第2课时利用二次函数解决桥梁建筑等问题知识要点基础练知识点1二次函数在桥梁中的应用1.(铜仁中考)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数的表达式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,这时水面宽度AB为(C)A.-20 mB.10 mC.20 mD.-10 m2.(绍兴中考)如图的一座拱桥,当水面宽AB为12 m时,桥洞顶部离水面4 m.已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y=-(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是y=-(x+6)2+4.知识点2二次函数在涵洞隧道设计中的应用3.一个涵洞呈抛物线形,它的截面如图所示,当水面宽AB=1.6 m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m,这时水面上方离水面1.5 m处的涵洞宽m.4.如图,隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8 m,宽是2 m,抛物线的表达式为y=-x2+4.(1)一辆货运车车高4 m,宽2 m,它能通过该隧道吗?(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4 m,那么这辆货运车是否可以通过?解:(1)由题意,得当x=1时,y=-×12+4=3.75,∵3.75+2=5.75>4,∴能通过.(2)由题意,得当x=2.2时,y=-×(2.2)2+4=2.79,∵2.79+2=4.79>4,∴能通过.知识点3二次函数在其他建筑问题中的应用5.如图,某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门底部地面宽4米,顶部距地面的高度为4.4米,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为2.4米,该车要想通过此门,装货后的高度应小于(B) A.2.80米 B.2.816米C.2.82米D.2.826米6.一个横断面是抛物线的渡槽如图所示,根据图中所给的数据求出水面的宽度是2m.综合能力提升练7.如图是抛物线形拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽4 m.水面下降2.5 m,水面宽度增加(B)A.1 mB.2 mC.3 mD.6 m8.某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图所示.以隧道横截面抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系,该抛物线对应的函数表达式为y=-x2.9.某古城门横截面由抛物线与矩形组成(如图),一辆高为h米,宽为2.4米的货车能通过该古城门,则h的最大值是5.64米.10.廊桥是我国古老的文化遗产,如图所示是某座抛物线形的廊桥示意图,已知抛物线的表达式是y=-x2+10,为保护廊桥上的通行安全,在抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF为8米.11.如图所示,有一座抛物线形拱桥,桥下面的正常水位AB宽20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10 m.(1)在如图的坐标系中求抛物线的表达式;(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2 m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时就会到达拱桥顶?解:(1)设所求抛物线的解析式为y=ax2,设D(5,b),则B(10,b-3),∴25a=b,100a=b-3,解得a=-,b=-1,∴y=-x2.(2)∵b=-1,∴=5(小时),∴再持续5小时就会到达拱桥顶.12.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米.求校门的高.(精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)解:如图,以大门地面为x轴,它的中垂线为y轴建立直角坐标系,设抛物线的解析式为y=ax2+c,且抛物线过(4,0),(3,4)两点,-∴解得∴解析式为y=-x2+,∴顶点坐标为.∴校门的高为≈9.1(米).探究拓展突破练13.(青岛中考)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=-x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为m.(1)求该抛物线的函数表达式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少?解:(1)由题意得点B,C的坐标分别为(0,4),,∴解得-∴该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+4.∵y=-x2+2x+4=-(x-6)2+10,∴拱顶D到地面OA的距离为10 m.(2)当x=2时,y=-×4+2×2+4=>6.∴这辆货车能安全通过.(3)当y=8时,-x2+2x+4=8,解得x1=6+2,x2=6-2.∴两排灯的水平距离的最小值是6+2-(6-2)=4(m).。
《26.3.3桥拱问题与二次函数》学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题．重 难 点：应用二次函数的性质解决桥洞水面宽度问题 活动1：旧知回顾一般地，因为抛物线2y ax bx c =++的顶点是最低（高）点，二次函数2y ax bx c =++可化为()2by a x a=++ ，所以当 x= 时，有最小（大）值为 。
活动2：探究新知 第25页探究3如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m,水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？分析：此类问题首先是选择适当的位置建立平面直角坐标系，然后求出这条抛物线所表示的二次函数，再由解析式求出问题答案。
解：以 为原点，以 为y 轴建立平面直角坐标系，可设此抛物线为（2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-、2()y a x h k =-+、2y ax bx c =++（a ≠0）五种中的） 。
由题意可知，此抛物线经过点（2， ）故可得：故：此抛物线表示的二次函数为当水面下降1m 时，水面宽度为 ，故水面下降1m 时，水面宽度增加 m.提示：选择适当的位置建立平面直角坐标系，可使问题简单化。
同学们可试一试本题选择其它位置建立平面直角坐标系，如何求出这条抛物线所表示的二次函数，再比较两种解法的难易程度。
活动3：课堂展示有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？活动4课堂练习1、拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；（2）求支柱MN 的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．图①2、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？3、（2011甘肃兰州）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.4、（2012 四川南充）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB＝4米，AC＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？5、（2013福建泉州南安）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2201且过顶点C （0，5）（长度单位：m ） （1）直接写出c 的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2m ,求购买地毯需多少元？6、（2012新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如图（1），某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25m ，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A 的距离为1m 处达到距地面最大高度2.25m ，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式。
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