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数学---湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷(二)(文)

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湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟试卷（二）数 学（文）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|12,|14,A x x B x x x =-≤≤=-<<∈Z ，则A B = （ ） A ． {}0,1,2 B ．[]0,2 C ．{}0,2 D ．()0,22.已知复数21z i=-+，则（ ） A ．z 的模为2 B ．z 的虚部为-1 C ．z 的实部为1D ．z 的共轭复数为1i +3.已知命题()1:0,,sin p x x x x∀∈+∞=+，命题:,1xq x R π∃∈<，则下列为真命题的是（ ）A ． ()p q ∧⌝B ．()()p q ⌝∧⌝C ． ()p q ⌝∧D ．p q ∧4.一个焦点为()0,6，且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线的方程是 （ ） A ．2211224x y -= B ．2211224y x -= C. 2212412y x -= D ．2212412x y -= 5.若()()sin cos cos sin m αβααβα---=，且β为第三象限角，则cos β的值为（ ）A ．B ． C. D ．6.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '= （ ） A ．e - B ．-1 C. 1 D ．e7.已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为（ ）A ．1043π- B ． 1083π- C. 1643π- D ．1683π- 8.已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若()3cos 13cos b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2：3B ．4：3C. 3：1 D ．3：29.当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．6B ． 8 C. 14 D ．3010.如图，将绘有函数()()506f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB ()1f -=（ ）A ．-1B ．1 C. D 11.已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞12.已知正方体1111ABCD A BC D -，点,,E F G 分别是线段1,DC D D 和1D B 上的动点，给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1AF A E ⊥； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得1AF A E ⊥； ③对于任意给定的点G ，存在点F ，使得1AF B G ⊥； ④对于任意给定的点F ，存在点G ，使得1AF B G ⊥. 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C. 2D ．3二、填空题：本题共4小题 ，每小题5分.13.已知向量()()2,1,3,a b x =-=，若3a b = ，则x = ．14.向面积为S 的平行四边形ABCD 内任投一点M ，则MCD ∆的面积小于3S的概率为 ． 15.若无论实数a 取何值时，直线10ax y a +++=与圆22220x y x y b +--+=都相交，则实数b 的取值范围是 ．16.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸41分（1寸=10分）.已知《易知》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 寸．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 中，131,9a a ==，且()112n n a a n n λ-=+-≥. （1）求λ的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设()()1nn n b a n =-+ ，且数列{}n b 的前2n 项和为2n S ，求2n S ．18. 如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若0120,ABC AE EC ∠=⊥，三棱锥E ACD -（平面ACD 为底面）．19.在“一带一路”的建设中，中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用.勘探初期数据资料下表：（1）在散点图中16 号旧井位置大致分布在一条直线附近，借助前5组数据求得回归线方程为 6.5y x a =+，求a ，并估计y 的预报值；（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1、3、5、7号井计算出的ˆˆ,b a 的值（ˆˆ,ba 精确到0.01）相比于（1）中,b a 的值之差（即：ˆˆ,bb a a b a--）不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：442121212122111ˆˆˆ,,94,945ni ii i i i ni i i i x y nx yba y bx x x y x nx=---===-==-==-∑∑∑∑ ） （3）设出油量与钻探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，在原有井号26 的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率．20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，椭圆E 的离心率为2，过点(),0M m 作斜率存在且不为0的直线l ，交椭圆E 于,A C 两点，点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，且PA PC 为定值． （1）求椭圆E 的方程；（2）求m 的值．21. 已知函数()()31,ln 4f x x axg x x =++=-． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用{}m in ,m n 表示,m n 中的最小值，设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点．（1）求AB 的长；（2）若点P 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求AB 中点M 到P 的距离．23.选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1． （1）求2a b +的值；（2）若2a b tab +≥，求实数t 的最大值．【参考答案】一、选择题1-5: ABCBB 6-10: BCCDD 11-12：DC 二、填空题 13. 3 14. 2315. (,6)-∞- 16. 82 三、解答题17.解:（1）∵131,9a a ==，且()112n n a a n n λ-=+-≥， ∴232,519a a λλ==-=，解得2λ=，∴()1212n n a a n n --=-≥，∴()()()22112123312n n n a n n n -+=-+-+++== ；（2）()()()()211nnn n b a n nn =-+=-+ ，()()()222122121224n n b b n n n n n -⎡⎤⎡⎤+=--+-++=⎣⎦⎣⎦，()2214222n n n S n n +=⨯=+． 18.解:（1）因为四边形ABCD 的菱形，所以AC BD ⊥， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，故AC ⊥平面BED ， 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED ； （2）设AB x =，在菱形ABCD 中，由0120ABC ∠=，可得,2x AG GC x GB GD ====．