可利用21111(1)1k k k k k<=---进行放大再裂项实施. 【证明】 ∵21111,2,3,4,,(1)1k n k k k k k<=-=--.22221111111111112311223(1)21111122231n n n n n n ⎛⎫∴++++<++++=+-+⎪⋅⋅-⎝⎭⎛⎫⎛⎫-++-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭【例3】已知:,,,a b c d 都是正数. 求证:12b c d aa b c b c d c d a d a b<+++<++++++++【分析】与上例类似,本题不能直接通分,只有采用放缩法,即分母放大分数值缩小,且用(0,0)a a m a b m b b m+<<<>+放大,方可获证. 【证明】b c d a b ca b c b c d c d a d a b a b c d a b c d +++>++++++++++++++++1d a a b c da b c d a b c d a b c d++++==+++++++++又由(0,0)a a m a b m b b m+<<<>+可得 ,,,b b d c c a d d ba b c a b c d b c d a b c d c d a a b c d +++<<<+++++++++++++++,a a cd a b a b c d+<+++++b c d a b d c aa b c b c d c d a d a b a b c d a b c d++∴+++<++++++++++++++++2()2d b a c a b c d a b c d a b c d a b c d++++++==+++++++++.综上,12b c d aa b c b c d c d a d a b<+++<++++++++得证.【例4】已知:数列{}n a 满足()*,2n n n nS a n S =∈N 是{}n a 的前$n$项的和,2 1.a = (1)求n S ;(2)证明:1311222nn a +⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 【分析】第(1)问,通过累成法求通项n a ，再求前n 项和n S ;第(2)问,通过二项展开式直接放缩.注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.【解析】(1)当2n 时,有\{11, 21,2n nn n n S a n S a ++⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩①②②-①得1(1)n n n a na +-=,即11n n a na n +=-. ∴13212212211231n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=---,又1112a a =,得10a =,故(1)22n n n n n S a -==(2)【证明】20121111111122222nn rr a n n n n C C C C a n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12nn nC n ⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭.因此,011131222nn n C C n n ⎛⎫++⋅= ⎪⎝⎭(当1n =时取等号). 另一方面,易证212(0,1,,1)22(1)n n kk n n n k +-<=--+,则121221112222122nnn n n n n n n n n+-+⎛⎫⎛⎫+=<⋅⋅= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因此,有1311222nn a +⎛⎫+< ⎪⎝⎭,当1n =时,311221=+⋅,左边等号成立. 【例5】已知：各项均为正数的数列{}n a 的前$n$项和为nS ,且22.n n n a a S +=(1)求证:2214n n n a a S ++<;(2)求证n S <+<. 【分析】第(1)问,运用基本不等式放缩;第(2)问,放缩后构造成等差数列求和. 【证明】 (1)在条件中,又由条件22n n n a a S +=,有21112n n n a a S ++++=,将这两式相喊,∵11n n n a S S ++=-,有()()1110n n n n a a a a +++--=.0,n a >10,n n a a +∴+>故1 1.n n a a +-= 1(1)1,n a n n ∴=+-⋅=(1)2n n n S +=, 22221(1)1(1)2224n n n a a n n n n S +++++∴=<⋅=.(2)∵1,n n <<+<<1223(1)22222n n n S ⋅⋅++=+++<+ 212n ++==12(1)22222n n n n S ++>+++== 【例6】已知数列{}n a 满足111,1(1,2,3)2n n nn a a a n +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 求证:11132n n n n a a +-+>-. 【分析】运用累加法结合放缩法证明. 【证明】111,2n n n nn a a a ++⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭与n a 同号,又∵110,a =>0n a ∴> 即102n n n n na a a +-=>,即1,n n a a +>∴数列{}n a 为递增数列. ∴11n a a =,即12n n n n n a a a +-= 运用累加法得:121121222n n n a a ---+++ 令21231211121,2222222n nn nn n S S ---=+++∴=+++ 错位相㖪得:231111111222222n n nn S --=++++-∴1122n n n S -+=-,由11122n n n n a a S -+-=-得1132nn n a -+-故得11132n n n n a a +-+>-. 【例7】已知()2*11()1,,N 2n n f x x x x f x n +=-++=∈,且112x <<. (1)当2n 时,求证:312n x <<; (2)试确定一个正整数(2)NN ,使得当n N >时,都有132n x <. 【分析】第（1）问，探究数列的单调性得到一个不等式模型依次放缩，逐步通向结论;第(2)问,将通项依等比递缩的形式进行放缩持续靠近目标.