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高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ． 分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可． 证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。
利用放缩法证明数列不等式讲义姓名 班级放缩法的注意问题以及解题策略：1.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或很难求和， 则可考虑使用放缩法证明不等式。
而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩, 把原数列变为可求和、易求和的数列.2、明确放缩的方向：是放大还是缩小。
若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小。
3、放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始。
4.常见的放缩方法有：增加(减少)某些项； 增大(减少)分子(分母)； 增大(减小)被开方数；增大(减小)底数(指数)； 利用不等式的性质或重要不等式； 利用函数的单调性等.5、放缩法的常见技巧及常见的放缩式： （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） 1n n -<，21n n n >+-，111n n +->-，2(1)n n n n +>=（3）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+，11n n n n -<+，212221n n n n +>- （4）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （5）111111123n n n n n n n+++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+== （6）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++--（7）2)n<≥(9)<<<=（11）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n na a a a a a a a n--≤-+-++-≥(12)1112(21)212n n n n=---(13)1211222211(2)(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n nn n n n n n n n nn---=<==-≥---------⎛⎫=<==<6、常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①形如1niia k=<∑（k为常数）；②形如1()niia f n=<∑；③形如1()niia f n=<∏；④形如1niia k=<∏（k为常数）.途径1.放缩为等差等差⨯1，后用裂项，有些数列不一定从第一项就开始放缩例1：（1）求证：2131211222<++++n（2）求证：2222111171234n++++<途径2：放缩为等比数列，并不一定从第一项起就开始放缩。
浅析用放缩法证明数列不等式的策略
放缩法是一种常见的证明数列不等式的策略，在数学竞赛和数学研究中被广泛应用。
放缩法的基本思想是通过对数列的放缩，得到一个和原数列有关的数列，然后通过比较这两个数列的性质来证明原数列的不等式性质。
放缩法可以分为两种情况：上界放缩和下界放缩。
上界放缩即找到一个比原数列大的数列，而下界放缩则是找到一个比原数列小的数列。
根据具体的问题和数列的性质，可以选择合适的放缩方法。
对于上界放缩，一种常见的方法是通过迭代构造一个比原数列大的数列。
假设原数列为a_n，我们希望找到一个数列b_n满足b_n > a_n。
可以通过递推的方式定义数列b_n，即b_1, b_2, b_3, \ldots。
首先选择b_1 > a_1作为初始条件，然后通过递推关系b_{n+1} = f(b_n)构造数列b_n。
递推关系f(b_n)的具体选择需要根据问题的要求和数列的性质来确定。
一般来说，递推关系应该满足b_{n+1} > a_{n+1}，即b_n比a_n要大。
放缩法的关键是构造合适的递推关系，具体的方法可以根据问题的要求来选择。
常见的递推关系有加减法、乘除法等。
证明数列不等式的关键在于比较两个数列的性质，可以通过数学归纳法、反证法、构造法等方式进行。
放缩法的优点是可以简化复杂的数列不等式问题，通过找到合适的放缩数列，可以将问题转化为更简单的形式，更容易证明。
放缩法也有一定的局限性，仅适用于一些特定的问题和数列。
证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅；2)1()1(++<+n n n n ⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,1210+=+≥n C C n n n ,2222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n (5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ：2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211kk k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 21k 的放缩(3)：2214112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀“小者小,大者大”。
解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然.Ⅵ.构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例：()(0)1x f x x x=≥+，从而实现利用函数单调性质的放缩：()()f a b f a b +≤+。
利用放缩法证明数列型不等式处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。
放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。
对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。
一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑=113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
放缩法证明数列的不等式，这几种方式你学会了吗？
关于数列的不等式证明，一直以来都是老大难问题。
因为部分涉及到放缩技巧，但是放缩有些时候掌控不好尺寸就容易出现错误。
从数列的不等式证明来看，一共是两种方式，一种是直接求和再放缩。
还有一种是先放缩在求和。
那么放缩到底有哪些方式那？主要放缩成成等差数列、等比数列、裂项相消、错位相减（等差数列乘以等比数列）等。
另外放缩的时候，大部分都会留首项或者前两项，防止放缩过大或者过小的问题。
具体类型题
数列的放缩除了以上几种方式，还有比如根据不等式的性质，去构造糖水不等式进行缩放。
无论是哪一种类型题，一定要多去尝试多去做。
而且我们平时考察的题目，大部分是缩放成等差数列或者等比数列。
证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：.-T 2⑴添加或舍去一些项，如：a ⑵将分子或分母放大(或缩小)1 1例2. a n (一)"，前n 项和为S n ，求证：Sn —3 2先放缩再求和1) n⑶利用基本不等式，如: ig3 ig5 (lg3 lg5)2 ⑷二项式放缩：2n (1 1)n 2n c ° c n c ； c 0 n 2 c n n 22 2c n , 2n 2 n(n C 0 c1)(n 2)(5)利用常用结论:I . 1的放缩：k 1的放缩⑴ k 2 k 1 k(k 1) k .. 1 k(k 1)(程度大)IV . 右的放缩⑵ 1 k 2 1 (k 1)(k)(程度小)1的放缩(3): k 2 1 k 7 2G 1 )(程度更小)2k 1,n(n 1)山尸ig4 ；2分式放缩还可利用真(假) 分数的性质 ：b —(b a 0,m 0)和b —(a b 0,m 0) a a m a a m记忆口诀“小者小，大者大”。
解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然.W .构造函数法 构造单调函数实现放缩。
例: f(x) — (x 0),从而实现利用函数单调性质的放缩:1 xf(a b) f(a b)。
先求和再放缩例 1. a n ,前n 项和为S n ，求证: n (n 1)S n 111（一）放缩后裂项相消 例 3•数列{a n } , an ( 1)n n ，其前 n 项和为Sn ，求证:S2n（二）放缩后转化为等比数列。
{b n }满足：3 1，b n 例4. b n 2 (n 2)b n 3 (1) 用数学归纳法证明: 1b nT n(2) bi 3 b 23 b s bn ，求证: T n三、裂项放缩例 5.(1) 2 k 1 4k 2-的值； 1求证：例 6.(1) 1 1 1 7 32 52 (2n 1)2 6 1 1 1 1 16 36 4n 2 2 1 1■,7n 1 1) 1 L L 求证: 求证: 1 4 求证:1 2(2n 1) 丄 4n 丄 £(j 2n 1 1)/n1 (n 2) 例7.求证： (n 1)(2n 1) 6n例 8.已知 a n 4n 2n ，T 2n ,求证：T T Ta i a 2 a n四、分式放缩姐妹不等式：b a 0,m 0)和b a a m a记忆口诀”小者小，大者大” 解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然.例9.姐妹不等式：。