因为AE EC ⊥，所以在Rt AEC ∆中，可得2EG x =．由BE ⊥平面ABCD ，知EBG ∆为直角三角形，可得 2BE x =，由已知得，三棱锥E ACD -的体积31132E ACD V AC GD BE -=⨯==，故2x =，从而可得AE EC ED ===所以EAC ∆的面积为3，EAD ∆的面积与ECD ∆故三棱锥E ACD -的侧面积为3+19.解:（1）因为5,50x y ==，回归直线必过样本中心点(),x y ，则50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=，故回归直线方程为 6.517.5y x =+，当1x =时， 6.517.524y =+=，即y 的预报值为24；（2）因为442212121114,46.25,94,945i i i i i x y xx y ---======∑∑，所以421211422221149454446.25ˆ 6.8394444i i i i i xy x ybx x--=-=--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， ˆˆ46.25 6.83418.93ay bx =-=-⨯=，即ˆˆ6.83,18.93, 6.5,17.5b a b a ====， ˆˆ5%,8%b b a a b a--≈≈，均不超过10%， 因此可以使用位置最接近的已有旧井()61,24；（3）由题可知：3，5，6这3口井是优质井，2，4这2口井为非优质井，由题意从这5口井中随机选取3口井的可能情况有：()()()()()()()()()()2,3,4,2,3,5,2,3,6,2,4,5,2,4,6,2,5,6,3,4,5,3,4,6,3,5,6,4,5,6，共有10种，其中恰有2口是优质井的有()()()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,4,5,3,4,6,4,5,6，6种，所以所求恰有2口是优质井的概率是63105P ==． 20.解:（1）∵24y x =-的焦点为()1,0-，∴1c =，又∵e =，∴1a b ==，∴椭圆E 的方程为2212x y +=； （2）由题意，k 存在且不为零，设直线l 方程为()()()1122,,,,y k x m A x y C x y =-，联立方程组()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元得()22222124220k x mk x k m +-+-=，∴222121222422,1212mk m k x x x x k k -+==++ ， ∴222121222422,1212mk m k x x x x k k -+==++ ，∴()()21212121255554444PA PC x x y y x x k x m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()()2222221212235225252514161216m m k k x x mk x x k m k ---⎛⎫=+-++++=+ ⎪+⎝⎭， ∵PA PC 为定值，∴23524m m --=-，即23520m m -+=，∴1221,3m m ==，∴m 的值为1或23． 21.解:（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()()000,0f x f x '==，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩， 解得：013,24x a ==-， 因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线；（2）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()()(){}()min ,0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在()1,+∞无零点，当1x =时，若54a ≥-，则()5104f a =+≥，()()(){}()1min 1,110h fg g ===，故1x =是()h x 的零点； 若54a <-，则()5104f a =+<，()()(){}()1min 1,110h fg f ==<，故1x =不是()h x 的零点，当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在()0,1的零点个数，（Ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则()23f x x a '=+在()0,1无零点，故()f x 在()0,1单调，而()()150,144f f a ==+， 所以当3a ≤-时，()f x 在()0,1有一个零点； 当0a ≥时，()f x 在()0,1无零点；（Ⅱ）若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =． ①若0f >，即304a -<<，()f x 在()0,1无零点； ②若0f =，即34a =-，则()f x 在()0,1有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于()()150,144f f a ==+，所以当5344a -<<-时，()f x 在()0,1有两个零点；当334a -<≤-时，()f x 在()0,1有一个零点． 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点； 当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点； 当5344a -<<-时，()h x 有三个零点． 22.解:（1）曲线2:cos 21C ρθ=的直角坐标方程为221x y -=，将112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入曲线22:1C x y -=，得：2240t t --=，设A 点、B 点所对应的参数分别为12t t 、，则12122,4t t t t +==-，AB ==（2）点1,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的直角坐标为()0,1在直线l 上，AB 中点M 对应的参数为1212t t +=， 所以M点坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，点M 到点P 的距离为1d =．23.解:（1）法一：()222b b f x x a x b x a x x =++-=++-+-， ∵()222b b b x a x x a x a ⎛⎫++-≥+--=+ ⎪⎝⎭且02b x -≥， ∴()2b f x a ≥+，当2b x =时取等号，即()f x 的最小值为2b a +， ∴1,222b a a b +=+=； 法二：∵2b a -<， ∴()3,2,23,2x a b x a b f x x a x b x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪=++-=-++-≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩， 显然()f x 在,2b ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，()f x 在,2b ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， ∴()f x 的最小值为22b b f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴1,222b a a b +=+=； （2）法一：∵2a b tab +≥恒成立，∴2a b t ab +≥恒成立， ()21212112219214142222a b a b a b ab b a b a b c ⎛+⎛⎫⎛⎫=+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ ， 当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92； 法二：∵2a b tab +≥恒成立， ∴2a b t ab +≥恒成立，212a b t ab b a +≤=+恒成立，()21212149222b a b a b a ++=+≥=+， ∴92t ≥，即实数t 的最大值为92．。