【解析】 (1)证明()22111311222n n n n x x x x +=-++=--+,∵132n x +<,从而32n x <.又当112x <<时,有()22113122x x =--+,故2x 是1(1,2)x ∈上的递㖅函数.∵()22113311,222x x ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭.同理可得()23213122x x =--+ 易知3x 是231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的递减函数,且33133,1,2822x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由此依次迭代可得()*31,,22nx n n ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭N .(2)因为2212122n n x n n x x xx x +-=-++-=-+312222nn x x =<+<-12424111222n n nn x x x x ---∴<<当0n =时,有64212x x -=<,由此可得,当取6N =时,能使得当n N >时,都有132n x <.强化训练1.求证:()11111112,2342122n n n n n +++++++>+∈-Z .【解析】证明:先将原数列各项分别“组合”,得 左11111111111234567891016⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111121222n n n--⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭111111111112448888161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112222222n n nn n⎛⎫+++=++++=+ ⎪⎝⎭个.2.已知数列{}n a 满足112a =且()2*1n n n a a a n +=-∈N . (1)求证:()*112nn a n a +∈N ; (2)设数列{}2n a 的前n 项和为n S .求证:112(1)2(1)n S n n n ++.【解析】证明:(1)由题意得210n n n a a a +-=-,即11,2n n n a a a +. 由()111n n n a a a --=-得()()()1211110n n n n a a a a a --=--->,由102na <,得[]2111,21n n n n n na a a a a a +==∈--. 即112nn a a +. (2)由题意得2n n n a a a =-,故()()()22222311n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a ++=+++=-+-++-=-,由21n n n a a a +=-,得1111n n n n a a a a ++-=, 又由()1知,111112,12n n n na a a a ++∴-.即21324311111111112,12,12,,12n n a a a a a a a a +----,以上各式相加得()111112.22121n nnn n n a a a --∴+++,即()()111111111,21222221n n a a a n n n n ++∴---++++,即()()()()11,22212221nn S n n S n n n nn ∴++++.3.设数列{}n a 满足2*11,N n n n a a na n +=-+∈.(1)当12a =时,求234,,a a a ,并由此猜测出n a 的一个通项公式(不需要证明); (2)当13a 时,用数学归纳法证明2n a n +; (3)当13a =时,求证:1211111112n a a a +++<+++. 【解析】(1)令1n =,11122n n a +⎛⎫=< ⎪⎝⎭. 令2n =,则2322214213a a a a ==-+=-+=;令3n =,则243331161215a a a =-+=-+=;猜测1n a n =+. (2)(1)当1n =时,1312a =+,不等式成立; (2)假设当n k =时结论成立,即2k a k +,则()()()()()2111221221312k k k k k a a ka a a k k k k k k k +=-+=-+++-+=++>+=++.即1n k =+时,结论也成立,由(1)(2)可知,2n a n +.（3）证明:由()2知,()1121n n n n a a a n a +=-++,即()1121n n a a +++,于是1111121n na a +⋅++ 2111211111111112121212n n n n n a a a a -+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故23112111111111222n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122111122212nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-< ⎪⎝⎭-.。
实用文档高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩n2n5 1例1.(1)求k14k 21的值;(2)求证:k1k3. 2211解析:(1)因为4n21(2n1)(2n1)2n12n1,所以21n4k21112n12n1421111125n214n22n12n1(2)因为,所以k1k21 452n2n133 1121奇巧积累:(1)n24n24n212n2n1(2)Cn11Cn2n1)n(n)n(n1)n(n1) r1!11(3)r1Cnnrr!(nr)!r!r(r)1r2)1n11211)(n213n4)(n1n(5)2n(2n1)2n1n(6)( 1) 12(n1)11(7)(8)2n2n2n(2n) n1 (2n 3) 2n1111(9)k(n1k) n 1k k nn(n 1k)knk(10)(11)(12)n 1 112( 2n 1n )2 22n2n1 2n11 1(n1)! n!(n1)!