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2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷及答案(理科)

2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷及答案(理科)

2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i2．（5分）已知A={y|y=x，0≤x≤1}，B={y|y=kx+1，x∈A}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．k=﹣1 B．k＜﹣1 C．﹣1≤k≤1 D．k≤﹣13．（5分）在区间[1，2]上任选两个数x，y，则y＜的概率为（）A．2ln2﹣1 B．1﹣ln2 C．D．ln24．（5分）若f（x）=asin（x+）+bsin（x﹣）（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是（）A．（1，）B．（﹣1，） C．（1，1） D．（﹣1，1）5．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（）A．894升B．1170升C．1275米D．1467米6．（5分）平行四边形ABCD中，AB=AD=2，•=﹣2，+=，则•的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7 B．4，56 C．3，7 D．3，568．（5分）如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线，则它的表面积为（）A．2 B．2 C．3 D．49．（5分）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为F（0，﹣），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，△PAF周长的最小值为（）A．8 B．10 C．D．11．（5分）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是．12．（5分）若函数f（x）=sin2x+asinx+b（a，b∈R）在[﹣，0]上存在零点，且0≤b﹣2a≤1，则b的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5的展开式中，x2项的系数是（用数字作答）．14．（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=log a x（a ＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是．15．（5分）直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B 两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，，则p=．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前20项的和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，AC与BD交于O，且AC⊥BD，矩形ACEF⊥底面ABCD，M为EF 上一动点，满足=λ．（Ⅰ）若AM∥平面EBD，求实数λ的值；（Ⅱ）当λ=时，锐二面角D﹣AM﹣B的余弦值为，求多面体ABCDEF的体积．19．（12分）专家研究表明，PM2.5是霾的主要成份，在研究PM2.5形成原因时，某研究人员研究了PM2.5与燃烧排放的CO2、NO2、CO、O2等物质的相关关系．下图是某地某月PM2.5与CO和O 2相关性的散点图．（Ⅰ）根据上面散点图，请你就CO，O2对PM2.5的影响关系做出初步评价；（Ⅱ）根据有关规定，当CO排放量低于100μg/m2时CO排放量达标，反之为CO排放量超标；当PM2.5值大于200μg/m2时雾霾严重，反之雾霾不严重．根据PM2.5与CO相关性的散点图填写好下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”：（Ⅲ）我们知道雾霾对交通影响较大．某市交通部门发现，在一个月内，当CO 排放量分别是60，120，180时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是800，600，200，而在一个月内，CO排放量是60，120，180的概率一次是p，，q （），求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围．附：K2=．20．（12分）设P、Q、R、S是椭圆C1：（a＞b＞0）的四个顶点，四边形PQRS是圆C0：x2+y2=的外切平行四边形，其面积为12．椭圆C1的内接△ABC的重心（三条中线的交点）为坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）△ABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣1），g（x）=（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）判断直线y=f（x）能否与曲线y=g（x）相切，并说明理由；（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 1：（θ为参数，r为大于零的常数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（Ⅰ）若曲线C 1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r=1，过曲线上C1任意一点P作曲线C2的切线，切于点Q，求|PQ|的最大值．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2017年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i【解答】解：==﹣1﹣2﹣1=﹣4，故选：B．2．（5分）已知A={y|y=x，0≤x≤1}，B={y|y=kx+1，x∈A}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．k=﹣1 B．k＜﹣1 C．﹣1≤k≤1 D．k≤﹣1【解答】解：∵A={y|y=x，0≤x≤1}={y|0≤y≤1}，B={y|y=kx+1，x∈A}={y|y=kx+1，0≤x≤1}，∵A⊆B，∴，解得k≤﹣1．∴实数k的取值范围为k≤﹣1．故选：D．3．（5分）在区间[1，2]上任选两个数x，y，则y＜的概率为（）A．2ln2﹣1 B．1﹣ln2 C．D．ln2【解答】解：由题意，在区间[1，2]上任选两个数x，y，对应区域如图：面积为1，则y＜的区域面积为=2ln2﹣1，所以所求概率为=2ln2﹣1；故选：A．4．（5分）若f（x）=asin（x+）+bsin（x﹣）（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是（）A．（1，）B．（﹣1，） C．（1，1） D．（﹣1，1）【解答】解：函数的定义域是R，若函数f（x）是偶函数，则f（）=f（﹣），即asin+bsin0=asin0+bsin（﹣），即a=﹣b，排除A，B，C，故选：D．5．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（）A．894升B．1170升C．1275米D．1467米【解答】解：∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，∴第5天派出：64+4×7=92人，∴前5天共派出=390（人），∴前5天应发大米：390×3=1170（升）．故选：B．6．（5分）平行四边形ABCD中，AB=AD=2，•=﹣2，+=，则•的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：如图：平行四边形ABCD中，∵AB=AD=2，•=﹣2，+=，∴M为CD的中点，∴=•（+）=•（﹣）=﹣=﹣2﹣=﹣4，故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7 B．4，56 C．3，7 D．3，56【解答】解：执行如图所示的程序框图，输入m=168，n=112，满足m、n都是偶数，k=1，m=84，n=56，满足m、n都是偶数，k=2，m=42，n=28，满足m、n都是偶数，k=3，m=21，n=14，不满足m、n都是偶数，满足m≠n，d=|m﹣n|=7，m=14，n=7，满足m≠n，d=|m﹣n|=7，m=7，n=7，不满足m≠n，退出循环，输出k=3，m=7．故选：C．8．（5分）如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线，则它的表面积为（）A．2 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图所示，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥．则该几何体的表面积S=8×=2；故选：B．9．（5分）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，u=64当8＜a＜12时，u=a（16﹣a）u=，分段画出函数图形可得其形状与C接近故选：B．10．（5分）双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为F（0，﹣），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，△PAF周长的最小值为（）A．8 B．10 C．D．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为，可得，c==，a=2，b=．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F'，则|PF|=|PF'|+4，△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3，当P点在第一象限时，|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3，故△PAF的周长的最小值为10．故选：B．11．（5分）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是．【解答】解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，已知正四面体棱长为2所以AD=，AC=1所以CD=截面面积是：故答案为：12．（5分）若函数f（x）=sin2x+asinx+b（a，b∈R）在[﹣，0]上存在零点，且0≤b﹣2a≤1，则b的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣3，﹣2]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0]【解答】解：设sinx=t，则t∈[﹣1，0]，∴关于t的方程t2+at+b=0在[﹣1，0]上有解，令g（t）=t2+at+b，（1）若g（t）在[﹣1，0]上存在两个零点，则，无对应的平面区域，（2）若g（t）在[﹣1，0]上存在1个零点，则g（﹣1）g（0）≤0，∴，作出平面区域如图所示：解方程组得A（﹣2，﹣3）．∴b的范围是[﹣3，0]．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5的展开式中，x2项的系数是20（用数字作答）．【解答】解：（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5的展开式中，x2项的系数是+++=1+3+6+10=20，故答案为：20．14．（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=log a x（a ＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：如图所示，不等式组，表示的平面区域为D，联立，解得，∴A（3，1）．∵函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，∴经过点A时，a取得最小值，1=log a3，解得a=3．则实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．15．（5分）直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B 两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，，则p=3．【解答】解：过A，B，F作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，F′，则|AA′|=|AF|=6，|BB′|=|BF|，|FF′|=p．∵，∴|DB|=2|BF|=2|BB′|，∴直线l的斜率为，∴|AD|=2|AA′|=12，∴F是AD的中点．∴|FF′|=|AA′|=3，即p=3．故答案为：3．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前20项的和为2101．【解答】解：由题中条件知，a1=1，a2=2，a3=a1+1=2，a4=2a2+0=4，a5=a3+1=3，a6=2a4=8…即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前20项的和为（1+2+3+…+10）+（2+4+8+…+210）=2101．故答案为：2101．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．【解答】解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，sin∠AED=sin（1200+∠BEC）=，⇒cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49∴CD=7．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，AC与BD交于O，且AC⊥BD，矩形ACEF⊥底面ABCD，M为EF 上一动点，满足=λ．（Ⅰ）若AM∥平面EBD，求实数λ的值；（Ⅱ）当λ=时，锐二面角D﹣AM﹣B的余弦值为，求多面体ABCDEF的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接OE，在梯形ABCD中，AB∥CD，∴△DOC∽△BOA，∴．∵AM∥平面BDE，平面ACM∩平面BDE=OE，AM⊂平面ACM，∴AM∥OE．又ME∥AO，∴四边形MEOA为平行四边形，∴EM=AO．∴==，即λ=．（Ⅱ）∵距形ACEF⊥底面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，∴CE⊥底面ABCD．∵，∴OM⊥底面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OM所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设CE=a（a＞0），∵△DAB≌△CBA，∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB=2，同理OC=OD=，∴A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，﹣，0），M（0，0，a），∴=（﹣2，0，a），=（﹣2，﹣，0），=（﹣2，2，0）．设平面AMD的法向量为=（x1，y1，z1），平面AMB的法向量为=（x2，y2，z2）．则，，∴，令x1=x2=a，得=（a，﹣2a，2），=（a，a，2）．∴cos＜，＞==，∴||=，解得：a=2或a=2．∴多面体的体积为V=V D﹣ACEF +V B﹣ACEF=+=，∴多面体ABCDEF的体积为=12或=12．19．（12分）专家研究表明，PM2.5是霾的主要成份，在研究PM2.5形成原因时，某研究人员研究了PM2.5与燃烧排放的CO2、NO2、CO、O2等物质的相关关系．下图是某地某月PM2.5与CO和O2相关性的散点图．（Ⅰ）根据上面散点图，请你就CO，O2对PM2.5的影响关系做出初步评价；（Ⅱ）根据有关规定，当CO排放量低于100μg/m2时CO排放量达标，反之为CO排放量超标；当PM2.5值大于200μg/m2时雾霾严重，反之雾霾不严重．根据PM2.5与CO相关性的散点图填写好下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”：（Ⅲ）我们知道雾霾对交通影响较大．某市交通部门发现，在一个月内，当CO 排放量分别是60，120，180时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是800，600，200，而在一个月内，CO排放量是60，120，180的概率一次是p，，q （），求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围．附：K2=．【解答】解：（Ⅰ）根据散点图知，CO对PM2.5有正相关关系，而O2对PM2.5没有相关关系；（Ⅱ）列联表如下：由表中数据可知K2==≈8.889＞6.635；故有99.0%的把握认为“雾霾是否严重与CO排放量有关”；（Ⅲ）设交通流量是X，则得如下分布列：p因为，解得＜p＜；所以EX=800×p+600×p+200×q=800p+200∈（600，）；即600＜EX＜733.3，即交通流量期望值在600万辆到733.3万辆之间．20．（12分）设P、Q、R、S是椭圆C1：（a＞b＞0）的四个顶点，四边形PQRS是圆C 0：x2+y2=的外切平行四边形，其面积为12．椭圆C1的内接△ABC的重心（三条中线的交点）为坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）△ABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形PQRS是圆C0外切平行四边形，∴，又四边形PQRS的面积S=，联立解得a2=12，b2=9，故所求椭圆C1的方程为；（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，∵O为△ABC的重心，∴C为椭圆的左、右顶点，不妨设C（，0），则直线AB的方程为x=，可得|AB|=，C到直线AB的距离d=，∴=．当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣36）=48（12k2+9﹣m2）＞0．即12k2+9＞m2，，，∴．∵O为△ABC的重心，∴，∵C点在椭圆C1上，故有，化简得4m2=12k2+9．∴=．又点C到直线AB的距离d=（d是原点到AB距离的3倍得到）．∴=．综上可得，△ABC的面积为定值．21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣1），g（x）=（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）判断直线y=f（x）能否与曲线y=g（x）相切，并说明理由；（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）假设存在这一的实数a使得f（x）的图象与g（x）相切，设切点为（x0，y0），由g′（x）=（ax+a﹣1）e x可知，（ax0+a﹣1）=a，即a（x0+﹣1）=①又函数f（x）的图象过定点（1，0），因此=a，即a（x0﹣x0+1）=②联立①、②消去a有+x0﹣2=0．设h（x）=e x+x﹣2，则h′（x）=e x+1＞0，所以h（x）在R上单调递增，而h（0）=﹣1＜0，h（1）=e﹣1＞0，h（0）h（1）＜0，故存在x0∈（0，1），使得h（x0）=0，所以存在直线y=f（x）能与曲线y=g（x）相切．（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得a（x﹣）＜1．令h（x）=x﹣，则h′（x）=．令ω（x）=e x+x﹣2，则ω′（x）=e x+1＞0，所以ω（x）在R上单调递增，又ω（0）=﹣1＜0，ω（1）=e﹣1＞0，所以ω（x）在R上有唯一零点x0（0，1），此时h（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（x0）=，易证e x＞x+1，h（x0）=＞＞0．当x≤0时，h（x）≥h（0）=1＞0；当x≥1时，h（x）≥h（1）=1．（1）若a≤0，则ah（x）≤0＜1，此时ah（x）＜1有无穷多个整数解，不合题意；（2）若a≥1，即≤1，因为h（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以x∈z时，h（x）≥min{h（0），h（1）}=1≥，所以h（x）＜无整数解，不合题意；（3）若0＜a＜1，即＞1，此时h（0）=h（1）=1＜，故0，1是h（x）＜的两个整数解，又h（x）＜只有两个整数解，因此，解得a≥．所以a∈[，1）．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，r为大于零的常数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r=1，过曲线上C1任意一点P作曲线C2的切线，切于点Q，求|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C 1：（θ为参数，r为大于零的常数），∴消去参数r，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=r2（r＞0），∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=1．若C1与C2有公共点，则r﹣1≤≤r+1，解得3≤r≤5，故r的取值范围是[3，5]．（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，当且仅当sinα=﹣1时取最大值，故|PQ|的最大值为2．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x ﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。