(11)n n222n2n2n2n1 1(n2)(2n 1)2(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n2) (2n 1)(2n11) 2n1 12n111111n3n n 2n (n 1)(n1)n (n 1)n (n 1) n 1n111n1n 111n 1n 12nn 1n1(13)(14)2 n122n (31)2n33(2n1)2n2n12n12n32n13k2111nn1(n2) k!(k)!(k2)!(k1)!(k2)!n(n(15)1)文案大全实用文档21j212j2i j1( 15)j ij)(i212)i21j2n2)例2.(1)求证:32521)2(2n2(2n1) 1111(2)求证:416364n24n113135135(2n1)2n1(3)求证:22462462n2(1)1112(n)(4)求证：23111n11111解析:(1)因为(2n1)22n1)(2n1)2n12n1所以i(2i1)21()1()22n132n1,1111111( 2)416364n4(122n2)(11)13(2n1)1(3)先运用分式放缩法证明出后就可以得到答案1n进行裂项,n 22n 最12(n1n)211(4)首先nn,所以容易经过裂项得到2(n11)1n1232(2n12n1)22212n1112n再证nn 而由均值不等式知道这是显然成立的，2 211112( 2n 11)所以23n6n111例3.求证:(n1)(2n 1)9n21411214n 21 2n12n11 11 1125 解析:一方面:因为n 412 2n12n11所以k1k23533,111111 n另一方面:4922334 n(n1)n1n1n6n6n111 1当31(1)当1149n 2n时,nn (2n1)n时,(n)(2n1),6n11,当n2时,(n1)(2n1)49n2n 11所以综上有(n1)(2n1) 49例4.(2021年全国一卷)设函数f(x)xxlnx 数列a n 满足11a n1f (a n )..文案大全实用文档设b(a1，1)，整数k≥a1bb.a1lnb.证明:a k1解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列,故假设存在正整数mk,使a m,那么a k1ak b,kmb(mk)a1a mb1am lna ma1lna ma1lnb0a k1a k a k lna ka1a m lnam假设,那么由知,m1kam lna mk(a1lnb)因为m1,于是ak1a1k|a1lnb|a1(ba1)b例5.n,mN,x1,S1m2m3m n m m1(m1)S(n1)m1.,求证:解析:首先可以证明:(1x)nnxm1n m1(n1)m1(n1)m1(n2)m11m1[k m1(k1)m1]1所以要证nm1(m1)S(n1)m1只要证:nn[ k m1(k1)m1](m1)km(n1)m11(n1)m1nm1nm1(n1)m12m11m1[(k1)m1k m1]k111[ k m1(k1)m1](m1)km[(k1)m1k m1]故只要证k1k11,即等价于k m1(k1)m1(m1)k m k1)m1km,即等价于1m11m11k(1)1k(1而正是成立的,所以原命题成立.例6.a n4n2n,Tn2na n,求证:T1T2T3na122.解析:Tn314(14n)2(12n)4 4422)1412341)2(12 Tn2n2n2n32n2n11n1n12n1)2(12n)4n1422n1432222321所以4n33n312(22n1)(2n1)22n12n11T 1T2T3313Tn3372n12n112从而2n (n2k1,k)1117.x1xn2k,k)x2x34x4x52(n11)(nN*)例n1(n求证4x2n x2n1 1文案大全实用文档证明:因为1111124x2n x2n14(2n1)(2n1)44n2144n22n2n,122) n1,所以2(n1 2n4x2n x2n12n nn1112(n11)(nN*)所以4x2 x3 4x4x5 4x2nx2n1 二、函数放缩ln2ln3ln 4ln3n3n5n6(nN*).例8.求证：2343n6解析:先构造函数有lnxlnx1ln2ln3ln4ln3n n111x11x,从而2343n3133n)11111111111caus e233n234567892n2n1n533993n13n15n669182723n13n6 ln2ln3ln4ln3n15n n5n6所以2343n 362,ln 2ln3lnn2n2n1(n)例9.求证:(1)23n2(n1)解析:构造函数f(x)lnxlnnlnn2lnn21111x得到nn2再进行裂项n2n2n(n1)求和后可以得到答,,,案函数构造形式:lnxx1,lnn1(2)11ln(n1)111例10.求证:232n解析:提示:ln(n1)lnn2nn1nnln2 n11nn1函数构造形式:lnxx,lnxy当然此题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数f(x)1ED x,F CA Bilnx|nlnn ln(ni)n-iSABC F首先x,从而,i文案大全实用文档1lnnln (n1),取i1有,n11 l n3 l n211ln(n1)lnn ,相加后可以得到:所以有2 l n2,3 ,⋯,nlnnln(n1),n111ln (n1)3n1S ABD E1,从而有nii另一方面ii1l nn ln(n1),取i1有,n1l nx|nlnnl n(ni)n所以有ln(n1)1 11 1 11 l n(n1)112n,所以上有2 3n 1 2例11.求:1 1)(11)(11)e和1 )(11) (11解析构造函数后即可明2!3!n!98132n.:2n3ln[n (n1)1]3例12.求:(112)1 23)[1 n (n 1)] 解析 2:,以得到答案l n(x1 )31ln(1x)3x)(加命)函数构造形式(x0)x1x1 ln2ln3ln4lnnn(n)(nN*,n1)例13.明:3451解析:构造函数f(x)ln(x1)(x)1(x1)求可以得到:,f'(x)112x''0有x2,x1x1,令f(x)0有1x2,令f(x)所以f(x)f(2)0,所以ln(x1)2,令xn21有,lnn2n21lnn n1n2ln3ln4lnnn(n1)(nN*,n)所以n12,所以345n14例14.a11,a n1(11n)a n.明a ne2.n2n1)a n111)a n解析:a n1(1n(n1)n(n1),11lna n1ln(1n(n1)2n)lna n然后两取自然数,可以得到文案大全实用文档然后运用ln(1)x和裂项可以得到答案)放缩思路：a nlna n1ln(11lna n(1n2n2n a nn2n nlna n11 22n。