湖南省2017年普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版)数学(理)试题含答案

湖南省2017年普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版)数学(理)试题含答案

（这是边文,请据需要手工删加）2017年湖南省普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版）科目：数学（Ⅱ)(试题卷)注意事项：1．答题前,请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。

姓名____________________准考证号____________________祝你考试顺利！数学(Ⅱ)试题卷(附中版二)第页（共4页)（这是边文,请据需要手工删加)2017年湖南省普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版）数学（Ⅱ）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分100分．一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6｝，集合A＝错误!,B＝错误!,则A∩∁U B 等于A.错误!B.错误!C.错误!D．2．函数f（x）＝sin错误!的一个单调增区间为A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9π＋42B ．36π＋18C.错误!π＋12D.错误!π＋184．已知直线l 1:错误!x －错误!y ＋2＝0,直线l 2：3x ＋my －1＝0，且l 1⊥l 2,则m 等于A ．－1 B. 6或－1 C. －6 D 。

－6或15．已知错误!是等比数列，前n 项和为S n ，a 2＝2，a 5＝错误!,则S 5＝ A 。

错误! B.错误! C.错误! D 。

错误!6．已知向量a ＝(1，k ），b ＝(2,1），若a 与b 的夹角大小为90°，则实数k 的值为A ．－12B.错误! C ．－2 D ．2 7．设变量x ,y 满足约束条件错误!，则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为A ．11B ．10C ．9D ．8。

2017届湖南省雅礼中学高三第六次月考文科数学试题及答案 精品

2017届湖南省雅礼中学高三第六次月考文科数学试题及答案 精品

湖南省雅礼中学2017届高三第六次月考试题（数学文）(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.1．集合A={x }2221≤≤∈x Z ，B=},cos {A x x y y ∈=，则B A =( B ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知复数z 满足iiz ++=13（i 为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为（ D ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3.下列有关命题的说法正确的是 ( C )．A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-” 是“2560x x --=”的必要不充分条件.C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.D ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<”．4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ A ）A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35.已知抛物线24x y =-的准线与双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ C ） A.B. 5C.D. 26．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ A ）A．[B ．C ．2+π（D ． 7. 已知函数()|2|()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程k x f =)(在区间0+∞（，）上有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123++x x x 的取值范围是（ D ）A ．B ． (2，C ．D ． 8.已知正方形ABCD 的边长为2， H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ，则满足PH< ( B )A ．8πB ．184π+C ．4πD ．144π+9.定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，()f x '为函数)(x f 的导函数，已知()f x '的图像如图所示，若两个正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则11b a ++的取值范围是 （ A ） 1111.(,5).(,).(,)(5,).(,3)3533A B C D -∞⋃+∞-∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.10．阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 4 ．11.从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003,…，500进行编号．如果从随机数表第第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是____206_______．(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数) 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7912.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1log 12)(21x xx x f x，则))2((f f 等于 _____21______ 13.在极坐标系中,圆=4sin ρθ的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是14. 如图，矩形ORTM 内放置5个大小相同且边长为1的正方形，其中A 、B 、C、D 都在矩形的边上，则___________=⋅．3-15．已知数列{a n }的各项均为正整数，对于n ＝1，2，3，…，有a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧3a n ＋5，a n 为奇数，a n2k ，其中k 是使a n ＋1为奇数的正整数，a n 为偶数．（Ⅰ）当a 1＝19时，a 2017＝ 98 ；（Ⅱ）若a n 是不为1的奇数，且a n 为常数，则a n ＝ 5 ． 【答案】（Ⅰ）98；（Ⅱ）5 【解析】试题分析：（Ⅰ）kk a a a a 2622,62532312===+=,因为k 是使1+n a 为奇数的正整数，而3a 为奇数，则1=k ，于是313=a ，所以985334=+=a a ， 49298245===k k a a ，同理62,19,152876===a a a …于是发现这个数列是周期数列，且6=T ,所以984433562014===+⨯a a a ；（Ⅱ）若n a 是奇数，则531+=+n n a a 为偶数,所以kn n a a 212++=为奇数，又因为n a 为常数，于是n n a a =+2，所以kn n a a 253+=，即325-=k n a ，因为数列{a n }的各项均为正整数，所以当2=k 时5=n a 满足题意.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）某数学老师对本校2017届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1:50进行分层抽样抽取的20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如右：得到频率分布表如下：（1）求表中,a b的值，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在[90,150]范围为及格）；（2）从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率.17．（本题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为2a b c a b ==、、，，1cos 2A =-． （1）求角B 的大小；（2）若)(sin 2cos )(2B x c x x f +⋅+=，求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．18．（本题满分12分）、DF是圆柱的两条母线，过AD如图所示，圆柱的高为2作圆柱的截面交下底面于BC, 四边形ABCD是正方形.（Ⅰ）求证BC BE⊥；（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积.证明：（Ⅰ） AE是圆柱的母线，∴AE⊥下底面，又BC⊂下底面，∴AE BC⊥…………………………….3分又 截面ABCD是正方形，所以BC⊥AB，又AB AE A=∴BC ⊥面ABE ，又BE ⊂面ABE ，∴BC BE ⊥ ……………………………5分（Ⅱ）因为母线AE 垂直于底面，所以AE 是三棱锥A BCE -的高………………6分，由（Ⅰ）知BC ⊥面ABE ，BC ⊂面ABCD ，∴面ABCD ⊥面ABE ， 过E 作EO AB ⊥，交AB 于O ，又 面ABCD ⋂面ABE AB =，EO ⊂面ABE ，∴EO ⊥面ABCD ，即EO 就是四棱锥E ABCD -的高…………………（8分）设正方形ABCD 的边长为x , 则AB BC x ==，BE =又 BC BE ⊥，∴EC 为直径，即EC =在Rt BEC 中，222EC BE BC =+, 即22244x x x =+-⇒=∴4416ABCD S =⨯=， …………………………（10分）AE BE EO AB ⋅===∴1116333E ABCD ABCD V OE S -=⋅⋅==………（12分）19．（本小题满分13分）若正数项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11+=+n n S S ，其中首项11a =. （1）求23,a a 及数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设11n n n b a a +=⋅,n T 表示数列{}n b 的前项和, 若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⨯-恒成立，求实数λ的取值范围.解：易知32=a ，53=a 由题意可得11=-+n n S S……………………………………………………………………6分20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当直线l 的斜率为1时，坐标原点O 到直线l 的距离为22． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有→OP ＝→OA ＋→OB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．∴所求椭圆C 的方程为12322=+y x ．…………………………………5分化简整理，得4t 4＋4t 2－3＝0，即(2t 2＋3)(2t 2－1)＝0，解得t 2＝12． 当t ＝22时，P (32，－22)，l 的方程为2x －y －2＝0； 当t ＝－22时，P (32，22)，l 的方程为2x ＋y －2＝0． 故C 上存在点P (32，±22)，使→OP ＝→OA ＋→OB 成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0． (13)分21.（本小题满分13分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(1) 当1k =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2) 当[)0+k ∈∞，时，判断函数()f x 在R 上的零点个数，并说明理由． 解析：()2,()2t t g t e t g t e '''=-=-．()()2,0,t g t g t '''>∴> 在[)2,+∞上单增，。

2017-2018学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2014的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2017-2018学年湖南省雅礼中学高三（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：判断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”一定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查判断一个条件是另一个的什么条件，应该先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为判断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan （2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先根据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．学生在求cosα的值时应注意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积的应用进行转化即可．解答：解：，与的夹角为，∴•=||||cos=1×=1，则===2，故选：A点评：本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．6．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，其中B（1，0），则z==，故选：C点评：本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2014的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：数列{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：可得x1=f （x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f （x4）=f（5）=2，…，于是得到x n+4=x n，进而得出答案．解答：解：∵数列{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），利用表格可得：∴x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，∴x n+4=x n，∴x2014=x503×4+2=x2=1．故选：B点评：本题考查了数列的周期性，根据已知分析出函数的周期为4，是解答的关键，属于中档题．8．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．968考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，推出3xy=800，从而得到矩形ABCD 的面积S=（3x+4）（y+2），然后利用基本不等式，由此能够求出结果．解答：解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．故选D．点评：本题考查函数问题在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用基本不等式求最值．9．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f （x2）的取值范围为（）A．B．C．D．考点：函数的零点；函数的值域；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．解答：解：①当0≤x＜时，≤f（x）=x+＜1．故当x=时，f（x）=．②当≤x≤1时，≤f（x）=3x2≤3，故当x=时，f（x）=1．若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1 ＜≤x2 ＜1，如图所示：显然当k=f（x1）=f（x2）=时，x1•f（x2）取得最小值，此时，x1=，x2=，x1•f（x2）的最小值为=．显然，当k=f（x1）=f（x2）趋于1时，x1•f（x2）趋于最大，此时，x1趋于，x2趋于，x1•f（x2）趋于=．故x1•f（x2）的取值范围为，故选C．点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20考点：导数的运算；抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数的周期性，画出函数y=f（x）的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）的周期是2，又∵当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0，∴当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，则f′（x）＞0，函数在[0，1]上是增函数又由当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，则f（0）=0，f（1）=1．而y=lg|x|是偶函数，当x＞0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，由于x=10时，y=lg10=1，∴其图象与f（x）的图象在[0，2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，∴在y轴右侧共有9个交点．∵y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，∴在y轴左侧也有9个交点∴两函数图象共有18个交点．故选：C．点评：本体考查了函数的周期性，奇偶性及函数图象的画法，重点考查数形结合的思想方法，属基础题．二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，如果全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：利用切割线定理，求出PC，再利用等面积可得结论．解答：解：∵PC切圆O于点C，圆O的半径为3，PA=2，∴PC2=PA•PB=16，∴PC=4，又OC=3，∴OP=5，∴由等面积可得=，∴OE==．故答案为：．点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1即可化为直角坐标方程．利用x=ρcosθ即可把直线l的极坐标方程，化为直角坐标方程，联立解出即可．解答：解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为=1．直线l的极坐标方程为，化为x=，把x=代入椭圆方程解得y=0．∴它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．故答案为：．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆的交点，考查了计算能力，属于基础题．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B={x|﹣2≤x≤5}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出A∩B．解答：解：集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}，所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5}，故答案为：{x|﹣2≤x≤5}．点评：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．考点：定积分．专题：计算题．分析：根据定积分的运算法则进行计算，将区间（0，e2）拆为（0，1）、（1，e2）两个区间，然后进行计算；解答：解：∵，∴则=+=+=+=+2=，故答案为．点评：此题主要考查定积分的计算，这是高考新增的内容，同学们要多加练习．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．考点：函数的单调性及单调区间．专题：创新题型．分析：点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，再把角度区间转化为对应的时间区间．解答：解：t=0时，点A的坐标是，∴点A的初始角为60°，当点A转过的角度在[0°，30°]或[210°，360°]时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增，∵12秒旋转一周，∴每秒转过的角度是360°÷12=30°，210°÷30=7，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]，故答案为：[0，1]和[7，12]．点评：本题考查函数的单调性及单调区间，体现了转化的数学思想．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n•n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数P的取值范围是（﹣1，3）．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．即可得出a n．由于对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，分类讨论：n是奇数时，求得p的取值范围；当n是正偶数时，求得p的取值范围，再求其交集即可．解答：解：当n=1时，a1=S1=﹣1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣1）n n﹣（﹣1）n﹣1（n﹣1）=（﹣1）n（2n﹣1）．∵对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，∴[（﹣1）n+1（2n+1）﹣p][（﹣1）n（2n﹣1）﹣p]＜0，①当n是奇数时，化为[p﹣（2n+1）][p+（2n﹣1）]＜0，解得1﹣2n＜p＜2n+1，∵对任意正奇数n都成立，取n=1时，可得﹣1＜p＜3．②当n是正偶数时，化为[p﹣（2n﹣1）][p+（1+2n）]＜0，解得﹣1﹣2n＜p＜2n﹣1，∵对任意正偶数n都成立，取n=2时，可得﹣5＜p＜3．联立，解得﹣1＜p＜3．∴实数P的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．点评：本题考查了“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”求数列的通项公式a n的方法、交集的运算法则、分类讨论思想方法，属于难题．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简，再用二倍角公式化简，得到，化为求出周期．（Ⅱ）当时，求出的范围，然后求函数f（x）的最大值和最小值．解答：解：===．（6分）（Ⅰ），故f（x）的最小正周期为π．（7分）（Ⅱ）因为0≤x≤，所以．（9分）所以当，即时，f（x）有最大值0，（11分）当，即x=0时，f（x）有最小值．（13分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，考查计算能力，是基础题．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过S1+2=2a1可知a1=2．通过S n+2=2a n与S n+1+2=2a n+1作差、整理可知数列{a n}是公比为2的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过写出T n、T n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．解答：（1）解：当n=1时，S1+2=2a1，所以a1=2．因为S n+2=2a n，则S n+1+2=2a n+1．两式相减，得S n+1﹣S n=2（a n+1﹣a n），即a n+1=2（a n+1﹣a n），即a n+1=2a n．所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，故．（2）证明：∵，∴．①．②①﹣②，得=．∴．∵，∴T n＜3．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由题意可得DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．设∠CED=α．运用余弦定理和正弦定理，再由面积公式，即可得到所求S；（2）求得cosα，以及cos∠AEB=cos（﹣α），再由解直角三角形，即可得到所求．解答：解：由题意可知：DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．设∠CED=α．（1）在△CDE中，由余弦定理，得EC2=CD2+DE2﹣2CD•DE•cos∠EDC，于是由题设知，7=CD2+1+CD，即CD2+CD﹣6=0，解得CD=2（CD=﹣3舍去）．在△CDE中，由正弦定理，得，于是，sinα===，即sin∠CED=．于是，；（2）由题设知，0＜α＜，于是由（1）知，cosα===．而∠AEB=﹣α，所以cos∠AEB=cos（﹣α）=cos cosα+sin sinα=﹣cosα+sinα=﹣×+×=．在Rt△EAB中，cos∠AEB==，故=BE===4．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，同时考查向量垂直的条件，同角公式和两角差的余弦公式，属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出当a=﹣1时的函数的导数，切线的斜率，切点坐标，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）求出f（x）的导数，令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x＞0，对a讨论，当a=0时，当a≠0时，①a=，②若0＜a＜，③当a＜0时，函数的单调性，写出单调区间即可．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=lnx+x+﹣1（x＞0），f′（x）=+1﹣，f（2）=ln2+2，f′（2）=1，则切线方程为：y=x+ln2；（2）因为f（x）=lnx﹣ax+﹣1，所以f′（x）=﹣a=﹣（x＞0），令g（x）=ax2﹣x+1﹣a，x＞0，（i）当a=0时，g（x）=﹣x+1（x＞0），所以当0＜x＜1时g（x）＞0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0此时函数f，（x）单调递增．（ii）当a≠0时，由f（x）=0，解得：x1=1，x2=1﹣，①a=，函数f（x）在x＞0上单调递减，②若0＜a＜，在（0，1），（﹣1，+∞）单调递减，在（1，﹣1）上单调递增．③当a＜0时，由于﹣1＜0，x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x∈（1，∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．综上所述：当a≤0 时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，+∞）上单调递增当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减当0＜a＜时，函数f（x）在（0，1），（﹣1，+∞）单调递减，在（1，﹣1）上单调递增．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），判断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过对比“和谐”数列的三个条件，因此验证是否满足即可；（2）通过构造数列{c n}（c n=a n﹣a n+1），通过②可知c n≥c n+1，通过放缩可知a1+a2+…+a n≥，利用③化简即得结论．解答：（1）结论：数列{a n}为“和谐”数列．理由如下：对于数列{a n}数列{a n}，显然符合①．∵，∴符合②∵，∴符合③综上所述，数列{a n}为“和谐”数列．（2）证明：构造数列{c n}，令c n=a n﹣a n+1，由②可知a n﹣a n+1≥a n+1﹣a n+2，∴c n≥c n+1，a1+a2+…+a n=a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）+…+[﹣（n﹣1）a n+na n]≥a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）+…+[﹣（n﹣1）a n+na n]﹣na n+1=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）+…+n（a n﹣a n+1）=c1+2c2+…+nc n≥（1+2+…+n）c n=，由③知，∴，即：，∴．点评：本题考查在新概念“和谐”数列下数列的作差与求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，得到h′（x）=，从而求出h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，结论证出；（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）﹣x﹣kx2，则g′（x）=ln（1+x）﹣2kx，从而g″（x）=﹣2k，对x分情况进行讨论：①x＞0时，②﹣1＜x＜0时，从而证出结论．解答：解：（1）令h（x）=ln（1+x）﹣，∴h′（x）=，x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，即：ln（1+x）＞．从而，x＞0时，f（x）＞得证．（2）不等式f（x）＜可化为：＜0，令g（x）=（1+x）ln（1+x）﹣x﹣kx2，则g′（x）=ln（1+x）﹣2kxg″（x）=﹣2k，①x＞0时，有0＜＜1，令2k≥1，则g″（x）＜0，故g′（x）在（0，+∞）上是减函数，即g′（x）＜g′（0）=0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，从而，g（x）＜g（0）=0，∴k≥时，对于x＞0，有＜0，②﹣1＜x＜0时，有＞1，令2k≤1，则g″（x）＞0，故g′（x）在（﹣1，0）上是增函数，即：g′（x）＜g′（0）=0∴g（x）在（﹣1，0）上是减函数．从而，g（x）＞g（0）=0．∴当k≤时，对于﹣1＜x＜0，有＜0．综合①②，当k=时，在x＞﹣1且x≠0时，有f（x）＜．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题是一道中档题．。